Пусть нечетная функция $x(\xi )$ удовлетворяет функциональному уравнению (3.1.9)
$$x(\xi )x^{\prime }(\eta )-x(\eta )x^{\prime }(\xi )=x(\xi +\eta )[z(\xi )-z(\eta )],z(-\xi )=z(\xi ).$$

Нетрудно видеть, что если $x(\xi )$ регулярна при $\xi =0$, то $x(\xi )\equiv 0$. Нетрудно показать также, что функция $x(\xi )$ должна иметь следующую асимптотику при $\xi \to 0$ :
$$x(\xi )\sim \alpha ({\xi }^{-1}+\gamma \xi ),\alpha eq0.$$

Для нахождения общего решения уравнения (Б.1), следуя [34], устремим $\eta$ к нулю. Приравнивая коэффициенты при степенях переменной $\eta$, получаем
$$z(\xi )\sim \alpha ({\xi }^{-2}-\delta )\text{ при }\xi \to 0$$

и
$$z(\xi )=\alpha (\frac{x^{\prime \prime }(\xi )}{2x(\xi )}+\gamma -\delta ).$$

Однако поскольку функция $z(\xi )$ определена с точностью до аддитивной постоянной, то, полагая $\delta =\gamma$, имеем
$$z(\xi )=\alpha \frac{x^{\prime \prime }(\xi )}{2x(\xi )}.$$

Таким образом, решение уравнения (Б.1) должно удовлетворять также уравнению
$$x(\xi )x^{\prime }(\eta )-x(\eta )x^{\prime }(\xi )=\frac{\alpha }{2}(\frac{x^{\prime \prime }(\xi )}{x(\xi )}-\frac{x^{\prime \prime }(\eta )}{x(\eta )})x(\xi +\eta ).$$

Снова устремим $\eta$ к нулю. Тогда коэффициенты при ${\eta }^{-2},{\eta }^{-1}$ и ${\eta }^0$ в левой и правой частях уравнения (Б.6) тождественно совпадают. Приравнивая коэффициенты при $\eta$, получаем уравнение
$$x(\xi )x^{\prime \prime \prime }(\xi )-3x^{\prime }(\xi )x^{\prime \prime }(\xi )-12\gamma x(\xi )x^{\prime }(\xi )=0.$$

Умножая его на $x^{-4}$ и интегрируя, приходим к уравнению
$$x^{-3}{x}^{\prime \prime }+6\gamma x^{-2}+c=0.$$

Но $x(\xi )\sim \alpha {\xi }^{-1}$, при $\xi \to 0$. Отсюда следует, что $c=-2{\alpha }^{-2}$. Умножая (Б.8) на $x^3{x}^{\prime }$ и интегрируя, находим
$${\left(x^{\prime }\right)}^2={\alpha }^{-2}{x}^4-2\mu x^2+\lambda ,\mu =3\gamma .$$

Заметим, что из (Б.8) следует
$$z(\xi )=\alpha \frac{x^{\prime \prime }(\xi )}{2x(\xi )}={\alpha }^{-1}{x}^2(\xi )+\mu \alpha ={\alpha }^{-1}V(\xi )+\text{ const. }$$

Интегрируя (Б.9) с граничными условиями $x(\xi )\sim \alpha {\xi }^{-1}$ при $\xi \to 0$, находим выражение для функции, обратной к $x(\xi )$ :
$$\xi (x)={\int }_x^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{\sqrt{({\alpha }^{-2}{x}^4-2\mu x^2+\lambda )}}.$$

Это эллиптический интеграл. Он упрощается в следующих случаях:
(1) $\mu =0,\lambda =0,x(\xi )=\alpha {\xi }^{-1}$;
(2) $\mu =\pm a^2,\lambda ={\alpha }^2{a}^4,x(\xi )=\alpha a$ cth $a\xi ,\alpha a\mathrm{ctg}a\xi$;
(3) $\mu =\mp \frac{a^2}{2},\lambda =0,x(\xi )=\alpha a/(\mathrm{sh}a\xi ),\alpha a/(\sin a\xi )$.

В остальных случаях интеграл можно выразить через эллиптические функции. Явные формулы для $x(\xi )$ зависят от положений корней $z_1$ и $z_2$ квадратного уравнения
$$z^2-2\mu {\alpha }^{2}z+\lambda {\alpha }^2=0.$$
1. Пусть ${\alpha }^2{\mu }^2-\lambda >0$, следовательно, $z_1$ и $z_2$ вєщественны. Рассмотрим отдельно три случая.
(a) $z_2<z_1<0$.
Положим $\left|z_1\right|=a^2,{\left|z_2\right|}^2=(1-k^2)a^2$. Тогда
$$\begin{array}{l}x(\xi )=\frac{da\mathrm{cn}(a\xi ,k)}{\mathrm{sn}(a\xi ,k)},y(\xi )=\alpha a^2\frac{\mathrm{dn}(a\xi ,k)}{{\mathrm{sn}}^2(a\xi ,k)},\\ v(\xi )={\alpha }^2{\mathrm{sn}}^{-2}(a\xi ,k)=g^2{\mathcal{P}}^P(a\xi )+\mathrm{const};\end{array}$$
(б) $z_1<0,z_2>0$.

