В настоящем разделе будет показано, следуя работе [217], что результаты разделов 3.3 и 3.5 можно получить методом редукции гамильтоновых систем с симметриями (см. раздел 1.7). Характерной чертой такого подхода является то, что здесь не используется представление Лакса для уравнений движения; напротив, это представление получается из геометрических соображений. В изложении результатов мы следуем работам [25, $60]$.
A. Системы типа I и V. Рассмотрим динамическую систему, конфигурационным пространством которой является пространство $X^{0}=\{x\}-$ пространство эрмитовых матриц порядка $n \times n$ или, иными словами, алгебра Ли группы $\mathrm{U}(n)$. Фазовым пространством такой системы является кокасательное расслоение $T^{*} X^{0}$. Отождествляя $\left(\dot{X}^{0}\right)^{*}$ и $X^{0}$ с помощью стандартного скалярного произведения $\left(x_{1}, x_{2}\right)=\operatorname{tr}\left(x_{1}, x_{2}\right)$ в пространстве $X^{0}$, заметим, что величина $\operatorname{tr}\left(x_{1}, x_{2}\right)$ вещественна и мы можем рассматривать элемент $T * X^{0}$ как пару эрмитовых матриц $x$ и $y$ :
\[
T^{*} X^{0}=\left\{(x, y): x, y \in X^{0}\right\} .
\]

Обозначим через $\theta$ каноническую 1-форму на пространстве $T^{*} X^{0}$ :
\[
\theta=\operatorname{tr}(y d x) \text {. }
\]

Соответствующая ей 2-форма
\[
\omega=d \theta=\operatorname{tr}(d y \wedge d x)
\]

определяет симплектическую структуру пространства $T^{*} X^{0}$.

Гамильтонова система на $T^{*} X^{0}$ с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2} \operatorname{tr}\left(y^{2}\right)
\]

описывает геодезический поток на $X^{0}$ :
\[
\begin{array}{l}
\dot{y}=0, \quad \dot{x}=y, \\
x(t)=b+a t, \quad y(t)=a .
\end{array}
\]

Рассматриваемая система инвариантна относительно точного симплектического действия группы $G=\mathrm{U}(n)$ :
\[
(x, y) \rightarrow\left(g x g^{+}, g y g^{+}\right) .
\]

Преобразование (3.7.7) с $g=g(t)=\exp (a t), a \in \mathscr{G}(\mathscr{G}$ — алгебра Ли группы $G$ ), порождает векторное поле на $T^{*} X^{0}$ :
\[
(x, y) \mapsto([\xi, x],[\xi, y]) .
\]

Это векторное поле гамильтоново и порождается гамильтонианом
\[
F(x, y ; \xi)=\operatorname{tr}(y[\xi, x])=\operatorname{tr}(\xi[x, y]) .
\]

Мы приходим, таким образом, к отображению момента $\varphi$ из фазового пространства $T^{*} X^{0}$ в пространство $\mathscr{G}^{*}$, дуальное алгебре Ли $\mathscr{G}$, которое мы уже отождествили с алгеброй эрмитовых матриц
\[
\varphi:(x, y) \mapsto \mu=i[x, y] \text {. }
\]

Напомним, что, в силу инвариантности гамильтониана $H$ относительно действия группы $G=\mathrm{U}(n)$, момент $\mu$ является сохраняющейся величиной.
Следуя работе [217], возьмем в качестве $\mu=c$ матрицу вида
\[
c=\left[c_{i j}\right], \quad c_{i j}=1-\delta_{i j} .
\]

Как мы уже видели в разделе 3.3, \»момент количества движения\» для геодезических, которые проектируются в траектории системы типа I, имеет как раз такой вид.

