Как было показано в разделе 4.1, цепочка Тоды является вполне интегрируемой гамильтоновой системой. Однако явное интегрирование уравнений движения таких систем является далеко не простой задачей, и ее удается осуществить лишь в редких случаях. Здесь мы, следуя [256, 97], покажем, что к данному случаю можно применить метод проектирования (см. раздел 1.9, где был исследован простейший случай двух частиц) и проинтегрировать с его помощью уравнения движения явно. Несколько иным способом эти результаты были получены в $[222,182]$.

Идея состоит в рассмотрении геодезического потока на пространстве $X=\{x\}$ вещественных симметрических положительно определенных матриц. Так называемая орисферическая проекция этого потока и дает решение уравнений движения для цепочки Тоды.
Напомним, что обычная цепочка Тоды описывается гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} p_{j}^{2}+\sum_{j=1}^{n-1} \exp \left[2\left(q_{j}-q_{j+1}\right)\right] \text {. }
\]

Уравнения движения такой системы имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\dot{q}_{j}=p_{j}, \quad \dot{p}_{1}=-2 \exp \left[2\left(q_{1}-q_{2}\right)\right], \quad \dot{p}_{n}=2 \exp \left[2\left(q_{n-1}-q_{n}\right)\right], \\
\dot{p}_{j}=2 \exp \left[2\left(q_{j-1}-q_{j}\right)\right]-2 \exp \left[2\left(q_{j}-q_{j+1}\right)\right], \quad 1<j<n .
\end{array}
\]

Ниже будет показано, что решение этих уравнений дается следующей конструкцией $[256,222]$.

Пусть $a=L\left(p^{0}, q^{0}\right)$ – матрица Якоби, зависящая от начальных $(t=0)$ данных $p^{0}=p(0)$ и $q^{0}=q(0)$ :
\[
a_{j k}=p_{j}^{0} \delta_{j k}+\exp \left(q_{j-1}^{0}-q_{j}^{0}\right) \delta_{j, k+1}+\exp \left(q_{j}^{0}-q_{j+1}^{0}\right) \delta_{j, k-1} .
\]

Образуем матрицу $\exp (2 a t)$. Для ее конструктивного построения удобно привести матрицу $a$ к диагональному виду
\[
\begin{array}{l}
u^{-1} a u=\Lambda, \quad a=u \Lambda u^{-1}, \\
\Lambda=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\right), \quad \sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}=0 .
\end{array}
\]

Отметим, что величины $\lambda_{j}$ являются корнями уравнения степени $n$.
\[
\operatorname{det}(\lambda I-a)=0 \text {. }
\]

Знание величин $\lambda_{j}$ позволяет найти матрицу $u$ с помощью линейных операций, а именно $j$-й столбец этой матрицы является нормированным собственным вектором матрицы $a$, соответствующим собственному значению $\lambda_{j}$.
Итак,
\[
\exp (2 a t)=u \exp (2 \Lambda t) u^{-1}, \quad u^{-1}=u^{\prime} .
\]

Пусть $\Delta_{j}$ – нижний правый угловой минор порядка $j$ матрицы $\exp (2 a t)$.

Предложение 4.3.1. Решение уравнений движения (4.3.2) дается формулой
\[
q_{k}(t)=q_{k}(0)+\frac{1}{2} \ln \frac{\Delta_{n-k+1}(t)}{\Delta_{n-k}(t)} .
\]

Прежде чем переходить к доказательству этого предложения, рассмотрим простейшие свойства пространства $X$ – пространства вещественных симметрических положительно определенных матриц.

Пространство $X$ является однородным – на нем транзитивно действует группа $G=\operatorname{SL}(n, \mathbb{R})$ – группа вещественных унимодулярных матриц порядка $n$ :
\[
g: x \rightarrow g x g^{\prime}, \quad x \in X, \quad g \in G .
\]

Здесь $g^{\prime}$ – матрица, транспонированная матрице $g$.
Пусть $Z=\{z\}$ – подгруппа верхних треугольных матриц с единицами на главной диагонали, а $H$– подгруппа диагональных матриц в $G$. Тогда любую матрицу $x \in X$ можно представить в виде
\[
x=z(x) h^{2}(x) z^{\prime}(x), \quad h \in H, \quad z \in Z .
\]

Причем это разложение (так называемое разложение Гаусса) однозначно.

Таким образом, пара матриц $h(x), z(x)$ задает систему координат на $X$, называемую орисферической системой. В частности, для групы $\mathrm{SL}(2, \mathbb{R})$, локально изоморфной групе $\mathrm{SO}(2,1)$, эта система координат совпадает с орисферической системой координат $\exp q(x), z(x)$ на гиперболоиде. Координата $h(x)$ называется орисферической проекцией точки $x$.

