Нас будут интересовать гамильтоновы системы, обладающие достаточно большим числом интегралов движения. Существование таких интегралов во всех известных случаях является следствием симметрии рассматриваемой динамической системы, хотя иногда эта связь и не является такой простой, как, например, связь, описываемая теоремой Э. Нётер. Поэтому нас будут интересовать в первую очередь симплектические многообразия, обладающие симметрией.

Определение. Симплектическое многообразие $(M, \omega)$ называется однородным, если оно допускает транзитивное действие некоторой группы Ли $G$, действующей как группа симплектических преобразований. Иными словами, действие группы $G-\Phi_{g}: M \rightarrow M$ является симплектическим (оставляет инвариантной форму $\omega, \Phi_{g}^{*} \omega=\omega$ ).

При этом однопараметрической подгруппе группы $G$ отвечает фазовый поток на $M$, а элементу $\xi$ алгебры Ли $\mathscr{G}$ отвечает гамильтоново поле $X_{\xi}$ на $M$. Если все поля $X_{\xi}, \xi \in \mathscr{G}$ являются строго гамильтоновыми и соответствующие им функции $H_{\xi}$ можно выбрать так, чтобы
\[
H_{|\xi, \eta|}=\left\{H_{\xi}, H_{\eta}\right\}, \quad H_{\xi+\eta}=H_{\xi}+H_{\eta}
\]

(т.е. чтобы соответствие $\xi \rightarrow H_{\xi}$ яв.тялось гомоморфизмом алгебры Ли $\mathscr{G}_{\text {и }}^{\text {и }}$ алгебры Ли функций на $M$ ), то мы назовем $M$ строго однородным симплектическим многообразием [17], а действие группы Ли $G$ на $M$ гамильтоновым действием. Отметим, что для симплектического действия группы Ли $G$ на $M$ в общем случае мы имеем вместо (1.4.1) формулу
\[
H_{[\xi, \eta]}=\left\{H_{\xi}, H_{\eta}\right\}+c(\xi, \eta) .
\]

Существование неустранимой величины $c(\xi, \eta)$ связано с нетривиальностью второй группы когомологий алгебры Ли $\mathscr{G}$.

Оказывается, что класс однородных симплектических многообразий по существу совпадает с классом орбит коприсоединенного представления группы Ли.

Теорема 1.4.1. [17]. Любое однородное симплектическое многообразие, группой движений которого является связная группа Ли $G$, локально изоморфно орбите коприсоединенного представления самой группы $G$ или ее центрального расширения с помощью $\mathbb{R}$. При этом любая орбита группы $G$ является строго однородным симплектическим многообразием.

В качестве иллюстрации этой теоремы рассмотрим двумерный тор $M=T^{2}$. Он является однородным симплектическим многообразием, на котором транзитивно действует двумерная группа трансляций $G$. Однако $M$ не является орбитой коприсоединенного представления группы $G$ эта группа абелева ${ }_{\sim}$ и все ее орбиты коприсоединенного представления нульмерны. Пусть $\widetilde{G}$ – центральное расширение группы $G$ – так называемая группа Гейзенберга-Всйля (сс алгебра Ли порождена тремя элементами
\[
\left.e_{1}, e_{2}, e_{3} ;\left[e_{1}, e_{2}\right]=e_{3},\left[e_{1}, e_{3}\right]=\left[e_{2}, e_{3}\right]=0\right) .
\]

у группы $\widetilde{G}$ есть орбиты коприсоединенного представления типа $\widetilde{M}=\mathbb{R}^{2}$; тор $T^{2}$ получается из $\tilde{M}$ путем факторизации по дискретной подгруппе $\Gamma$ группы $G$ и лишь локально изоморфен орбите $\widetilde{M}$.

Перейдем к более подробному рассмотрению однородных симплектических многообразий.

Орбиты коприсоединенного представления групп Ли. Пусть $G$ группа Ли, $\mathscr{G}$ – ее алгебра Ли, $\mathscr{G}^{*}$ – пространство, дуальное к $\mathscr{G}$, т.е. пространство линейных функционалов на $\mathscr{G}$. Если алгебра Ли $\mathscr{G}$ реализована в виде алгебры левоинвариантных векторных полей на $G$, то естественно реализовать $\mathscr{G} *$ в виде пространства левоинвариантных дифференциальных форм на $G$.Коприсоединенное гредставление $\operatorname{Ad}^{*}(g)$ группы $G$ действует при этом в пространстве 1-форм с помощью правых сдвигов. Отметим, что в случае простой группы мы можем идентифицировать $\mathscr{G}$ и $\mathscr{G}^{*}$ с помощью метрического тензора Киллинга-Картана: $g_{i j}=-C_{i k}^{l} C_{j l}^{k}$, а в случае матричной группы можем представить линейный функционал $l$ на $\mathscr{G}$ как $l(X)=\operatorname{tr}(A X)$ для некоторого $A \in \mathscr{G}$.

