Обычная непериодическая цепочка Тоды – это система $n$ взаимодействующих частиц на прямой с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{1}^{n} p_{j}^{2}+g^{2} \sum_{1}^{n-1} \exp \left[2\left(q_{j}-q_{j+1}\right)\right] .
\]

Для периодического случая такая система характеризуется гамильтонианом
\[
H^{\prime}=\frac{1}{2} \sum_{1}^{n} p_{j}^{2}+g^{2} \sum_{1}^{n} \exp \left[2\left(q_{j}-q_{j+1}\right)\right], \quad q_{n+1}=q_{1} .
\]

Здесь $q_{j}$ – координата $j$-й частицы, $p_{j}$ – ее импульс. Заметим, что после перехода в систему центра масс ( $\sum_{1}^{n} p_{j}=0$ ) мы получаем систему с $n-1$ степенью свободы. Отметим также, что с помощью сдвигов координат $q_{j} \rightarrow q_{j}+a_{j}$ мы можем перейти к случаю $g=1$ для непериодической цепочки и к гамильтониану
\[
H^{\prime \prime}=\frac{1}{2} \sum_{1}^{n} p_{j}^{2}+\sum_{j=1}^{n-1} \exp \left[2\left(q_{j}-q_{j+1}\right)\right]+f^{2} \exp \left[2\left(q_{n}-q_{1}\right)\right]
\]

для периодической цепочки.
Уравнения движения в непериодическом случае имеют вид (мы полагаем далее $g=1$ )
\[
\begin{array}{l}
\dot{q}_{j}=p_{j}, \quad j=1, \ldots, n, \\
\dot{p}_{1}=-2 \exp \left[2\left(q_{1}-q_{2}\right)\right], \quad \dot{p}_{n}=2 \exp \left[2\left(q_{n-1}-q_{n}\right)\right], \\
\dot{p}_{j}=-2 \exp \left[2\left(q_{j}-q_{j+1}\right)\right]+2 \exp \left[2\left(q_{j-1}-q_{j}\right)\right], \quad j=2, \ldots,(n-1) .
\end{array}
\]

В периодическом же случае мы имеем
\[
\dot{q}_{j}=p_{j}, \dot{p}_{j}=2\left\{\exp \left[2\left(q_{j-1}-q_{j}\right)\right]-\exp \left[2\left(q_{j}-q_{j+1}\right)\right]\right\} .
\]

Хотя уравнения (4.1.2) и (4.1.2′), на первый взгляд, отличаются друг от друга незначительно, поведение их решений имеет совершенно различный характер: уравнения (4.1.2) при $t \rightarrow \pm \infty$ описывают свободное движение частиц, так что в этом случае естественно рассматривать задачу рассеяния; решения же уравнений (4.1.2′) квазипериодичны по $t$ и описывают сложные нелинейные колебания системы.
1. Представление Лакса. Как в непериодическом, так и в периодическом случаях уравнения движения цепочки Тоды для $n$ частиц обладают $n$ интегралами движения [196]. Явный вид их сразу же следует из представления Лакса, открытого в работах Флашки $[168,169]$ и Манакова [88]. Именно, в этих работах было показано, что уравнения движения (4.1.2) и (4.1.2′) эквивалентны матричному уравнению Лакса
\[
\dot{L}=[L, M] \text {. }
\]

Здесь матрицы $L$ и $M$ зависят от динамических переменных $p_{j}$ и $q_{k}$ и в непериодическом случае являются матрицами Якоби (т.е. все элементы этих матриц равны нулю, за исключением элементов на главной диагонали и двух соседних с ней диагоналях). Иными словами, матрицы $L$ и $M$ имеют вид
\[
\begin{array}{l}
L=\sum_{j=1}^{n} p_{j} E_{j j}+\sum_{k=1}^{n-1} \exp \left(q_{k}-q_{k+1}\right)\left(E_{k}+E_{-k}\right), \\
M=\sum_{k=1}^{n-1} \exp \left(q_{k}-q_{k+1}\right)\left(E_{k}-E_{-k}\right) .
\end{array}
\]

Здесь
\[
E_{k}=E_{k, k+1}, E_{-k}=E_{k}^{+}=E_{k+1, k},
\]
$E_{j k}$ – матрица, элемент которой, стоящий в $j$-й строке и $k$-м столбце, равен единице, остальные элементы равны нулю. В периодическом случае также имеет место представление Лакса, в котором $L$ и $M$ имеют вид (4.1.4) и (4.1.5), где суммирование по $k$ уже производится от 1 до $n$, $E_{n}=E_{n, 1}, q_{n+1}=q_{1}$.

