Как видно из раздела 2.3, для систем Лиувилля и Штеккеля возможность решения задачи методом разделения переменных связана с существованием $n$ интегралов движения, квадратичных по импульсам и находящихся в инволюции. Существуют, однако, системы, обладающие меньшим числом квадратичных интегралов движения.
A. Системы с двумя степенями свободы. Пусть система описывается гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2}\left(a_{1}\left(q_{1}, q_{2}\right) p_{1}^{2}+a_{2}\left(q_{1}, q_{2}\right) p_{2}^{2}\right)+U\left(q_{1}, q_{2}\right)
\]

и обладает квадратичным интегралом движения вида
\[
I=\frac{1}{2}\left(b_{1}\left(q_{1}, q_{2}\right) p_{1}^{2}+b_{2}\left(q_{1}, q_{2}\right) p_{2}^{2}\right)+V\left(q_{1}, q_{2}\right) .
\]

Условие, что $I$ является интегралом движения,
\[
\{H, I\}=0,
\]

эквивалентно уравнениям:
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{a_{j}} \frac{\partial a_{j}}{\partial q_{j}}=\frac{1}{b_{j}} \frac{\partial b_{j}}{\partial q_{j}}, \quad j=1,2, \\
a_{1} \frac{\partial b_{2}}{\partial q_{1}}=b_{1} \frac{\partial a_{2}}{\partial q_{1}}, \quad a_{2} \frac{\partial b_{1}}{\partial q_{2}}=b_{2} \frac{\partial a_{1}}{\partial q_{2}}, \\
a_{j} \frac{\partial V}{\partial q_{j}}=b_{j} \frac{\partial V}{\partial q_{j}}, \quad j=1,2 .
\end{array}
\]

Решая эти уравнения, получаем или тривиальное решение
\[
b_{j}=\alpha a_{j}, \quad V=\alpha U+\beta,
\]

где $\alpha$ и $\beta$ – постоянные, или же решение
\[
a_{j}=\frac{d_{j}\left(q_{j}\right)}{c_{1}\left(q_{1}\right)+c_{2}\left(q_{2}\right)}, j=1,2, \quad U\left(q_{1}, q_{2}\right)=\frac{U_{1}+U_{2}}{c_{1}+c_{2}} .
\]

В последнем случае гамильтониан $H$ имеет вид Лиувилля и, следовательно, уравнения движения интегрируются методом разделения переменных.
Интеграл движения имеет вид
\[
I=\left[c_{2}\left(q_{2}\right)+c_{1}\left(q_{1}\right)\right]^{-1}\left\{\frac{1}{2}\left(c_{2} d_{1} p_{1}^{2}-c_{1} d_{2} p_{2}^{2}\right)+c_{2} U_{1}-c_{1} U_{2}\right\} .
\]

Функции $c_{j}, d_{j}$ и $U_{j}$ зависят лишь от переменной $q_{j}$ и произвольны. Переходя к рассмотрению системы с большим числом степеней свободы, отметим, что в работе ди Пирро [268] были указаны примеры систем с $n$ степенями свободы, которые обладают любым числом $r$ квадратичных интегралов движения ( $1 \leqslant r \leqslant n-1$ ).
Б. Системы с тремя степенями свободы. Здесь мы рассмотрим лишь случай $n=3$. В работе [268] была доказана следующая
Т еорем 2.4.1. Система с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{3} a_{j}\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\right) p_{j}^{2}+U\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\right)
\]

допускает дополнительные квадратичные интегралы движения в двух случаях.
1. Существуют два дополнительных квадратичных ортогональных интеграла *) . В этом случае система является системой Штеккеля
\[
H=\Sigma A_{j 1}\left(\frac{1}{2} p_{j}^{2}+U_{j}\left(q_{j}\right)\right),
\]

где $A_{j k}$ – матрица обратная к матрице $B_{j k}$ и $B_{j k}=B_{j k}\left(q_{j}\right)$.
2. Существует лишь один квадратичный ортогональный интеграл. В этом случае
\[
2 T=\left(c_{12}\left(q_{1}, q_{2}\right)+c_{3}\left(q_{3}\right)\right)^{-1}\left(a_{1}\left(q_{1}, q_{2}\right) p_{1}^{2}+a_{2}\left(q_{1}, q_{2}\right) p_{2}^{2}+a_{3}\left(q_{3}\right) p_{3}^{2}\right),
\]

а дополнительный интеграл движения имеет вид
\[
2 T_{1}=\left(c_{12}\left(q_{1} q_{2}\right)+c_{3}\left(q_{3}\right)\right)\left(c_{3}\left(a_{1} p_{1}^{2}+a_{2} p_{2}^{2}\right)-c_{12} a_{3} p_{3}^{2}\right) .
\]

Мы не будем приводить здесь остальных результатов ди Пирро, посколь-
*) Под ортогональным интегралом мы понимасм интеграл, не содержащий слагаемых вида $a_{i j} p_{i} p_{j}, i
eq j$. Заметим, что сушествуют также системы, обладающие квадратичными, но неортогональными интегралами. Примером такой системы является система с $H$ вида
\[
H=\frac{1}{2}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right)+\lambda_{1} q_{1}^{2}+\lambda_{2} q_{2}^{2}+\left(q_{1}^{2}+q_{2}^{2}\right)^{2} .
\]

