В настоящем разделе будет показано, что непериодическая цепочка Тоды тесно связана с определенной разрешимой группой Ли – группой вещественных верхних треугольных матриц. Эта связь была обнаружена и использована в работах $[109,222,292]$. Она дает простую геометрическую интерпретацию цепочке Тоды и позволяет значительно упростить доказательство ряда результатов.

Начнем с установления основного факта: фазовое пространство цепочки Тоды можно рассматривать как орбиту коприсоединенного представления группы Ли $G$ – групшы вещественных верхних треугольных матриц с определителем, равным единице.

Напомним сначала некоторые основные факты относительно этой группы (см., например, [17]). Алгебра Ли $\mathscr{G}$ группы $G$ состоит из верхних треугольных матриц с нулевым следом. Что касается пространства $\mathscr{G}^{*}$, дуального к $\mathscr{G}$, – пространства линейных функционалов на $\mathscr{G}$, то возможны различные реализации этого пространства. Мы используем две такие реализации, приводящие к несимметричной и соответственно симметричной форме представления Лакса.

A. Несимметричная форма представления Лакса. Здесь мы определим значение функционала $x \in \mathscr{G}^{*}$ на элементе $\xi \in \mathscr{G}$ согласно формуле
\[
\langle x, \xi\rangle=\operatorname{tr}(x \xi) .
\]

Тем самым пространство $\mathscr{G}^{*}$ отождествляется с пространством нижних треугольных матриц с нулевым следом.

Группа $G$ действует в пространстве $\mathscr{G}^{*}$ с помощью коприсоединенного представления $\operatorname{Ad}^{*}(g)$ согласно формуле
\[
\operatorname{Ad}^{*}(g): x \rightarrow\left(g x g^{-1}\right)_{-},
\]

где нижний индекс минус означает, что элементы рассматриваемой матрицы, стоящие вьше главной диагонали, заменяются нулями. Возьмем в качестве начального элемента
Стационарная подалгебра $\mathscr{G}_{f}$ этого элемента состоит из матриц вида
Поэтому орбита коприсоединенного представления $\mathcal{O}_{f}$, проходящая через $f$, имеет размерность $2(n-1)$ и состоит из матриц вида
\[
x=\left(\begin{array}{ccc}
b_{1} & & 0 \\
a_{1} & \ddots & \\
\ddots & \ddots & \\
0 & a_{n-1} & b_{n}
\end{array}\right), \Sigma b_{j}=0, \quad a_{j}>0 .
\]
3 Естественная пуассонова структура на этой орбите определяется структурой Ли-Пуассона на пространстве $\mathscr{G}^{*}$ (см. раздел 1.11 ) и дается формулами
\[
\left\{b_{j}, a_{j}\right\}=a_{j}, \quad\left\{b_{j+1}, a_{j}\right\}=-a_{j} .
\]

Полагая $b_{j}=p_{j}, a_{j}=\exp \left(q_{j}-q_{j+1}\right)$, мы сводим (4.2.6) к каноническим скобкам Пуассона для $p_{j}$ и $q_{j}$.

Таким образом, орбита $\mathcal{O}_{f}$ является естественным кандидатом на роль фазового пространства цепочки Тоды. Для того чтобы включить цепочку Тоды в общую схему Костанта-Адлера-Симса [222, 109, 292] (см. раздел 1.12), мы рассмотрим группу $G$ как подгруппу группы $\tilde{G}=$ $=\mathrm{SL}(n, \mathbb{R})-$ группы вещественных матриц порядка $n$ с определителем, равным единице, а также рассмотрим дополнительную к $G$ подгруппу $F$ нижних треугольных матриц с единицами на главной диагонали.

Очевидно, что алгебра Ли $\mathscr{\mathscr { G }}$ разлагается в линейную сумму алгебры $\mathscr{G}$ и дополнительной подалгебры $\mathscr{F}$ – алгебры строго нижних треугольных матриц, т.е. нижних треугольных матриц с нулями на главной диагонали,
\[
\widetilde{\mathscr{G}}=\mathscr{G}+\mathscr{F} .
\]

Соответствующее разложение в дуальном пространстве имеет вид
\[
\tilde{\mathscr{G}}^{*}=\mathscr{G}^{*}+\mathscr{F}^{*},
\]

где $\mathscr{F}^{*}$ – пространство строго верхних треугольных матриц, $\mathscr{G}^{*}$ – пространство нижних треугольных матриц.