Отметим следующее важное свойство матрицы $c$ : ( $n-1)$ собственное значение этой матрицы совпадает и равно (-1), так что матрица $c$ является сильно вырожденной. Как следствие этого, преобразования из группы $\mathrm{U}(n)$, оставляющие ее инвариантной,
\[
G_{c}=\left\{g \in U(n): g \subset g^{+}=c\right\},
\]

образуют подгруппу $G_{c}$, изоморфную $U(n-1) \times U(1)$.
Действительно, как нетрудно видеть, условие (3.7.12) эквивалентно условию
\[
g \cdot e=\lambda e,
\]

где $e$ — вектор вида $e=(1, \ldots, 1)$.
Теперь из (3.7.6), (3.7.10) следует, что матрицы $x$ и $y$, определяющие движение системы, не являются произвольными, а связаны соотношением
\[
i[x, y]=c .
\]

Нетрудно видеть, что общее решение этого уравнения имеет вид
\[
\begin{array}{l}
x=g Q(q) g^{+}, \\
y=g L(q, p) g^{+},
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{l}
Q(q)=\operatorname{diag}\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right), \\
{[L(q, p)]_{j k}=p_{j} \delta_{j k}+i\left(1-\delta_{j k}\right)\left(q_{j}-q_{k}\right)^{-1},}
\end{array}
\]
$q_{1}, \ldots, q_{n}$ — различные действительные числа, а матрица $g \in G_{c}$, т.е. удовлетворяет (3.7.13).

Для доказательства этого утверждения заметим прежде всего, что с помощью преобразования из группы $G_{c}$ можно привести матрицу $b$ к диагональному виду (см. например, [25]).

Действительно, пусть $x=\tilde{g} Q \widetilde{g}^{+}$, где $Q$ — диагональная матрица и $\tilde{g} \in$ $\in U(n)$. Тогда мы имеем
\[
\left[Q, \tilde{g}^{+} y \tilde{g}\right]=\tilde{g}^{+} c \tilde{g}=\tilde{g}^{+}(e \otimes e-I) \tilde{g}=f \otimes f-I, \quad f=\tilde{g}^{+} e .
\]

Поскольку $Q$ диагональна, мы должны иметь $f_{j} \bar{f}_{j}=1$. Полагая $g=\tilde{g} F$, где $F=\operatorname{diag}\left(f_{1}, \ldots, f_{n}\right)$ — это унитарная матрица, мы видим, что $g \in G_{c}$ и $x=g g^{+}$.
Далее, из (3.7.15) и (3.7.16) и того факта, что $g \in G_{c}$, следует
\[
[Q(q), L(q, p)]=-g^{+}[x, y] g=-i g^{+} c g=-i c .
\]

Отсюда сразу же получаем выражение (3.7.18) для $L(q, p)$.
Заметим еще, что вся эта конструкция проходит и для бесследовых матриц, что приводит к дополнительным ограничениям
\[
\Sigma q_{j}=0, \quad \Sigma p_{j}=0 .
\]

В качестве следствия из доказанного выше утверждения получаем, что факторпространство $\varphi^{-1}(c) / G_{c}$ является $2 n$-мерным многообразием и параметризуется координатами $\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right),\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right)$. При этом паре матриц $(x, y) \in \varphi^{-1}(c)$ сопоставляется пара $(Q(q), L(q, p))$ (3.7.17), (3.7.18), а симплектическая структура (3.7.3) переходит в стандартную симплектическую структуру
\[
\widetilde{\omega}=\operatorname{tr}(d L(q, p) \wedge d Q(q))=\sum_{j=1}^{n} d p_{j} \wedge d q_{j} .
\]

В результате мы редуцировали симплектическое пространство $\left(T^{*} X^{0}, \omega\right)$ к симплектическому многообразию $\{(q, p), \widetilde{\omega}\}$ :
\[
\pi:(x, y) \rightarrow(Q(q), L(q, p))=\left(u^{+} x u, u^{+} y u\right) .
\]

При этом гамильтониан $H$ переходит в гамильтониан системы Калоджеро
\[
H=\frac{1}{2} \operatorname{tr} y^{2} \rightarrow \widetilde{H}=\frac{1}{2} \operatorname{tr} L^{2}(q, p)=\frac{1}{2} \sum_{j} p_{j}^{2}+\sum_{j<k}\left(q_{j}-q_{k}\right)^{-2},
\]

а функции $F_{k}=\frac{1}{k} \operatorname{tr} y^{k}, F_{2}=H$, очевидно, находящиеся в инволющии,
переходят в функции $I_{k}=\frac{1}{k} \operatorname{tr} L^{k}$, т.е. в интегралы движения системы с гамильтонианом (3.7.23). Из явного же решения (3.7.6) уравнений движения в пространстве $T^{*} X^{0}$ сразу вытекает результат раздела 3.3 , что величины $q_{j}(t)$ являются собственными значениями матрицы
\[
x(t)=Q(0)+L(0) t .
\]

