Как было показано в разделе 4.1, цепочка Тоды является вполне интегрируемой гамильтоновой системой. Однако явное интегрирование уравнений движения таких систем является далеко не простой задачей, и ее удается осуществить лишь в редких случаях. Здесь мы, следуя [256, 97], покажем, что к данному случаю можно применить метод проектирования (см. раздел 1.9, где был исследован простейший случай двух частиц) и проинтегрировать с его помощью уравнения движения явно. Несколько иным способом эти результаты были получены в $[222,182]$.

Идея состоит в рассмотрении геодезического потока на пространстве $X=\{x\}$ вещественных симметрических положительно определенных матриц. Так называемая орисферическая проекция этого потока и дает решение уравнений движения для цепочки Тоды.
Напомним, что обычная цепочка Тоды описывается гамильтонианом
$$H=\frac{1}{2}\sum _{j=1}^n{p}_j^2+\sum _{j=1}^{n-1}\exp \left[2(q_j-q_{j+1})\right]\text{. }$$

Уравнения движения такой системы имеют вид
$$\begin{array}{l}{\dot{q}}_j=p_j,{\dot{p}}_1=-2\exp \left[2(q_1-q_2)\right],{\dot{p}}_n=2\exp \left[2(q_{n-1}-q_n)\right],\\ {\dot{p}}_j=2\exp \left[2(q_{j-1}-q_j)\right]-2\exp \left[2(q_j-q_{j+1})\right],1<j<n.\end{array}$$

Ниже будет показано, что решение этих уравнений дается следующей конструкцией $[256,222]$.

Пусть $a=L(p^0,q^0)$ — матрица Якоби, зависящая от начальных $(t=0)$ данных $p^0=p(0)$ и $q^0=q(0)$ :
$$a_{jk}=p_j^0{\delta }_{jk}+\exp (q_{j-1}^0-q_j^0){\delta }_{j,k+1}+\exp (q_j^0-q_{j+1}^0){\delta }_{j,k-1}.$$

Образуем матрицу $\exp (2at)$. Для ее конструктивного построения удобно привести матрицу $a$ к диагональному виду
$$\begin{array}{l}{u}^{-1}au=\mathrm{\Lambda },a=u\mathrm{\Lambda }{u}^{-1},\\ \mathrm{\Lambda }=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n),\sum _{j=1}^n{\lambda }_j=0.\end{array}$$

Отметим, что величины ${\lambda }_j$ являются корнями уравнения степени $n$.
$$\det (\lambda I-a)=0\text{. }$$

Знание величин ${\lambda }_j$ позволяет найти матрицу $u$ с помощью линейных операций, а именно $j$-й столбец этой матрицы является нормированным собственным вектором матрицы $a$, соответствующим собственному значению ${\lambda }_j$.
Итак,
$$\exp (2at)=u\exp (2\mathrm{\Lambda }t)u^{-1},u^{-1}=u^{\prime }.$$

Пусть ${\mathrm{\Delta }}_j$ — нижний правый угловой минор порядка $j$ матрицы $\exp (2at)$.

Предложение 4.3.1. Решение уравнений движения (4.3.2) дается формулой
$$q_k(t)=q_k(0)+\frac{1}{2}\ln \frac{{\mathrm{\Delta }}_{n-k+1}(t)}{{\mathrm{\Delta }}_{n-k}(t)}.$$

Прежде чем переходить к доказательству этого предложения, рассмотрим простейшие свойства пространства $X$ — пространства вещественных симметрических положительно определенных матриц.

Пространство $X$ является однородным — на нем транзитивно действует группа $G=\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$ — группа вещественных унимодулярных матриц порядка $n$ :
$$g:x\to gx{g}^{\prime },x\in X,g\in G.$$

Здесь $g^{\prime }$ — матрица, транспонированная матрице $g$.
Пусть $Z=\{z\}$ — подгруппа верхних треугольных матриц с единицами на главной диагонали, а $H$— подгруппа диагональных матриц в $G$. Тогда любую матрицу $x\in X$ можно представить в виде
$$x=z(x)h^2(x)z^{\prime }(x),h\in H,z\in Z.$$

Причем это разложение (так называемое разложение Гаусса) однозначно.

Таким образом, пара матриц $h(x),z(x)$ задает систему координат на $X$, называемую орисферической системой. В частности, для групы $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$, локально изоморфной групе $\mathrm{SO}(2,1)$, эта система координат совпадает с орисферической системой координат $\exp q(x),z(x)$ на гиперболоиде. Координата $h(x)$ называется орисферической проекцией точки $x$.

