Как мы видели ранее, ключевым моментом в современном подходе к интегрируемым гамильтоновым системам является представление их уравнений движения в форме Лакса
\[
\dot{L}=[L, M],
\]

где $L$ и $M$ принадлежат одной и той же конечномерной алгебре Ли $\mathscr{G}$. Мы предположим для простоты в этом разделе, что $\mathscr{G}$ – это матричная алігебра Ли. Тогда величины
\[
I_{k}=\frac{1}{k} \operatorname{tr}\left(L^{k}\right)
\]

являются интегралами движения и при выполнении дополнительных условий, сформулированных “в разделе 1.12 , находятся в инволюции.

Однако во многих важных случаях рассмотрение лишь конечномерных алгебр Ли для наших целей недостаточно. Например, число функционально независимых инвариантов полупростой алгебры Ли равно ее рангу, так что интегралы (1.14.2) обеспечивают полную интегрируемость лишь для тех орбит, размерность которых не превышает удвоенного ранга.

Более серьезное ограничение касается природы траекторий. Поскольку решение уравнения (1.14.1) может быть получено с помощью стандартных разложений в группе Ли $G$ – таких, как разложения Брюа, Ивасавы или Картана, зависимость динамических переменных от времени имеет вид
\[
L(t)=F\left(t, \exp \left(a_{1} t\right), \ldots, \exp \left(a_{N} t\right),\right.
\]

где $F$ – рациональная, матричнозначная функция, а $a_{1}, \ldots, a_{N}$ – некоторые вещественные числа. С другой стороны, многие задачи механики, интегрируемые в квадратурах, решаются в эллиптических или более сложных (например, абелевых) функциях времени. Это приводит к естественному обобщению конструкции – рассмотрению уравнения Лакса, содержащего параметр $\left.\lambda^{*}\right)$ :
\[
\dot{L}(\lambda)=[L(\lambda), M(\lambda)] .
\]

В большинстве случаев $L(\lambda)$ и $M(\lambda)$ зависят от параметра $\lambda$ (который обычно называется спектральным параметром) через рациональные функции, однако имеются также интересные примеры тригонометрических и эллиптическ их пар Лакса.

В терминах алгебр Ли переход от (1.14.1) к (1.14.4) состоит в замене алгебры Ли $\mathscr{G}$ на $\mathscr{G}$-значные функции от $\lambda$. Простейшей алгеброй такого рода является алгебра полиномов Лорана по $\lambda$ с коэффициентами в алгебре Ли $\mathscr{G}$, так называемая алгебра петель, или (менее строго и только когда алгебра $\mathscr{G}$ проста) аффинная алгебра Ли, или алгебра Каца-Муди (см. [78, $50,248]$ ). На важность использования таких бесконечномерных алгебр в теории вполне интегрируемых систем было указано впервые в работах [272] и $[110,111]$. В качестве иллюстрации покажем, как можно применить теорему $1.12 .6 \mathrm{\kappa}$ алгебрам петель. Лорана с коэффициентами в алгебре $\mathscr{G}$ :
\[
\tilde{\mathscr{G}}=\left\{\xi(\lambda)=\Sigma \xi_{j} \lambda^{j}, \xi_{i} \in \mathscr{G}\right\} .
\]

Имеется очевидное разложение $\tilde{\mathscr{G}}_{\text {на две }}$ дополнительные подалгебры $\tilde{\mathscr{G}}_{ \pm}$:
\[
\tilde{\mathscr{G}}_{+}=\left\{\xi=\sum_{i \geqslant 0} \xi_{i} \lambda^{i}\right\}, \quad \tilde{\mathscr{G}}_{-}=\left\{\xi: \xi=\sum_{i<0} \dot{\xi}_{i} \lambda^{i}\right\} .
\]

Нетрудно видеть, что теорема 1.12 .6 , примененная к разложению $\tilde{\mathscr{G}}_{=} \tilde{\mathscr{G}}_{+}+\tilde{\mathscr{G}}_{-}$, дает теорему 1.12.1. Далее, пусть $\sigma$ – инволюция в $\mathscr{G}$ и определим \”скрученную\” алгебру петель $\widetilde{\mathscr{G}}_{\sigma}$ согласно формуле
\[
\tilde{\mathscr{G}}_{\sigma}=\{\xi(\lambda) \in \tilde{\mathscr{G}} \mid \xi(-\lambda)=\sigma \xi(\lambda)\} .
\]

Эту алгебру можно разложить: $\tilde{\mathscr{G}}_{\sigma}=\tilde{\mathscr{G}}_{+}^{\sigma}+\tilde{\mathscr{G}}_{-}^{\sigma}$, где $\tilde{\mathscr{G}}_{ \pm}^{\sigma}=\tilde{\mathscr{G}}_{\sigma} \cap \tilde{\mathscr{G}}_{ \pm}$. Тогда теорема 1.12 .6 дает сразу же теорему 1.12.3. Отметим, что теорема 1.12 .6 дает также представление Лакса для уравнений Гамильтона, индуцированных инволютивными семействами теорем 1.12 .1 и 1.12.3.
Инварианты
\[
I_{k}(\lambda)=\frac{1}{k} \operatorname{tr}(L(\lambda))^{k},
\]

как и прежде, являются интегралами движения, но теперь уже зависят

*) Уравнение Лакса в таком виде было введено в работе С.П. Новикова [92].

от $\lambda$. Разлагая их по степеням $\lambda$, получаем семейство интегралов $I_{k, m}$ :
\[
I_{k}(\lambda)=\sum_{m} I_{k, m} \lambda^{m},
\]

которых в большинстве случаев достаточно для доказательства полной интегрируемости.

Уравнения Лакса со спектральным параметром недавно стали предметом интенсивного изучения методами алгебраической геометрии (см., например, $[12,13]$ ). Связь между парами Лакса со спектральным параметром и римановыми поверхностями устанавливается следующей теоремой, которая является простым следствием теоремы 1.12.7, примененной к разложению $\widetilde{\mathscr{G}}=\widetilde{\mathscr{G}}_{+}+\widetilde{\mathscr{G}}_{-}$(см. [273]).

Т еорема 1.14.1. Уравнение Лакса $\dot{L}(\lambda)=[L(\lambda), M(\lambda)]$ типа (1.12.20) линеаризуется на многообразии Якоби алгебраической кривой, определенной уравнением
\[
P(\lambda, \mu)=\operatorname{det}(L(\lambda)-\mu I)=0 .
\]

Этот результат приводит, в принципе, к явному решению уравнений движения в терминах тета-функций Римана, связанных с кривой, определенной уравнением (1.14.10). Имеются многочисленные примеры такого типа; сюда относятся, в частности, периодические цепочки Тоды, связанные с простыми алгебрами Ли, задача Неймана – движение точки по сфере под действием линейной силы, свободное движение точки по эллипсоиду, волчки Эйлера, Лагранжа и Ковалевской и другие интегрируемые системы.