Мы ограничимся рассмотрением простейшего случая плоского движения (Эйлер, 1760 [164], Лагранж [229]). Гамильтониан в этом случае имеет вид
\[
H=\frac{1}{2}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right)+U\left(q_{1}, q_{2}\right), \quad U\left(q_{1}, q_{2}\right)=-\left(\frac{\alpha_{1}}{r_{1}}+\frac{\alpha_{2}}{r_{2}}\right),
\]

где
\[
r_{1}=\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}, \quad r_{2}=\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}
\]
– расстояния до притягивающих центров.

В этом случае также имеется дополнительный, квадратичный по импульсам интеграл движения, обобщающий компоненту вектора Лапласа $A_{1}$ для одного центра, а именно
\[
I=\frac{1}{2}\left(l^{2}-c^{2} p_{2}^{2}\right)+c q_{1}\left(\frac{\alpha_{1}}{r_{1}}-\frac{\alpha_{2}}{r_{2}}\right) .
\]

Для интегрирования уравнений движения перейдем к эллиптищеским координатам
\[
\xi=\frac{1}{2}\left(r_{1}+r_{2}\right), \quad \eta=\frac{1}{2}\left(r_{2}-r_{1}\right),
\]

откуда
\[
c x=\xi \eta, \quad c y=\sqrt{\left(\xi^{2}-c^{2}\right)\left(c^{2}-\eta^{2}\right)}, \quad r^{2}=\xi^{2}+\eta^{2}-c^{2} .
\]

Гамильтониан (2.10.1) теперь принимает вид
\[
H=\frac{1}{2} \frac{1}{\xi^{2}-\eta^{2}}\left\{\left(\xi^{2}-c^{2}\right) p_{\xi}^{2}+\left(c^{2}-\eta^{2}\right) p_{\eta}^{2}\right\}-\frac{k \xi+k^{\prime} \eta}{\xi^{2}-\eta^{2}},
\]

где
\[
k=\alpha_{1}+\alpha_{2}, k^{\prime}=\alpha_{1}-\alpha_{2} .
\]

Интегрируя уравнения движения методом разделения переменных, получаем
\[
\frac{d \xi}{\sqrt{R(\xi)}}=\frac{d \eta}{\sqrt{S(\eta)}}=d s, d t=\left(\xi^{2}-\eta^{2}\right) d s,
\]

где
\[
\begin{array}{l}
R=2\left(\xi^{2}-c^{2}\right)\left(E \xi^{2}+k \xi+\gamma\right), \\
S=-2\left(c^{2}-\eta^{2}\right)\left(E \eta^{2}-k^{\prime} \eta+\gamma\right) .
\end{array}
\]

Интегрируя уравнения (2.10.8), получаем выражения для $\xi(s)$ и $\eta(s)$ через эллиптические функции.

Подробное качественное исследование этого движения можно найти в книге [38] .