Рассмотрим группу $G$ как однородное пространство, на котором сопряжениями действует эта же группа
\[
\Phi_{g}: h \rightarrow g h g^{-1} .
\]

Такое действие переводит единичный элемент $e$ группы $G$ в себя, $\Phi_{g}$ : $e \rightarrow e$. Поэтому линеаризация действия в точке $h=e$ определяет действие группы $G$ на ее алгебре Ли. Это и есть присоединенное представление группы $G, \operatorname{Ad}(g): \mathscr{G} \rightarrow \mathscr{G}$. Присоединенное представление индуцирует действие $\operatorname{Ad}^{*}(g)$ группы $G$ в пространстве $\mathscr{G}^{*}$. Это и есть коприсоединенное представление группы $G$.

Пусть $f$ – точка пространства $\mathscr{G}^{*}$. Действуя на нее преобразованиями $\mathrm{Ad}^{*}(g)$, где $g$ пробегает всю группу, получаем орбиту $\mathcal{O}_{f}$, проходящую через точку $f$. Как уже отмечалось выше, любая орбита является однородным и, более того, строго однородным симплектическим многообразием.

Пусть $\xi$ и $\eta \in \mathscr{G}$, а $X_{\xi}$ и $X_{\eta}$ – порождаемые ими векторные поля в пространстве $\mathscr{G}^{*}$. Тогда симплектическая форма $\omega^{f}$ на орбите $\mathcal{O}_{f}$ определяется условием
\[
\omega^{f}\left(X_{\xi}, X_{\eta}\right)=\langle f,[\dot{\xi}, \eta]\rangle,
\]

где $\langle f, \xi\rangle$ – значение функционала $f$ на элементе $\xi \in \mathscr{G}$. Как уже отмечалось в предыдущем разделе, пуассонова структура в пространстве $\mathscr{F}\left(\mathscr{G}^{*}\right)$ и, в частности, в пространстве $\mathscr{F}(\mathcal{O})$ дается скобкой Ли-Пуассона [54-57]
\[
\{F(x), G(x)\}=C_{j k}^{l} x_{l} \partial^{j} F \partial^{k} G,
\]

где $C_{j k}^{l}$ – структурные постоянные алгебры Ли $\mathscr{G}, \partial^{j}=\partial / \partial x_{j}, x_{j}$ – координаты точки $x$ в пространстве $\mathscr{G}^{*}$. Заметим, что имеется естественное вложение орбиты в пространство $\mathscr{G}^{*}$, из которого она в случае полупростой группы Ли выделяется набором полиномиальных уравнений *)
\[
P_{n_{j}}(x)=c_{j}, x \in \mathscr{G}^{*}, j=1, \ldots, l,
\]

где $\left\{P_{n_{j}}(x)\right\}$ – набор генераторов алгебры инвариантных полиномов, причем степень іюлинома $P_{n_{j}}$ равна $n_{j}$, а целые числа ( $n_{j}-1$ ) называются экспонентами алгебры $\mathscr{G}$. При этом в случае полупростой алгебры Ли $\mathscr{G}$ существует невырожденное $G$-инвариантное скалярное произведение в $\mathscr{G}$, с помощью которого можно отождествить пространства $\mathscr{G}$ и $\mathscr{G} *$.
Примеры
1. $G=\mathrm{SO}(3) \approx \mathrm{SU}(2)$ – группа вращений терхмерного пространства, $\mathscr{G}^{*} \approx \mathscr{G}=\left\{\dot{x}: x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)\right\}$. Орбиты здесь – двумерные сферы $S^{2}=$ $=\left\{x: x^{2}=r^{2}\right\}$. Начало координат также является орбитой.
2. $G$ – простейшая некомпактная простая группа Ли – группа $\mathrm{SU}(1,1) \approx \operatorname{SO}(2,1) \approx \operatorname{SL}(2, \mathbb{R}) \approx \operatorname{Sp}(2, \mathbb{R}) ; \operatorname{SO}(2,1)$ – трехмерная. группа Лоренца,
\[
\begin{array}{l}
\mathscr{G}^{*} \simeq \mathscr{G}=\left\{x: x=\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right)\right\}, \\
\left\{x_{0}, x_{1}\right\}=x_{2},\left\{x_{0}, x_{2}\right\}=-x_{1},\left\{x_{1}, x_{2}\right\}=-x_{0} .
\end{array}
\]

Орбиты группы $G$ выделяются уравнением $x^{2}=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=$ const и представляют однополостные гиперболоиды, двухполостные гиперболоиды, два конуса и начало координат.
*) Следует иметь в виду, что если групппа $G$ не компактна, то этими условиями выделяются лишь регулярные орбиты, те. орбиты, проходящие через регулярные полупростые элементы в $\mathscr{G} *$.

