Цель настоящей книги – собрать и представить с общей и универсальной точки зрения результаты и методы, относящиеся к интегрируемым системам классической механики. Под такими системами мы понимаем гамильтоновы системы с конечным числом степеней свободы, обладающие достаточно большим числом сохраняющихся величин (интегралов движения), так что, в принципе, интегрирование уравнений движения таких систем может быть сведено к квадратурам – вычислению интегралов известных функций.

Изучение таких систем явилось важным направлением исследований прошлого столетия. Отметим, в частности, что именно из этих исследований выросла теория групп Софуса Ли. Однако в начале нашего века благодаря работам А. Пуанкаре стало ясно, что глобальные интегралы движения гамильтоновых систем существуют лишь в исключительных случаях, и интерес к таким системам упал.

До недавнего времени было известно лишь небольшое число таких систем с двумя и большим числом степеней свободы. В носледние пятнадцать лет, однако, в этом направлении достигнут большой прогресс. Это связано с открытием в 1967 г. Гарднером, Грином, Крускалом и Миурой [177] нового метода интегрирования нелинейных эволюционных уравнений – метода обратной задачи рассеяния, или метода изоспектральной деформации.

Применение этого метода к системам классической механики дало возможность установить нолную интегрируемость множества классических систем. Замстим, что все известные системы такого типа связаны с алгебрами Ли, хотя во многих случаях эта связь и не является такой прямой, как связь, даваемая известной теоремой Э. Нётер.

Настоящая монография является первой попыткой последовательного изложения полученных в этой области результатов, содержащихся пока лишь в журнальных статьях. Книга частично основана на специальных курсах, прочитанных автором для студентов и аспирантов Московского Государственного университета. Она рассчитана в основном на физиков-теоретиков и математиков, может быть использована также студентами физических и математических факультетов.

К сожалению, из-за ограниченности объема в настоящей монографии не рассмотрен ряд интегрируемых систем классической механики, известных в настоящее время. Сюда относятся:

1. Системы с ограничениями (связями) типа движения точки по эллипсоиду или сфере под влиянием линейной силы.
2. Движение твердого тела вокруг неподвижной точки в поле тяжести.
3. Движение твердого тела в идеальной жидкости.
4. Движение в периодическом поле конечнозонных потенциалов и ряд других периодических задач.

Автор предполагает подготовить к печати отдельную монографию, где будут рассмотрены все эти вопросы.

Различные вопросы классической механики, вошедшие в данную книгу, обсуждались с моими коллегами и соавторами: Ф. Березиным, М. Бруски, С. Войцеховским, А. Дегасперисом, Ф. Калоджеpo, С. Камалиным, М. Кацем, И. Кричевером, М. Крускалом, Д Леви, Ю. Мозером, С. Новиковым, М. Ольшанецким, О. Рагниско, А. Рейманом, М. Семеновым-Тян-інанским.
Всем им выражаю мою сердечную благодарность.