Эквивалентность уравнений движения и уравнения Лакса проверяется путем непосредственных вычислений, которые мы оставляем читателю.

Прежде чем перейти к рассмотрению следствий из представления Лакса, укажем еще несколько иных форм этого представления, полезных для дальнейшего.
a) Несимметрическая форма
\[
\begin{array}{l}
\tilde{L}=\sum_{j=1}^{n} p_{j} E_{j j}+\sum_{k=1}^{n-1}\left\{\exp \left[2\left(q_{k}-q_{k+1}\right)\right] E_{k}+E_{-k}\right\}, \\
\tilde{M}=2 \sum_{k=1}^{n-1} \exp \left[2\left(q_{k}-q_{k+1}\right)\right] E_{k} .
\end{array}
\]

Эта форма получается из предыдущей путем преобразования подобия $L \rightarrow Q L Q^{-1}, \quad M \rightarrow Q M Q^{-1}-\dot{Q} Q^{-1}+\tilde{L}$,
$Q=\sum_{j=1}^{n} \exp \left(q_{j}\right) \cdot E_{j j}$.
б) Форма Флашки [168]. Перейдем от переменных $p_{j}, q_{k}$ к новым переменным
\[
a_{j}=\exp \left(q_{j}-q_{j+1}\right), \quad b_{k}=p_{k}, j=1, \ldots,(n-1), k=1, \ldots, n .
\]

Уравнения движения теперь принимают вид
\[
\dot{b}_{k}=2\left(-a_{k}^{2}+a_{k-1}^{2}\right), \quad \dot{a}_{k}=a_{k}\left(b_{k}-b_{k+1}\right) .
\]

Мы получили систему уравнений с простейшей (квадратичной) нелинейностью; отметим аналогию этих уравнений с уравнениями движения твердого тела вокруг неподвижной точки, которые также квадратичны по динамическим переменным.
Выражая гамильтониан через переменные $a_{j}$ и $b_{k}$, поліучаем
\[
H=\frac{1}{2} \operatorname{tr}\left(L^{2}\right)=\frac{1}{2} \sum_{1}^{n} b_{j}^{2}+\sum_{1}^{n-1} a_{j}^{2} .
\]

Соответственно для скобок Пуассона переменных $a_{j}$ и $b_{k}$ имеем
\[
\left\{b_{j}, a_{j-1}\right\}=-a_{j-1}, \quad\left\{b_{j}, a_{j}\right\}=a_{j} .
\]

Остальные скобки Пуассона равны нулю. Это определяет пуассонову структуру в пространстве переменных $\left(a_{j}, b_{k}\right)$.

Из (4.1.10) и (4.1.11) следует, что уравнения (4.1.9) можно записать в гамильтоновом виде:
\[
\dot{a}_{j}=\left\{H, a_{j}\right\}, \quad \dot{b}_{k}=\left\{H, b_{k}\right\} .
\]
в) Приведем еще одну форму представления Лакса, которая допускает прямое обобщение в терминах алгебр Ли (см. раздел 4.5).

Заметим, что величина $\sum_{1}^{n} p_{j}$ от времени не зависит. Это дает возможность перейти в систему центра масс ( $\sum_{1}^{n} p_{j}=0$ ), в которой динамическими переменными являются величины
\[
\begin{array}{l}
a_{j}=\exp \left(q_{j}-q_{j+1}\right), \quad j=1, \ldots,(n-1), \\
\tilde{b}_{1}=\frac{1}{n}\left[(n-1) p_{1}-p_{2}-\ldots-p_{n}\right] \text {, } \\
\tilde{b}_{2}=\frac{1}{n}\left[(n-2)\left(p_{1}+p_{2}\right)-2 p_{3}-\ldots-2 p_{n}\right], \\
\tilde{b}_{n-1}=\frac{1}{n}\left[p_{1}+\ldots+p_{n-1}-(n-1) p_{n}\right] \text {. } \\
\end{array}
\]

