Как хорошо известно (см., например, $[1,23,35]$ ), интегрирование уравнений движения гамильтоновой системы с одной степенью свободы сводится к квадратурам. Здесь мы рассмотрим простейшие примеры таких систем; аналогичные системы удается проинтегрировать и в случае нескольких степеней свободы.
Пусть материальная точка (частица) единичной массы движется по прямой в потенциальном поле $U(q)$ ( $q$ – координата частицы, $p$ – ее импульс). Такая система описывается гамильтонианом:
\[
H=\frac{p^{2}}{2}+U(q) \text {. }
\]
Уравнения движения частицы имеют вид
\[
\dot{q}=p, \dot{p}=-\frac{\partial U}{\partial q}
\]
или
\[
\ddot{q}=-\frac{\partial U}{\partial q}
\]
и допускают интеграл движения (интеграл энергии)
\[
H=\frac{p^{2}}{2}+U(q)=E=\text { const. }
\]
Нахождение закона движения – функции $q(t)$ – сводится теперь к квадратуре
\[
t=\frac{1}{\sqrt{2}} \int_{q_{0}}^{q} \frac{d x}{\sqrt{E-U(x)}} .
\]
Очевидно, что движение частицы может происходить лишь в области $E \geqslant U(q)$, так что точки $(a, b, \ldots$ ), для которых $E=U(q)$ (так называемые точки остановки), определяют границы движения.
Характер движения зависит от вида потенциальной энергии $U(q)$ : движение может быть инфинитным (частица может уходить на бесконечность) и финитным (частица движется в конечной области).
В случае финитного движения в области $a \leqslant q \leqslant b$ ( $a$ и $b$-точки остановки) частица совершает колебания, период которых находится по формуле*)
\[
T(E)=\sqrt{2} \int_{a}^{b} \frac{d x}{\sqrt{E-U(x)}} .
\]
При этом период малых колебаний вблизи положения равновесия $q \approx q_{0}$
\[
\left.\frac{\partial U}{\partial q}\right|_{q=q_{0}}=U^{\prime}\left(q_{0}\right)=0,\left.\quad \frac{\partial^{2} U}{\partial q^{2}}\right|_{q=q_{0}}=U^{\prime \prime}\left(q_{0}\right)>0
\]
дается формулой
\[
T=\frac{2 \pi}{\sqrt{U^{\prime \prime}\left(q_{0}\right)}} .
\]
В рассматриваемом случае функция $q(t)$ может быть разложена в ряд Фурье
\[
q(t)=\sum_{j=0}^{\infty} a_{j} \cos (j \omega t)+\sum_{k=1}^{\infty} b_{k} \sin (k \omega t), \quad \omega=\frac{2 \pi}{T} .
\]
По поводу вычисления коэффициентов $a_{j}$ и $b_{k}$ в этом разложении мы отсылаем заинтересованного читателя к работам $[117,303]$. Отметим лишь, что для потенциала $U(q)=-\frac{\alpha}{q}+\frac{\beta}{q^{2}}, \alpha>0, \beta>0$, эти коэффициенты выражаются через функции Бесселя.
Рассмотрим ряд примеров, когда интегрирование в (2.1.5) удается выполнить явно. В дальнейшем мы обобщим все эти примеры на случай нескольких степеней свободы.
1. $U(q)=g^{2} q^{-2}, E>0$.
Движение происходит в области $q_{0}<q<\infty$, где $q_{0}=\sqrt{g^{2} / E}$. При этом
\[
q(t)=\sqrt{q_{0}^{2}+p_{0}^{2} t^{2}}, \quad p_{0}^{2}=2 E .
\]
2. $U(q)=g^{2} \operatorname{sh}^{-2} q, \quad E>0$ (рис. 1).
Движение происходит в области $q_{0}<q<\infty$, где $q_{0}=\operatorname{Arsh} \sqrt{g^{2} / E}$. При этом
$\operatorname{ch} q=a \operatorname{ch} p_{0} t$,
$a=\operatorname{ch} q_{0}=\sqrt{1+g^{2} / E}$,
$p_{0}=\sqrt{2 E}$.
