В этой части работы будут рассмотрены вполне интегрируемые системы $n$ взаимодействующих частиц в стандартном конфигурационном пространстве $\mathbb{R}^{d}$.
Такие системы описываются гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} p_{j}^{2}+g^{2} \sum_{j<k} v\left(q_{j}-q_{k}\right), \quad p_{j}, q_{k} \in \mathbb{R}^{d} .
\]

В пространстве двух и бо́льшего числа измерений известна лишь одна вполне интегрируемая система такого типа — система $n$ взаимодействующих осцилляторов:
\[
v(q)=\frac{1}{2} \omega^{2} q^{2} .
\]

Эта система, однако, после введения координат Якоби сводится к системе ( $n-1$ ) частицы, движущейся независимо в общем осцилляторном потенциале.

Для одномерного случая, т.е. для случая $n$ попарно взаимодействующих частиц на прямой, в последние годы обнаружен ряд вполне интегрируемых систем, которые и будут детально рассмотрены в настояшем разделе. Все эти системы связаны с алгебрами Ли и обладают высокой скрытой симметрией. Эта симметрия и является причиной их интегрируемости. В изложении материала мы следуем работам $[28,42,43,60]$.