В этих переменных для уравнений движения по-прежнему имеет место представление Лакса (4.1.3), где
\[
L=\sum_{j=1}^{n-1} \tilde{b}_{j} H_{j}+\sum_{k=1}^{n-1} a_{k}\left(E_{k}+E_{-k}\right), \quad M=\sum_{k=1}^{n-1} a_{k}\left(E_{k}-E_{-k}\right),
\]

величины $a_{k}$ и $\tilde{b}_{j}$ даются формулой (4.1.13) , а
\[
H_{j}=E_{j j}-E_{j+1, j+1}, \quad E_{k}=E_{k, k+1}, E_{-k}=E_{k}^{+}=E_{k+1, k} .
\]

Отметим, что эквивалентность представления Лакса и уравнений движения сразу же следует из перестановочных соотношений для матриц $H_{j}, E_{k}$ и $E_{-k}, j, k=1, \ldots,(n-1)$,
\[
\left[H_{j}, H_{k}\right]=0,\left[E_{j}, E_{-k}\right]=H_{j} \delta_{j k},\left[H_{j}, E_{k}\right]=C_{j k} E_{k} .
\]

Здесь матрица $C_{j k}$ определяет перестановочные соотношения для $H_{j}$ и $E_{k}$ и имеет вид

Построенное выше представление Лакса тесно связано с алгеброй Ли $\mathscr{G}=\operatorname{sl}(n, \mathbb{R})$ – алгеброй вещественных матриц порядка $n$ с нулевым следом. Рассмотрим естественное разложение
\[
\mathscr{G}=\mathscr{K}+\mathscr{P},
\]

где $\mathscr{K}$-алгебра вещественных кососсимметричных матриц, $\mathscr{P}$– пространство вещественных симметричных матриц. Тогда
\[
[\mathscr{K}, \mathscr{K}] \subset \mathscr{K}, \quad[\mathscr{K}, \mathscr{P}] \subset \mathscr{P}, \quad[\mathscr{P}, \mathscr{F}] \subset \mathscr{K}
\]

и при этом
\[
L \subset \mathscr{P}, \quad M \in \mathscr{K} \text {. }
\]

Величины $H_{j}, E_{k}$ и $E_{-l}$ порождают алгебру $\mathscr{G}$, а величины $\left(E_{k}-E_{-k}\right)$ алгебру $\mathscr{K}$.

Пусть $\left\{e_{j}\right\}$ – стандартный ортонормированный базис в пространстве $\mathbb{R}^{n}: e_{1}=(1,0, \ldots, 0), \ldots, e_{n}=(0,0, \ldots, 1)$. В подпространстве $\mathbb{R}^{n-1}$, ортогональном вектору $e=(1,1, \ldots, 1)$, введем базис $\left\{\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n-1}\right\}$ :
\[
\alpha_{1}=e_{1}-e_{2}, \ldots, \alpha_{n-1}=e_{n-1}-e_{n},
\]

и дуальный к нему базис $\left\{\beta_{k}\right\}$ :
\[
\begin{array}{l}
\beta_{1}=\frac{1}{n}\left((n-1) e_{1}-e_{2}-\ldots-e_{n}\right), \\
\beta_{2}=\frac{1}{n}\left((n-2)\left(e_{1}+e_{2}\right)-2 e_{3}-\ldots-2 e_{n}\right), \\
\beta_{n-1}=\frac{1}{n}\left(\left(e_{1}+e_{2}+\ldots+e_{n-1}-(n-1) e_{n}\right)\right. \text {, } \\
\left(\alpha_{j}, \beta_{k}\right)=\delta_{j k} \text {. } \\
\end{array}
\]

Тогда величины $a_{j}$ и $b_{k}$, входящие в матрицы $L$ и $M$, принимают вид
\[
\tilde{b}_{j}=\left(\beta_{j}, p\right), \quad a_{j}=\exp \left(\alpha_{j}, q\right) \text {. }
\]

В этих переменных пуассонова структура имеет особенно простой вид:
\[
\left\{\tilde{b}_{j}, a_{k}\right\}=a_{k} \delta_{j k} .
\]

Приведем еще выражение для гамильтониана,
\[
\begin{array}{l}
H=\frac{1}{2} \operatorname{tr}\left(L^{2}\right)=\sum_{1}^{n-1} \tilde{b}_{j}^{2}-\sum_{1}^{n-2} \tilde{b}_{j} \tilde{b}_{j+1}+\sum_{1}^{n-1} a_{j}^{2}= \\
=\frac{1}{2} \sum_{1}^{n-1} C_{j k} \tilde{b}_{j} \tilde{b}_{k}+\sum_{1}^{n-1} a_{j}^{2}, \quad C_{j k}=\left(\alpha_{j}, \alpha_{k}\right),
\end{array}
\]