Рис. 1
*)Заметим, что знание функции $T(E)$ при всех допустимых значениях $E$, при дополнительном предположении, что функция $U(q)$ четна относительно середины отрезка $(a, b)$, позволяет однозначно восстановить потенциал $U(q)$ (см. $[23,107]$ ). В частности, если $T$ не зависит от $E$ и $U(q)$ – четная функция, то $U(q)=k q^{2}$.
Рис. 2
Рис. 3
$2^{\prime} . U(q)=-g^{2} \operatorname{ch}^{-2} q$ (рис. 2).
а) $-g^{2}<E<0$. Движение финитно: $-q_{0}<q<q_{0}$, где $q_{0}=$ $=\operatorname{Arch} \sqrt{g^{2} /|E|}$, и
$\operatorname{sh} q=a \sin \omega t, \quad a=\operatorname{sh} q_{0}=\sqrt{\left(g^{2} /|E|\right)-1}$, $\omega=\sqrt{2|E|}, \quad T=\frac{\sqrt{2} \pi}{\sqrt{|E|}}$.
б) $E>0$. Движение инфинитно: $-\infty<q<\infty$.
sh $q=a \operatorname{sh} p_{0} t, \quad a=\sqrt{\left(g^{2} / E\right)+1}, \quad p_{0}=\sqrt{2 E}$.
в) $E=0,-\infty<q<\infty$.
sh $q=a t, a=\sqrt{2} g$.
3. $U(q)=g^{2} \sin ^{-2} q, E>g^{2}$ (рис. 3).
Движение происходит на отрезке $q_{0}<q<\pi-q_{0}$, где $q_{0}=\arcsin \sqrt{g^{2} / E}$.
При этом
$\cos q=a \cos \omega t, a=\cos q_{0}=\sqrt{1-g^{2} / E}$,
$\omega=\sqrt{2 E}, \quad T=\frac{\sqrt{2} \pi}{\sqrt{E}}$.
Интересной особенностью движения в случаях 2’а и 3 является независимость периода колебаний $T$ от величины $g$.
4. $U(q)=g^{2} \mathscr{P}\left(q \mid \omega_{1}, \omega_{2}\right)$, где $\mathscr{P}\left(q \mid \omega_{1}, \omega_{2}\right)$ – функция Вейерштрасса (см. [4]) (см. рис. 3).
\[
\begin{array}{l}
\mathscr{P}^{\mathfrak{O}}\left(q \mid \omega_{1}, \omega_{2}\right)=\sum_{n_{1} n_{2}}^{\Sigma^{\prime}}\left(q-2 n_{1} \omega_{1}-2 n_{2} \omega_{2}\right)^{-2}- \\
-\sum_{n_{1} n_{2}}^{\Sigma^{\prime}}\left(2 n_{1} \omega_{1}+2 n_{2} \omega_{2}\right)^{-2}+q^{-2}=\alpha \operatorname{sn}^{-2}(\beta q, k)+\gamma .
\end{array}
\]
Здесь $\omega_{1}=a, \omega_{2}=i b$ – два полупериода этой функции (мы ограничимся рассмотрением простейшего случая, когда $a$ и $b$ вещественны), $\sin (q, k)-$ так называемый эллиптический синус
\[
\begin{array}{l}
\operatorname{sn}^{-2}\left(\left(e_{1}-e_{3}\right)^{1 / 2} q, k\right)=\left(e_{1}-e_{2}\right)^{-1}\left(\mathscr{P}(q)-e_{2}\right), \\
e_{j}=\mathscr{P}\left(\omega_{j}\right), j=1,2, \quad e_{3}=\mathscr{P}\left(\omega_{1}+\omega_{2}\right) .
\end{array}
\]
Мы можем поэтому предположить, что $U(q)=g^{2} \operatorname{sn}^{-2}(q, k)$. При $E>E_{0}$, $E_{0}=g^{2} \mathscr{P}\left(\omega_{1}\right)$, движение происходит в области $q_{0}<q<2 a-q_{0}$, где $q_{0}$ находится из условия $\operatorname{sn}\left(q_{0}, k\right)=\sqrt{g^{2} / E}$ и определяется уравнением
\[
\operatorname{cn}(q, k)=a \operatorname{cn}(\gamma t, \tilde{k}) .