Отметим еще один полезный факт: отображение
\[
(x, y) \rightarrow(-y, x)
\]

симплектично и оставляет инвариантным многообразие $\varphi^{-1}(c)$. Отсюда следует, что существует матрица $v \in G_{c}$ такая, что
\[
\left(v^{+} Q(q) v, v^{+} L(q, p) v\right)=(-L(\xi, \eta), Q(\xi)) .
\]
(Отсюда следует, в частности, что все (3.7.26) собственные значения матрицы $L(q, p)$ различны.)
Это отображение переводит гамильтониан $1 / 2 \operatorname{tr} L^{2}(q, p)$ в
\[
H=\frac{1}{2} \operatorname{tr} Q^{2}(\xi)=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} \xi_{j}^{2} .
\]

Уравнения движения становятся при этом линейными :
\[
\dot{\xi}_{j}=0, \quad \dot{\eta}_{j}=-\xi_{j} .
\]
Б. Отображение рассеяния [252]. Ранее уже отмечалось, что в модели типа I частицы отталкиваются друг от друга, и потому при $t \rightarrow+\infty$ мы имеем следующее асимптотическое поведение:
\[
q_{j}(t) \sim p_{j}^{+} t+q_{j}^{+}, \quad p_{j}(t) \sim p_{j}^{+},
\]

где все величины $p_{j}^{+}$различны.
Из явного вида (3.7.18) матрицы $L(q, p)$ следует, что величины $p_{j}^{+}$ являются собственными значениями матрицы $L(q, p)$. Поэтому мы можем отождествить величины $\xi_{j}$ в (3.7.26) с асимптотическими импульсами $p_{j}^{+}$. Аналогично из (3.7.26) следует
\[
v(t)^{-1} Q(q(t)) v(t)=-L(\xi, \eta-\xi t)=L(-\xi,-\eta+\xi t) .
\]

Из теории возмущений следует, что собственные значения матрицы $L(-\xi,-\eta+\xi t)$ ведут себя асимптотически как $\xi_{j} t-\eta_{j}+O\left(t^{-1}\right)$, откуда $\eta_{j}=-q_{j}^{+}$, и мы получаем
\[
\begin{array}{l}
q_{j}(t) \sim \xi_{j} t-\eta_{j}, \\
p_{j}(t) \sim \xi_{j}+O\left(t^{-1}\right),
\end{array} \quad t \rightarrow+\infty .
\]

Итак, формулы (3.7.26) задают отображение рассеяния, ставящее в соответствие начальным данным $q_{j}^{0}$ и $p_{j}^{0}$ асимптотические величины $\xi_{j}$ и $-\eta_{j}$.
Аналогичные формулы имеют место и при $t \rightarrow-\infty$ :
\[
\begin{array}{l}
q_{j}(t) \sim \xi_{j}^{-} t-\eta_{j}^{-}, \quad t \rightarrow-\infty . \\
p_{j}(t) \sim \xi_{j}^{-},
\end{array}
\]

В силу инвариантности системы относительно обращения времени $t \rightarrow$ $\rightarrow-t, x \rightarrow x, y \rightarrow-y$ мы получаем
\[
\xi_{k}=\xi_{n-k+1}^{-}, \quad \eta_{k}=\eta_{\bar{n}-k+1},
\]
т.е. что рассеяние здесь такое же, как в системе упруго сталкивающихся свободных частиц.