Поскольку на алгебре $\widetilde{\mathscr{G}}$ существует невырожденное инвариантное скалярное произведение $(X, Y)=\operatorname{tr}(X Y)$, мы можем с его помощью отождествить $\widetilde{\mathscr{G}}^{*}$ и $\widetilde{\mathscr{G}}$. Таким образом, величины
\[
s_{k}(x)=k^{-1} \operatorname{tr}\left(x^{k}\right)
\]

являются инвариантами коприсоединенного представления группы $\tilde{G}$.
\[
\text { Однако величины } s_{k} \text { для } x \in O_{f} \text { (см. (4.2.5)) имеют вид } k^{-1} \sum_{j=1}^{n} b_{j}^{k}
\]

и описыьвают системы с тривиальной динамикой. Поэтому для описания цепочки Тоды мы используем сдвинутые инварианты коприсоединенного представления
\[
F_{k}(x)=k^{-1} \operatorname{tr}(x+h)^{k}, \quad h \in \mathscr{F}^{*} .
\]

Для того чтобы эти функции находились в инволюции, необходимо потребовать выполнения условия (см. теорему 1.12.6)
\[
\langle h,[\mathscr{F}, \mathscr{F}]\rangle=0 .
\]

Общий вид $h \in \mathscr{F}^{*}$, удовлетворяющего этим условиям, имеет вид
\[
h=\left(\begin{array}{cccc}
0 & c_{1} & & 0 \\
& 0 & \ddots & \\
0 & & \ddots & c_{n-1} \\
& & 0
\end{array}\right) .
\]

Выберем в качестве $h$ элемент
\[
h=\left(\begin{array}{cccc}
0 & 1 & 0 \\
& 0 & \ddots & 1 \\
0 & & 0
\end{array}\right), \quad h=E_{12}+E_{23}+\ldots+E_{n-1, n} .
\]

Тогда
\[
F_{2}=\frac{1}{2} \operatorname{tr}(x+h)^{2}=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} b_{j}^{2}+\sum_{k=1}^{n-1} a_{k}=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} p_{j}^{2}+\sum_{k=1}^{n-1} e^{q_{k}-q_{k+1}},
\]

и после замены переменных $q_{j} \rightarrow 2 q_{j}, p_{j} \rightarrow \frac{1}{2} p_{j}$ эта функция переходит в гамильтониан (точнее, в функцию (1/4) $H$ ) для цепочки Тоды. Алгебра $\widetilde{\mathscr{G}}=\operatorname{sl}(n, \mathbb{R})$ в рассматриваемом случае обладает $\widetilde{\mathscr{G}}$-инвариантным скалярным произведением и потому, согласно общей теории Костанта-Адлера-Симса (см. теорему 1.12.6), уравнения движения цепочки Тоды эквивалентны уравнению Лакса
\[
\dot{L}=[L, M], \quad L=x+h, \quad M=
abla H(x+h)^{-}=L^{-},
\]

или же
\[
\dot{L}=[L, M], \quad L=x+h, \quad M=-L_{+},
\]

где $L^{-}$означает строго нижнюю треугольную часть матрицы $L$.
Мы получили, таким образом, представление Лакса в несимметричной форме и доказали интегрируемость цепочки Тоды исходя из общих теоретико-групповых принципов.
Б. Симметричная форма представления Лакса. Здесь мы изучим другое разложение алгебры $\widetilde{\mathscr{G}}=\operatorname{sl}(n, \mathbf{R})$, рассматриваемой как линейное пространство, в линейную сумму двух подалгебр
\[
\tilde{\mathscr{G}}=\mathscr{G}+\mathscr{K}
\]

где $\mathscr{G}$ – по-прежнему алгебра вещественных верхних треугольных матриц, а $\mathscr{K}$ – алгебра вещественных кососимметричных матриц. Соответственно разложение пространства $\mathscr{G}^{*}$, дуального к $\mathscr{G}$, имеет вид
\[
\tilde{\mathscr{G}}^{*}=\mathscr{G}^{*}+\mathscr{K}^{*},
\]

где $\mathscr{G}^{*} \sim \mathscr{K}^{\perp}$ – пространство вещественных симметрических матриц, а $\mathscr{K}^{*} \sim \mathscr{G}^{\perp}$ – пространство строго верхних треугольных матриц.

