Пусть нечетная функция $x(\xi)$ удовлетворяет функциональному уравнению (3.1.9)
\[
x(\xi) x^{\prime}(\eta)-x(\eta) x^{\prime}(\xi)=x(\xi+\eta)[z(\xi)-z(\eta)], \quad z(-\xi)=z(\xi) .
\]

Нетрудно видеть, что если $x(\xi)$ регулярна при $\xi=0$, то $x(\xi) \equiv 0$. Нетрудно показать также, что функция $x(\xi)$ должна иметь следующую асимптотику при $\xi \rightarrow 0$ :
\[
x(\xi) \sim \alpha\left(\xi^{-1}+\gamma \xi\right), \quad \alpha
eq 0 .
\]

Для нахождения общего решения уравнения (Б.1), следуя [34], устремим $\eta$ к нулю. Приравнивая коэффициенты при степенях переменной $\eta$, получаем
\[
z(\xi) \sim \alpha\left(\xi^{-2}-\delta\right) \text { при } \xi \rightarrow 0
\]

и
\[
z(\xi)=\alpha\left(\frac{x^{\prime \prime}(\xi)}{2 x(\xi)}+\gamma-\delta\right) .
\]

Однако поскольку функция $z(\xi)$ определена с точностью до аддитивной постоянной, то, полагая $\delta=\gamma$, имеем
\[
z(\xi)=\alpha \frac{x^{\prime \prime}(\xi)}{2 x(\xi)} .
\]

Таким образом, решение уравнения (Б.1) должно удовлетворять также уравнению
\[
x(\xi) x^{\prime}(\eta)-x(\eta) x^{\prime}(\xi)=\frac{\alpha}{2}\left(\frac{x^{\prime \prime}(\xi)}{x(\xi)}-\frac{x^{\prime \prime}(\eta)}{x(\eta)}\right) x(\xi+\eta) .
\]

Снова устремим $\eta$ к нулю. Тогда коэффициенты при $\eta^{-2}, \eta^{-1}$ и $\eta^{0}$ в левой и правой частях уравнения (Б.6) тождественно совпадают. Приравнивая коэффициенты при $\eta$, получаем уравнение
\[
x(\xi) x^{\prime \prime \prime}(\xi)-3 x^{\prime}(\xi) x^{\prime \prime}(\xi)-12 \gamma x(\xi) x^{\prime}(\xi)=0 .
\]

Умножая его на $x^{-4}$ и интегрируя, приходим к уравнению
\[
x^{-3} x^{\prime \prime}+6 \gamma x^{-2}+c=0 .
\]

Но $x(\xi) \sim \alpha \xi^{-1}$, при $\xi \rightarrow 0$. Отсюда следует, что $c=-2 \alpha^{-2}$. Умножая (Б.8) на $x^{3} x^{\prime}$ и интегрируя, находим
\[
\left(x^{\prime}\right)^{2}=\alpha^{-2} x^{4}-2 \mu x^{2}+\lambda, \quad \mu=3 \gamma .
\]

Заметим, что из (Б.8) следует
\[
z(\xi)=\alpha \frac{x^{\prime \prime}(\xi)}{2 x(\xi)}=\alpha^{-1} x^{2}(\xi)+\mu \alpha=\alpha^{-1} V(\xi)+\text { const. }
\]

Интегрируя (Б.9) с граничными условиями $x(\xi) \sim \alpha \xi^{-1}$ при $\xi \rightarrow 0$, находим выражение для функции, обратной к $x(\xi)$ :
\[
\xi(x)=\int_{x}^{\infty} \frac{d x}{\sqrt{\left(\alpha^{-2} x^{4}-2 \mu x^{2}+\lambda\right)}} .
\]

Это эллиптический интеграл. Он упрощается в следующих случаях:
(1) $\mu=0, \quad \lambda=0, \quad x(\xi)=\alpha \xi^{-1}$;
(2) $\mu= \pm a^{2}, \quad \lambda=\alpha^{2} a^{4}, \quad x(\xi)=\alpha a$ cth $a \xi, \quad \alpha a \operatorname{ctg} a \xi$;
(3) $\mu=\mp \frac{a^{2}}{2}, \quad \lambda=0, \quad x(\xi)=\alpha a /(\operatorname{sh} a \xi), \quad \alpha a /(\sin a \xi)$.

В остальных случаях интеграл можно выразить через эллиптические функции. Явные формулы для $x(\xi)$ зависят от положений корней $z_{1}$ и $z_{2}$ квадратного уравнения
\[
z^{2}-2 \mu \alpha^{2} z+\lambda \alpha^{2}=0 .
\]
1. Пусть $\alpha^{2} \mu^{2}-\lambda>0$, следовательно, $z_{1}$ и $z_{2}$ вєщественны. Рассмотрим отдельно три случая.
(a) $z_{2}<z_{1}<0$.
Положим $\left|z_{1}\right|=a^{2},\left|z_{2}\right|^{2}=\left(1-k^{2}\right) a^{2}$. Тогда
\[
\begin{array}{l}
x(\xi)=\frac{d a \operatorname{cn}(a \xi, k)}{\operatorname{sn}(a \xi, k)}, \quad y(\xi)=\alpha a^{2} \frac{\operatorname{dn}(a \xi, k)}{\operatorname{sn}^{2}(a \xi, k)}, \\
v(\xi)=\alpha^{2} \operatorname{sn}^{-2}(a \xi, k)=g^{2} \mathscr{P}^{P}(a \xi)+\mathrm{const} ;
\end{array}
\]
(б) $z_{1}<0, z_{2}>0$.

