Чтобы мотивировать введение основных понятий теории гамильтоновых динамических систем, начнем с рассмотрения простейшего примера.

Пусть материальная точка (частица) с массой $m$ находится в потенциальном поле $U(q)$, где $q=\left(q^{1}, \ldots, q^{n}\right)$ – вектор $n$-мерного пространства. Тогда движение частицы описывается уравнениями Ньютона
\[
m \ddot{q}^{j}=-\frac{\partial U}{\partial q^{j}},
\]

где точқа означает дифференцирование по времени. Введем, как обычно, вектор импульса
\[
p=\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right), \quad p_{j}=m \ddot{q}^{j}
\]

и энергию – функцию Гамильтона, или просто гамильтониан,
\[
H=\frac{1}{2 m} p^{2}+U(q), \quad p^{2}=p_{j} p_{j} \equiv \sum_{j=1}^{n} p_{j} p_{j} .
\]

Тогда уравнения Ньютона (1.1.1) можно перенисать в виде уравнений Гамильтона
\[
\dot{q}^{j}=\frac{\partial H}{\partial p_{j}}, \quad \dot{p}_{j}=-\frac{\partial H}{\partial q^{j}},
\]

причем эти уравнения описывают движение системы и в случае произвольной зависимости функции Гамильтона $H(p, q)$ от $p$ и $q$. Уравнения (1.1.3) можно записать в виде одного уравнения. Для этого объединим, прежде всего, векторы $p$ и $q$ в один $2 n$-мерный вектор $x=(p, q)$, величины $\left(\frac{\partial H}{\partial p_{j}} ; \frac{\partial H}{\partial q^{k}}\right)$ – в $2 n$-мерный вектор $
abla H$ и введем матрицу $J$ порядка $2 n$ :
\[
J=\left(\begin{array}{ll}
0 & \mathrm{I} \\
\mathrm{I} & 0
\end{array}\right),
\]

где I – единичная матрица порядка $n$. Тогда уравнения Гамильтона (1.1.3) можно записать в виде
\[
\dot{x}=J \cdot
abla H(x) \quad \text { (или } J \cdot \dot{x}=-
abla H(x)) .
\]
(Такая форма записи уравнений Гамильтона, по-видимому, впервые была использована Лагранжем в 1808 г. [230, 231] для описания вариации элементов планеты, возмущенной действием других планет. Относительно исторических фактов такого типа мы отсылаем читателя к фундаментальному трактату Уиттекера [35] .)

Вектор $x=\left(x^{1}, \ldots, x^{2}\right)$ определяет состояние системы. Множество этих векторов образует фазовое пространство системы $M=\{x\}$, которое в данном случае является $2 n$-мерным евклидовым пространством со стандартным скалярным произведением
\[
(x, y)=\sum_{j=1}^{2 n} x^{j} y^{j} .
\]

С помощью матрицы $J$ можно определить скобки Пуассона *) в пространстве $\mathscr{F}(M)$ гладких функций на $M$ :
\[
\begin{array}{l}
\{F(x), G(x)\}=(
abla F, J
abla G)=J^{j k} \partial_{j} F \partial_{k} G \equiv \\
\equiv \sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial F}{\partial p_{j}} \frac{\partial G}{\partial{ }^{j}}-\frac{\partial F}{\partial q^{j}} \frac{\partial G}{\partial p_{j}}\right) .
\end{array}
\]

Нетрудно видеть, что скобка Пуассона удовлетворяет условиям
\[
\begin{array}{l}
\{F(x), G(x)\}=-\{G(x), F(x)\}, \\
\{F(x)\{G(x), H(x)\}\}+\{G(x)\{H(x), F(x)\}\}+\{H(x)\{F(x), G(x)\}\}=0,
\end{array}
\]

и, следовательно, определяет на $\mathscr{F}(M)$ структуру алгебры Ли (бесконечномерной!). Отметим, что скобка Пуассона (1.1.7) удовлетворяет также
*) Скобка Пуассона была введена в работе Пуассона [269].

