Главная > Распознавание образов и анализ сцен
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

2.8. РАЗДЕЛЯЮЩИЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ СЛУЧАЯ НОРМАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ

Как мы видели в разд. 2.5, классификация с минимальным уровнем ошибки может осуществляться посредством разделяющих функций вида

Это выражение легко оценивается в случае, когда многомерная плотность нормальна. Пусть Тогда, согласно выражению (23), имеем

Рассмотрим этот результат в некоторых частных случаях.

2.8.1. СЛУЧАЙ 1

Эта простейшая ситуация возникает тогда, когда признаки статистически независимы и имеют одинаковую дисперсию Ковариационная матрица при этом становится диагональной, превращаясь в произведение на единичную матрицу I. Выборки при этом попадают внутрь одинаковых гиперсферических кластеров, причем каждый кластер класса имеет своим центром вектор средних значений . Здесь значительно упрощается расчет определителя и матрицы, обратной ; они равны соответственно . В соотношении (31) можно пренебречь несущественными постоянными слагаемыми так как их значения не зависят от г. В результате разделяющие функции принимают простой вид:

где евклидова норма, т. е.

Если для всех с классов априорные вероятности равны, то слагаемое также становится несущественной аддитивной константой, которой можно пренебречь. Оптимальное решающее правило формулируется в этом случае очень просто: чтобы определить класс вектора признаков х, следует измерить евклидово расстояние от х до каждого из с векторов средних значений и отнести х к классу, соответствующему ближайшему среднему значению. Такой классификатор называют классификатором по минимуму расстояния. Если каждый из векторов средних значений считать идеальным прототипом или эталоном для образов своего класса, то это по существу будет процедура сравнения с эталоном. Если априорные вероятности не равны, то, согласно соотношению (32), квадрат расстояния должен быть нормирован по дисперсии и смещен на величину ; поэтому в случае, когда х одинаково близок к двум различным векторам средних значений, при принятии решения следует предпочесть класс, априорно более вероятный.

На самом деле нет необходимости вычислять расстояние в каждом из этих случаев. Раскрытие квадратичной формы приводит к выражению

являющемуся квадратичной функцией х. Вместе с тем квадратичный член неизменный для любого i, представляет собой постоянное слагаемое, и им можно пренебречь. В результате получаем эквивалентную линейную разделяющую функцию вида

где

и

Классификатор, основанный на использовании линейных разделяющих функций, называется линейной машиной. Классификатор

Рис. 2.8. Границы областей решений при использовании классификатора по минимуму расстояния. а — задача для двух классов, б — задача для четырех классов.

этого типа обладает многими свойствами, интересными с теоретической точки зрения; некоторые из них будут подробно обсуждаться в гл. 5. Здесь же заметим просто, что поверхности решений в случае линейной машины явятся частями гиперплоскостей, определяемых линейными уравнениями Для данного частного случая это уравнение можно записать в виде

где

и

Это уравнение определяет ортогональную вектору w гиперплоскость, проходящую через точку Поскольку гиперплоскость, разделяющая будет ортогональна прямой, соединяющей средние значения. Если то точка находится посередине между средними значениями, а гиперплоскость проходит через середину отрезка, соединяющего средние значения перпендикулярно ему (рис. 2.8). Этого следовало бы ожидать по той причине, что классификатор в данном случае есть классификатор по минимуму расстояния. Если то точка смещается, удаляясь от более вероятного среднего значения. Вместе с тем следует заметить, что если дисперсия мала по сравнению с квадратом расстояния то положение границы областей решений сравнительно мало зависит от точных значений априорных вероятностей.

2.8.2. СЛУЧАЙ 2

В другом простом случае ковариационные матрицы для всех классов одинаковы. Геометрически это соответствует ситуации, при которой выборки попадают внутрь гиперэллипсоидальных областей (кластеров) одинаковых размеров и формы, с вектором средних значений в центре каждой. Не зависящими от i слагаемыми в соотношении (31) можно пренебречь. В результате получаем разделяющие функции вида

Если априорные вероятности для всех с классов равны, то слагаемым можно пренебречь. Оптимальное решающее правило в этом случае снова оказывается очень простым: для классификации вектора признаков следует определить квадратичное махаланобисово расстояние от х до каждого из с векторов средних значений и отнести х к классу, соответствующему ближайшему среднему значению Как и прежде, в случае неравных априорных вероятностей, при принятии решения несколько большее предпочтение отдается классу, априорно более вероятному.

При раскрытии квадратичной формы обнаруживается, что квадратичное слагаемое не зависит от i. Исключая его, снова получим линейные разделяющие функции вида

где

и

Рис. 2.9. Граница областей решений при использовании классификатора по минимуму махаланобисова расстояния.

Так как разделяющие функции линейны, границы областей решений в этом случае становятся гиперплоскостями (рис. 2.9). Для смежных граница между ними описывается уравнением

где

и

Так как направление вектора в общем случае не совпадает с направлением то гиперплоскость, разделяющая вообще говоря, не ортогональна отрезку, соединяющему средние значения. Вместе с тем в случае равных априорных вероятностей она пересекает этот отрезок в точке находящейся посередине между средними значениями. При неравных априорных вероятностях граничная гиперплоскость смещается, удаляясь от более вероятного среднего значения.

2.8.3. СЛУЧАЙ 3

В общем случае многомерного нормального распределения ковариационные матрицы для каждого класса различны. В выражении (31) можно пренебречь только слагаемым так что получаемые разделяющие функции оказываются существенно квадратичными:

где

Границы областей решений представляют собой гиперквадрики и могут принимать любую из общих форм — гиперплоскостей, гиперсфер, гиперэллипсоидов, гиперпараболоидов или разного вида гипергиперболоидов.

Рис. 2.10. Виды границ областей решений в общем случае двумерного нормального распределения. а — круг, б — эллипс, в — парабола, г — гипербола, д — прямые.

То, каким образом могут возникнуть эти различные виды гиперквадрик, изображено для двумерного случая

на рис. 2.10. Так как переменные независимы для фиксированного класса, их ковариационные матрицы диагональны. Поверхности решений различаются исключительно из-за различия между дисперсиями. Сами дисперсии обозначены пронумерованными контурами постоянной плотности вероятности. На рис. 2.10 (а) дисперсии для меньше, чем для Поэтому более вероятно, что выборки, принадлежащие классу 2, окажутся вблизи среднего значения для этого класса, а из-за центральной симметрии граница решения образует окружность, внутри которой лежит (та. При растяжении оси как показано на рис. 2.10 (б), граница решения вытягивается в эллипс. Рис. 2.10 (в) иллюстрирует случай, когда обе плотности имеют одинаковые дисперсии в направлении но в направлении дисперсия для больше, чем для . Таким образом, выборки с большим вероятнее, принадлежат классу 1, а граница решения представляет собой параболу. С ростом дисперсия для меняется как на рис. и граница превращается в гиперболу. Наконец, скюбый случай симметрии, когда гиперболическая граница вырождается в пару прямых, приведен на рис. 2.10 (д).

1
Оглавление
email@scask.ru