Отметим также, что касательное пространство $T X$ к $X$ в единице $x_{0}=I$ совпадает с пространством симметрических матриц. Поэтому мы можем рассматривать вместо диагональных матрищ $h(x)$ соответствующие диагональные матрицы $q(x) \in T X, h(x)=\exp q(x)$.

Орисферическая проекция может быть легко найдена для любой матрицы $x \in X$. Для этого рассмотрим ее нижние угловые миноры $\Delta_{j}(x)$ порядка $j$. Из вида представления (4.3.9) следует, что *).
\[
h_{j}^{2}(x)=\frac{\Delta_{n-j+1}}{\Delta_{n-j}}, \quad \Delta_{0}=1, \quad h(x)=\operatorname{diag}\left(h_{1}, \ldots, h_{n}\right) .
\]

Пространство $X$ допускает лишь одну (с точностью до постоянного множителя) $G$-инвариантную риманову метрику
\[
d s^{2}=\operatorname{tr}\left(x^{-1} \cdot d x \cdot x^{-1} \cdot d x\right) .
\]

Движение по геодезическим в та̣кой метрике (геодезический поток) определяет динамику на кокасательном расслоении $T^{*} X$. Элемент пространства $T^{*} X$ – это-пара матриц ( $x, y$ ), где $x \in X, y \in T_{x}^{*} X$; ясно, что как касательное, так и кокасательное пространство в точке $x$ можно отождествить с пространством всех симметрических матриц $y$, удовлетворяющих условию $\operatorname{tr} x^{-1} y=0$ (как следствие условия $\operatorname{det} x=1$ ); спаривание между касательным и кокасательным векторами дается метрикой (4.3.11).

*) Доказательство этого утверждения можно найти, например, в [15].

Пространство $T^{*} X$ является симплектическим многообразием со стандартной 2-формой
\[
\omega=-\frac{1}{2} \operatorname{tr}\left(d y \wedge d\left(x^{-1}\right)\right)=\frac{1}{2} \operatorname{tr}\left(x^{-1} d y \wedge x^{-1} \cdot d x\right),
\]

причем эта форма инвариантна относительно действия группы $G$ на $T^{*} X$ (см. раздел 3.7) :
\[
g: x \rightarrow g x g^{\prime}, \quad y \rightarrow g y g^{\prime} .
\]

Заметим, что форма $\omega$ является точной,
\[
\omega=d \theta,
\]

где
\[
\theta=-\operatorname{tr}\left(y d\left(x^{-1}\right)\right)=\operatorname{tr}\left(y x^{-1} \cdot d x \cdot x^{-1}\right) .
\]

Зададим на $T^{*} X$ функцию $H(x, y)$ – гамильтониан. Это определяет гамильтонов поток на $T^{*} X$ :
\[
\frac{d}{d t} y=\frac{\partial H}{\partial\left(x^{-1}\right)}, \quad \frac{d}{d t}\left(x^{-1}\right)=-\frac{\partial H}{\partial y} .
\]

Здесь $\partial H / \partial y$ – матрица, определяемая равенством
\[
\left(\frac{\partial H}{\partial y}\right)_{j k}=\left(\frac{\partial H}{\partial y}\right)_{k j} .
\]

Из уравнения (4.3.11) следует, что геодезический поток на $T^{*} X$ задается гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2} \operatorname{tr}\left(y x^{-1} y x^{-1}\right) .
\]

Очевидно, что этот гамильтониан инвариантен относительно преобразований (4.3.13), а уравнения движения имеют вид
\[
\dot{x}=y, \quad \dot{y}=y x^{-1} y .
\]

Нетрудно видеть, что эта система эквивалентна уравнению
\[
\frac{d}{d t}\left(\dot{x} x^{-1}\right)=0 \text {. }
\]

Его решения определяют геодезические в пространстве $X$ и имеют простой вид
\[
x(t)=b \exp (2 a t) b^{\prime} .
\]

Здесь $b \in G=\mathrm{SL}(n, \mathrm{RR}), a \in T_{e} X$ ( $T_{e} X$ – касательное пространство в точке $e=I$ – единичная матрица), $a^{\prime}=a, \operatorname{tr} a=0$.
Из (4.3.19) следует, что интегралами движения являются величины
\[
I_{k}=\frac{1}{k} \operatorname{tr}\left(y x^{-1}\right)^{k}, \quad k=2, \ldots, n .
\]

Все они находятся в инволюции и функционально независимы.
Теперь мы можем перейти к доказательству предложения 4.3.1, которое сформулируем в эквивалентной форме.
Предложение 4.3.2. После орисферической проекции
\[
x(t) \rightarrow h(t)=\exp Q(x(t))
\]

геодезического потока (4.3.21) мы получаем задачу о движении цепочки Тоды.