Група верхних треугольньх $G=\{g\}$ матрищ действует в пространстве $\mathscr{G}^{*}$ с помощью коприсоединенного представления согласно формуле
\[
\operatorname{Ad}^{*}(g): x \rightarrow\left(g x g^{-1}\right)_{s}, \quad g \in G, \quad x \in \mathscr{G}^{*},
\]

где значок $s$ означает, что мы рассматриваем разложение элемента
\[
\xi=\xi_{s}+\xi^{+}, \quad \xi_{s} \in \mathscr{G}^{*}, \xi^{+} \in \mathscr{K}^{*},
\]

и берем компоненту $\xi_{s}$. Здесь $\xi_{s}$ – симметричная часть элемента $\xi, \xi^{+}-$ строго верхнетреугольная часть этого элемента.
В качестве начального элемента возьмем
\[
\begin{array}{l}
f=\left(\begin{array}{cccc}
0 & 1 & & \\
1 & 0 & \ddots & 0 \\
\ddots & \ddots & 1 \\
0 & \ddots & 1 & 0
\end{array}\right)=f_{1}+f_{2} ; \quad f_{1}=\left(E_{21}+\ldots+E_{n, n-1}\right), \\
f_{2}=\left(E_{12}+\ldots+E_{n-1, n}\right) .
\end{array}
\]

Тогда орбита $\mathcal{O}_{f}$ группы верхних треугольных матриц, проходящая через $f$, состоит из элементов вида
\[
x=\left(\begin{array}{cccc}
b_{1} & a_{1} & 0 \\
a_{1} & b_{2} & \ddots & \\
& \ddots & \ddots & a_{n-1} \\
0 & & a_{n-1} & b_{n}
\end{array}\right), \quad \Sigma b_{j}=0, \quad a_{k}>0 .
\]

Действительно, действие $g$ на элемент $f_{2}$ не дает вклада в симметричную часть $\left(g f g^{-1}\right)$, так что
\[
\left(g f g^{-1}\right)_{s}=\left(g f_{1} g^{-1}\right)_{s} \text {. }
\]

С другой стороны, величина $\left(g f_{1} g^{-1}\right)_{s}$ полностью определяется величиной $\left(g f_{1} g^{-1}\right)$, откуда и следует утверждение о виде (4.2.22) для $x$. Отметим, что естественная пуассонова структура на $\mathcal{O}_{f}$ по-прежнему дается формулами (4.2.6).

Мы будем считать, что фазовое пространство цепочки Тоды изоморфно $\mathcal{O}_{f \text { : }}$ Гамильтоново описание цепочки Тоды и представление Лакса для нее основаны на следующем утверждении.
Tеорема Ван-Мербеке (см. [109]).
Уравнения Гамильтона в $\mathscr{G}^{*}$ (см. раздел 1.11)
\[
\dot{L}=-[
abla \cdot H(L), L]_{s},
\]

где $L \in \mathscr{G}^{*}$, а $H$ дается формулой
\[
H=H_{\varphi}(L)=\operatorname{tr} \varphi(L),
\]

эквивалентны уравнению Лакса
\[
\dot{L}=[L, M] \text {, }
\]

где
\[
M=M_{\varphi}=\varphi^{\prime}(L)^{+}-\varphi^{\prime}(L)^{-} .
\]

Кроме того, для любых двух полиномов $\varphi$ и $\psi$ соответствующие им функции $H_{\varphi}$ и $H_{\psi}$ на $\mathscr{G}^{*}$, определенные формулой (4.2.25), находятся в инволюции по отношению к стандартной скобке Пуассона на $\mathscr{G}^{*}$.

В действительности эта теорема является частным случаем теоремы 1.12.2. Мы приведем здесь доказательство в несколько ином виде. Доказательство. Вычисление градиента функции $H_{\varphi}$ дает
\[

abla \cdot H_{\varphi}(L)=2 \varphi^{\prime}(L)^{+}+\varphi^{\prime}(L)^{0},
\]

где $\xi^{0}$ означает диагональную часть $\xi$. Так как
\[
\left[\varphi^{\prime}(L), L\right]=0,
\]

то мы можем написать.
\[
\begin{array}{l}
\dot{L}=-\left[
abla H_{\varphi}(L), L\right]_{s}=-\left[2 \varphi^{\prime}(L)^{+}+\varphi^{\prime}(L)^{0}, L\right]_{s}= \\
=-\left[\varphi^{\prime}(L)^{+}-\varphi^{\prime}(L)^{-}, L\right]_{s}=.[L, M]_{s} .
\end{array}
\]

Но, так как матрица $M$ кососимметрична, а $L$ симметрична, то их коммутатор является симметрической матрицей: $[L, M]_{s}=[L, M]$, так что первая часть теоремы доказана. Далее, используя уравнение (4.2.26) для $M=M_{\varphi}$, мы имеем
\[
\left\{H_{\varphi}, H_{\psi}\right\}=\frac{d}{d t} H_{\psi}(L)=\left\langle\psi^{\prime}(L),[L, M]\right\rangle=\left\langle\left[\psi^{\prime}(L), L\right], M\right\rangle=0
\]

в силу соотношения $\left[\psi^{\prime}(L), L\right]=0$. Это завершает доказательство теоремы.