Докажем, что системы, рассмотренные в предыдущем разделе, являются вполне интегрируемыми. Для этого, согласно теории Лиувилля (см., например, [1]), достаточно показать, что интегралы движения (3.1.5), где $L$ дается формулой (3.1.6) или (3.1.24) при $k=2, \ldots, n$, являются функционально независимыми и находятся в инволюции
\[
\left\{I_{k}, I_{l}\right\}=0 .
\]

Заметим прежде всего, что интегралы $I_{k}$ имеют вид
\[
I_{k}=\frac{1}{k} \sum_{j=1}^{n} p_{j}^{k}+\text { слагаемые меньшей степени по импульсам. }
\]

Поэтому функциональная независимость величин $I_{k}$ следует из функциональной независимости величин $S_{k}=\sum_{j=1}^{n} p_{j}^{k}$. (Доказательство этого свойства величин элементарно, и мы оставляем его читателю.)

Доказательство же инволютивности интегралов $I_{k}$ является более сложной задачей. Для систем типа I такое доказательство было дано Мозером [25]. Приведем его. Нетрудно показать, что при $g^{2}>0$ и $t \rightarrow \pm \infty$ расстояние между двумя любыми частицами неограниченно возрастает $:\left|q_{j}(t)-q_{k}(t)\right| \rightarrow$ $\rightarrow \infty$ для любых начальных условий*). При этом величины
\[
I_{k}(t) \rightarrow k^{-1} \sum_{j} p_{j}^{k}(t),
\]

так что при $t \rightarrow \infty$ величины $\left\{I_{j}(t), I_{k}(t)\right\} \rightarrow 0$. Однако мы знаем, что величины $I_{j}$, а следовательно, и $\left\{I_{j}, I_{k}\right\}$ являются интегралами движения. Поэтому скобки Пуассона $\left\{I_{j}(t), I_{k}(t)\right\}=$ const $=0$ в любой момент времени. Для систем типа II, как отмечено в работе [133], это доказательство остается справедливым.

Что касается систем типа III, то, как отмечено в работе [133], они получаются из систем типа II заменой $a \rightarrow i a$ и поэтому также вполне интегрируемы.

Для систем типа V нетрудно доказать [262], что в инволюции находятся величины $B_{k}(p, q)=k \operatorname{tr}\left(L^{-}\right)^{k}$ (или же $B_{k}$ ), а этого достаточно для полной интегрируемости рассматриваемых систем. Однако доказательство инволютивности интегралов движения для систем типа IV является значительно более сложной задачей.

Два разных доказательства инволютивности даны в работах [263, 308] . Мы приведем здесь доказательство из работы [263]. Заметим, что оно справедливо также для некоторых систем с непарным взаимодействием, рассмотренных в работе [255].

Возьмем одну из приведенных выше систем с функцией $v(q)$ вида I-IV. Пусть эрмитова матрица $L=P+i X$ порядка $n$ построена по (3.1.6), где функция $x(q)$ удовлетворяет функциональному уравнению (3.1.9). Пусть $\varphi^{\prime}=\left(\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n}\right)$ и $\psi^{\prime}=\left(\psi_{1}, \ldots, \psi_{n}\right)-$ собственные векторы матрицы $L$, отвечающие собственным значениям $\lambda$ и $\mu$ соответственно (штрих означает транспонирование) :
\[
L \varphi=(P+i X) \varphi=\lambda \varphi, \quad L \psi=(P+i X) \psi=\mu \psi .
\]

Покажем, что если функция $x(\xi)$ удовлетворяет функциональному уравнению (3.1.9), то величины $\lambda$ и $\mu$ находятся в инволюции, т.е.
\[
\{\lambda, \mu\}=\sum_{j=1}^{n}\left\{\frac{\partial \lambda}{\partial p_{j}} \frac{\partial \mu}{\partial q_{j}}-\frac{\partial \lambda}{\partial q_{j}} \frac{\partial \mu}{\partial p_{j}}\right\}=0 .
\]

Основная идея метода аналогична идее работ $[168,88]$, в которых бы-

*)Это свойство оказывается справедливым для довольно широкого класса отталкивающих потенциалов [75]. Многочастичные системы с такими потенциалами взаимодействия также являются вполне интегрируемыми, хотя явный вид интегралов движения для таких систем в настоящее время неизвестен.