и для уравнений движения:
\[
\dot{\tilde{b_{j}}}=-2 a_{j}^{2}, \quad \dot{a}_{j}=C_{j k} a_{j} \tilde{b}_{k}=\left(\alpha_{j}, p\right) a_{j} .
\]

Заметим, что векторы $\alpha_{j}$ полностью характеризуют рассматриваемую систему, они образуют так называемую систему простых корней алгебры $\operatorname{si}(n, \mathbb{R})$. Отметим, что угол между векторами $\alpha_{j}$ и $\alpha_{j+1}$ равен $120^{\circ}$, а все остальные векторы ортогональны друг другу. Удобно изображать эти векторы кружочками, соединяя неортогональные друг другу векторы линией. Мы приходим, таким образом, к схеме Дынкина алгебры $\operatorname{sl}(n, \mathbb{R})$
\[
\stackrel{\alpha_{1}}{\alpha_{2}} \ldots \stackrel{\alpha_{n-1}}{-},
\]

которая полностью характеризует рассматриваемую цепочку Тоды.
Отметим еще, что матрица $C_{j k}$, называемая матрицей Картана, также определяется схемой Дынкина:
\[
C_{j k}=\left(\alpha_{j}, \alpha_{k}\right), \quad\left|\alpha_{j}\right|^{2}=\left(\alpha_{j}, \alpha_{j}\right)=2 .
\]

В общем случае любой простой алгебре Ли соответствует интегрируемая система типа Тоды, как будет объяснено в разделе 4.5.
2. Анализ уравнений движения. Перейдем теперь к рассмотрению следствий из представления Лакса (4.1.3). Из него сразу же получаем
\[
L(t)=u(t) L(0) u^{-1}(t),
\]

где $u(t)$ – ортогональная матрица, являющаяся решением уравнения
\[
\dot{u}=-M u, \quad u(0)=I, \quad M=-\dot{u} u^{-1}=u^{-1} \dot{u} .
\]

Из (4.1:29) сразу же следует, что величины
\[
I_{k}=k^{-1} \operatorname{tr}\left(L^{k}\right), \quad I_{2}=H, k=2, \ldots, n
\]

являются интегралами движения.
В ряде случаев, однако, бывает удобно использовать другой набор интегралов движения $\left\{\boldsymbol{I}_{k}\right\}, k=2, \ldots, n$. Эти величины определяются уравнением
\[
\Delta(\lambda)=\operatorname{det}(\lambda I-L)=\Pi_{k}\left(\lambda-\lambda_{k}\right)=\sum_{k}(-1)^{k} \boldsymbol{J}_{k} \lambda^{n-k} .
\]

Докажем теперь, следуя Мозеру [252], что в непериодическом случае для произвольных начальных условий
\[
a_{k}(t) \rightarrow 0 \quad \text { при } \quad t \rightarrow \pm \infty, \quad k=1, \ldots,(n-1) .
\]

Это означает, что расстояние между любыми двумя частицами неограниченно возрастает:
\[
\left|q_{k+1}(t)-q_{k}(t)\right| \rightarrow \infty \text { при } t \rightarrow \pm \infty, k=1, \ldots,(n-1) .
\]

Для доказательства этого утверждения рассмотрим уравнение (4.1.26):
\[
\dot{\tilde{b}}_{j}=-2 a_{j}^{2} \text {. }
\]

Из него следует, что величина $\tilde{b}_{j}(t)$ является монотонно убывающей функцией времени. С другой стороны, эта величина ограничена в силу ограниченности и положительной определенности кинетической энергии $T=\frac{1}{2} C_{j k} \tilde{b}_{j} \tilde{b}_{k}$. Поэтому $\tilde{b}_{j}(t)$, а следовательно, и величины $p_{k}(t)$ имеют определенный предел при $t \rightarrow \pm \infty$. Отсюда следует, что
\[
\int_{-\infty}^{\infty} a_{j}^{2}(t) d t<\infty,
\]

а также что
\[
a_{i}(t) \rightarrow 0 \quad \text { при } \quad t \rightarrow \pm \infty .
\]

Действительно, если неравенство (4.1.36) выполнено, а величина $a_{j}(t)$ не стремится к нулю при $t \rightarrow \pm \infty$, то существует последовательность $\left|t_{k}\right| \rightarrow \infty$ такая, что $a_{j}\left(t_{k}\right)>\epsilon>0$. Это, в свою очередь, с учетом ограниченности производной $\dot{a}_{j}$, что следует из (4.1.26), приводит к нарушению неравенства (4.1.36).

