Результаты предьдущих разделов можно распространить на более широкий класс гамильтоновых систем [255], который мы сейчас и опишем. Нам будут нужны некоторые факты из теории групп Ли, которые можно найти в книгах $[7,15]$ или же в приложениях к обзору [60] .

Пусть $p=(p_1,\dots ,p_n)$ и $q=(q_1,\dots ,q_n)$ — векторы импульса и координаты в $n$-мерном евклидовом пространстве $E_n,(p,q)=\sum _{j=1}^n{p}_j{q}_j-$

*) Геометрически это эквивалентно переходу от пространства $X_n^{-}$к симметрическому пространству $X_n^{+}$положительной кривизны; $X_n^{+}=\mathrm{SU}(n)$.

скалярное произведение этих векторов. Так же, как и в предыдущих разделах, мы рассмотрим динамическую систему с гамильтонианом
$$H=\frac{1}{2}{p}^2+U(q),p^2=(p,p).$$

Потенциал $U(q)$ строится по определенной системе векторов, связанной с алгеброй Ли — так назьваемой системой корней *). Эту систему обозначим через $R=\{\alpha \}$. Такая система обладает тем свойством, что вместе с вектором $\alpha$ она обязательно содержит и вектор $-\alpha$, причем нулевой вектор не принадлежит системе $R$. Поэтому систему $R$ можно представить как объединение подсистемы $R_{+}$(положительных корней) и подсистемы $R_{-}$(отрицательных корней); при этом существует гиперплоскость в $R$, разделяющая подсистемы $R_{+}$и $R_{-}$.

Введем обозначение $q_{\alpha }=(\alpha ,q)$, и пусть $g_{\alpha }^2$ — константы, одинаковые для эквивалентных корней, т.е. для корней, которые связаны друг с другом с помощью преобразований группы Вейля $W$.
Определим, следуя [255] , потенциальную энергию формулой
$$U(q)=\sum _{\alpha \in R_{+}}{g}_{\alpha }^{2}v\left(q_{\alpha }\right),$$

где функции $v\left(q_{\alpha }\right)$ определены формулой (3.1.14) для случаев I-IV и формулой
$$v\left(q_{\alpha }\right)=q_{\alpha }^{-2}+{\omega }^2{q}_{\alpha }^2$$

для случая $\mathrm{V}$.
В простейшем случае, обозначаемом $A_{n-1}$ и связанном с алгеброй Ли $\mathrm{su}(n)$, подсистема положительных корней имеет вид
$$R_{+}=\{e_i-e_j,i<j,i,j=1,\dots ,n\},$$

где $\left\{e_j\right\}$ — стандартный ортономированный базис в пространстве $E_n$.
Нетрудно видеть, что при этом мы получаем системы, рассмотренные в предыдущих разделах.
Для более явного описания систем введем обозначения
$$\begin{array}{l}{V}_{-}^n=\sum _{1⩽j<k⩽n}v(q_j-q_k),V_{+}^n=\sum _{1⩽j<k⩽n}v(q_j+q_k),\\ V_1^n\doteq \sum _{j=1}^{n}v\left(q_j\right),V_2^n=\sum _{j=1}^{n}v\left(2q_j\right),\end{array}$$

функцию $v\left(q_{\alpha }\right)$ мы будем считать функцией типа I-V.
Приведем сводку результатов для различных типов систем корней:
$$\begin{array}{l}{A}_{n-1}:U=g_1^2{V}_{-}^n,\\ B_n:U=g^2[V_{-}^n+V_{+}^n]+g_1^2{V}_1^n,\\ C_n:U=g^2[V_{-}^n+V_{+}^n]+g_2^2{V}_2^n,\\ D_n:U=g^2[V_{-}^n+V_{+}^n],\end{array}$$
*) Точное определение и свойства таких систем можно найти, например, в [7] и в [60] в приложении Б.

