Главная > ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ И АЛГЕБРЫ ЛИ (А.М. ПЕРЕЛОМОВ)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Обычная непериодическая цепочка Тоды — это система n взаимодействующих частиц на прямой с гамильтонианом
H=121npj2+g21n1exp[2(qjqj+1)].

Для периодического случая такая система характеризуется гамильтонианом
H=121npj2+g21nexp[2(qjqj+1)],qn+1=q1.

Здесь qj — координата j-й частицы, pj — ее импульс. Заметим, что после перехода в систему центра масс ( 1npj=0 ) мы получаем систему с n1 степенью свободы. Отметим также, что с помощью сдвигов координат qjqj+aj мы можем перейти к случаю g=1 для непериодической цепочки и к гамильтониану
H=121npj2+j=1n1exp[2(qjqj+1)]+f2exp[2(qnq1)]

для периодической цепочки.
Уравнения движения в непериодическом случае имеют вид (мы полагаем далее g=1 )
q˙j=pj,j=1,,n,p˙1=2exp[2(q1q2)],p˙n=2exp[2(qn1qn)],p˙j=2exp[2(qjqj+1)]+2exp[2(qj1qj)],j=2,,(n1).

В периодическом же случае мы имеем
q˙j=pj,p˙j=2{exp[2(qj1qj)]exp[2(qjqj+1)]}.

Хотя уравнения (4.1.2) и (4.1.2′), на первый взгляд, отличаются друг от друга незначительно, поведение их решений имеет совершенно различный характер: уравнения (4.1.2) при t± описывают свободное движение частиц, так что в этом случае естественно рассматривать задачу рассеяния; решения же уравнений (4.1.2′) квазипериодичны по t и описывают сложные нелинейные колебания системы.
1. Представление Лакса. Как в непериодическом, так и в периодическом случаях уравнения движения цепочки Тоды для n частиц обладают n интегралами движения [196]. Явный вид их сразу же следует из представления Лакса, открытого в работах Флашки [168,169] и Манакова [88]. Именно, в этих работах было показано, что уравнения движения (4.1.2) и (4.1.2′) эквивалентны матричному уравнению Лакса
L˙=[L,M]

Здесь матрицы L и M зависят от динамических переменных pj и qk и в непериодическом случае являются матрицами Якоби (т.е. все элементы этих матриц равны нулю, за исключением элементов на главной диагонали и двух соседних с ней диагоналях). Иными словами, матрицы L и M имеют вид
L=j=1npjEjj+k=1n1exp(qkqk+1)(Ek+Ek),M=k=1n1exp(qkqk+1)(EkEk).

Здесь
Ek=Ek,k+1,Ek=Ek+=Ek+1,k,
Ejk — матрица, элемент которой, стоящий в j-й строке и k-м столбце, равен единице, остальные элементы равны нулю. В периодическом случае также имеет место представление Лакса, в котором L и M имеют вид (4.1.4) и (4.1.5), где суммирование по k уже производится от 1 до n, En=En,1,qn+1=q1.

Эквивалентность уравнений движения и уравнения Лакса проверяется путем непосредственных вычислений, которые мы оставляем читателю.

Прежде чем перейти к рассмотрению следствий из представления Лакса, укажем еще несколько иных форм этого представления, полезных для дальнейшего.
a) Несимметрическая форма
L~=j=1npjEjj+k=1n1{exp[2(qkqk+1)]Ek+Ek},M~=2k=1n1exp[2(qkqk+1)]Ek.

Эта форма получается из предыдущей путем преобразования подобия LQLQ1,MQMQ1Q˙Q1+L~,
Q=j=1nexp(qj)Ejj.
б) Форма Флашки [168]. Перейдем от переменных pj,qk к новым переменным
aj=exp(qjqj+1),bk=pk,j=1,,(n1),k=1,,n.

Уравнения движения теперь принимают вид
b˙k=2(ak2+ak12),a˙k=ak(bkbk+1).