До сих пор рассматривались системы типа I. Системы типа V получаются аналогично, как редукция гамильтоновых систем на $T^{*} X^{0}$ с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2} \operatorname{tr}\left(y^{2}+x^{2}\right) .
\]
B. Системы типа II и III. Возьмем теперь в качестве фазового пространства кокасательное расслоение $T^{*} X^{-}$к однородному пространству
\[
X^{-}=\mathrm{SL}(n, \mathbb{C}) / \mathrm{SU}(n)
\]

эрмитовых положительно-определенных матриц с определителем равным единице
\[
T^{*} X^{-}=\left\{(x, y): x \in X^{-}, y \in T_{x}^{*} X^{-}\right\} .
\]

Касательное пространство $T_{x} X^{-}$и дуальное кокасательное пространство $T_{x}^{*} X^{-}$в точке $x$ можно отождествить с эрмитовыми матрицами $y$, удовлетворяющими условию $\operatorname{tr}\left(y x^{-1}\right)=0$, которое является следствием условия det $x=1$. Спаривание между касательными и кокасательными векторами определяется инвариантной метрикой
\[
d s^{2}=\operatorname{tr}\left(d x \cdot x^{-1} d x \cdot x^{-1}\right) .
\]

На пространстве $T^{*} X^{-}$действует группа $G=\operatorname{SL}(n, \mathbb{C})$ согласно формуле
\[
x \rightarrow g x g^{+}, \quad y \rightarrow g y g^{+} .
\]

Определим каноническую форму $v$ и симплектическую форму $\omega$ на пространстве $T^{*} X^{-}$согласно формулам
\[
\begin{array}{l}
\theta=-\operatorname{tr}\left(y d\left(x^{-1}\right)\right)=\operatorname{tr}\left(y x^{-1} d x \cdot x^{-1}\right), \\
\omega=d \theta=-\operatorname{tr}\left(d y \wedge d\left(x^{-1}\right)\right)=\operatorname{tr}\left(x^{-1} d y \wedge x^{-1} d x\right)
\end{array}
\]

и рассмотрим динамическую систему с гамильтонианом $T^{*} X^{-}$
\[
H=\frac{1}{2} \operatorname{tr}\left(y x^{-1}\right)^{2} .
\]

Соответствующие уравнения движения
\[
\dot{x}=y, \dot{y}=y x^{-1} y
\]

эквивалентны уравнениям геодезических на $X^{-}$:
\[
\ddot{x}=\dot{x} x^{-1} \dot{x} \text {. }
\]

Их решения имеют вид
\[
x(t)=b \exp (2 a t) b^{+} \text {, }
\]

где $a^{+}=a$. Гамильтонова система, определенная формулой (3.7.41), инвариантна относительно точного симплектического действия (3.7.38) группы $G$. Для любого элемента $\xi$ алгебры Ли $\mathscr{G}$ группы $G$ экспоненциальная подгруппа $\exp (\xi t)$ порождает гамильтоново векторное поле
\[
\frac{d}{d t}\left(x^{-1}\right)=-\xi^{+} x^{-1}-x^{-1} \xi, \quad \frac{d}{d t} y=\xi y+y \xi^{+} .
\]

Соответствуюший гамильтониан имеет вид
\[
H_{\xi}(x, y)=\operatorname{tr}\left(x^{-1} y \xi^{+}+y x^{-1} \xi\right),
\]

и, следовательно, ассоциированное отображение момента $\Phi: \quad T^{*} X^{-} \rightarrow \mathscr{G}^{*}$ дается формулой
\[
\Phi(x, y)=2 y x^{-1} .
\]

Рассмотрим теперь гамильтонову редукцию геодезического потока на $X^{-}$по отношению к действию максимальной компактной подгруппы $K=\mathrm{SU}(n)$. Действие $K$ на $T^{*} X^{-}$гамильтоново, а соответствующее отображение момента $\varphi: T^{*} X^{-} \rightarrow \mathscr{K}^{*}$ из $T^{*} X^{-}$в пространство $\mathscr{K}$, дуальное к алгебре Ли $\mathscr{F}$ группы $K$, легко выводится из (3.7.46) с помощью условия $\xi^{+}=-\xi$ или из (3.7.47) путем перехода к подгруппе $k$,
\[
\varphi(x, y)=i\left[x^{-1}, y\right] \text {. }
\]

Мы пришли к прежнему отображению момента (см. формулу (3.7.10), в которой $x$ заменено на $x^{-1}$ ). Напомним теперь, что геодезические, которые проектируются в траектории системы типа II, обладают \»моментом количества движения\» очень специального вида:
\[
\mu=d(e \otimes e-I), \quad e=(1, \ldots, 1), \quad d=4 a^{2} g .
\]