Таким образом, при $t \rightarrow \pm \infty$ матрица $L$ в (4.1.4) становится диагональной :
\[
\begin{array}{l}
L(t) \underset{t \rightarrow+\infty}{\sim} \operatorname{diag}\left(p_{1}^{+}, \ldots, p_{n}^{+}\right), \\
L(t)_{t \rightarrow-\infty}^{\sim} \operatorname{diag}\left(p_{1}^{-}, \ldots, p_{n}^{-}\right),
\end{array}
\]

В силу же условия изоспектральной деформации (4.1.29) величины $p_{j}^{+}$ (или же $p_{j}^{-}$) и являются собственными значениями $\lambda_{j}$ этой матрицы. Так как взаимодействие в цепочке Тоды является отталкивающим, то асимптотические импульсы $p_{j}^{+}$, так же как и $p_{j}^{-}$, должны быть различными Можно показать также чисто алгебраически (см. например, [166]), что при выполнении условия $a_{j}>0$ величины $\lambda_{j}$ являются вещественными и различными, так что можно считать, что
\[
\lambda_{1}<\lambda_{2}<\ldots<\lambda_{n} .
\]

Теперь из условия (4.1.37) следует, что
\[
p_{j}(t) \sim p_{j}^{ \pm} \text {при } t \rightarrow \pm \infty,
\]

т.е. в процессе эволюции системы на интервале времени ( $-\infty,+\infty$ ) происходит перестановка импульсов
\[
p_{j}^{+}=\lambda_{j}, \quad p_{j}^{-}=\lambda_{n+1-j} .
\]

Асимптотическое же поведение величин $q_{j}(t)$ имеет вид
$q_{j}(t) \sim p_{j}^{ \pm} t+q_{j}^{ \pm} \quad$ при $\quad t \rightarrow \pm \infty$.
Итак, величины $\lambda_{j}=p_{j}^{+}$являются интегралами движения. Отметим, что из асимптотического поведения $L(t)$ (4.1.38) следует, что эти величины находятся в инволюции $\left\{\lambda_{j}, \lambda_{k}\right\}=0$. Нетрудно видеть также, что они функционально независимы. Таким образом, непериодическая цепочка Тоды является вполне интегрируемой гамильтоновой системой.

Переменные $\lambda_{j}$ можно выбрать в качестве переменных действия для рассматриваемой системы. Для нахождения сопряженных к ним переменных $r_{j}$ типа угла в работе Мозера [252] был указан следующий рецепт. Определим функцию $f(\lambda)$ формулой
\[
f(\lambda)=R_{n n}(\lambda), \quad R(\lambda)=(\lambda I-L)^{-1},
\]

где $I$ – единичная матрица. Разлагая $f(\lambda)$ на простейшие дроби, получаем
\[
f(\lambda)=\sum_{1}^{n} \frac{r_{k}^{2}}{\lambda-\lambda_{k}},
\]

здесь
\[
r_{k}=u_{n}^{(k)},
\]
$u^{(k)}=\left(u_{1}^{(k)}, u_{2}^{(k)}, \ldots, u_{n}^{(k)}\right)-$ собственный вектор матрицы $L$,
\[
L u^{(k)}=\lambda_{k} u^{(k)},\left(u^{(k)}, u^{(k)}\right)=1, \quad u_{n}^{(k)}>0 .
\]

Из (4.1.43) и (4.1.44) следует, в частности, что
\[
\sum_{1}^{n} r_{k}^{2}=1
\]

так что лишь $n-1$ величин $r_{k}$ являются независимыми.
Величины $r_{k}$ являются функциями от $p_{j}$ и $q_{k}$, и их можно рассматривать как параметры на многообразии уровней интегралов движения. Оказывается, что они весьма просто зависят от времени, а отображение, пере водящее переменные $p_{j}, q_{k}$ в переменные $\lambda_{j}, r_{k}$ в области
\[
\lambda_{1}<\lambda_{2}<\ldots<\lambda_{n}, \quad \sum_{1}^{n} r_{j}^{2}=1, \quad r_{j}>0,
\]

является взаимно однозначным с точностью до общего сдвига величин $q_{j}$
На этом пути Мозером [252], а также другим способом Кацем и ван Мербеке [214] было показано, что величины $p_{j}$ и $\exp q_{j}$ являются рацио нальными функциями величин $\lambda_{j}$ и $\exp \lambda_{k} t$.