Отметим также, что касательное пространство $TX$ к $X$ в единице $x_0=I$ совпадает с пространством симметрических матриц. Поэтому мы можем рассматривать вместо диагональных матрищ $h(x)$ соответствующие диагональные матрицы $q(x)\in TX,h(x)=\exp q(x)$.

Орисферическая проекция может быть легко найдена для любой матрицы $x\in X$. Для этого рассмотрим ее нижние угловые миноры ${\mathrm{\Delta }}_j(x)$ порядка $j$. Из вида представления (4.3.9) следует, что *).
$$h_j^2(x)=\frac{{\mathrm{\Delta }}_{n-j+1}}{{\mathrm{\Delta }}_{n-j}},{\mathrm{\Delta }}_0=1,h(x)=\mathrm{diag}(h_1,\dots ,h_n).$$

Пространство $X$ допускает лишь одну (с точностью до постоянного множителя) $G$-инвариантную риманову метрику
$$d{s}^2=\mathrm{tr}(x^{-1}\cdot dx\cdot x^{-1}\cdot dx).$$

Движение по геодезическим в та̣кой метрике (геодезический поток) определяет динамику на кокасательном расслоении $T^{\ast }X$. Элемент пространства $T^{\ast }X$ — это-пара матриц ( $x,y$ ), где $x\in X,y\in T_x^{\ast }X$; ясно, что как касательное, так и кокасательное пространство в точке $x$ можно отождествить с пространством всех симметрических матриц $y$, удовлетворяющих условию $\mathrm{tr}{x}^{-1}y=0$ (как следствие условия $\det x=1$ ); спаривание между касательным и кокасательным векторами дается метрикой (4.3.11).

*) Доказательство этого утверждения можно найти, например, в [15].

Пространство $T^{\ast }X$ является симплектическим многообразием со стандартной 2-формой
$$\omega =-\frac{1}{2}\mathrm{tr}(dy\wedge d\left(x^{-1}\right))=\frac{1}{2}\mathrm{tr}(x^{-1}dy\wedge x^{-1}\cdot dx),$$

причем эта форма инвариантна относительно действия группы $G$ на $T^{\ast }X$ (см. раздел 3.7) :
$$g:x\to gx{g}^{\prime },y\to gy{g}^{\prime }.$$

Заметим, что форма $\omega$ является точной,
$$\omega =d\theta ,$$

где
$$\theta =-\mathrm{tr}\left(yd\left(x^{-1}\right)\right)=\mathrm{tr}(y{x}^{-1}\cdot dx\cdot x^{-1}).$$

Зададим на $T^{\ast }X$ функцию $H(x,y)$ — гамильтониан. Это определяет гамильтонов поток на $T^{\ast }X$ :
$$\frac{d}{dt}y=\frac{\partial H}{\partial \left(x^{-1}\right)},\frac{d}{dt}\left(x^{-1}\right)=-\frac{\partial H}{\partial y}.$$

Здесь $\partial H/\partial y$ — матрица, определяемая равенством
$${\left(\frac{\partial H}{\partial y}\right)}_{jk}={\left(\frac{\partial H}{\partial y}\right)}_{kj}.$$

Из уравнения (4.3.11) следует, что геодезический поток на $T^{\ast }X$ задается гамильтонианом
$$H=\frac{1}{2}\mathrm{tr}\left(y{x}^{-1}y{x}^{-1}\right).$$

Очевидно, что этот гамильтониан инвариантен относительно преобразований (4.3.13), а уравнения движения имеют вид
$$\dot{x}=y,\dot{y}=y{x}^{-1}y.$$

Нетрудно видеть, что эта система эквивалентна уравнению
$$\frac{d}{dt}\left(\dot{x}{x}^{-1}\right)=0\text{. }$$

Его решения определяют геодезические в пространстве $X$ и имеют простой вид
$$x(t)=b\exp (2at)b^{\prime }.$$

Здесь $b\in G=\mathrm{SL}(n,\mathrm{RR}),a\in T_{e}X$ ( $T_{e}X$ — касательное пространство в точке $e=I$ — единичная матрица), $a^{\prime }=a,\mathrm{tr}a=0$.
Из (4.3.19) следует, что интегралами движения являются величины
$$I_k=\frac{1}{k}\mathrm{tr}{\left(y{x}^{-1}\right)}^k,k=2,\dots ,n.$$

Все они находятся в инволюции и функционально независимы.
Теперь мы можем перейти к доказательству предложения 4.3.1, которое сформулируем в эквивалентной форме.
Предложение 4.3.2. После орисферической проекции
$$x(t)\to h(t)=\exp Q(x(t))$$

геодезического потока (4.3.21) мы получаем задачу о движении цепочки Тоды.

