Как мы уже видели ранее, характерной чертой вполне интегрируемых систем с $n$ степенями свободы является наличие у них $n$ глобальных интегралов движения $I_{j}(p, q)$. Приравнивая их константам $\left(I_{j}(p, q)=c_{j}\right.$ ), мы выделяем $n$-мерное многообразие $M_{c}$, которое топологически эквивалентно $n$-мерному тору (в компактном случае) или произведению тора и евклидова пространства. Динамические переменные при этом являются почтипериодическими функциями времени $t$, т.е. разлагаются в $n$-кратный ряд или интеграл Фурье,
\[
q_{j}(t)=\sum_{k_{1} \ldots k_{n}}^{\sum} a_{k_{1} \ldots k_{n}} \exp \left(i \Sigma k_{j} \omega_{j} t\right),
\]

величины $p_{j}(t)$ даются аналогичной формулой. Частоты $\omega_{j}$ при этом, вообще говоря, несоизмеримы друг с другом.

Особый случай возникает, когда хотя бы две частоты $\omega_{j}$ оказываются соизмеримыми друг с другом. Такое движение называют вырожденным. Здесь нас будет интересовать лишь полностью вырожденное движение, когда все $n$ частот $\omega_{j}$ соизмеримы друг с другом. Классическая траектория превращается при этом в замкнутую кривую*), а число глобальных интегралов движения увеличивается до $(2 n-1)$. Уравнение Гамильтона – Якоби обычно разделяется в нескольких системах координат, что соответствует различным возможностям выбора $n$ переменных действия из совокупности ( $2 n-1$ ) независимых интегралов движения. Для систем, допускающих разделение переменных гамильтониан $H$ имеет вид
\[
H=F\left(\Sigma n_{j} J_{j}\right)
\]

где $J_{j}=\phi p_{j} d q_{j}$ – так называемые адиабатические инварианты. Начнем с рассмотрения простейшего примера
А. Двумерный осциллятор. Это система, описываемая гамильтонианом
\[
\begin{array}{l}
H=\frac{1}{2}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right)+\frac{1}{2}\left(\omega_{1}^{2} q_{1}^{2}+\omega_{2}^{2} q_{2}^{2}\right), \\
H=\omega_{1} J_{1}+\omega_{2} J_{2} .
\end{array}
\]

Такая система обладает интегралом движения
\[
\left.I_{1}=\frac{1}{2}\left(p_{1}^{2}+\omega_{1}^{2} q_{1}^{2}\right) \quad \text { (или } I_{2}=\frac{1}{2}\left(p_{2}^{2}+\omega_{2}^{2} q_{2}^{2}\right)\right) \text {. }
\]

Здесь следует различать два случая:
a) отношение $\omega_{1} / \omega_{2}$ иррационально. В этом случае второй глобальный дополнительный интеграл движения отсутствует, а траектория на плоскости $q_{1}, q_{2}$ всюду плотно заполняет прямоугольник $-a<q_{1}<a$, $-b<q_{2}<b$;
б) отношение $\omega_{1} / \omega_{2}$ рационально: $\omega_{1} / \omega_{2}=r / s$, где $r$ и $s$ – целые взаимно простые числа. Система допускает помимо интеграла (2.6.3)

*) В соответствующей квантовомеханической задаче при этом обычно возникает вырождение уровней.

второй глобальный дополнительный интеграл движения
\[
I_{2}=\bar{a}_{1} a_{2}^{r},
\]

где
\[
\bar{a}_{1}=\frac{1}{\sqrt{2 \omega r}}\left(p_{1}+i \omega r q_{1}\right), \quad a_{2}=\frac{1}{\sqrt{2 \omega s}}\left(p_{2}-i \omega s q_{2}\right) .
\]

Этот интеграл имеет степень $(r+s)$ как по импульсам, так и по координатам. Все траектории системы замкнуты. Они даются так называемы ми кривыми Лиссажу (см. [1]).

Относительно случая изотропного осциллятора, когда все частоты $\omega_{j}$ равны между собой, см. раздел 2.7 .
Б. Центральное поле. В этом случае ответ на интересующий нас вопрос был найден Бертраном в 1873 г. [123].

