Рассмотрим систему $n$ частиц единичной массы, находящихся на прямой и взаимодействующих попарно друг с другом. Такая система описывается гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} p_{j}^{2}+g^{2} \sum_{j<k} v\left(q_{j}-q_{k}\right) .
\]

Попробуем подобрать потенциал $v(q)$ так, чтобы рассматриваемая система обладала дополнительными интегралами движения. Воспользуемся для этого, следуя работам [252, 133], приемом Лакса [233], часто называемым также методом изоспектральной деформации.

Именно, предположим, что нам удалось найти пару матриц $L$ и $M$, зависящих от динамических переменных $p$ и $q$ (так называемую пару Лакса), так что уравнения Гамильтона
\[
\dot{p}_{j}=-\frac{\partial H}{\partial q_{j}} ; \quad \dot{q}_{j}=p_{j}
\]

эквивалентны матричному уравнению
\[
i \dot{L}=[M, L] \text {. }
\]

Такую форму записи уравнений движения мы будем называть представлением Лакса (см. раздел 1.10).

Из (3.1.3) следует, что матрица $L(t)$ подвергается преобразованию подобия
\[
L(t)=u(t) L(0) u^{-1}(t), \quad M=i \dot{u} u^{-1}
\]

Если при этом $M$ эрмитова, то матрица $u$ унитарна: $u^{-1}=u^{+}$. Следовательно, собственные значения матрицы $L(t)$ от времени не зависят, т.е. являются интегралами движения; или, иными словами, матрица $L(t)$ с течением времени испытывает изоспектральную деформацию. При этом в качестве интегралов движения часто бывает удобно использовать не собственные значения матрицы $L(t)$, а симметрические функции от них, например величины
\[
I_{k}=k^{-1} \operatorname{tr}\left(L^{k}\right) .
\]

Если с помощью такого приема удается найти $n$ функционально независимых интегралов движения и показать, что все они находятся в инволюции, то рассматриваемая система является вполне интегрируемой. Следуя [133], для матриц $L$ и $M$ используем следующий анзац:
\[
\begin{array}{l}
L_{j k}=p_{j} \delta_{j k}+i g\left(1-\delta_{j k}\right) x\left(q_{j}-q_{k}\right), \\
M_{j k}=g\left[\delta_{j k}\left(\sum_{l
eq j} z\left(q_{j}-q_{l}\right)\right)-\left(1-\delta_{j k}\right) y\left(q_{j}-q_{k}\right)\right],
\end{array}
\]

где $x(q), y(q), z(q)$ – три пока неизвестные функции.
Подставляя $L$ и $M$ в уравнение Лакса (3.1.3) и требуя, чтобы это уравнение было эквивалентно уравнениям Гамильтона, получим явное выражение функции $y(q)$
\[
y(q)=-x^{\prime}(q)
\]

и функциональное уравнение для функщий $x(\xi)$ и $z(\xi)$
\[
x(\xi) x^{\prime}(\eta)-x(\eta) x^{\prime}(\xi)=x(\xi+\eta)[z(\xi)-z(\eta)] .
\]

При этом потенциальная энергия $v(\xi)$ дается формулой
\[
v(\xi)=-x(\xi) x(-\xi)+\text { const. }
\]

Функциональное уравнение (3.1.9) было решено в ряде работ [101, $255,134]$, см. Приложение Б.
Оказывается, что
\[
z(\xi)=\frac{x^{\prime \prime}(\xi)}{2 x(\xi)} \text {. }
\]

При дополнительном предположении $x(-\xi)=-x(\xi)$ мы получаем следующие решения :
\[
x(\xi)=\left\{\begin{array}{lc}
\xi^{-1} & \text { I, } \\
a \operatorname{cth}(a \xi), a[\operatorname{sh}(a \xi)]^{-1} & \text { II, } \\
a \operatorname{ctg}(a \xi), a[\sin (a \xi)]^{-1} & \text { III, } \\
a \frac{\operatorname{cn}(a \xi)}{\operatorname{sn}(a \xi)}, a \frac{\operatorname{dn}(a \xi)}{\operatorname{sn}(a \xi)}, \frac{a}{\operatorname{sn}(a \xi)} & \text { IV. }
\end{array}\right.
\]