Положим $\left|z_1\right|=k^2{a}^2,z_2=(1-k^2)a^2$, тогда
$$\begin{array}{l}x(\xi )=\alpha a\frac{\mathrm{dn}(a\xi ,k)}{\mathrm{sn}(a\xi ,k)},y(\xi )=\alpha a^2\frac{{\mathrm{cn}}^2(a\xi ,k)}{{\mathrm{sn}}^2(a\xi ,k)},\\ v(\xi )={\alpha }^2{a}^2{\mathrm{sn}}^{-2}(a\xi ,k)=g^2\mathcal{P}(a\xi )+\text{ const; }\end{array}$$
(в) $z_1>0,z_2>0$.

Тогда
$$\begin{array}{l}x(\xi )=\alpha a\frac{1}{\mathrm{sn}(a\xi ,k)},y(\xi )=\alpha \frac{a^2\mathrm{cn}(a\xi ,k)\mathrm{dn}(a\xi ,k)}{{\mathrm{sn}}^2(a\xi ,k)},\\ v(\xi )={\alpha }^2{a}^2{\mathrm{sn}}^{-2}(a\xi ,k)=g^2\mathcal{P}(a\xi )+\text{ const. }\end{array}$$

II. Пусть $\alpha {\mu }^2-\lambda <0$ и, следовательно, $z_1$ и $z_2$ комплексны. Тогда выражение $x^4-2\mu {\alpha }^2{x}^2+\lambda {\alpha }^2$ можно представить в следующем виде:
$$(x^2+2ux+\alpha \sqrt{\lambda })(x^2-2ux+\alpha \sqrt{\lambda }),v=\sqrt{\frac{1}{2}(\mu {\alpha }^2+\alpha \sqrt{\lambda })}.$$

Сделаем в интеграле (Б.11) замену переменных
$$x={\left(\lambda {\alpha }^2\right)}^{2/4}(\tilde{x}+1{)}^{-1}(\tilde{x}-1),dx={\left(\lambda {\alpha }^2\right)}^{1/4}(\tilde{x}+1{)}^{-2}2\cdot d\tilde{x}.$$

После этого интеграл принимает вид
$$\xi =\sqrt{2{(\alpha \sqrt{\lambda }-\mu {\alpha }^2)}^{-1}}{\int }_{-1}^{\tilde{x}}{\left[(x^2+{\tau }^2)(x^2+{\sigma }^2)\right]}^{-1/2}dx,$$

где
$${\tau }^2={[{\left(\lambda {\alpha }^2\right)}^{1/4}-u]}^{-1}\cdot [{\left(\lambda {\alpha }^2\right)}^{1/4}+u],{\sigma }^2={\tau }^{-2}.$$

Отсюда получаем
$$\tilde{x}(\xi )=a/\left[\mathrm{sn}(a\sqrt{2{(\alpha \sqrt{\lambda }-\mu {\alpha }^2)}^{-1}}(\xi +{\xi }_0),k)\right]$$

или
$$\begin{array}{l}x(\xi )={\left(\lambda {\alpha }^2\right)}^{1/4}{[1+a^{-1}\mathrm{sn}(\rho ,k)]}^{-1}[1-a^{-1}\mathrm{sn}(p,k)],\\ \rho =a{\left[2{(\alpha \sqrt{\lambda }-\mu {\lambda }^2)}^{-1}\right]}^{1/2}(\xi -{\xi }_0).\end{array}$$

Нетрудно показать, что во всех случаях потенциал имеет вид
$$V(\xi )=g^2{a}^2\mathcal{P}(a\xi )+\text{ consl. }$$

Действительно, из уравнения (Б.9) следует
$${\left({\left(x^2\right)}^{\prime }\right)}^2=4{\alpha }^{-2}{x}^6-8\mu x^4+4\lambda x^2$$

или
$${\left(V^{\prime }\right)}^2=(4{\alpha }^{-2}{V}^2-8\mu V+4\lambda )V.$$

Остается доказать, что во всех рассмотренных случаях функции $x(\xi )$ и $z(\xi )$ удовлетворяют функциональному уравнению (Б.1). В этом можно убедиться прямой проверкой (Б.1), используя формулы сложения для эллиптических функций (см. [2]).