ла доказана инволютивность интегралов движения для цепочки Тоды. Заметим, прежде всего, что
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \lambda}{\partial p_{k}}=\left(\varphi, \frac{\partial L}{\partial p_{k}} \varphi\right)=\bar{\varphi}_{k} \varphi_{k}, \\
\frac{\partial \lambda}{\partial q_{k}}=\left(\varphi, \frac{\partial L}{\partial q_{k}} \varphi\right)=i g \sum_{l} x^{\prime}\left(q_{k}-q_{l}\right)\left(\bar{\varphi}_{k} \varphi_{l}-\bar{\varphi}_{l} \varphi_{k}\right) .
\end{array}
\]

С помощью этих соотношений выражение для скобки Пуассона можно привести к виду
\[
\{\lambda, \mu\}=i g \underset{k, l}{\sum}\left(\bar{\varphi}_{k} \bar{\psi}_{k} R_{k l}-\varphi_{k} \psi_{k} \bar{R}_{k l}\right) x^{\prime}\left(q_{k}-q_{l}\right)
\]

где
\[
R_{k l}=\varphi_{k} \psi_{l}-\psi_{k} \dot{\varphi}_{l}, \quad R_{k l}=-R_{l k} .
\]

С другой стороны из уравнений (3.2.2) находим
\[
\varphi_{k} \psi_{k}=i g(\lambda-\mu)^{-1} \sum_{l} x\left(q_{k}-q_{l}\right) R_{l k} .
\]

Подставляя выражение для $\varphi_{k} \psi_{k}$ и $\bar{\varphi}_{k} \bar{\psi}_{k}$ в уравнение (3.2.6)
\[
\begin{array}{l}
\{\lambda, \mu\}=g^{2}(\lambda-\mu)^{-1} \sum_{k} \sum_{l
eq j} \bar{R}_{l k} R_{k j}\left[x^{\prime}\left(q_{j}-q_{k}\right) x\left(q_{k}-q_{l}\right)-\right. \\
\left.-x\left(q_{j}-q_{k}\right) x^{\prime}\left(q_{k}-q_{l}\right)\right]
\end{array}
\]

и используя функциональное уравнение (3.1.9), преобразуем это соотношение к виду
\[
\{\lambda, \mu\}=g^{2}(\mu-\lambda)^{-1} \sum_{k, l
eq j} \bar{R}_{l k} R_{k j}\left[z\left(q_{j}-q_{k}\right)-z\left(q_{k}-q_{l}\right)\right] x\left(q_{j}-q_{l}\right) .
\]

Равенство (3.2.10) содержит две суммы. В первой из них выполним суммирование по $l$, а во второй по $j$. Воспользуемся теперь соотношением
\[
g \sum_{l} x\left(q_{j}-q_{l}\right) R_{l k}=-i \lambda \psi_{k} \varphi_{j}+i \mu \varphi_{k} \psi_{j}+i p_{j} R_{j k}
\]

и соотношением, комплексно сопряженным к нему. Принимая во внимание четность функции $z(q)$, получим
\[
\begin{array}{l}
\{\lambda, \mu\}=i g(\mu-\lambda)^{-1} \lambda \sum_{j
eq k}\left(\bar{\psi}_{k} \bar{\varphi}_{j} R_{k j}+\psi_{k} \varphi_{j} \bar{R}_{j k}\right) z\left(q_{j}-q_{k}\right)- \\
-i g(\mu-\lambda)^{-1} \mu \sum_{j
eq k}\left(\bar{\varphi}_{k} \bar{\psi}_{j} R_{k j}+\varphi_{k} \psi_{j} \bar{R}_{j k}\right) z\left(q_{j}-q_{k}\right) .
\end{array}
\]

Нетрудно видеть, что выражения, стоящие под знаком первой и второй суммы, антисимметричны. Следовательно, $\{\lambda, \mu\}=0$ и системы типа IV вполне интегрируемы.

Помимо интегралов $I_{k}$ полезно рассмотреть также другой набор интегралов $J_{l}$, которые определяются формулой
\[
\operatorname{det}(L+\lambda I)=\lambda^{n}+\sum_{k=1}^{n} J_{k} \lambda^{n-k} .
\]

Из формул (3.1.5) и (3.2.13) следует, что интегралы $I_{k}$ и $J_{l}$ связаны теми же соотношениями, что и обычные симметрические функции, т.е. формулами Ньютона
\[
I_{k}=I_{k-1} J_{1}-I_{k-2} J_{2}+\ldots-(-1)^{k-1} I_{1} J_{k-1}-(-1)^{k} k J_{k} .
\]

С их помощью нетрудно выразить величины $I_{k}$ через величины $J_{l}$.
Для систем типа I-IV для интеграла $J_{n}$ известно простое представление $[277,308]$
\[
J_{n}=\exp \left\{-\frac{g^{2}}{2} \sum_{k, l}^{\sum} v\left(q_{k}-q_{l}\right) \frac{\partial}{\partial p_{k}} \frac{\partial}{\partial p_{l}}\right\} \prod_{l=1}^{n} p_{l} .
\]

Остальные интегралы получаются с помощью рекуррентной формулы
\[
J_{k-1}=-\frac{1}{n-k+1}\left\{\sum_{j=1}^{n} q_{j}, J_{k}\right\}=\left(\frac{1}{(n-k+1)}\right)\left(\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial}{\partial p_{i}}\right) J_{k} .
\]

В работе [308] инволютивность была доказана с помощью этого представления интегралов движения.