Мы получили систему уравнений с простейшей (квадратичной) нелинейностью; отметим аналогию этих уравнений с уравнениями движения твердого тела вокруг неподвижной точки, которые также квадратичны по динамическим переменным.
Выражая гамильтониан через переменные aj и bk, поліучаем
H=12tr(L2)=121nbj2+1n1aj2.

Соответственно для скобок Пуассона переменных aj и bk имеем
{bj,aj1}=aj1,{bj,aj}=aj.

Остальные скобки Пуассона равны нулю. Это определяет пуассонову структуру в пространстве переменных (aj,bk).

Из (4.1.10) и (4.1.11) следует, что уравнения (4.1.9) можно записать в гамильтоновом виде:
a˙j={H,aj},b˙k={H,bk}.
в) Приведем еще одну форму представления Лакса, которая допускает прямое обобщение в терминах алгебр Ли (см. раздел 4.5).

Заметим, что величина 1npj от времени не зависит. Это дает возможность перейти в систему центра масс ( 1npj=0 ), в которой динамическими переменными являются величины
aj=exp(qjqj+1),j=1,,(n1),b~1=1n[(n1)p1p2pn]b~2=1n[(n2)(p1+p2)2p32pn],b~n1=1n[p1++pn1(n1)pn]

В этих переменных для уравнений движения по-прежнему имеет место представление Лакса (4.1.3), где
L=j=1n1b~jHj+k=1n1ak(Ek+Ek),M=k=1n1ak(EkEk),

величины ak и b~j даются формулой (4.1.13) , а
Hj=EjjEj+1,j+1,Ek=Ek,k+1,Ek=Ek+=Ek+1,k.

Отметим, что эквивалентность представления Лакса и уравнений движения сразу же следует из перестановочных соотношений для матриц Hj,Ek и Ek,j,k=1,,(n1),
[Hj,Hk]=0,[Ej,Ek]=Hjδjk,[Hj,Ek]=CjkEk.

Здесь матрица Cjk определяет перестановочные соотношения для Hj и Ek и имеет вид

Построенное выше представление Лакса тесно связано с алгеброй Ли G=sl(n,R) — алгеброй вещественных матриц порядка n с нулевым следом. Рассмотрим естественное разложение
G=K+P,

где K-алгебра вещественных кососсимметричных матриц, P— пространство вещественных симметричных матриц. Тогда
[K,K]K,[K,P]P,[P,F]K

и при этом
LP,MK

Величины Hj,Ek и El порождают алгебру G, а величины (EkEk) алгебру K.

Пусть {ej} — стандартный ортонормированный базис в пространстве Rn:e1=(1,0,,0),,en=(0,0,,1). В подпространстве Rn1, ортогональном вектору e=(1,1,,1), введем базис {α1,,αn1} :
α1=e1e2,,αn1=en1en,

и дуальный к нему базис {βk} :
β1=1n((n1)e1e2en),β2=1n((n2)(e1+e2)2e32en),βn1=1n((e1+e2++en1(n1)en)(αj,βk)=δjk

Тогда величины aj и bk, входящие в матрицы L и M, принимают вид
b~j=(βj,p),aj=exp(αj,q)

В этих переменных пуассонова структура имеет особенно простой вид:
{b~j,ak}=akδjk.

Приведем еще выражение для гамильтониана,
H=12tr(L2)=1n1b~j21n2b~jb~j+1+1n1aj2==121n1Cjkb~jb~k+1n1aj2,Cjk=(αj,αk),

и для уравнений движения:
bj~˙=2aj2,a˙j=Cjkajb~k=(αj,p)aj.

