Результаты предьдущих разделов можно распространить на более широкий класс гамильтоновых систем [255], который мы сейчас и опишем. Нам будут нужны некоторые факты из теории групп Ли, которые можно найти в книгах $[7,15]$ или же в приложениях к обзору [60] .

Пусть $p=\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right)$ и $q=\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)$ – векторы импульса и координаты в $n$-мерном евклидовом пространстве $E_{n},(p, q)=\sum_{j=1}^{n} p_{j} q_{j}-$

*) Геометрически это эквивалентно переходу от пространства $X_{n}^{-}$к симметрическому пространству $X_{n}^{+}$положительной кривизны; $X_{n}^{+}=\mathrm{SU}(n)$.

скалярное произведение этих векторов. Так же, как и в предыдущих разделах, мы рассмотрим динамическую систему с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2} p^{2}+U(q), \quad p^{2}=(p, p) .
\]

Потенциал $U(q)$ строится по определенной системе векторов, связанной с алгеброй Ли – так назьваемой системой корней *). Эту систему обозначим через $R=\{\alpha\}$. Такая система обладает тем свойством, что вместе с вектором $\alpha$ она обязательно содержит и вектор $-\alpha$, причем нулевой вектор не принадлежит системе $R$. Поэтому систему $R$ можно представить как объединение подсистемы $R_{+}$(положительных корней) и подсистемы $R_{-}$(отрицательных корней); при этом существует гиперплоскость в $R$, разделяющая подсистемы $R_{+}$и $R_{-}$.

Введем обозначение $q_{\alpha}=(\alpha, q)$, и пусть $g_{\alpha}^{2}$ – константы, одинаковые для эквивалентных корней, т.е. для корней, которые связаны друг с другом с помощью преобразований группы Вейля $W$.
Определим, следуя [255] , потенциальную энергию формулой
\[
U(q)=\sum_{\alpha \in R_{+}} g_{\alpha}^{2} v\left(q_{\alpha}\right),
\]

где функции $v\left(q_{\alpha}\right)$ определены формулой (3.1.14) для случаев I-IV и формулой
\[
v\left(q_{\alpha}\right)=q_{\alpha}^{-2}+\omega^{2} q_{\alpha}^{2}
\]

для случая $\mathrm{V}$.
В простейшем случае, обозначаемом $A_{n-1}$ и связанном с алгеброй Ли $\operatorname{su}(n)$, подсистема положительных корней имеет вид
\[
R_{+}=\left\{e_{i}-e_{j}, i<j, i, j=1, \ldots, n\right\},
\]

где $\left\{e_{j}\right\}$ – стандартный ортономированный базис в пространстве $E_{n}$.
Нетрудно видеть, что при этом мы получаем системы, рассмотренные в предыдущих разделах.
Для более явного описания систем введем обозначения
\[
\begin{array}{l}
V_{-}^{n}=\sum_{1 \leqslant j<k \leqslant n} v\left(q_{j}-q_{k}\right), \quad V_{+}^{n}=\sum_{1 \leqslant j<k \leqslant n} v\left(q_{j}+q_{k}\right), \\
V_{1}^{n} \doteq \sum_{j=1}^{n} v\left(q_{j}\right), \quad V_{2}^{n}=\sum_{j=1}^{n} v\left(2 q_{j}\right),
\end{array}
\]

функцию $v\left(q_{\alpha}\right)$ мы будем считать функцией типа I-V.
Приведем сводку результатов для различных типов систем корней:
\[
\begin{array}{l}
A_{n-1}: U=g_{1}^{2} V_{-}^{n}, \\
B_{n}: U=g^{2}\left[V_{-}^{n}+V_{+}^{n}\right]+g_{1}^{2} V_{1}^{n}, \\
C_{n}: U=g^{2}\left[V_{-}^{n}+V_{+}^{n}\right]+g_{2}^{2} V_{2}^{n}, \\
D_{n}: U=g^{2}\left[V_{-}^{n}+V_{+}^{n}\right],
\end{array}
\]
*) Точное определение и свойства таких систем можно найти, например, в [7] и в [60] в приложении Б.