3. $G=E(2)$ – группа движений евклидовой плоскости, $\mathscr{G}^{*}=\{x: x=$ $\left.=\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right)\right\}$, при этом $\left\{x_{0}, x_{1}\right\}=x_{2},\left\{x_{0}, x_{2}\right\}=-x_{1},\left\{x_{1}, x_{2}\right\}=0$. Орбиты коприсоединенного представления здесь – цилиндры с осью $x_{0}$. Каждая точка оси $x_{0}$ является нульмерной орбитой.
4. $G=W_{1}$ – группа Гейзенберга-Вейля, $\mathscr{G}^{*}=\left\{x: x=\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right)\right\}$, при этом $\left\{x_{1}, x_{2}\right\}=x_{0},\left\{x_{0}, x_{1}\right\}=\left\{x_{0}, x_{2}\right\}=0$. Орбитами коприсоединенного представления здесь являются плоскости $x_{0}=c, c
eq 0$. Каждая точка плоскости $x_{0}=0$ является нульмерной орбитой.
5. $G=\{g\}=\mathrm{SU}(3), g-$ унитарная матрица третьего порядка с определителем, равным единице: $g g^{+}=I$, $\operatorname{det} g=1$. Здесь $\mathscr{G}^{*} \simeq \mathscr{G}=\{x\}-$ алгебра (восьмимерная) антиэрмитовых матриц ( $x^{+}=-x$ ) третьего порядка с нулевым следом. Действие присоединенного представления имеет вид
\[
x \rightarrow g x g^{-1}=g x g^{+} .
\]

В этом случае имеется три типа орбит:
a) шестимерные орбиты $\mathcal{O}=\mathrm{SU}(3) / \mathrm{U}(1) \times \mathrm{U}(1)$, отвечающие случаю, когда все собственные значения матрицы $x$ фиксированы и различны;
б) четырехмерные орбиты $\mathcal{O}=\mathrm{SU}(3) / \mathrm{SU}(2) \times \mathrm{U}(1)$; соответствующие матрицы $x$ имеют два равных собственных значения. Такие орбиты изоморфны двумерному комплексному проективному пространству;
в) орбита, отвечающая началу координат.
6. $G=\operatorname{SU}(n), \mathscr{G}^{*} \simeq \mathscr{G}=\left\{x: x^{+}=-x, \operatorname{tr} x=0\right\}$.
Пусть ( $n-1$ ) собственных значений матрицы $x$ совпадают. В этом случае
\[
\mathcal{O}=\mathrm{SU}(n) / \mathrm{SU}(n-1) \times \mathrm{U}(1),
\]

и орбита $\mathcal{O}$ изоморфна пространству $\mathbb{C} P^{n-1}$. Заметим, что это орбита минимальной ненулевой размерности в $\mathscr{G}^{*}$. Отметим также, что для простых групп Ли все орбиты минимальной ненулевой размерности перечислены и изучены в работе [315] (см. табл. 1).
\[
\text { 7. } G=\mathrm{SU}(m+n), \quad \mathscr{G} \simeq \mathscr{y}=\{x\}, \quad x^{+}=-x, \quad \operatorname{tr} x=0 .
\]

Пусть собственные значения матрицы $x$ разделены на два набора по $m$ и $n$ чисел, причем собственные значения в каждом из этих наборов совпадают. В этом случае
\[
\mathcal{O}=\mathrm{SU}(m+n) / \mathrm{SU}(m) \times \mathrm{SU}(n) \times \mathrm{U}(1)
\]

и орбита $\mathcal{O}$ изоморфна так называемому комплексному многообразию Грассмана $G_{m n}$.
8. Пусть $G$ – группа вещественных верхних треугольных матриц с определителем, равным единице. Тогда алгебра Ли $\mathscr{G}$ состоит из вещественных верхних треугольных матриц с нулевым следом, а пространство $\mathscr{G}^{*}=\{x\}$ с помощью скалярного произведения $(A, B)=\operatorname{tr}(A \cdot B)$ в алгебре $\mathrm{sl}(n, \mathbb{R})$ можно отождествить с пространством вещественных нижних

Таблица 1
треугольных матриц с $\operatorname{tr} x=0$. При этом действие группы $G$ на $\mathscr{G}^{*}$ дается формулой
\[
\operatorname{Ad}^{*}(g): x \rightarrow\left(g x g^{-1}\right)_{-},
\]

где знак минус означает, что элементы рассматриваемой матрицы, стоящие выше главной диагонали, мы заменяем нулями. Например, орбита группы $G$ в пространстве $\mathscr{G}^{*}$, проходящая через элемент
\[
f=\left(\begin{array}{ccccc}
0 & & & 0 \\
1 & & 0 & \ddots & \\
0 & \ddots & 1 & & 0
\end{array}\right),
\]

состоит из элементов $x$ вида
\[
\left(\begin{array}{cccc}
b_{1}, & 0, & & 0 \\
a_{1}, & b_{2} & & \\
a_{2} & \cdots & \\
0 & \cdot & \cdot & \cdot \\
& & & a_{n-1}, b_{n}
\end{array}\right), \quad \sum_{j=1}^{n} b_{j}=0 .
\]

В заключение этого раздела приведем таблицу размерностей орбит коприсоединенного представления наименьшей положительной размерности для простых компактных групп Ли.

Отметим, что описание орбит компактных простых групп Ли было дано A. Борелем [126]. Все эти орбиты являются кэлеровыми компактными многообразиями.
Задачи
1. Найти орбиты наименьшей положительной размерности для групп SO (4) и SO (6).
2. Найти орбиты коприсоединенного представления для группы вещественных верхних треугольных матриц четвертого порядка с единицами на главной диагонали.