Напомним, что наличие симметрии приводит к существованию у гамиль тоновой системы интегралов движения. Это дает возможность редуцирс вать систему – свести ее к системе с меньшим числом стененей свободь В этом разделе мы покажем, следуя $[243,1,40,25]$, как это можно сделатı

Хорошо известный пример (см., например, [25]) – это гамильтонов система, инвариантная относительно группы $G=\mathrm{SO}(3)$ – группы вращени трехмерного пространства:
\[
\begin{array}{l}
M=\left\{(p, q): \quad p, q \in \mathbb{R}^{3}\right\}, \omega=d p_{j} \wedge d q_{j}, \\
H=\frac{1}{2} p^{2}+U(|q|) .
\end{array}
\]

Гамильтониан $H$ и форма $\omega$ инвариантны относительно действия группы $G=\mathrm{SO}(3)$ :
\[
p \rightarrow g p, q \rightarrow g q, \quad g \in \mathrm{SO}(3) .
\]

Отсюда находим интегралы движения – компоненты вектора момента количества движения
\[
l_{1}=q_{2} p_{3}-q_{3} p_{2}, l_{2}=q_{3} p_{1}-q_{1} p_{3}, l_{3}=q_{1} p_{2}-q_{2} p_{1} .
\]

Поскольку мы имеем три интеграла, то можно было бы ожидать, что с их помощью можно уменьшить размерность фазового пространства на шесть единиц. Однако эти интегралы не находятся в инволюции, и потому удается уменьшить размерность лишь на четыре единицы.

Рассмотрим подмногообразие $\tilde{M}_{l}$ с фиксированным значением момента количества движения $l$. При этом без ограничения общности мы можем считать, что вектор $l$ направлен по оси $x_{3}: l=\lambda l_{3}, l_{3}=(0,0,1), \lambda>0$. Подмногообразие $\widetilde{M}_{l}$ определяется уравнениями
\[
\begin{array}{l}
q_{2} p_{3}-q_{3} p_{2}=0, \\
q_{3} p_{1}-q_{1} p_{3}=0, \\
q_{1} p_{2}-q_{2} p_{1}=\lambda .
\end{array}
\]

Из уравнений (1.7.4) и (1.7.5) следует, что $q_{3}=0, p_{3}=0$, и, следовательно, задача сводится к задаче с двумя степенями свободы ( $q_{1}, p_{1}, q_{2}, p_{2}$ ) сополнительным условием (1.7.6). Но эта задача обладает дополнительной инвариантностью относительно вращений в плоскости $\left(q_{1}, q_{2}\right.$ ). Удобно поэтому перейти с помощью канонического преобразования к полярным координатам $r, \varphi, p_{r}, p_{\varphi}$ :
\[
\begin{array}{l}
q_{1}=r \cos \varphi, \quad q_{2}=r \sin \varphi, \quad p_{1}=p_{r} \cos \varphi-\frac{p_{\varphi}}{r} \sin \varphi, \\
p_{2}=p_{r} \sin \varphi+\frac{p_{\varphi}}{r} \cos \varphi,
\end{array}
\]

после чего условие (1.7.6) принимает вид
\[
p_{\varphi}=\lambda .
\]

Таким образом, $p_{\varphi}$ есть интеграл движения, а гамильтониан $H$ не зависит от $\varphi$.
Редуцированный гамильтониан имеет вид
\[
\widetilde{H}=\frac{1}{2}\left(p_{r}^{2}+\frac{\lambda^{2}}{r^{2}}\right)+U(r)
\]

а зависимость $\varphi$ от времени можно найти из уравнения
\[
\dot{\varphi}=\frac{\partial H}{\partial p_{\varphi}}=\frac{\lambda}{r^{2}} .
\]

Можно осуществить эту редукцию и несколько иным способом. Разложим вектор импульса $\mathbf{p}$ на вектор, перпендикулярный $\mathbf{p}_{r}$ к орбите группы вращений в координатном пространстве, и вектор, касательный $\mathbf{p}_{t}$ к этой орбите :
\[
\mathrm{p}=\mathrm{p}_{r}+\mathrm{p}_{t} .
\]