ку они были значительно обобщены Пенлеве [260], к изложению работы которого мы переходим.
B. Система с п степенями свободы. Гамильтониан рассматриваемой системы имеет вид
\[
H=\frac{1}{2} \Sigma a_{j k}\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right) p_{j} p_{k}+U\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right),
\]

однако на него накладываются дальнейшие ограничения.
Представим число $n$ в виде суммы $r$ положительных целых чисел
\[
n=i+j+\ldots+l+m
\]

и соответственно разобьем координаты $q_{1}, \ldots, q_{n}$ на $r$ групп
\[
\left(q_{1} \ldots q_{i}\right),\left(q_{i+1} \ldots q_{i+j}\right), \ldots
\]

Пусть
\[
\mathscr{J}_{1}\left(q_{1} \ldots q_{i}, \dot{q}_{1} \ldots \dot{q}_{i}\right), \quad \mathscr{J}_{2}\left(q_{i+1} \ldots q_{i+j}, \dot{q}_{i+1} \ldots \dot{q}_{i+j}\right), \ldots
\]
– произвольные функции от переменных в соответствующей группе, квадратичные по этим переменным.
Построим матрицу $B$ порядка $r$ :
\[
B=\left|\begin{array}{cccc}
b_{1}^{1}\left(q_{1} \ldots q_{i}\right) & b_{2}^{1}\left(q_{i+1} \ldots q_{i+j}\right) & \ldots & b_{r}^{1}\left(\ldots q_{n}\right) \\
\ldots \ldots \ldots & \ldots \ldots \ldots & \ldots \ldots & \ldots \ldots \\
b_{1}^{r}\left(q_{1} \ldots q_{i}\right) & b_{2}^{r}\left(q_{i+1} \ldots q_{i+j}\right) & \ldots & b_{r}^{r}\left(\ldots q_{n}\right)
\end{array}\right| .
\]

Пусть $A=\left[a_{\alpha \beta}\right] \quad(\alpha, \beta=1, \ldots, r)$ – матрица, обратная к матрице $B$, и
\[
H=H_{1}=\sum_{\alpha} a_{\alpha 1}\left(\mathscr{J}_{\alpha}+U_{\alpha}(q)\right),
\]
\[
U_{1}=U\left(q_{1}, \ldots, q_{i}\right), \quad U_{2}=U_{2}\left(q_{i+1}, \ldots, q_{i+j}\right), \ldots
\]

Тогда построенная гамильтонова система допускает $r$ квадратичных интегралов движения $H_{\beta}$ (включая гамильтониан), имеющих вид
\[
H_{\beta}=\sum_{\alpha} a_{\alpha \beta}\left(\mathscr{J}_{\alpha}+U_{\alpha}(q)\right) ; \quad \beta=1, \ldots, r .
\]

Все эти интегралы находятся в инволюции.
Уравнение Гамильтона-Якоби
\[
\begin{array}{l}
H\left(p_{j}, q_{k}\right)=E, \quad p_{j}=\frac{\partial W}{\partial q_{j}}, \quad w=w_{1}+\ldots+w_{r}, \\
W_{1}=w_{1}\left(q_{1} \ldots q_{r}\right), \quad W_{2}=w_{2}\left(q_{i+1} \ldots q_{i+j}\right), \ldots
\end{array}
\]

эквивалентно следующей системе уравнений:
\[
\begin{array}{l}
\mathscr{J}_{1}\left(\frac{\partial W_{1}}{\partial q_{1}} \ldots \frac{\partial W_{1}}{\partial q_{i}}, q_{1}, \ldots, q_{i}\right)+U_{1}=C_{1} b_{1}^{1}+\ldots+C_{r} b_{1}^{r}, \\
\mathscr{J}_{r}\left(\ldots \frac{\partial W_{r}}{\partial q_{n}}, \ldots q_{n}\right)+U_{r}=C_{1} b_{r}^{1}+\ldots+C_{r} b_{r}^{r} . \\
\end{array}
\]

При этом, если все числа $i, j, \ldots, m$ равны единице, $r=n$, мы получаем случай Штеккеля; если же равны единице все числа, кроме первого, то мы приходим к случаю ди Пирро.

Отметим еще работу Леви-Чивита [235], в которой был найден критерий существования квадратичного интеграла вида
\[
I=\frac{1}{2} \Sigma \alpha_{j k}(q) p_{j} p_{k}
\]

для гамильтоновой системы с
\[
H=\frac{1}{2} \Sigma a_{j k} p_{j} p_{k} .
\]

Этот критерий довольно сложен и мы его здесь не приводим.
В заключение этого раздела отметим, что существуют системы, не обладающие квадратичными интегралами движения, но имеющие интегралы движения более высоких степеней по импульсам (см. примеры в разделе 2.2). Уравнения движения таких систем методом разделения переменных проинтегрировать не удается, и для их интегрирования приходится использовать более сложные методы (первые примеры такого интегрирования можно найти в работах Вебера [302], С. Ковалевской [224, 225] и Гарнье [178]).