Положим $\left|z_{1}\right|=k^{2} a^{2}, \quad z_{2}=\left(1-k^{2}\right) a^{2}$, тогда
\[
\begin{array}{l}
x(\xi)=\alpha a \frac{\operatorname{dn}(a \xi, k)}{\operatorname{sn}(a \xi, k)}, \quad y(\xi)=\alpha a^{2} \frac{\mathrm{cn}^{2}(a \xi, k)}{\operatorname{sn}^{2}(a \xi, k)}, \\
v(\xi)=\alpha^{2} a^{2} \operatorname{sn}^{-2}(a \xi, k)=g^{2} \mathscr{P}(a \xi)+\text { const; }
\end{array}
\]
(в) $z_{1}>0, z_{2}>0$.

Тогда
\[
\begin{array}{l}
x(\xi)=\alpha a \frac{1}{\operatorname{sn}(a \xi, k)}, \quad y(\xi)=\alpha \frac{a^{2} \operatorname{cn}(a \xi, k) \operatorname{dn}(a \xi, k)}{\operatorname{sn}^{2}(a \xi, k)}, \\
v(\xi)=\alpha^{2} a^{2} \operatorname{sn}^{-2}(a \xi, k)=g^{2} \mathscr{P}(a \xi)+\text { const. }
\end{array}
\]

II. Пусть $\alpha \mu^{2}-\lambda<0$ и, следовательно, $z_{1}$ и $z_{2}$ комплексны. Тогда выражение $x^{4}-2 \mu \alpha^{2} x^{2}+\lambda \alpha^{2}$ можно представить в следующем виде:
\[
\left(x^{2}+2
u x+\alpha \sqrt{\lambda}\right)\left(x^{2}-2
u x+\alpha \sqrt{\lambda}\right), \quad v=\sqrt{\frac{1}{2}\left(\mu \alpha^{2}+\alpha \sqrt{\lambda}\right)} .
\]

Сделаем в интеграле (Б.11) замену переменных
\[
x=\left(\lambda \alpha^{2}\right)^{2 / 4}(\tilde{x}+1)^{-1}(\tilde{x}-1), \quad d x=\left(\lambda \alpha^{2}\right)^{1 / 4}(\tilde{x}+1)^{-2} 2 \cdot d \tilde{x} .
\]

После этого интеграл принимает вид
\[
\xi=\sqrt{2\left(\alpha \sqrt{\lambda}-\mu \alpha^{2}\right)^{-1}} \int_{-1}^{\tilde{x}}\left[\left(x^{2}+\tau^{2}\right)\left(x^{2}+\sigma^{2}\right)\right]^{-1 / 2} d x,
\]

где
\[
\tau^{2}=\left[\left(\lambda \alpha^{2}\right)^{1 / 4}-
u\right]^{-1} \cdot\left[\left(\lambda \alpha^{2}\right)^{1 / 4}+
u\right], \quad \sigma^{2}=\tau^{-2} .
\]

Отсюда получаем
\[
\tilde{x}(\xi)=a /\left[\operatorname{sn}\left(a \sqrt{2\left(\alpha \sqrt{\lambda}-\mu \alpha^{2}\right)^{-1}}\left(\xi+\xi_{0}\right), k\right)\right]
\]

или
\[
\begin{array}{l}
x(\xi)=\left(\lambda \alpha^{2}\right)^{1 / 4}\left[1+a^{-1} \operatorname{sn}(\rho, k)\right]^{-1}\left[1-a^{-1} \operatorname{sn}(p, k)\right], \\
\rho=a\left[2\left(\alpha \sqrt{\lambda}-\mu \lambda^{2}\right)^{-1}\right]^{1 / 2}\left(\xi-\xi_{0}\right) .
\end{array}
\]

Нетрудно показать, что во всех случаях потенциал имеет вид
\[
V(\xi)=g^{2} a^{2} \mathscr{P}(a \xi)+\text { consl. }
\]

Действительно, из уравнения (Б.9) следует
\[
\left(\left(x^{2}\right)^{\prime}\right)^{2}=4 \alpha^{-2} x^{6}-8 \mu x^{4}+4 \lambda x^{2}
\]

или
\[
\left(V^{\prime}\right)^{2}=\left(4 \alpha^{-2} V^{2}-8 \mu V+4 \lambda\right) V .
\]

Остается доказать, что во всех рассмотренных случаях функции $x(\xi)$ и $z(\xi)$ удовлетворяют функциональному уравнению (Б.1). В этом можно убедиться прямой проверкой (Б.1), используя формулы сложения для эллиптических функций (см. [2]).