Для нахождения дифференциального уравнения для величин $r_{j}(t)$ воспользуемся уравнением
\[
\dot{u}^{(k)}=-M u^{(k)} \text {. }
\]

Отсюда получаем
\[
\dot{r}_{k}=\dot{u}_{n}^{(k)}=-\left(M u^{(k)}\right)_{n}=a_{n-1} u_{n-1}^{(k)} .
\]

С другой стороны, из уравнения
\[
L u^{(k)}=\lambda_{k} u^{(k)}
\]

следует
\[
a_{n-1} u_{n-1}^{(k)}=\left(\lambda_{k}-b_{n}\right) r_{k}, \quad b_{n}=L_{n n}=\sum_{1}^{n} \lambda_{k} r_{k}^{2} .
\]

В результате получаем систему уравнений
\[
\dot{r}_{k}=\left(\lambda_{k}-\sum_{j} \lambda_{j} r_{j}^{2}\right) r_{k}, \quad \lambda_{1}<\lambda_{2}<\ldots<\lambda_{n},
\]

которая эквивалентна линейной системе
\[
\dot{r}_{k}=\lambda_{k} r_{k}=\frac{\partial u}{\partial r_{k}}, \quad u=\frac{1}{2} \Sigma \lambda_{k} r_{k}^{2},
\]

при условии, что на величины $r_{k}$ наложена связь
\[
\sum_{1}^{n} r_{k}^{2}=1
\]

Отсюда следует, что величины $r_{k}(t)$ меняются от $r_{k}=\delta_{k_{1}}$ при $t \rightarrow-\infty$ до $r_{k}=\delta_{k n}$ при $t \rightarrow+\infty$ :
\[
r_{k}^{2}(t)=\frac{r_{k}^{2}(0) e^{2 \lambda_{k} t}}{\sum_{1}^{n} r_{j}^{2}(0) e^{2 \lambda_{j} t}} .
\]

Оказывается, что величины $a_{j}$ и $b_{k}$ выражаются рационально через $\lambda_{j}$ и $r_{k}^{2}$ и, таким образом, являются рациональными функциями от $\lambda_{j}$ и $\exp \left(\lambda_{k} t\right)$.

Это утверждение, в свою очередь, является следствием обнаруженного Мозером [252] представления функции $f(\lambda)$ в виде цепной дроби:
\[
f(\lambda) \equiv f_{n}(\lambda)=\frac{1}{\lambda-b_{n}-\frac{a_{n-1}^{2}}{\lambda-b_{n-1}} \cdot \ddots \frac{a_{1}^{2}}{\lambda_{1}-b_{1}}} .
\]

Докажем эту формулу. Пусть $\Delta_{k}$ – левый верхний угловой минор порядка $k$ матрицы ( $\lambda I-L$ ). Тогда, как нетрудно видеть, величины $\Delta_{k}$ связаны рекуррентным соотношением
\[
\Delta_{k}=\left(\lambda-b_{k}\right) \Delta_{k-1}-a_{k-1}^{2} \Delta_{k-2} .
\]

Отсюда следует рекуррентное соотношение для величин
\[
s_{k}=\frac{\Delta_{k}}{\Delta_{k-1}}, \quad s_{1}=\Delta_{1}, \quad \Delta_{0} \equiv 1 .
\]

Именно,
\[
s_{k}=\left(\lambda-b_{k}\right)-a_{k-1}^{2} \frac{1}{s_{k-1}} .
\]

С другой стороны, можно показать [252], что
\[
s_{k}=f_{k}^{-1},
\]

где $f_{k}$ – функция, построенная точно так же, как функция $f$, но для матрищы порядка $k$, состоящей из первых $k$ строк и столбцов матрицы $(\lambda I-L)$.
Отсюда следует рекуррентное соотношение-
\[
f_{k}=\frac{1}{\lambda-b_{k}-a_{k-1}^{2} f_{k-1}},
\]