Т е о р е м а 2.6.1. При движении частицы в центральном потенциаль ном поле все финитные траектории такой системы являются замкнутыми лишь для потенциалов $U(r)=-\alpha / r \quad(\alpha>0)$ и $U(r)=k r^{2} \quad(k>0)$. щуюся в центральном поле $U(r)$ с моментом количества движения $l$. Тогда радиальное движение определяется эффективным потенциалом
\[
V_{l}(r)=U(r)+l^{2} / 2 r^{2} .
\]

Предположим, что потенциал $U(r)$ является потенциалом притяжения $\left(U^{\prime}(r) \geqslant 0\right)$. Тогда потенциал $V_{l}(r)$ будет обладать локальным минимумом при $r=a \quad\left(V_{l}^{\prime}(a)=0\right)$ и можно так выбрать начальные условия, чтобы частица двигалась по круговой орбите $r=a$. Для этого необходимо, чтобы
\[
l^{2}=a^{3} U^{\prime}(a) \text {. }
\]

Угловая частота вращения частицы по орбите находится из условия $\omega_{0}^{2} a=U^{\prime}(a), \quad \omega_{0}^{2}=a^{-1} U^{\prime}(a)$.
Рассмотрим теперь траекторию, близкую к круговой. Тогда частота радиальных колебаний определяется соотношением
\[
\omega_{1}^{2}=V_{l}^{\prime \prime}=U^{\prime \prime}+3 l^{2} / a^{4}=U^{\prime \prime}(a)+3 a^{-1} U^{\prime}(a) .
\]

Траектория частицы будет замкнутой кривой, если эти частоты соизмеримы, т.е.
\[
\omega_{1}=
u \omega_{0},
u-\text { рациональное число. }
\]

Весьма существенно при этом, что в силу непрерывности число $
u$ не зависит от формы орбиты, является характеристикой данного потенциала. Из (2.6.8) – (2.6.10) получаем
\[
U^{\prime \prime}(r)=\left(
u^{2}-3\right) r^{-1} U^{\prime}(r) \text {, }
\]
т.е. потенциал $U(r)$ является степенным:
\[
U(r)=-c \beta^{-1} r^{\beta}, \quad \beta=
u^{2}-2 .
\]

Рассмотрим теперь произвольную орбиту.
Из рассуждений, аналогичных предыдущим, следует, что при изменении $r$ от $r_{1}=r_{\min }$ до $r_{2}=r_{\max }$ угол поворота $\Delta \varphi=\pi /
u$. Отсюда получаем соотношение
\[
\Delta \varphi=\pi /
u=l \int_{r_{1}}^{r_{2}} \frac{d r}{r^{2} \sqrt{2(E-U)-l^{2} / r^{2}}},
\]

которое после замены $r=r_{1} / \rho$ принимает вид
\[
\int_{\rho_{0}}^{1} \frac{d \rho}{\sqrt{\frac{2 E r_{1}^{2}}{l^{2}}-\frac{2 r_{1}^{2}}{l^{2}} U-\rho^{2}}}=\frac{\pi}{
u} .
\]

Рассмотрим сначала случай $\beta=
u^{2}-2>0, U=c_{1} r^{
u^{2}-2}$. Устремив $E$ к бесконечности, получаем
\[
\int_{0}^{1} \frac{d \rho}{\sqrt{1-\rho^{2}}}=\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{
u}, \quad
u=2, \quad U=c r^{2} .
\]

Пусть теперь $
u^{2}-2<0, U(r)=-c \rho^{2}-
u^{2}$. Устремляя $E$ к нулю, получаем
\[
\int_{0}^{1} \frac{d \rho}{\rho \sqrt{\rho^{-
u^{2}}-1}}=\int_{0}^{1} \frac{\rho^{
u^{2} / 2-1}}{\sqrt{1-\rho^{
u^{2}}}} d \rho=\frac{\pi}{
u^{2}}=\frac{\pi}{
u} .
\]

Таким образом, интересующим нас свойством могут обладать лишь два потенциала
\[
U(r)=k r^{2} \text { и } U(r)=-\alpha / r, \quad k, \alpha>0 .
\]

Хорошо известно, что для них любая финитная траектория является замкнутой.
B. Нецентральное поле. Этот случай значительно сложнее случая центрального поля, и здесь имеются лишь отдельные результаты.