\]
Здесь
\[
\begin{array}{l}
\tilde{k}^{2}=\frac{k^{2} a^{2}}{1-k^{2}\left(1-a^{2}\right)}=k^{2} \frac{E-g^{2}}{E-g^{2} k^{2}}, \\
\gamma=\sqrt{2} g\left(1-k^{2}\left(1-a^{2}\right)\right)^{1 / 2}=\sqrt{2}\left(E-g^{2} k^{2}\right)^{1 / 2} .
\end{array}
\]
Период колебаний дается формулой
\[
T=\frac{4}{\gamma} K(k), K(k)=\int_{0}^{1} \frac{d x}{\left(1-x^{2}\right)^{1 / 2}\left(1-k^{2} x^{2}\right)^{1 / 2}}, k<1 .
\]
5. $U(q)=g^{2} q^{-2}+\frac{\omega^{2} q^{2}}{2}, E>E_{0}=\sqrt{2} \omega g$ (рис. 4) .
Цвижение происходит на отрезке $q_{1}<q<q_{2}$, где $q_{1}$ и $q_{2}$ определяются из уравнения
\[
g^{2} x^{-2}+\frac{\omega^{2}}{2} x^{2}=E .
\]
При этом
\[
q=\sqrt{q_{1}^{2}+\left(q_{2}^{2}-q_{1}^{2}\right) \sin ^{2} \omega t} .
\]
Период колебаний $T=\pi / \omega$ не зависит от $g$ и так же, как и в случае гармонических колебаний, не зависит от энергии.
\[
\text { 6. } U(q)=g^{2} \exp (-2 q), E>0 \text { (рис. 5). }
\]
Рис. 4
Рис. 5
Движение инфинитно: $q_{0}<q<\infty$, где $q_{0}=-\frac{1}{2} \ln \left(E / g^{2}\right)$. При этом $q=\ln \mathrm{ch} b t+q_{0}, \quad b=\sqrt{2 E}$.
$6^{\prime} . U(q)=g^{2} \operatorname{ch} 2 q, E>g^{2}$ (рис. 6).
Движение происходит на отрезке $-q_{0}<q<q_{0}$, где $q_{0}=\frac{1}{2} \operatorname{Arch}\left(E / g^{2}\right)$. При этом
sh $q(t)=a \operatorname{cn}(\gamma t, k)$,
где
$a=\operatorname{sh} q_{0}=\left[\frac{1}{2}\left(E / g^{2}-1\right)\right]^{1 / 2}, k=$ th $q_{0}=\left[\left(E-g^{2}\right) /\left(E+g^{2}\right)\right]^{1 / 2}$,
$\gamma=2 g$ ch $q_{0}=\left(E+g^{2}\right)^{1 / 2}$.
Период колебаний равен
$T=\frac{4}{\gamma} K(k)$.
7. $U(q)=-g^{2} q^{4}$.
В этом случае интеграл
\[
\int^{q} \frac{d x}{\sqrt{E+g^{2} x^{4}}}
\]
стремится к определенному пределу при $q \rightarrow \infty$, а это значит, что частица за конечное время уходит на бесконечность. Таким образом, траекторию
Рис. 6
частицы в этом случае нельзя продолжить неограниченно по времени. Это – простейший пример гамильтонова векторного поля
\[
\dot{q}=p, \quad \dot{p}=4 g^{2} q^{3},
\]
которое не определяет поток на фазовой плоскости $(q, p)$.
Мы рассмотрели простейшие случаи, когда фазовым пространством системы является обычная евклидова плоскость. Более сложные системы с нелинейным фазовым пространством типа двумерной сферы $\AA^{2}$ или плоскости Лобачевского $\mathcal{L}^{2}$ мы рассмотрим позже. Отметим лишь, что к случаю $\Phi^{2}$ сводится хорошо известный волчок Эйлера.
3 адача: Проинтегрировать уравнения движения:
a) математического маятника: $U(q)=g^{2}(1-\cos q)$;
б) системы с $U(q)=g^{2}\left(2 e^{q}+e^{-2 q}-3\right)$;
в) гистемы с $U(q)=g_{1}^{2} \operatorname{sh}^{-2} q-g_{2}^{2} \mathrm{ch}^{-2} q$.