эквивалентное (4.1.57) .
Для цепочки Тоды, состоящей из небольшого числа частиц, из (4.1.57) можно получить явные формулы для величин $a_{j}$ и $b_{k}$ через $\lambda_{j}$ и $r_{k}$. Приведем их лишь для простейше го случая двух частиц:
\[
b_{1}=\frac{\lambda_{2} r_{1}^{2}+\lambda_{1} r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}}, \quad b_{2}=\frac{\lambda_{1} r_{1}^{2}+\lambda_{2} r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}}, \quad a_{1}=\frac{\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right) r_{1} r_{2}}{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}} .
\]
3. Инволютивность интегралов движения. Подчеркнем, что полученные результаты существенно использовали асимптотически свободное поведение частиц при $t \rightarrow \pm \infty$ и потому справедливы только для непериодического случая. В частности, приведенное выше доказательство интегрируемости в периодическом случае не проходит.

Однако здесь можно воспользоваться доказательством, данным в работах $[168,169,88]$.

Именно, докажем, что два различных собственных значения $\lambda$ и $\mu$ матрицы $L$ (являющиеся интегралами движения) находятся в инволюции.

Пусть этим собственным значениям соответствуют нормированные векторы $u$ и $v$ соответственно: $(u, u)=1,(v, v)=1$. Очевидно, что $\lambda=$ $=(u, L u)$, так что
\[
\frac{\partial \lambda}{\partial p_{j}}=\left(u, \frac{\partial L}{\partial p_{j}} u\right),
\]

откуда следует
\[
\frac{\partial \lambda}{\partial p_{j}}=u_{j}^{2} .
\]

Аналогично
\[
\frac{\partial \lambda}{\partial q_{j}}=2\left(a_{j} u_{j} u_{j+1}-a_{j-1} u_{j-1} u_{j}\right),
\]

где $a_{j}$ дается формулой (4.1.8). Аналогичные формулы имеют место и для величины $\mu$.

С помощью этих формул получаем
\[
\begin{array}{l}
\{\lambda, \mu\}=2 \sum_{j=1}^{n} u_{j}^{2}\left(a_{j} v_{j} v_{j+1}-a_{j-1} v_{j-1} v_{j}\right)- \\
-2 \sum_{j=1}^{n} v_{j}^{2}\left(a_{j} u_{j} u_{j+1}-a_{j-1} u_{j-1} u_{j}\right),
\end{array}
\]

или
\[
\{\lambda, \mu\}=2 \sum_{j=1}^{n} u_{j} v_{j}\left(R_{j}+R_{j-1}\right),
\]

где
\[
R_{j}=a_{j}\left(u_{j} v_{j+1}-v_{j} u_{j+1}\right) .
\]

Умножим теперь уравнение для $u$
\[
a_{j-1} u_{j-1}+a_{j} u_{j+1}+b_{j} u_{j}=\lambda u_{j}
\]

на $v_{j}$, соответствующее уравнение для $v$ – на $u_{j}$ и вычтем одно из другого. Получим
\[
u_{j} v_{j}=\frac{1}{\lambda-\mu}\left(R_{j-1}-R_{j}\right) .
\]

Следовательно,
\[
\{\lambda, \mu\}=\frac{2}{\lambda-\mu} \sum_{j=1}^{n}\left(R_{j-1}^{2}-R_{j}^{2}\right),
\]

и в силу условия периодичности $R_{n+1}=R_{1}$ сумма в (4.1.65) обращается в нуль.

Можно показать также (см., например, [166]), что в периодическом случае, за исключением подмногообразий в фазовом пространстве размерности $n-1$, собственные значения матрицы $L$ являются простыми. Это завершает доказательство полной интегрируемости цепочки Тоды.
4. Задача рассеяния. Из предыдущего рассмотрения ясно, что в непериодическом случае при $t \rightarrow \pm \infty$ частицы становятся свободными и, следовательно,
\[
\begin{array}{l}
q_{k}(t)=p_{k}^{+} t+q_{k}^{+}+O\left(e^{-\delta t}\right), \quad \delta>0, \quad t \rightarrow+\infty, \\
q_{k}(t)=p_{k}^{-} t+q_{k}^{-}+O\left(e^{\delta t}\right), \quad t \rightarrow-\infty .
\end{array}
\]