Из уравнения (1.7.6) тогда следуют
\[
\left|\mathrm{p}_{t}\right|=\frac{\lambda}{|\mathrm{q}|}=\frac{\lambda}{r}
\]

и выражение (1.7.9) для редуцированного гамильтониана.
Как отмечается в работе [25], редукция такого типа была известна еще Якоби, который редуцировал задачу трех тел в трехмерном пространстве используя инвариантность системы относительно группы Галилея, спгж жащей группу вращений в качестве подгруппы. С помощью интегрализ движения центра масс и момента количества движения он свел эту сис1. му с 9 степенями свободы к системе с 4 степенями свободы, т.е. редуцировал фазовое пространствоот 18-мерного до 8-мерного.Используя, кроме того, закон сохранения энергии, получаем динамическую систему на 7-мерном многообразии.
Опишем теперь процедуру редукции в общем виде.
Пусть дано гамильтоново действие группы $G$ на симплектическом многообразии $M$ и отображение момента $\mu: M \rightarrow \mathscr{G}^{*}$. Рассмотрим множество уровней момента, т.е. прообраз какой-либо точки $c \in \mathscr{G}^{*}$ при отображении $\mu$. Это множество обозначим через $\widetilde{M}_{c}$ :
\[
\widetilde{M}_{c}=\mu^{-1} c .
\]

Потребуем теперь, чтобы $c$ было регулярным значением момента, т.е. чтобы дифференциал отображения $\mu$ в каждой точке множества $\widetilde{M}_{c}$ отображал касательное пространство к $M$ на все касательное пространство к $\mathscr{G}^{*}$, либо чтобы $\widetilde{M}_{c}$ было пусто (по теореме Сарда [12] это условие выполняется для почти всех значений $c$ ). Тогда $\tilde{M}_{c}$ является многообразием.
$\Gamma$ руппа $G$, действующая на $M$, вообще говоря, переставляет множества $\tilde{M}_{c}$ относительно друг друга. Однако стационарная подгруппа точки $c$ относительно действия коприсоединенного представления (т.е. подгруппа, состоящая из тех элементов $g$ группы $G$, для которых $\operatorname{Ad}(g) c=c$ ) оставляет $\widetilde{M}_{c}$ на месте. Обозначим эту стационарную подгруппу через $G_{c}\left(G_{c}=\left\{g: \mathrm{Ad}^{*}(g) \cdot c=c\right\}\right)$. Предноложим также, что $G_{c}$ является компактной и действует на $\widetilde{M}_{c}$ эффективно и без неподвижных точек*). Прост-

*) Эти условия можно несколько ослабить, например вместо компактности $G_{c}$ потребовать, чтобы действие $G_{c}$ на $\tilde{M}_{c}$ было собственным. Однако некоторые условия на $G_{c}$ всегда необходимо наложить.

ранство $\widetilde{M}_{c}$ относительно действия группы $G_{c}$ разбивается на орбиты. Пространство орбит $M_{c}=\widetilde{M}_{c} / G_{c}$ при этом также будет многообразием. Это пространство $M_{c}$ и называют приведенным фазовым пространством.

Можно показать $[1,40]$, что на пространстве $M_{c}$ имеется естественная симплектическая структура, т.е. оно является симплектическим многообразием, и, более того, построеннсе нами отображение
\[
\pi: M \rightarrow M_{c}
\]

является отображением симплектических многообразий.
Пусть теперь на $M$ задана функция Гамильтона $H$, инвариантная относительно $G$, и $M_{c}$ – приведенное фазовое пространство (предполагается, что условия, при которых его можно определить, выполнены). Функция Гамильтона $H$ определяет гамильтоново векторное поле на $M$, которое после проектирования $\pi$ переходит в поле на $M_{c}$, называемое приведенным полем. Справедлива следующая

Теорема 1.7.1 $[1,40]$. Приведенное поле на приведенном фазовом пространстве гамильтоново. Значение функции Гамильтона приведенного поля в какой-либо точке приведенного фазового пространства равно значению исходной функции Гамильтона в соответствующей точке исходного фазового пространства.
Отметим, что из рассмотренной выше конструкции следует
\[
\operatorname{dim} M_{c}=\operatorname{dim} M-\operatorname{dim} G-\operatorname{dim} G_{c} ;
\]