Заметим, что векторы αj полностью характеризуют рассматриваемую систему, они образуют так называемую систему простых корней алгебры si(n,R). Отметим, что угол между векторами αj и αj+1 равен 120, а все остальные векторы ортогональны друг другу. Удобно изображать эти векторы кружочками, соединяя неортогональные друг другу векторы линией. Мы приходим, таким образом, к схеме Дынкина алгебры sl(n,R)
α2α1αn1,

которая полностью характеризует рассматриваемую цепочку Тоды.
Отметим еще, что матрица Cjk, называемая матрицей Картана, также определяется схемой Дынкина:
Cjk=(αj,αk),|αj|2=(αj,αj)=2.

В общем случае любой простой алгебре Ли соответствует интегрируемая система типа Тоды, как будет объяснено в разделе 4.5.
2. Анализ уравнений движения. Перейдем теперь к рассмотрению следствий из представления Лакса (4.1.3). Из него сразу же получаем
L(t)=u(t)L(0)u1(t),

где u(t) — ортогональная матрица, являющаяся решением уравнения
u˙=Mu,u(0)=I,M=u˙u1=u1u˙.

Из (4.1:29) сразу же следует, что величины
Ik=k1tr(Lk),I2=H,k=2,,n

являются интегралами движения.
В ряде случаев, однако, бывает удобно использовать другой набор интегралов движения {Ik},k=2,,n. Эти величины определяются уравнением
Δ(λ)=det(λIL)=Πk(λλk)=k(1)kJkλnk.

Докажем теперь, следуя Мозеру [252], что в непериодическом случае для произвольных начальных условий
ak(t)0 при t±,k=1,,(n1).

Это означает, что расстояние между любыми двумя частицами неограниченно возрастает:
|qk+1(t)qk(t)| при t±,k=1,,(n1).

Для доказательства этого утверждения рассмотрим уравнение (4.1.26):
b~˙j=2aj2

Из него следует, что величина b~j(t) является монотонно убывающей функцией времени. С другой стороны, эта величина ограничена в силу ограниченности и положительной определенности кинетической энергии T=12Cjkb~jb~k. Поэтому b~j(t), а следовательно, и величины pk(t) имеют определенный предел при t±. Отсюда следует, что
aj2(t)dt<,

а также что
ai(t)0 при t±.

Действительно, если неравенство (4.1.36) выполнено, а величина aj(t) не стремится к нулю при t±, то существует последовательность |tk| такая, что aj(tk)>ϵ>0. Это, в свою очередь, с учетом ограниченности производной a˙j, что следует из (4.1.26), приводит к нарушению неравенства (4.1.36).

Таким образом, при t± матрица L в (4.1.4) становится диагональной :
L(t)t+diag(p1+,,pn+),L(t)tdiag(p1,,pn),

В силу же условия изоспектральной деформации (4.1.29) величины pj+ (или же pj) и являются собственными значениями λj этой матрицы. Так как взаимодействие в цепочке Тоды является отталкивающим, то асимптотические импульсы pj+, так же как и pj, должны быть различными Можно показать также чисто алгебраически (см. например, [166]), что при выполнении условия aj>0 величины λj являются вещественными и различными, так что можно считать, что
λ1<λ2<<λn.

Теперь из условия (4.1.37) следует, что
pj(t)pj±при t±,

т.е. в процессе эволюции системы на интервале времени ( ,+ ) происходит перестановка импульсов
pj+=λj,pj=λn+1j.

Асимптотическое же поведение величин qj(t) имеет вид
qj(t)pj±t+qj± при t±.
Итак, величины λj=pj+являются интегралами движения. Отметим, что из асимптотического поведения L(t) (4.1.38) следует, что эти величины находятся в инволюции {λj,λk}=0. Нетрудно видеть также, что они функционально независимы. Таким образом, непериодическая цепочка Тоды является вполне интегрируемой гамильтоновой системой.

Переменные λj можно выбрать в качестве переменных действия для рассматриваемой системы. Для нахождения сопряженных к ним переменных rj типа угла в работе Мозера [252] был указан следующий рецепт. Определим функцию f(λ) формулой
f(λ)=Rnn(λ),R(λ)=(λIL)1,

где I — единичная матрица. Разлагая f(λ) на простейшие дроби, получаем
f(λ)=1nrk2λλk,

здесь
rk=un(k),
u(k)=(u1(k),u2(k),,un(k)) собственный вектор матрицы L,
Lu(k)=λku(k),(u(k),u(k))=1,un(k)>0.

