В предыдущих разделах рассмагривались гамильтоновы системы на орбитах типа Тоды, размерность которых равна $2 r$, где $r$ – ранг группы $G$; например, гамильтоновы системы на орбитах размерности $2(n-1)$ группы $\mathrm{SL}(n, \mathbb{R})$ – группы вещественных верхних треугольных матриц с положительными элементами на диагонали. Как мы видели, такую орбиту $\mathcal{O}$ можно рассматривать также как орбиту действия группы $B$ в пространстве $\mathscr{P}_{-}$пространстве вещественных симметрических матриц. Мы будем рассматривать динамическую систему на орбите $\mathcal{O}$, порождаемую гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2} \operatorname{tr}\left(x^{2}\right), \quad x \in \mathscr{P},
\]

и стандартной пуассоновой структурой на $\mathscr{P} \simeq \mathscr{B}^{*}$.
В данном разделе излагаются результаты работы [159], в которой показано, что для орбиты общего положения такая система по-прежнему остается интегрируемой по Лиувиллю.

Введем необходимые обозначения. Пусть $L$ – вещественная матрица порядка $n$. Определим для нее набор полиномов
\[
P_{k}(L, \lambda), \quad 0 \leqslant k \leqslant\left[\frac{n}{2}\right]
\]
([a] – целая часть числа $a$ ) согласно формуле
\[
P_{k}(L, \lambda)=\operatorname{det}\left[(L-\lambda I)_{k}\right],
\]

где $(L-\lambda I)_{k}$ – матрица порядка ( $n-k$ ), получающаяся вычеркиванием $k$ верхних строк и $k$ правых столбцов из матрицы ( $L-\lambda I$ ).
Нетрудно видеть, что $P_{k}(L, \lambda)$ – полином степени $n-2 k$ по $\lambda$ :
\[
P_{k}(L, \lambda)=\sum_{m=0}^{n-2 k} E_{m, k}(L) \lambda^{n-2 k-m} .
\]

Таким образом, для матрищы $L$ порядка $n$ определены величины
\[
E_{m, k}(L), \quad 0 \leqslant k \leqslant\left[\frac{n}{2}\right], \quad 0 \leqslant m \leqslant n-2 k .
\]

Заметим, что коприсоединенное действие группы $B$ на 99 сохраняет знаки величин $E_{0, k}$.

Определение орбита $\mathcal{O}_{x}$ называется орбитой общего положения, если все величины $E_{0, k}(x)$ отличны от нуля.

Пусть $\mathcal{O}_{x}$ – орбита общего положения. Тогда можно определить величины
\[
I_{m, k}(x)=\frac{E_{m, k}(x)}{E_{0, k}(x)}, \quad 0 \leqslant k \leqslant\left[\frac{n-1}{2}\right], \quad 1 \leqslant m \leqslant n-2 k .
\]

Имеет место
Т е о рем а 4.8.1 [159]. Орбита общего положения $\mathcal{O}_{x_{0}}$, проходящая через точку $x_{0}$, определяется уравнениями
\[
\begin{array}{l}
I_{1, k}(x)=I_{1, k}\left(x_{0}\right), \quad 0 \leqslant k \leqslant\left[\frac{n-1}{2}\right] ; \\
\operatorname{sign} E_{0, k}(x)=\operatorname{sign} E_{0, k}\left(x_{0}\right), \quad 0 \leqslant k \leqslant\left[\frac{n}{2}\right], x \in \mathscr{P},
\end{array}
\]

и ее размерность равна
\[
\operatorname{dim} \mathcal{O}_{x_{0}}=2\left[\frac{n^{2}}{4}\right] .
\]

Функции
\[
I_{m, k}(x), \quad 0 \leqslant k \leqslant\left[\frac{n-1}{2}\right], \quad 2 \leqslant m \leqslant n-2 k,
\]

дают $\left[\frac{n^{2}}{4}\right]$ интегралов движения в инволюции для системы Тоды на данной орбите.

Кроме того, эти интегралы функционально независимы на плотном открытом множестве в $\mathcal{O}_{x_{0}}$.

Набросок доказательства этой теоремы дан в работе [159]. В той же работе сформулирована

Теорема 4.8.2. Для любых $m$ и $k$ обозначим через $\{Q(t), P(t)\}$ гамильтонов поток с начальным условием $Q(0)=I, P(0)=x_{0}$ на касательном расслоении
\[
T^{*}(\mathrm{GL}(n))=\{(P, Q): Q \in \mathrm{GL}(n), P-\text { произвольная матрица порядка } n\}
\]

с гамильтонианом
\[
H=\tilde{I}_{m, k}(Q, P) \equiv I_{m, k}\left(Q^{\prime} P\right) .
\]

Тогда
\[
x(t)=S\left(t^{\prime}\right) x_{0} S(t)
\]
– это решение уравнений движения для динамической системы на $\mathcal{O}_{x_{0}}$ с гамильтонианом $H=I_{m, k}(x)$ и начальным условием $x(0)=x_{0}$. Здесь $Q(t)=$ $=S(t) K(t)$, где $S(t)-$ верхняя треугольная матрица, $K(t)-$ ортогональная матрица.

Иными словами, рассматриваемая система на орбите $\mathcal{O}_{x_{0}}$ является проекцией соответствующей системы на $T^{*}(\mathrm{GL}(n))$.