\[
\begin{array}{l}
B C_{n}: U=g^{2}\left[V_{-}^{n}+V_{+}^{n}\right]+g_{1}^{2} V_{1}^{n}+g_{2}^{2} V_{2}^{n}, \\
G_{2}: U=g^{2}\left[v\left(q_{1}-q_{2}\right)+v\left(q_{2}-q_{3}\right)+v\left(q_{1}-q_{3}\right)\right]+ \\
+g_{1}^{2}\left[\dot{v}\left(-2 q_{1}+q_{2}+q_{3}\right)+v\left(-2 q_{2}+q_{3}+q_{1}\right)+v\left(-2 q_{3}+q_{1}+q_{2}\right)\right], \\
F_{4}: U=g^{2}\left[V_{-}^{4}+V_{+}^{4}\right]+g_{1}^{2} V_{1}^{4}+g_{1}^{2} \sum_{
u_{j}} v\left(\frac{1}{2}\left(q_{1}+\sum_{j=2}^{4}(-1)^{v_{j}} q_{j}\right)\right), \\
E_{6}: U=g^{2}\left[V_{-}^{5}+V_{+}^{5}\right]+g^{2} \sum_{
u_{j}} v\left(\frac{1}{2}\left(-q_{8}+q_{7}+q_{6}-\sum_{j=1}^{5}(-1)^{v_{j} q_{j}}\right)\right), \\
E_{7}: U=g^{2}\left[V_{-}^{6}+V_{+}^{6}\right]+g^{2} v\left(q_{7}-q_{8}\right)+ \\
+g^{2} \sum_{
u_{j}} v\left(\frac{1}{2}\left(-q_{8}+q_{7}-\sum_{j=1}^{6}(-1)^{v_{i} q_{j}}\right)\right), \\
E_{8}: U=g^{2}\left[V_{-}^{8}+V_{+}^{8}\right]+g^{2} \sum_{
u_{j}} v\left(\frac{1}{2}\left(-q_{8}-\sum_{j=1}^{r}(-1)^{
u_{j} q_{j}}\right)\right) .
\end{array}
\]

В этих формулах суммирование по индексу $
u_{j}$ должно удовлетворять следующим условиям:
для систем $\mathrm{I} E_{6}-\mathrm{V}_{6}$
$
u_{j}=0,1$, сумма $\sum_{j=1}^{5}
u_{j}$ четна;
для системы $E_{7}-\mathrm{V} E_{7}$
$
u_{j}=0,1, \quad$ сумма $\sum_{j=1}^{6}
u_{j}$ нечетна;
для систем $\mathrm{I} E_{8}-\mathrm{V} E_{8}$
$
u_{j}=0,1, \quad$ сумма $\sum_{j=1}^{7}
u_{j}$ четна;
дпя систем $\mathrm{I} F_{4}-\mathrm{V} F_{4}$
$
u_{j}=0,1$.
Отметим, что для систем $A_{n-1}, E_{6}, E_{7}$ и $G_{2}$ имеется дополнительное ограничение на координаты:
\[
\sum_{j=1}^{n} q_{j}=0 \quad \begin{array}{l}
\text { для } A_{n-1} \text { и } G_{2}, q_{7}=-q_{8}, \\
\text { для } E_{7} \text { и } q_{6}=q_{7}=-q_{8} \text { для } E_{6} .
\end{array}
\]

Из приведенной выше формулы (3.8.6) видно, что система типа $B C_{n}$ является наиболее общей среди классических систем $B_{n}, C_{n}$ и $D_{n}$. Для этой системы
\[
\begin{array}{l}
U(q)=g^{2} \sum_{j<k}\left[v\left(q_{j}-q_{k}\right)+v\left(q_{j}+q_{k}\right)\right]+ \\
+g_{1}^{2} \Sigma v\left(q_{j}\right)+g_{2}^{2} \Sigma v\left(2 q_{j}\right) .
\end{array}
\]

Системы $B_{n}, C_{n}$ и $D_{n}$ являются вырожденными случаями этой системы
\[
B_{n} \rightarrow g_{2}=0 ; C_{n} \rightarrow g_{1}=0 ; D_{n} \rightarrow g_{1}=g_{2}=0 .
\]

Отметнм, что гамильтонову систему типа $B C_{n}$ можно рассматривать так же, как систему $(2 n+1)$ частицы на прямой $A_{2 n}$, при условии, что координаты и импульсы удовлетворяют дополнительному условию симметрии
\[
\begin{array}{l}
q_{-k}=-q_{k}, \quad p_{-k}=-p_{k}, \quad p_{0}=q_{0}=0 ; \\
k=-n, \ldots, 0, \ldots, n .
\end{array}
\]

Отметим еще, что конфигурационным пространством для систем типа I, II и V является камера Вейля
\[
\Lambda=\left\{q \in E_{n}: q_{\alpha}>0, \alpha \in R_{+}\right\},
\]

а для систем типа III и IV – альков Вейля
\[
\Lambda_{a}=\left\{q \in E_{n}: q_{\alpha}>0, \alpha \in R_{+} ; q_{\delta}<d / a\right\},
\]

причем $d=\pi$ для систем типа III и зависит от вещественного периода функции $\mathscr{I}^{\circ}\left(q ; \omega_{1}, \omega_{2}\right)$ для систем типа IV, $\delta$ – так назьваемый максимальный корень, см. [7] .