Поэтому мы рассмотрим редукцию именно для отображения момента такого вида. Приведенное пространство $\varphi^{-1}(\mu) / K_{\mu}$ (т.е. решения уравнения $i\left[x^{-1}, y\right]=\mu$ с точностью до действия группы $K_{\mu}$ ) уже бьло описано формулами (3.7.17), (3.7.18):
\[
\begin{array}{l}
x^{-1}=\operatorname{diag}\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right), \\
y_{j k}=p_{j} \delta_{j k}+i 4 a^{2} g\left(1-\delta_{j k}\right)\left(q_{j}-q_{k}\right)^{-1} .
\end{array}
\]

После канонического преобразования
\[
q_{j} \rightarrow e^{2 a q_{j}}, \quad p_{j} \rightarrow \frac{1}{2 a} p_{j} e^{-2 a q_{j}}
\]

уравнение (3.7.50) принимает вид
\[
\begin{array}{l}
x^{-1}=\operatorname{diag}\left(e^{2 a q_{1}}, \ldots, e^{2 a q_{n}}\right), \\
\left(y x^{-1}\right)_{j k}=\frac{1}{2 a} p_{j} \delta_{k j}+i d\left(1-\delta_{j k}\right) e^{2 a q_{k}}\left(e^{2 a q_{j}}-e^{2 a q_{k}}\right)^{-1} .
\end{array}
\]

Приведенный гамильтониан $H=\frac{1}{2} \operatorname{tr}\left(y x^{-1}\right)^{2}$ теперь принимает вид
\[
\tilde{H}=\frac{1}{4 a^{2}} \sum_{j=1}^{n} p_{j}^{2}+4 d^{2} \sum_{j<k}^{\sum} \operatorname{sh}^{-2}\left[a\left(q_{j}-q_{k}\right)\right]
\]

и, таким образом, описывает систему типа II . В частности, отсюда следует главный результат раздела (35): геодезические с \»моментом количества движения\» $\mu$ (3.7.49) проектируются в траектории системы типа II.

Иными словами, экспоненты $e^{q_{j}(t)}$ являются собственными значениями матрицы
\[
x(t)=e^{a Q(0)} e^{2 a t} e^{a Q(0)}
\]

при условии, что \»момент количества движения\»
\[
i\left[\dot{x}, x^{-1}\right]=i\left(e^{a Q(0)} a e^{-a Q(0)}-e^{-a Q(0)} a e^{a Q(0)}\right)=\mu,
\]
т.е. если $a$ дается формулой (3.5.18). В общем; можно сказать, что метод проектирования, обсуждавшийся в разделах 3.3 и 3.5 , является явной реализацией гамильтоновой редукции геодезического потока на симметрическом пространстве по отношению к группе симметрии этого пространства. Заметим, что матрица $L=x^{-1 / 2} y x^{-1 / 2}$, сопряженная $y x^{-1}$, совпадает с матрицей $L$ (3.1.6) для систем типа II. Функции
\[
I_{k}=\frac{1}{k} \operatorname{tr}\left(y x^{-1}\right)^{k}=\frac{1}{k} \operatorname{tr}\left(L^{k}\right)
\]

на $T^{*} X^{-}$являются $K$-инвариантными (в действительности $G$-инвариантными) и находятся в инволюции. В самом деле, $I_{k}(x, y)=\frac{1}{k} \operatorname{tr}(\Phi(x, y))^{k}-$ это инвариантный полином $\frac{1}{k} \operatorname{tr} A^{k}$, вычисленный с помошью отображения момента. Поскольку инвариантные полиномы коммутируют по Пуассону на $\mathscr{G}^{*}$, а отображение $\Phi$ является пуассоновым, то мы имеем $\left\{I_{k}, I_{l}\right\}=0$. Следовательно, величины $I_{k}$ представляют интегралы движения в инволюции для редуцированной системы с гамильтонианом $H=I_{2}$.

В заключение этого раздела замегим, что подстановка $a \rightarrow i a$ переводит систему типа II в систему типа III *). Эта же конструкция, примененная к пространству $X_{n_{1}, n_{2}}$ (см. раздел 3.6), приводит к системам с двумя типами частиц.