Здесь sn, cn и dn – эллиптические функции Якоби [4] .
Если не накладывать условие $x(-\xi)=-x(\xi)$, то можно получить более общее решение [85]
\[
x(\xi, \alpha)=\frac{\sigma(\xi-\alpha)}{\sigma(\alpha) \sigma(\xi)} \exp (\xi(\alpha) \xi)
\]
( $\sigma$ и $\zeta$ – сигма-и дзета-функции Вейерштрасса), зависящее от дополнительного параметра, но приводящее к той же самой потенциальной энергии $v(\xi)$.
Из (3.1.12) получаем выражение для потенциальной энергии $v(\xi):$
\[
v(\xi)=\left\{\begin{array}{ll}
\xi^{-2} & \text { I, } \\
a^{2} \operatorname{sh}^{-2}(a \xi), & \text { II, } \\
a^{2} \sin ^{-2}(a \xi), & \text { III, } \\
a^{2} \mathscr{P}(a \xi) & \text { IV. }
\end{array}\right.
\]

Здесь $\mathscr{P}(\xi)=\mathscr{P}\left(\xi, \omega_{1}, \omega_{2}\right)$ – функция Вейерштрасса – двоякопериодическая функция комплексной переменной $\xi$ с периодами $2 \omega_{1}$ и $2 \omega_{2}$, обладающая полюсом второго порядка в точках $2\left(m \omega_{1}+n \omega_{2}\right)$ [4] .

Отметим, что если устремить один из периодов к бесконечности, то мы получим из потенциала типа IV потенциалы типа II и III. Потенциал типа I получается при стремлении обоих периодов к бесконечности. Таким образом, система типа IV является системой наиболее общего вида. Однако системы типа I, II и III обладают рядом специфических особенностей, и их разумно рассматривать отдельно.

Отметим также, что если заменить $a$ на іа в потенциале типа III, то мы получим потенциал типа II, а если положить $a=0$, то мы приходим к системе типа I. Отметим еще, что для систем типа I и II мы имеем дело с инфинитным движением, а для систем типа III и IV движение финитно.

Из выражения (3.1.14) для потенциала $v(\xi)$ видно, что потенциалы типа I-IV сингулярны при $q_{k}=q_{j}$. Поэтому порядок частиц в процессе движения измениться не может и мы можем считать, что $q_{k}<q_{j}$ при $j<k$. Таким образом, в случаях I и II конфигурационное пространство является конусом $\Lambda$, задаваемым неравенствами
\[
q_{j}-q_{j+1}>0, \quad j=1, \ldots, n-1,
\]

и равенством $\Sigma q_{j}=0$.

Для систем типа III и IV конфигурационное пространство представляет выпуклый многогранник $\Lambda_{a}$ (симплекс), определяемый условиями
\[
q_{j}-q_{j+1}>0, \quad j=1, \ldots, n-1, \quad q_{1}-q_{n}<\frac{d}{a}, \quad \sum_{j} q_{j}=0,
\]

где $d$ – вещественный период функции $v(\xi)$.
Конфигурационное пространства $\Lambda$ и $\Lambda_{a}$ для $n=3$ представляют внутренность угла $\pi / 3$ и правильный треугольник соответственно:

Отметим еще, что ввиду периодичности потенциала $v(\xi)$ в случаях III и IV мы имеем дело с системой $n$ частиц на окружности.

Итак, для систем типа I-IV (см. (3.1.14)) функции $x(q), y(q)$ и $z(q)$ известны. Следовательно, матрищы $L$ и $M$ также известны, и по формуле (3.1.15) мы можем получить $n$ интегралов движения $I_{1}, \ldots ; I_{n}$. Нетрудно видеть, что все они являются функционально независимыми.

Небольшая модификация метода [262] позволяет рассмотреть также систему с потенциалом
\[
v(\xi)=\xi^{-2}+\omega^{2} \xi^{2}
\]

который мы будем называть потенциалом типа $V$. Такая система обладает финитным движением, а конфигурационное пространство для нее то же, что и для систем типа I и II (см. (3.1.15)).

Как показано в работе [262], уравнения движения гамильтоновой системы (3.1.1) с таким потенциалом эквивалентны матричным уравнениям
\[
i \dot{L}^{ \pm}=\left[M, L^{ \pm}\right] \pm \omega L^{ \pm},
\]

где матрицы $L^{ \pm}$имеют вид
\[
L^{ \pm}=L \pm i \omega Q,
\]
a
\[
Q=\operatorname{diag}\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right) \text {. }
\]

Матрицы $L$ и $M$ даются формулами (3.1.6) и (3.1.7) соответственно с $x(q)=q^{-1}$. Доказательство использует соотношение
\[
[Q, M]=X, X_{j k}=g\left(1-\delta_{j k}\right) x\left(q_{j}-q_{k}\right) .
\]

Из (3.1.18) следует, что величины
\[
B_{k}^{ \pm}=\frac{1}{k} \operatorname{tr}\left(L^{ \pm}\right)^{k}
\]

не являются больше интегралами движения, однако они очень просто зависят от времени:
\[
B_{k}^{ \pm}(t)=B_{k}^{ \pm}(0) e^{\mp i k \omega t} .
\]

Заметим; что при $\omega
eq 0$ они полностью определяют эволюцию системы. Действительно, эти величины являются симметрическими рациональными функциями от $p_{j}$ и $q_{k}$; выражая $p_{j}$ и $q_{k}$ через $B_{k}^{+}$и $B_{l}^{-}$и используя соотношение (3.1.23), получаем явные выражения для $p_{j}(t)$ и $q_{l}(t)$.