правилу Лейбница
\[
\{F, G H\}=\{F, G\} H+\{F, H\} G
\]

и потому полностью определяется заданием скобок Пуассона для базисных величин
\[
\left\{x^{j}, x^{k}\right\}=J^{j k} .
\]

Уравнения движения (1.1.5) теперь можно переписать в виде
\[
\dot{x}^{j}=\left\{H, x^{j}\right\}, \quad \dot{x}=\{H, x\}=X_{H},
\]

который является каноническим видом записи-уравнений движения гамильтоновой системы. Таким образом, гамильтонова система характеризуется тройкой объектов $\{M,\{\},, H(x)\}$ : фазовым пространством $M$, пуассоновой структурой $\{$,$\} и гамильтонианом H(x)$. Векторное поле $X_{H}=\{H, x\}$ назьвается гамильтоновым векторным полем, соответствующим гамильтониану $H$.

В рассматриваемом случае матрица $J$ является невырожденной, так что существует обратная матрица
\[
J^{-1}=-J,
\]

определяющая невырожденную кососимметричную билинейную форму на фазовом пространстве:
\[
\omega(x, y)=\left(x, J^{-1} y\right) .
\]

Невырожденная замкнутая 2-форма называется симплектической, а многообразие, снабженное такой формой, – симшлектическим многообразием. Итак, в нашем случае фазовое пространство является симплек тическим многообразием.

Предположим теперь, что мы сделали замену координат $y^{j}=f^{j} \cdot\left(x^{k}\right)$, где $f^{j}\left(x^{k}\right)$ – гладкие функции. Если вектор $x(t)$ удовлетворяет уравнениям Гамильтона (1.1.5), то вектор $y(t)=f(x(t))$ удовлетворяет уравнениям
\[
\dot{y}=A \dot{x}=A J \cdot
abla_{x} H(x)=A J A^{\prime}
abla_{y} H(x(y)),
\]

где $A$ – матрица вида $A_{j}^{i}=\frac{\partial y^{i}}{\partial x^{j}}$, а $A^{\prime}$ – матрица, транспонированная к $A$. Нетрудно видеть, что уравнения для $y(t)$ будут гамильтоновы в том и только том случае, когда
\[
A J A^{\prime}=J,
\]

причем новый гамильтониан $\tilde{H}(y)=H(x(y))$. Преобразование, удовлетворяющее условию (1.1.16), называется каноническим. В простейшем случае, когда матрица $A$ не зависит от $x$, множество таких матриц образует группу Ли, называемую вещественной симплектической группой – группой $\left.\operatorname{Sp}(2 n, \mathbb{R})^{*}\right)$. Геометрия фазового пространства, движениями кото-

*) Эта группа впервые рассматривалась Абелем. В XIX веке она обычно называлась линейной комплексной группой, поскольку она оставляет инвариантным определенное семейство (линейный комплекс) прямых. Термин \”симплектическая группа\” ввел Г. Вейль [8]. См. по этому поводу статью [306].

рого являются преобразования группы $\mathrm{Sp}(2 n, \mathbb{R})$, называется симплектической геометрией. Она играет важную роль при рассмотрении гамильтоновых систем $[1,3,9,40,62,63,66,279]$. Заметим, что условие (1.1.16) в терминах симплектической формы $\omega$ обычно обозначается как
\[
f^{*} \omega=\omega
\]

и ознаает, что преобразование $f$ не меняет $\omega$.
В примере, рассмотренном в настоящем разделе, фазовое пространство являлось евклидовым пространством: $M=\mathbb{R}^{2 n}$. Это, однако, не всегда так. В ряде задач возникает необходимость в рассмотрении фазовых пространств, являющихся многообразиями. Такие пространства возникают, например, когда движение системы ограничено некоторыми связями. Так, например, фазовым пространством для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, является кокасательное расслоение группы SO(3) – группы ортогональных матриц третьего порядка с определителем, равным единице. В ряде случаев возникают также многообразия, не являющиеся кокасательными расслоениями. Рассмотрение таких систем необходимо также для ясного понимания структуры гамильтоновой механики вообще.