Случай двух степеней свободы, допускающий разделение переменных, был рассмотрен в работе [74]. В этой работе были найдены четыре типа систем, обладающих замкнутыми траекториями. Потенциальные энергии этих систем таковы:
1. $U\left(q_{1}, q_{2}\right)=\alpha\left(q_{1}^{2}+q_{2}^{2}\right)+\frac{\beta_{1}}{q_{1}^{2}}+\frac{\beta_{2}}{q_{2}^{2}}$.
2. $U\left(q_{1}, q_{2}\right)=\alpha\left(4 q_{1}^{2}+q_{2}^{2}\right)+\beta q_{1}+\frac{\gamma}{q_{2}^{2}}$.
3. $U\left(q_{1}, q_{2}\right)=U(r, \theta)=\frac{\alpha}{2 r}+\frac{1}{4 r^{2}}\left(\frac{\beta_{1}}{\cos ^{2} \frac{\theta}{2}}+\frac{\beta_{2}}{\sin ^{2} \frac{\theta}{2}}\right)$.
4. $U=\frac{\alpha}{2 r}+\left(\beta_{1} \cos \frac{\theta}{2}+\beta_{2} \sin \frac{\theta}{2}\right) \frac{1}{\sqrt{r}}$.

Уравнение Гамильтона – Якоби для этих систем допускает разделение переменных:
1) в декартовых и полярных координатах;
2) в декартовых и параболических координатах;
3) в полярных и параболических координатах;
4) в двух различных системах параболических координат.
Обобщение теоремы Бертрана для случая двух степеней свободы, когда уравнения Гамильтона – Якоби допускают разделение в декартовых или полярных координатах, быто дано в [259]. В этой работе было обнаружено два семейства таких систем, обобщающих осцилляторные и кеплеровские системы соответственно. Гамильтонианы этих систем следующим способом выражаются через переменные действия $J_{1}$ и $J_{2}$ :
\[
J_{j}=\frac{1}{2 \pi} \oint \sqrt{2\left(E-U_{j}(x)\right)} d x
\]
а) $H=\alpha\left(n_{1} J_{1}+n_{2} J_{2}\right)+\beta$,
б) $H=-\alpha\left(n_{1} J_{1}+n_{2} J_{2}+\beta\right)^{-2}$,

где $n_{1}$ и $n_{2}$ – положительные взаимно простые целые числа, $\alpha$ и $\beta$ – положительные константы.
Среди этих потенциалов находятся, например, следующие:
a) $U\left(q_{1}, q_{2}\right)=U_{1}\left(q_{1}\right)+U_{2}\left(q_{2}\right)$,
\[
\left.U_{j}(q)=\left(\alpha_{0}^{2}-\alpha^{2}\right)^{-2}\left(\alpha_{0} q-\alpha \sqrt{q^{2}+\gamma\left(\alpha_{0}^{2}-\alpha^{2}\right.}\right)\right)^{2}, \quad|\alpha|<\alpha_{0}, \quad \gamma>0,
\]

или
\[
U_{j}(q)=\left(2 \alpha_{0}\right)^{-2}\left(q-\frac{\alpha_{0}^{2} \gamma}{q}\right)^{2} ;
\]
б) $U(r, \theta)=U_{1}(r)+r^{-2} U_{2}(\theta)$,
\[
\begin{array}{l}
U_{1}(r)=\frac{c_{1}}{2 m r^{2}}-\sqrt{k^{2} r^{2}+\frac{\gamma^{4}}{(2 m)^{2}}} \frac{1}{r^{2}}, \\
U_{2}(\theta)=\frac{\beta^{2}}{m} \frac{1+\alpha^{2} \cos ^{2}(2 q \varphi)}{1+\cos (2 q \varphi) \sqrt{1-\alpha^{2} \sin ^{2}(2 q \varphi)}},
\end{array}
\]