Доказательство. Пусть $x(t)$ — геодезическая в пространстве $X$ и $h(t)=\exp Q(t),z(t)$ — орисферические координаты $x(t)$ :
$$x(t)=z(t)\exp (2Q(t))z^{\prime }(t).$$

Вычисляя величину $\dot{x}{x}^{-1}$, получаем
$$\begin{array}{l}\dot{x}{x}^{-1}=z\{z^{-1}\dot{z}+2P+\exp (2Q){\ddot{z}}^{\prime }{\left(z^{\prime }\right)}^{-1}\exp (-2Q)\}{z}^{-1},\\ P=\dot{Q},P=\mathrm{diag}(p_1,\dots ,p_n).\end{array}$$

Введем обозначения
$$\begin{array}{l}\tilde{M}=z^{-1}\dot{z},M=\exp (2Q){\tilde{M}}^{\prime }\exp (-2Q),\\ \tilde{L}=P+\frac{1}{2}M+\frac{1}{2}\tilde{M}.\end{array}$$

Здесь $\tilde{M}$ (соответственно $M$ ) является строго верхней (соответственно нижней) треугольной матрицей. Мы имеем
$$\dot{x}{x}^{-1}=2z{\tilde{L}}_z^{-1}\text{. }$$

Дифференцирование этого уравнения по времени дает
$$\frac{d}{dt}\left(\dot{x}{x}^{-1}\right)=2z(\tilde{L}+[\tilde{M},\tilde{L}])z^{-1}\text{. }$$

Мы видим, что если матрицы $\tilde{L},\tilde{M}$ связаны соотношением (4.3.27), то уравнение Лакса
$$\tilde{L}=[\tilde{L},\tilde{M}]$$

эквивалентно уравнению для геодезических (4.3.20). Ясно, что пара Лакса $\left(4.1{.4}^{\prime }\right)$, (4.1.5′) для цепочки Тоды удовлетворяет (4.1.27). Остается найти параметры геодезических, которые проектируются в поток Тоды. Без потери общности мы можем предположить, что матрица $b$ диагональна, так что $z(0)=I$. Тогда
$$b=\exp Q^0,Q^0=\mathrm{diag}(q_1(0),\dots ,q_n(0)),$$

и из (4.3.27) мы имеем
$$\widetilde{L^0}=ba{b}^{-1}\text{. }$$

Следовательно, $\tilde{L}$ имеет вид (4.1.4′) в том и только в том случае, когда матрица $a$ дается формулой (4.3.3).

Поскольку уравнения Гамильтона для цепочки Тоды эквивалентны уравнению Лакса, предположение 4.3.2 доказано.

Остается записать явные формулы для $Q(t)$, определяющей координаты системы. Для определения матрицы $P(t)$ нам нужна лишь вторая орисферическая координата $z(x)$, которая выражается через миноры матрицы $\exp (2at)$, не являющиеся главными.

Наконец, прокомментируем соотношение между методом проектирования и теоремой 1.12 .7 о факторизации. Пусть $L^0=a$ — симметричная матрица Лакса в начальной момент времени. Теорема о факторизации утверждает, что если
$$\exp \left(t{L}^0\right)=g(t)k(t)$$

представляет факторизацию матрицы $\exp \left(t{L}^0\right)$ в произведение ортогональной матрицы $k(t)$ и верхней треугольной матрицы $g(t)$, то
$$L(t)=g^{-1}(t)L^{0}g(t).$$

Полагая $g(t)=z_1(t)d(t)$, где $z_1(t)\in Z$, а $d(t)$ — диагональная матрица, из (4.3.33) получаем
$$\exp Q(t)=d(t)\exp Q^0.$$

С другой стороны, умножая матрицы в уравнении (4.3.32) на матрицы транспонированные, получаем
$$\exp \left(2t{L}^0\right)=g{g}^{\prime }.$$

Сравнивая это уравнение с уравнениями (4.3.21) и (4.3.24) и вспоминая, что $b=\exp Q^0$, получаем
$$\begin{array}{l}g(t)=\exp (-Q^0)z(t)\exp Q(t),\\ d(t)=\exp (Q(t)-Q^0),\\ z_1(t)=\exp (-Q^0)z(t)\exp \left(Q^0\right),\end{array}$$

так что факторизации (4.3.24) и (4.3.32) дают по существу один и тот же метод решения уравнений движения для цепочки Тоды.