При этом, как мы уже видели,
\[
p_{k}^{+}=\lambda_{k}, \quad p_{k}^{-}=\lambda_{n-k+1}
\]

и, следовательно,
\[
p_{n-k+1}^{+}=p_{k}^{-} \text {. }
\]

Соотношение между величинами $q_{j}^{+}$и $q_{j}^{-}$имеет более сложный вид. А именно, как бъло показано Мозером [252],
\[
q_{n-k+1}^{+}=q_{\bar{k}}^{-}+c \sum_{j} \Phi_{j k}\left(p^{-}\right),
\]

где
\[
\Phi_{j k}\left(p^{-}\right)=\left\{\begin{array}{rll}
\ln \left(p_{j}^{-}-p_{\bar{k}}\right) & \text { для } & j<k, \\
-\ln \left(p_{j}^{-}-p_{\bar{k}}\right) & \text { для } & j>k,
\end{array}\right.
\]
$c$ – некоторая константа.
Величина $\Phi_{j k}$ представляет фазовый сдвиг между двумя частицами, движущимися со скоростями $p_{j}^{-}, p_{k}^{-}$при $t \rightarrow-\infty$. Из формулы (4.1.77) вытекает следующая интерпретация: частицы рассеиваются так, как если бы происходила последовательность лишь парных рассеяний.
5. Высшие цепочки Тоды. Гамильтониан обычной цепочки Тоды имел вид
\[
H_{1}=\frac{1}{2} \operatorname{tr} L^{2}
\]

Мы можем рассмотреть также гамильтоновы системы, описываемые высшими гамильтонианами
\[
H_{k}=\frac{1}{k+1} \operatorname{tr}\left(L^{k+1}\right) .
\]

Все такие системы также являются вполне интегрируемыми, и интегралы движения для них имеют прежний вид
\[
I_{k}=\frac{1}{k} \operatorname{tr}\left(L^{k}\right) .
\]

Все они обладают представлением Лакса
\[
\dot{L}=\left[L, M_{k}\right] \text {, }
\]

где $M_{k}$ – вещественная кососимметричная матрица, у которой $k$ диагоналей, ближних к главной диагонали, отличны от нуля; все остальные матричные элементы равны нулю. Именно,
\[
M_{k}=\left(L^{k}\right)^{+}-\left(L^{k}\right)^{-} .
\]

Здесь $A^{ \pm \prime}$ означает строго верхнюю (соответственно нижнюю) треугольную часть матрицы $A$.
Рассмотрим следующий по сложности пример системы с
\[
H=H_{2}=\frac{1}{3} \operatorname{tr}\left(L^{3}\right) \text {. }
\]

Уравнения движения в этом случае имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\dot{a}_{k}=a_{k}\left(a_{k-1}^{2}-a_{k+1}^{2}+b_{k}^{2}-b_{k+1}^{2}\right), \\
\dot{b}_{k}=2 b_{k}\left(a_{k-1}^{2}-a_{k}^{2}\right)+2 b_{k-1} a_{k-1}^{2}-2 b_{k+1} a_{k}^{2} .
\end{array}
\]

Эти уравнения эквивалентны уравнению Лакса
\[
\dot{L}=\left[L, M_{2}\right] \text {, }
\]
где матрица $M_{2}$ имеет вид
Здесь
\[
\begin{array}{l}
\beta_{k}=\left(b_{k}+b_{k+1}\right) a_{k}, \quad k=1, \ldots, n-1, \\
\gamma_{k}=a_{k} a_{k+1}, \quad k=1, \ldots, n-2 .
\end{array}
\]

Решение уравнений движения (4.1.84) дается рациональными функциями $\lambda_{j}$ и $\exp \left(\lambda_{k} t\right)$.

Интересно, что уравнения (4.1.84) обладают инвариантным многообразием $b_{k}=0, k=1, \ldots, n$, на котором они сводятся к уравнениям
\[
\dot{a}_{k}=a_{k}\left(a_{k-1}^{2}-a_{k+1}^{2}\right) .
\]

Эти уравнения определяют изоспектральную деформацию матрицы Якоби с нулевой главной диагональю.
Подставляя вместо $a_{k}$ величины $c_{k}=a_{k}^{2}$, получаем
\[
\dot{c}_{k}=2 c_{k}\left(c_{k-1}-c_{k+1}\right) \text {, }
\]
т.е. известные уравнения Вольтерра.