Многомерный гармонический осциллятор описывается гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n}\left(p_{j}^{2}+\omega_{j}^{2} q_{j}^{2}\right),
\]

где $\omega_{j}$ – частоты колебаний. Интегрирование уравнений движения для такой системы тривиально. Мы все же рассмотрим эту систему, поскольку она является простейшей системой, обладающей \”скрытой\” симметрией.

Многомерный осциллятор обладает ( $n-1$ ) дополнительным квадратичным интегралом движения:
\[
I_{j}=\frac{1}{2}\left(p_{j}^{2}+\omega_{j}^{2} q_{j}^{2}\right), \quad j=1, \ldots, n ; \quad \sum_{j=1}^{n} I_{j}=H .
\]

Если все частоты $\omega_{j}$ несоизмеримы друг с другом, т.е. равенство
\[
\Sigma n_{j} \omega_{j}=0,
\]

где $n_{j}$ – целые числа, выполняется лишь в том случае, когда все $n_{j}$ равняются нулю, то, помимо интегралов $I_{j}$, других однозначных интегралов нет и \”скрытая\” симметрия отсутствует.
A. Изотропный п-мерный осциллятор. В другом предельном случае все частоты $\omega_{j}$ соизмеримы между собой. Тогда существует ( $n-1$ ) дополнительный интеграл движения и все траектории системы будут замкнуты. Особенно простым является случай, когда все $\omega_{j}$ равны между собой: $\omega_{j}=\omega$, это случай так называемого изотропного осциллятора. Полагая $\omega=1$, имеем
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n}\left(p_{j}^{2}+q_{j}^{2}\right) .
\]

Очевидной группой симметрии этого гамильтониана является группа вращений $n$-мерного пространства – группа $\mathrm{SO}(n)$. Она, однако, не объясняет факта замкнутости траекторий. Гамильтониан (2.7.3) инвариантен также относительно группы $\mathrm{SO}(2 n)$ – группы вращений $2 n$-мерного фазового пространства. Эта группа, однако, не является группой инвариантности нашей задачи, поскольку преобразования из $\mathrm{SO}(2 n)$, вообще говоря, не сохраняют стандартную симплектическую форму
\[
\sum_{j=1}^{n} d p_{j} \wedge d q_{j}
\]

С другой стороны, линейные однородные преобразования $2 n$-мерного пространства, оставляющие инвариантной форму (2.7.4), образуют, -как мы знаем, симплектическую группу – группу $\operatorname{Sp}(2 n, \mathbb{R})$.

Поэтому группой симметрии рассматриваемой задачи будет рруппа, являющаяся пересечением групп $\mathrm{SO}(2 n)$ и $\mathrm{Sp}(2 n, \mathrm{R})$. Эта группа является максимальной компактной подгруппой в некомпактной группе $\operatorname{Sp}(2 n, \mathbb{R}$ ) и, как оказывается (см., например, [1]), она изоморфна группе $U(n)$ – группе унитарных матриц порядка $n$.

Для того чтобы увидеть это, удобно перейти к новым комплексным переменным
\[
a_{j}=\frac{p_{j}-i q_{j}}{\sqrt{2}}, \quad \bar{a}_{k}=\frac{p_{k}+i q_{k}}{\sqrt{2}} .
\]

Тогда, как нетрудно проверить, величины
\[
A_{k}^{j}=\overline{a_{j}} a_{k}
\]

являются интегралами движения: $\left\{A_{k}^{j}, H\right\}=0$. Эти величины образуют замкнутую алгебру относительно скобок Пуассона
\[
\left\{A_{k}^{j}, A_{m}^{l}\right\}=i\left(\delta_{m}^{j} A_{k}^{l}-\delta_{k}^{l} A_{m}^{j}\right)
\]

которая изоморфна алгебре $\mathrm{U}(n)$ – алгебре эрмитовых матриц порядка $n$.
Заметим, что мнимая часть величин $A_{k}^{j}$ дает тензор момента количества движения а вещественная часть дает сохраняющийся тензор
\[
Q_{j k}=\left(p_{j} p_{k}+q_{j} q_{k}\right) .
\]

Отметим также, что не все величины $A_{k}^{j}$ являются независимыми. Однако среди них имеется $(2 n-1)$ независимый интеграл движения, что и объясняет факт замкнутости траекторий.