Из (4.1.43) и (4.1.44) следует, в частности, что
1nrk2=1

так что лишь n1 величин rk являются независимыми.
Величины rk являются функциями от pj и qk, и их можно рассматривать как параметры на многообразии уровней интегралов движения. Оказывается, что они весьма просто зависят от времени, а отображение, пере водящее переменные pj,qk в переменные λj,rk в области
λ1<λ2<<λn,1nrj2=1,rj>0,

является взаимно однозначным с точностью до общего сдвига величин qj
На этом пути Мозером [252], а также другим способом Кацем и ван Мербеке [214] было показано, что величины pj и expqj являются рацио нальными функциями величин λj и expλkt.

Для нахождения дифференциального уравнения для величин rj(t) воспользуемся уравнением
u˙(k)=Mu(k)

Отсюда получаем
r˙k=u˙n(k)=(Mu(k))n=an1un1(k).

С другой стороны, из уравнения
Lu(k)=λku(k)

следует
an1un1(k)=(λkbn)rk,bn=Lnn=1nλkrk2.

В результате получаем систему уравнений
r˙k=(λkjλjrj2)rk,λ1<λ2<<λn,

которая эквивалентна линейной системе
r˙k=λkrk=urk,u=12Σλkrk2,

при условии, что на величины rk наложена связь
1nrk2=1

Отсюда следует, что величины rk(t) меняются от rk=δk1 при t до rk=δkn при t+ :
rk2(t)=rk2(0)e2λkt1nrj2(0)e2λjt.

Оказывается, что величины aj и bk выражаются рационально через λj и rk2 и, таким образом, являются рациональными функциями от λj и exp(λkt).

Это утверждение, в свою очередь, является следствием обнаруженного Мозером [252] представления функции f(λ) в виде цепной дроби:
f(λ)fn(λ)=1λbnan12λbn1a12λ1b1.

Докажем эту формулу. Пусть Δk — левый верхний угловой минор порядка k матрицы ( λIL ). Тогда, как нетрудно видеть, величины Δk связаны рекуррентным соотношением
Δk=(λbk)Δk1ak12Δk2.

Отсюда следует рекуррентное соотношение для величин
sk=ΔkΔk1,s1=Δ1,Δ01.

Именно,
sk=(λbk)ak121sk1.

С другой стороны, можно показать [252], что
sk=fk1,

где fk — функция, построенная точно так же, как функция f, но для матрищы порядка k, состоящей из первых k строк и столбцов матрицы (λIL).
Отсюда следует рекуррентное соотношение-
fk=1λbkak12fk1,

эквивалентное (4.1.57) .
Для цепочки Тоды, состоящей из небольшого числа частиц, из (4.1.57) можно получить явные формулы для величин aj и bk через λj и rk. Приведем их лишь для простейше го случая двух частиц:
b1=λ2r12+λ1r22r12+r22,b2=λ1r12+λ2r22r12+r22,a1=(λ2λ1)r1r2r12+r22.
3. Инволютивность интегралов движения. Подчеркнем, что полученные результаты существенно использовали асимптотически свободное поведение частиц при t± и потому справедливы только для непериодического случая. В частности, приведенное выше доказательство интегрируемости в периодическом случае не проходит.

Однако здесь можно воспользоваться доказательством, данным в работах [168,169,88].

Именно, докажем, что два различных собственных значения λ и μ матрицы L (являющиеся интегралами движения) находятся в инволюции.

Пусть этим собственным значениям соответствуют нормированные векторы u и v соответственно: (u,u)=1,(v,v)=1. Очевидно, что λ= =(u,Lu), так что
λpj=(u,Lpju),

откуда следует
λpj=uj2.

