Рассмотрим, следуя [266], две классичесқие динамические системы типа I и $\mathrm{V}$, но с гамильтонианом $\tilde{H}$, зависящим от времени:
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} p_{j}^{2}+U(q), \quad q=\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)
\]

и
\[
\tilde{H}=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n}\left(p_{j}^{2}+\omega^{2}(t) q_{j}^{2}\right)+\kappa(t) U(\dot{q}) .
\]

Относительно потенциала $U(q)$ предположим лишь, что $U(q)$ является однородной функцией степени $k$ :
\[
U(\lambda q)=\lambda^{k} U(q) .
\]

Пусть $q(t)$ и $\tilde{q}(t)$ – решения уравнений движения для соответствующи х систем:
\[
\begin{array}{l}
\ddot{q}_{j}=F_{j}(q), \quad F_{j}(q)=-\partial U / \partial q_{j}, \\
\ddot{\tilde{q}}_{j}=\kappa(t) F_{j}(\tilde{q})-\omega^{2} \tilde{q}_{j} .
\end{array}
\]

Оказывается, что при дополнительном предположении относительно функции $\kappa(t)$ между этими решениями существует простое соотношение. Для нахождения этого соотношения рассмотрим уравнение
\[
\ddot{\alpha}+\omega^{2}(t) \alpha=0
\]

и пусть $\alpha_{1}(t)$ и $\alpha_{2}(t)$ – два линейно независимых решения (3.4.6).
Определим функцию $\beta(t)$ формулой
\[
\beta(t)=c \alpha_{2}(t) / \alpha_{1}(t)=c \int \alpha_{1}^{-2}\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime}
\]

и предположим, что функция $к(t)$ имеет вид
\[
\kappa(t)=c^{2}\left[\alpha_{1}(t)\right]^{-(k+2)} .
\]

Тогда справедливо следующее
Утв ерждение. Если $q(t)$ – решение уравнения (3.4.4), то
$\tilde{q}(t)=\alpha_{1}(t) q(\beta(t))$
является решением уравнения (3.4.5) .
Для доказательства этого утверждения надо подставить $\tilde{q}(t)$ в виде (3.4.9) в (3.4.5) и учесть соотношения (3.4.4) и (3.4.6) – (3.4.8) .

Таким образом, решение более сложной системы (3.4.5) сводится к решению более простой системы (3.4.4).

Приведем несколько простых следствий из сформулированного выше утверждения.
1. Если $U(q)$ – однородная функция степени $k=-2$, то, полагая $c=$ $=1$, мы получаем $\kappa(t) \equiv 1$ и, следовательно, величины
\[
\tilde{q}(t)=\alpha_{1}(t) q_{j}(\beta(t))
\]

являются решением уравнений движения гамильтоновой системы $c$
\[
\tilde{H}=\frac{1}{2} \sum_{j}\left(\tilde{p}_{j}^{2}+\omega^{2} \tilde{q}_{j}^{2}\right)+U(\tilde{q}) .
\]
2. Пусть потенциал $U(\tilde{q})$ в (3.4.11) имеет вид
\[
U(q)=\sum_{j<k}\left(q_{j}-q_{k}\right)^{-2} .
\]

Тогда, как было показано в предыдущем разделе, при $\omega(t)$, не зависящем от времени, координаты $q_{j}(t)$ рассматриваемой системы даются формулой (3.3.25).

В случае же частоты $\omega(t)$, зависящей от времени, координаты $q_{j}(t)$ являются собственными значениями матрицы
\[
\alpha_{1}(t) Q(0)+\alpha_{2}(t) L(0)
\]

где
\[
\begin{array}{l}
Q=\operatorname{diag}\left[q_{1}, \ldots, q_{n}\right], \\
L_{j k}=\delta_{j k}+i\left(1-\delta_{j k}\right)\left(q_{j}-q_{k}\right)^{-1},
\end{array}
\]

а $\alpha_{1}(t)$ и $\alpha_{2}(t)$ – решения уравнения (3.4.6), удовлетворяющие начальным условиям
\[
\alpha_{1}(0)=1, \dot{\alpha}_{1}(0)=0 ; \quad \alpha_{2}(0)=0, \dot{\alpha}_{2}(0)=1 .
\]

В частности, в случае постоянной частоты получается формула (3.3.27).
3. Пусть $\tilde{q}(t)=q^{0}$ – положение равновесия системы (3.4.11) с $\omega(t)=$ $=$ const. Тогда
\[
q(t)=\sqrt{a^{2}+b^{2} t^{2}} \cdot q^{0}, \quad b=\omega / a,
\]
– автомодельное решение системы с $H$ вида (3.4.1).
4. Если $\alpha_{1}(t)=t, \alpha_{2}(t)=1$, то $\omega=0$ и мы получаем решение системы (3.4.5) с $\omega=0$ и $U(q)$ вида
\[
U(q, t)=b t^{-(k+2)} U_{k}(q), \quad U_{k}(\lambda q)=\lambda^{k} U_{k}(q) .
\]

В частности, при $k=-1$ получается решение для \”кулоновского\” случая
\[
U(q, t)=b t^{-1} U_{-1}(q) .
\]