Доказательство. Пусть $x(t)$ – геодезическая в пространстве $X$ и $h(t)=\exp Q(t), z(t)$ – орисферические координаты $x(t)$ :
\[
x(t)=z(t) \exp (2 Q(t)) z^{\prime}(t) .
\]

Вычисляя величину $\dot{x} x^{-1}$, получаем
\[
\begin{array}{l}
\dot{x} x^{-1}=z\left\{z^{-1} \dot{z}+2 P+\exp (2 Q) \ddot{z}^{\prime}\left(z^{\prime}\right)^{-1} \exp (-2 Q)\right\} z^{-1}, \\
P=\dot{Q}, P=\operatorname{diag}\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right) .
\end{array}
\]

Введем обозначения
\[
\begin{array}{l}
\tilde{M}=z^{-1} \dot{z}, M=\exp (2 Q) \tilde{M}^{\prime} \exp (-2 Q), \\
\tilde{L}=P+\frac{1}{2} M+\frac{1}{2} \tilde{M} .
\end{array}
\]

Здесь $\tilde{M}$ (соответственно $M$ ) является строго верхней (соответственно нижней) треугольной матрицей. Мы имеем
\[
\dot{x} x^{-1}=2 z \tilde{L}_{z}^{-1} \text {. }
\]

Дифференцирование этого уравнения по времени дает
\[
\frac{d}{d t}\left(\dot{x} x^{-1}\right)=2 z(\tilde{L}+[\tilde{M}, \tilde{L}]) z^{-1} \text {. }
\]

Мы видим, что если матрицы $\tilde{L}, \tilde{M}$ связаны соотношением (4.3.27), то уравнение Лакса
\[
\tilde{L}=[\tilde{L}, \tilde{M}]
\]

эквивалентно уравнению для геодезических (4.3.20). Ясно, что пара Лакса $\left(4.1 .4^{\prime}\right)$, (4.1.5′) для цепочки Тоды удовлетворяет (4.1.27). Остается найти параметры геодезических, которые проектируются в поток Тоды. Без потери общности мы можем предположить, что матрица $b$ диагональна, так что $z(0)=I$. Тогда
\[
b=\exp Q^{0}, Q^{0}=\operatorname{diag}\left(q_{1}(0), \ldots, q_{n}(0)\right),
\]

и из (4.3.27) мы имеем
\[
\widetilde{L^{0}}=b a b^{-1} \text {. }
\]

Следовательно, $\tilde{L}$ имеет вид (4.1.4′) в том и только в том случае, когда матрица $a$ дается формулой (4.3.3).

Поскольку уравнения Гамильтона для цепочки Тоды эквивалентны уравнению Лакса, предположение 4.3.2 доказано.

Остается записать явные формулы для $Q(t)$, определяющей координаты системы. Для определения матрицы $P(t)$ нам нужна лишь вторая орисферическая координата $z(x)$, которая выражается через миноры матрицы $\exp (2 a t)$, не являющиеся главными.

Наконец, прокомментируем соотношение между методом проектирования и теоремой 1.12 .7 о факторизации. Пусть $L^{0}=a$ – симметричная матрица Лакса в начальной момент времени. Теорема о факторизации утверждает, что если
\[
\exp \left(t L^{0}\right)=g(t) k(t)
\]

представляет факторизацию матрицы $\exp \left(t L^{0}\right)$ в произведение ортогональной матрицы $k(t)$ и верхней треугольной матрицы $g(t)$, то
\[
L(t)=g^{-1}(t) L^{0} g(t) .
\]

Полагая $g(t)=z_{1}(t) d(t)$, где $z_{1}(t) \in Z$, а $d(t)$ – диагональная матрица, из (4.3.33) получаем
\[
\exp Q(t)=d(t) \exp Q^{0} .
\]

С другой стороны, умножая матрицы в уравнении (4.3.32) на матрицы транспонированные, получаем
\[
\exp \left(2 t L^{0}\right)=g g^{\prime} .
\]

Сравнивая это уравнение с уравнениями (4.3.21) и (4.3.24) и вспоминая, что $b=\exp Q^{0}$, получаем
\[
\begin{array}{l}
g(t)=\exp \left(-Q^{0}\right) z(t) \exp Q(t), \\
d(t)=\exp \left(Q(t)-Q^{0}\right), \\
z_{1}(t)=\exp \left(-Q^{0}\right) z(t) \exp \left(Q^{0}\right),
\end{array}
\]

так что факторизации (4.3.24) и (4.3.32) дают по существу один и тот же метод решения уравнений движения для цепочки Тоды.