11.3. ДВУМЕРНЫЕ ПРОЕКТИВНЫЕ КООРДИНАТЫ

В последнем разделе мы убедились, что сложное отношение является одномерным проективным инвариантом. В данном разделе мы построим сложное отношение для плоскости с тем, чтобы иметь дело со случаем двумерных объектов и двумерных изображений. Конечно, нас в конце концов будет интересовать общий случай трехмерных объектов и двумерных изображений. Однако этот общий случай связан с дополнительными трудностями; рассматриваемый же случай является наиболее сложной ситуацией, для которой имеется решение, не связанное ни с дополнительными ограничениями, ни с чересчур сложными вычислениями. Это связано с инвариантностью двумерных проективных координат, которые мы сейчас определим.

Пусть, как показано на рис. 11.6, нам даны четыре точки А, В, С, U, лежащие в одной плоскости, и пусть никакие три из них не лежат на одной прямой. Мы можем взять эти четыре точки в качестве базы двумерной проективной координатной системы; треугольник ABC называется опорным треугольником, а точка U по причинам, которые вскоре прояснятся, называется единичной точкой. Пусть на той же плоскости дана новая точка Р (не обязательно внутри опорного треугольника); тогда мы определим ее проективную координату по оси АС как величину , т. е. как сложное отношение четырех перечисленных точек на оси АС. Поскольку

мы сразу же видим, что, если точка Р лежит на отрезке АВ, ее проективная координата равна нулю; если Р лежит на BU, ее проективная координата равна единице; если Р лежит на ВС, ее проективная

координата равна бесконечности. Проективные координаты точки Р по осям АВ и ВС определяются подобным же образом: путем проведения линий из противоположной вершины через точки U и Р. Таким образом, проективные координаты точки Р определены, если даны четыре опорные точки. Наоборот, допустим, нам дана проективная координата точки Р, скажем, по оси АС. Поскольку точки А, X и С фиксированы, положение точки Y также фиксировано. Следовательно, мы знаем, что сама точка Р должна быть размещена где-то на линии BY.

Рис. 11.6. Двумерные проективные координаты.

Ее точное положение фиксировано, если мы знаем любую из двух оставшихся проективных координат, поскольку любая из Них задает линяю, пересечение которой с BY определяет Р. Тогда в типичном случае двух любых проективных координат точки из трех достаточно, чтобы задать Точку единственным образом. Единственное исключение имеет место, если точка Р лежит на стороне опорного треугольника. В этом случае должна использоваться проективная координата точки по этой оси.

Теперь мы хотим показать, что проективная координата лежащей на плоскости точки Р (взятая относительно некоторой базы) инвариантна по отношению к центральному проектированию. Общий случай показан на рис. 11.7, где мы можем считать ABC плоскостью объекта, L произвольным центром объектива, а А ВС произвольной плоскостью изображения. Наш метод будет состоять в том, чтобы показать, что проективные координаты точки Р относительно базы равны проективным координатам точки Р относительно базы А, В, С, U. Если мы это выполним, то

результат будет достигнут, поскольку мы покажем тем самым, что проективные координаты точки Р в каждой из проекций равны проективным координатам этой тонки в исходной плоскости объекта. Мы начнем с наблюдения, что проективная координата точки Р по оси АС равна .

Рис. Демонстрация инвариантности проективных координат.

Затем, направив наше внимание на плоскость ALC, заметим, что поскольку оба ряда являются сечениями одного и того же пучка с центром в L. Но величина по определеиию является проективной координатой точки Р относительно базы в плоскости изображения. Такие же аргументы справедливы для двух других осей, и поэтому мы показали, что проективные координаты точки Р, лежащей в плоскости объекта, относительно произвольной базы равны проективным координатам изображения

точки Р относительно изображения этой базы. Таким образом, проективные координаты оправдывают свое название; они в самом деле инвариантны по отношению к центральному проектированию.

Приведенные рассуждения создают основу для решения двумерной задачи второго ракурса. Полагая, что плоскость объекта содержит по крайней мере пять характерных точек, мы берем любые четыре точки в качестве базы проективной координатной системы и вычисляем координаты оставшихся точек относительно этой базы. Необходимое условие того, что на двух изображениях показан один и тот же объект, сводится просто к требованию, чтобы соответственные точки имели одинаковые проективные координаты.