В этой части работы будут рассмотрены вполне интегрируемые системы $n$ взаимодействующих частиц в стандартном конфигурационном пространстве ${\mathbb{R}}^d$.
Такие системы описываются гамильтонианом
$$H=\frac{1}{2}\sum _{j=1}^n{p}_j^2+g^2\sum _{j<k}v(q_j-q_k),p_j,q_k\in {\mathbb{R}}^d.$$

В пространстве двух и бо́льшего числа измерений известна лишь одна вполне интегрируемая система такого типа — система $n$ взаимодействующих осцилляторов:
$$v(q)=\frac{1}{2}{\omega }^2{q}^2.$$

Эта система, однако, после введения координат Якоби сводится к системе ( $n-1$ ) частицы, движущейся независимо в общем осцилляторном потенциале.

Для одномерного случая, т.е. для случая $n$ попарно взаимодействующих частиц на прямой, в последние годы обнаружен ряд вполне интегрируемых систем, которые и будут детально рассмотрены в настояшем разделе. Все эти системы связаны с алгебрами Ли и обладают высокой скрытой симметрией. Эта симметрия и является причиной их интегрируемости. В изложении материала мы следуем работам $[28,42,43,60]$.