$$\begin{array}{l}B{C}_n:U=g^2[V_{-}^n+V_{+}^n]+g_1^2{V}_1^n+g_2^2{V}_2^n,\\ G_2:U=g^2[v(q_1-q_2)+v(q_2-q_3)+v(q_1-q_3)]+\\ +g_1^2[\dot{v}(-2q_1+q_2+q_3)+v(-2q_2+q_3+q_1)+v(-2q_3+q_1+q_2)],\\ F_4:U=g^2[V_{-}^4+V_{+}^4]+g_1^2{V}_1^4+g_1^2\sum _{u_j}v\left(\frac{1}{2}(q_1+\sum _{j=2}^4(-1{)}^{v_j}{q}_j)\right),\\ E_6:U=g^2[V_{-}^5+V_{+}^5]+g^2\sum _{u_j}v\left(\frac{1}{2}(-q_8+q_7+q_6-\sum _{j=1}^5(-1{)}^{v_j{q}_j})\right),\\ E_7:U=g^2[V_{-}^6+V_{+}^6]+g^{2}v(q_7-q_8)+\\ +g^2\sum _{u_j}v\left(\frac{1}{2}(-q_8+q_7-\sum _{j=1}^6(-1{)}^{v_i{q}_j})\right),\\ E_8:U=g^2[V_{-}^8+V_{+}^8]+g^2\sum _{u_j}v\left(\frac{1}{2}(-q_8-\sum _{j=1}^r(-1{)}^{u_j{q}_j})\right).\end{array}$$

В этих формулах суммирование по индексу $u_j$ должно удовлетворять следующим условиям:
для систем $\mathrm{I}{E}_6-{\mathrm{V}}_6$
$u_j=0,1$, сумма $\sum _{j=1}^5{u}_j$ четна;
для системы $E_7-\mathrm{V}{E}_7$
$u_j=0,1,$ сумма $\sum _{j=1}^6{u}_j$ нечетна;
для систем $\mathrm{I}{E}_8-\mathrm{V}{E}_8$
$u_j=0,1,$ сумма $\sum _{j=1}^7{u}_j$ четна;
дпя систем $\mathrm{I}{F}_4-\mathrm{V}{F}_4$
$u_j=0,1$.
Отметим, что для систем $A_{n-1},E_6,E_7$ и $G_2$ имеется дополнительное ограничение на координаты:
$$\sum _{j=1}^n{q}_j=0\begin{array}{l}\text{ для }{A}_{n-1}\text{ и }{G}_2,q_7=-q_8,\\ \text{ для }{E}_7\text{ и }{q}_6=q_7=-q_8\text{ для }{E}_6.\end{array}$$

Из приведенной выше формулы (3.8.6) видно, что система типа $B{C}_n$ является наиболее общей среди классических систем $B_n,C_n$ и $D_n$. Для этой системы
$$\begin{array}{l}U(q)=g^2\sum _{j<k}[v(q_j-q_k)+v(q_j+q_k)]+\\ +g_1^2\mathrm{\Sigma }v\left(q_j\right)+g_2^2\mathrm{\Sigma }v\left(2q_j\right).\end{array}$$

Системы $B_n,C_n$ и $D_n$ являются вырожденными случаями этой системы
$$B_n\to g_2=0;C_n\to g_1=0;D_n\to g_1=g_2=0.$$

Отметнм, что гамильтонову систему типа $B{C}_n$ можно рассматривать так же, как систему $(2n+1)$ частицы на прямой $A_{2n}$, при условии, что координаты и импульсы удовлетворяют дополнительному условию симметрии
$$\begin{array}{l}{q}_{-k}=-q_k,p_{-k}=-p_k,p_0=q_0=0;\\ k=-n,\dots ,0,\dots ,n.\end{array}$$

Отметим еще, что конфигурационным пространством для систем типа I, II и V является камера Вейля
$$\mathrm{\Lambda }=\{q\in E_n:q_{\alpha }>0,\alpha \in R_{+}\},$$

а для систем типа III и IV — альков Вейля
$${\mathrm{\Lambda }}_a=\{q\in E_n:q_{\alpha }>0,\alpha \in R_{+};q_{\delta }<d/a\},$$

причем $d=\pi$ для систем типа III и зависит от вещественного периода функции ${\mathcal{I}}^{\circ }(q;{\omega }_1,{\omega }_2)$ для систем типа IV, $\delta$ — так назьваемый максимальный корень, см. [7] .