Из (3.1.18) нетрудно найти также и интегралы движения. Например, матрицы
\[
L_{1}=L^{+} L^{-}, \quad L_{2}=L^{-} L^{+}
\]

удовлетворяют обычному уравнению Лакса
\[
i L_{j}=\left[M, L_{j}\right], \quad j=1,2 .
\]

Следовательно, собственные значения матрицы $L_{j}$, или, что более удобно, величины $\operatorname{tr}\left(L_{j}^{k}\right)$, являются интегралами движения; можно показать также, что эти величины находятся в инволюции.

Заметим, что гамильтониан (3.1.1) с потенциальной энергией (3.1.17) в системе центра инерции ( $\Sigma q_{j}=0$ ) принимает вид
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} p_{j}^{2}+\sum_{j<k} v\left(q_{j}-q_{k}\right)+\sum_{j=1}^{n} w\left(q_{j}\right),
\]

где $v(q)=q^{-2}, w(q)=(n-1) q^{2}$, и, следовательно, описывает систему $n$ взаимодействующих частиц во внешнем поле.

Покажем, следуя $[108,204]$, что для ряда таких систем представление Лакса по-прежнему существует :
\[
\dot{\widetilde{L}}=[\tilde{L}, \tilde{M}]
\]

где матрицы $\tilde{L}$ и $\tilde{M}$ имеют вид
\[
\tilde{L}=\left(\begin{array}{rr}
L & Q \\
Q & -L
\end{array}\right), \quad \tilde{M}=\left(\begin{array}{cc}
M & S \\
-S & M
\end{array}\right),
\]

а $L$ и $M$ – матрицы вида (3.1.6) и (3.1.7), $Q$ и $S$ – диагональные матрицы порядка $n$ :
\[
Q_{j k}=Q\left(q_{j}\right) \delta_{j k}, \quad S_{j k}=S\left(q_{j}\right) \delta_{j k} .
\]

Из (3.1.27) следует, что матрицы $L$ и $Q$ должны удовлетворять уравнениям
\[
\begin{array}{l}
\dot{L}=[L, M]-\{S, Q\}, \\
\dot{Q}=[Q, M]+\{S, L\},
\end{array}
\]

где $\{$, \} означает антикоммутатор матриц.
Отсюда нетрудно получить, что
\[
w^{\prime}(\xi)=2 Q(\xi) S(\xi) \text {. }
\]

Считая, что матрицы $L$ и $M$ по-прежнему имеют вид (3.1.6) и (3.1.7), из уравнений (3.1.30) получаем
\[
\begin{array}{l}
{[Q(\xi)-Q(\eta)] x^{\prime}(\xi-\eta)+[S(\xi)+S(\eta)] x(\xi-\eta)=0,} \\
Q^{\prime}(\xi)=2 S(\xi) .
\end{array}
\]

Подставляя (3.1.33) в (3.1.32), получаем функциональное уравнение для функций $Q$ и $x$ :
\[
\begin{array}{l}
2[Q(\xi)-Q(\eta)] x^{\prime}(\xi-\eta)+\left[Q^{\prime}(\xi)+Q^{\prime}(\eta)\right] x(\xi-\eta)=0, \\
w(\xi)=\frac{1}{2} Q^{2}(\xi)+w_{0} .
\end{array}
\]

При дополнительном предположении, что функция $x(\xi)$ – это функция вида I-IV (см. (3.1.12)), помимо старых решений получаем еще решения
\[
\begin{array}{l}
x(\xi)=\frac{1}{\xi}, \quad Q(\xi)=\alpha \xi^{2}+\beta ; \\
x(\xi)=\frac{a}{\operatorname{sh}(a \xi)}, \quad Q(\xi)=\gamma \operatorname{ch}(2 a \xi+\delta)+\beta,
\end{array}
\]

где $a, \alpha, \beta, \gamma, \delta$ – произвольные постоянные. Отсюда следует, что если функции $v, w$ имеют вид
\[
\begin{array}{l}
v(\xi)=g^{2} \xi^{-2}, \quad w(\xi)=\alpha \xi^{2}+\beta \xi^{4} ; \\
v(\xi)=g^{2} a^{2} \operatorname{sh}^{-2}(a \xi), \quad w(\xi)=\gamma \operatorname{ch}(4 a \xi+\delta),
\end{array}
\]