Аналогично
λqj=2(ajujuj+1aj1uj1uj),

где aj дается формулой (4.1.8). Аналогичные формулы имеют место и для величины μ.

С помощью этих формул получаем
{λ,μ}=2j=1nuj2(ajvjvj+1aj1vj1vj)2j=1nvj2(ajujuj+1aj1uj1uj),

или
{λ,μ}=2j=1nujvj(Rj+Rj1),

где
Rj=aj(ujvj+1vjuj+1).

Умножим теперь уравнение для u
aj1uj1+ajuj+1+bjuj=λuj

на vj, соответствующее уравнение для v — на uj и вычтем одно из другого. Получим
ujvj=1λμ(Rj1Rj).

Следовательно,
{λ,μ}=2λμj=1n(Rj12Rj2),

и в силу условия периодичности Rn+1=R1 сумма в (4.1.65) обращается в нуль.

Можно показать также (см., например, [166]), что в периодическом случае, за исключением подмногообразий в фазовом пространстве размерности n1, собственные значения матрицы L являются простыми. Это завершает доказательство полной интегрируемости цепочки Тоды.
4. Задача рассеяния. Из предыдущего рассмотрения ясно, что в непериодическом случае при t± частицы становятся свободными и, следовательно,
qk(t)=pk+t+qk++O(eδt),δ>0,t+,qk(t)=pkt+qk+O(eδt),t.

При этом, как мы уже видели,
pk+=λk,pk=λnk+1

и, следовательно,
pnk+1+=pk

Соотношение между величинами qj+и qjимеет более сложный вид. А именно, как бъло показано Мозером [252],
qnk+1+=qk¯+cjΦjk(p),

где
Φjk(p)={ln(pjpk¯) для j<k,ln(pjpk¯) для j>k,
c — некоторая константа.
Величина Φjk представляет фазовый сдвиг между двумя частицами, движущимися со скоростями pj,pkпри t. Из формулы (4.1.77) вытекает следующая интерпретация: частицы рассеиваются так, как если бы происходила последовательность лишь парных рассеяний.
5. Высшие цепочки Тоды. Гамильтониан обычной цепочки Тоды имел вид
H1=12trL2

Мы можем рассмотреть также гамильтоновы системы, описываемые высшими гамильтонианами
Hk=1k+1tr(Lk+1).

Все такие системы также являются вполне интегрируемыми, и интегралы движения для них имеют прежний вид
Ik=1ktr(Lk).

Все они обладают представлением Лакса
L˙=[L,Mk]

где Mk — вещественная кососимметричная матрица, у которой k диагоналей, ближних к главной диагонали, отличны от нуля; все остальные матричные элементы равны нулю. Именно,
Mk=(Lk)+(Lk).

Здесь A± означает строго верхнюю (соответственно нижнюю) треугольную часть матрицы A.
Рассмотрим следующий по сложности пример системы с
H=H2=13tr(L3)

Уравнения движения в этом случае имеют вид
a˙k=ak(ak12ak+12+bk2bk+12),b˙k=2bk(ak12ak2)+2bk1ak122bk+1ak2.

Эти уравнения эквивалентны уравнению Лакса
L˙=[L,M2]
где матрица M2 имеет вид
Здесь
βk=(bk+bk+1)ak,k=1,,n1,γk=akak+1,k=1,,n2.

Решение уравнений движения (4.1.84) дается рациональными функциями λj и exp(λkt).

Интересно, что уравнения (4.1.84) обладают инвариантным многообразием bk=0,k=1,,n, на котором они сводятся к уравнениям
a˙k=ak(ak12ak+12).

Эти уравнения определяют изоспектральную деформацию матрицы Якоби с нулевой главной диагональю.
Подставляя вместо ak величины ck=ak2, получаем
c˙k=2ck(ck1ck+1)
т.е. известные уравнения Вольтерра.

1
Оглавление
email@scask.ru