где
\[
|\varphi|<\frac{\pi}{2 q}, \quad \alpha=\frac{1}{2}\left(\frac{\gamma}{\beta}\right)^{2}<1 .
\]

В пределе $\alpha \rightarrow 1$ получается неаналитический потенциал, который, однако, описывает периодическое движение.
$\left.\sigma^{\prime}\right)$
\[
\begin{array}{l}
U_{2}(\theta)=\frac{\beta^{2}}{2 m} \frac{1+\cos ^{2}(2 q \varphi)}{1+\cos (2 q \varphi)|\cos (2 q \varphi)|} \\
H=2 \omega\left(J_{r}+q J_{\theta}\right)+\beta
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{l}
U_{1}(r)=\frac{1}{2} \omega^{2} r^{2}, \\
U_{2}(\theta)=U_{0} \cos ^{-2} q \varphi .
\end{array}
\]
Г. Отдельные результаты. Укажем еще несколько систем, обладающих замкнутыми траекториями.
в) Система с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2}\left(1+q^{2}\right)^{2} p^{2} .
\]

Эта система получается при стереографической проекции системы, описывающей свободное движение частищы на $n$-мерной сфере. Отсюда и следует факт замкнутости траекторий.
г) Система $n$ взаимодействующих частиц [262] с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2} \Sigma p_{j}^{2}+g^{2} \sum_{j<k}\left(q_{j}-q_{k}\right)^{-2}+\sum_{j} q_{j}^{2} .
\]
д) Свободное движение на поверхности вращения (вокруг оси $z$ ), задаваемой уравнением [294] (груша Таннери)
\[
16 a^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)=z^{2}\left(2 a^{2}-z^{2}\right) \text {. }
\]
е) Движение по поверхности двумерной сферы в потенциальном поле
\[
U(\theta, \varphi)=-\alpha \operatorname{ctg} \theta \text {. }
\]

Здесь $\theta, \varphi$ – стандартные сферические координаты.
ж) Задача Бертрана. Найти закон центральных (но не обязательно потенциальных) сил, зависящих только от положения движущейся точки и заставляющей ее описывать конические сечения, каковы бы ни были начальные уєловия.

Эта задача была решена Дарбу [154] и Альфеном [192]. Оказалось, что имеется два таких закона:
1) $F=-k r(a r \cos \theta+b r \sin \theta+c)^{-3}$;
2) $F=-\mu r^{-2}\left(A \cos ^{2} \theta+2 B \sin \theta \cos \theta+C \sin ^{2} \theta\right)^{-3 / 2}$.
3) Если отказаться от требования центральности сил, то можно найти еще два случая, когда траектории являются коническими сечениями. Это – случаи параллельных сил:
\[
\mathbf{F}=\left(0, F_{y}\right) .
\]

Здесь
\[
\text { 1) } F_{y}=\mu(a x+b y+c)^{-3}
\]

или
2) $F_{y}=\mu\left(a x^{2}+2 b x+c\right)^{-3 / 2}$.
и) Отметим еще работу [220], где исследовался вопрос о том, каким должно быть центральное поле, чтобы траектория являлась алгебраической кривой. Было показано, что это может быть лишь для $U(r)=k r^{2}$ или $U(r)=-\alpha r^{-1}$

к) Груша Таннера, упомянутая выше, является примером метрики на сфере, которая инвариантна относительно вращений вокруг оси $z$ и для которой все геодезические замкнуты, так же как и в случае стандартной SO(3)-инвариантной метрики на сфере. Другие примеры метрик на $S^{2}$ с этими свойствами можно найти в работах Дарбу $[154,155]$ и Цолля [318]. Метрики такого вида можно получить путем деформации стандартной метрики, которая определяется нечетной функцией на сфере [175] и, следовательно, не обладает аксиальной симметрией. Недавно было показано [179], что любая нечетная функция на сфере определяет такую деформацию. Детальное обсуждение этой и аналогичных проблем можно найти в книге Бессе [5]. Относительно поведения геодезических на поверхностях типа Лиувилля см. работу [240].