то системы с гамильтонианом вида (3.1.26) обладают представлением Лакса и имеют $n$ функционально независимых интегралов движения
\[
I_{k}=\frac{1}{2 k} \operatorname{tr}\left(\tilde{L}^{2 k}\right), \quad k=1, \ldots, n .
\]

Можно показать также [205] , что если
\[
w(\xi)=Q(\xi)
\]

и уравнения (3.1.34) выполняются, то пара матриц порядка $n \times n$
\[
\tilde{\tilde{L}}=\frac{L^{2}}{2}+Q, \quad \tilde{\tilde{M}}=M
\]

удовлетворяет уравнению Лакса. Таким образом, система вида (3.1.26) при
\[
v(\xi)=g^{2} a^{2} \operatorname{sh}^{-2}(a \xi), \quad w(\xi)=\gamma \operatorname{ch}(2 a \xi+\delta)
\]

также допускает представление Лакса и обладает $n$ независимыми интегралами движения
\[
I_{k}=\frac{1}{k} \operatorname{tr}\left(\widetilde{\tilde{L}}^{k}\right), \quad k=1, \ldots, n .
\]

Отметим, что частным случаем этой системы при $\delta \rightarrow \infty, \gamma e^{\delta} \rightarrow$ const является система Адлера [108]
\[
v(\xi)=g^{2} a^{2} \operatorname{sh}^{-2}(a \xi), \quad w(\xi)=\gamma e^{2 a \xi},
\]

для которой в работе [108] была доказана полная интегрируемость.
Дальнейшее обобщение этих результатов дано в работе [206], где показано, что системы вида (3.1.26) с гамильтонианом, определяемым парами функций
\[
v(\xi)=g^{2} \xi^{2}, \quad w(\xi)=\alpha_{1} \xi+\alpha_{2} \xi^{2}+\alpha_{3} \xi^{3}+\alpha_{4} \xi^{4}
\]

и
\[
v(\xi)=g^{2} a^{2} \operatorname{sh}^{-2}(a \xi), \quad w(\xi)=\beta_{1} \operatorname{ch}(2 a \xi)+\beta_{2} \operatorname{ch}(4 a \xi+\gamma),
\]

допускают представление Лакса с матрицами $\widetilde{\tilde{L}}$ и $\tilde{\widetilde{M}}$ порядка $4 n$ вида
\[
\widetilde{\tilde{L}}=\left(\begin{array}{cc}
\tilde{L} & \tilde{R} \\
\tilde{R} & -\tilde{L}
\end{array}\right), \quad \tilde{M}=\left(\begin{array}{cc}
\tilde{M} & \tilde{T} \\
-\tilde{T} & \tilde{M}
\end{array}\right),
\]

где матрицы $\tilde{L}$ и $\tilde{M}$ имеют вид (3.1.28), а $\tilde{R}$ и $\tilde{T}$ – диагональные матрицы порядка $2 n \times 2 n$ :
\[
\begin{array}{l}
\tilde{R}=\left(\begin{array}{cc}
R & 0 \\
0 & R
\end{array}\right), \quad \tilde{T}=\left(\begin{array}{cc}
T & 0 \\
0 & -T
\end{array}\right), \\
R_{j k}=R\left(x_{j}\right) \delta_{j k}, \quad T_{j k}=\frac{1}{2} R^{\prime}\left(x_{j}\right) \delta_{j k} .
\end{array}
\]

При этом $Q$ и $R$ удовлетворяют уравнению (3.1.34) и
\[
w(\xi)=\frac{1}{2}\left(Q^{2}(\xi)+R^{2}(\xi)\right)+\text { const. }
\]

Можно показать, что существуют решения соответствующих функциональных уравнений вида
\[
\begin{array}{l}
x(\xi)=g \xi^{-1}, Q(\xi)=\alpha_{0}+\alpha_{1} \xi+\alpha_{2} \xi^{2}, R(\xi)=\beta_{1} \xi+\beta_{2} \xi^{2} ; \\
x(\xi)=g a \operatorname{sh}^{-1}(a \xi), Q(\xi)=\gamma_{0}+\gamma_{1} \operatorname{ch}(2 a \xi), \quad R(\xi)=\gamma_{2} \operatorname{ch}(4 a \xi+\delta),(3.1 .52)
\end{array}
\]

что и дает потенциал вида (3.1.46), (3.1.47).
Отметим, что в работе [206] методом работы [263] (см. следующий раздел) была доказана инволютивность интегралов движения рассматриваемых систем и, следовательно, их полная интегрируемость. Другое доказательство инволютивности этих интегралов движения дано в работе [309] .