напомним, что $c$ – регулярное значение отображения момента.
В примере, приведенном в натале настоящего раздела, $\tilde{M}_{c}=\tilde{M}_{l}$ подмногообразие, определенное уравнениями (1.7.4-1.7.6), при этом если $l
eq 0$, то $G_{l}=\mathrm{SO}(2)$ – группа вращений вокругоси $l ; \operatorname{dim} M_{c}=6-3-1=$ $=2$.
Примеры
1. Пусть $M=\{(p, q)\}$ – стандартное фазовое пространство, $G=\left\{g_{s}\right\}$, $g_{s}: p_{j} \rightarrow p_{j}, q_{j} \rightarrow q_{j}+s$. Тогда $\widetilde{M}_{c}$ выделяется из $M$ условием $\Sigma p_{j}=c$, $G_{c}=G$ и
\[
\operatorname{dim} M_{c}=2 n-1-1=2(n-1) .
\]
2. Пусть $M$ – то же, что и предыдущем примере [25]; $G=\left\{g_{s}\right\}$,
\[
g_{s}:(p, q) \rightarrow(p-s q, q) .
\]

Это действие группы гамильтоново с гамильтонианом $H=\frac{1}{2}|q|^{2}$. Подмногообразие $\widetilde{M}_{c}$ выделяется условием $H=c$ и при $c>0$ имеет вид $S^{n-1} \mathrm{X}$ $\times \mathbb{R}^{n}$, где $S^{n-1}{ }^{c}-$ единичная сфера в $\mathbb{R}^{n}$. Группа $G_{c}$ совпадает с $G$. Для описания $M_{c}=\tilde{M}_{c} / G_{c}$ выберем в качестве начальной $(s=0)$ точку на прямой $(p-s q, q)$ с минимальным расстоянием от начала координат, т.е. положим $(p, q)=0$. При этом
\[
M_{c}=\widetilde{M}_{c} / G_{c} \sim\left\{(p, q) \in \mathbb{R}^{2 n}:|q|^{2}=2 c,(p, q)=0\right\},
\]
т.е. представляет собой кокасательное расслоение $T^{*} S^{n-1} \quad(n-1)$-мерной сферы. Нетрудно показать также, что 2-форма $d p \wedge d q$ проектируется в стандартную 2-форму на $T^{*} S^{n-1}$.
В качестве примера рассмотрим гамильтониан
\[
H=\frac{1}{2}\left(|p|^{2} \mid q i^{2}-(p, q)^{2}\right),
\]

инвариантный относительно рассмотренного выше действия группы $G$. Уравнения движения для этой системы
\[
\dot{p}=-|p|^{2} q+(p, q) p, \quad \dot{q}=|q|^{2} p-(p, q) q
\]

при ограничении на $T^{*} S^{n-1}$ переходят в (при $c=1 / 2$ )
\[
\dot{p}=-|p|^{2} q, \dot{q}=p \quad \text { или } \quad \ddot{q}=-|\dot{q}|^{2} q,
\]
т.е. описывают геодезический поток на сфере.
3. Пусть $M=T^{*} G$ – кокасательное расслоение группы Ли $G$ и пусть $G$ действует на $M$ правыми сдвигами. Соответствующее отображение момента $\mu_{r}: M \rightarrow \mathscr{G}^{*}$ имеет вид
\[
\mu_{r}(g, x)=x, \quad g \in G, \quad x \in \mathscr{G}^{*},
\]

где $T^{*} G$ отождествляется с $G \times \mathscr{G}^{*}$ при помощи левых сдвигов. Следовательно, $\tilde{M}_{c} \sim G$ и $M_{c} \sim \mathcal{O}_{c}$ – орбите точки $c$ в $\mathscr{G}^{*}$. Действительно, $M_{c}$ симплектически диффеоморфно $\mathcal{O}_{c}$, что проще всего увидеть с помощью отображения момента для левых сдвигов
\[
\mu_{l}(g, x)=-\operatorname{Ad}^{*}(g) \cdot x .
\]