Как хорошо известно (см., например, $[1,23,35]$ ), интегрирование уравнений движения гамильтоновой системы с одной степенью свободы сводится к квадратурам. Здесь мы рассмотрим простейшие примеры таких систем; аналогичные системы удается проинтегрировать и в случае нескольких степеней свободы.

Пусть материальная точка (частица) единичной массы движется по прямой в потенциальном поле $U(q)$ ( $q$ — координата частицы, $p$ — ее импульс). Такая система описывается гамильтонианом:
$$H=\frac{p^2}{2}+U(q)\text{. }$$

Уравнения движения частицы имеют вид
$$\dot{q}=p,\dot{p}=-\frac{\partial U}{\partial q}$$

или
$$\ddot{q}=-\frac{\partial U}{\partial q}$$

и допускают интеграл движения (интеграл энергии)
$$H=\frac{p^2}{2}+U(q)=E=\text{ const. }$$

Нахождение закона движения — функции $q(t)$ — сводится теперь к квадратуре
$$t=\frac{1}{\sqrt{2}}{\int }_{q_0}^q\frac{dx}{\sqrt{E-U(x)}}.$$

Очевидно, что движение частицы может происходить лишь в области $E⩾U(q)$, так что точки $(a,b,\dots$ ), для которых $E=U(q)$ (так называемые точки остановки), определяют границы движения.

Характер движения зависит от вида потенциальной энергии $U(q)$ : движение может быть инфинитным (частица может уходить на бесконечность) и финитным (частица движется в конечной области).

В случае финитного движения в области $a⩽q⩽b$ ( $a$ и $b$-точки остановки) частица совершает колебания, период которых находится по формуле*)
$$T(E)=\sqrt{2}{\int }_a^b\frac{dx}{\sqrt{E-U(x)}}.$$

При этом период малых колебаний вблизи положения равновесия $q\approx q_0$
$${\frac{\partial U}{\partial q}|}_{q=q_0}=U^{\prime }\left(q_0\right)=0,{\frac{{\partial }^{2}U}{\partial q^2}|}_{q=q_0}=U^{\prime \prime }\left(q_0\right)>0$$

дается формулой
$$T=\frac{2\pi }{\sqrt{U^{\prime \prime }\left(q_0\right)}}.$$

В рассматриваемом случае функция $q(t)$ может быть разложена в ряд Фурье
$$q(t)=\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_j\cos (j\omega t)+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_k\sin (k\omega t),\omega =\frac{2\pi }{T}.$$

По поводу вычисления коэффициентов $a_j$ и $b_k$ в этом разложении мы отсылаем заинтересованного читателя к работам $[117,303]$. Отметим лишь, что для потенциала $U(q)=-\frac{\alpha }{q}+\frac{\beta }{q^2},\alpha >0,\beta >0$, эти коэффициенты выражаются через функции Бесселя.

Рассмотрим ряд примеров, когда интегрирование в (2.1.5) удается выполнить явно. В дальнейшем мы обобщим все эти примеры на случай нескольких степеней свободы.
1. $U(q)=g^2{q}^{-2},E>0$.
Движение происходит в области $q_0<q<\mathrm{\infty }$, где $q_0=\sqrt{g^2/E}$. При этом
$$q(t)=\sqrt{q_0^2+p_0^2{t}^2},p_0^2=2E.$$
2. $U(q)=g^2{\mathrm{sh}}^{-2}q,E>0$ (рис. 1).

Движение происходит в области $q_0<q<\mathrm{\infty }$, где $q_0=\mathrm{Arsh}\sqrt{g^2/E}$. При этом
$\mathrm{ch}q=a\mathrm{ch}{p}_{0}t$,
$a=\mathrm{ch}{q}_0=\sqrt{1+g^2/E}$,
$p_0=\sqrt{2E}$.
Рис. 1
*)Заметим, что знание функции $T(E)$ при всех допустимых значениях $E$, при дополнительном предположении, что функция $U(q)$ четна относительно середины отрезка $(a,b)$, позволяет однозначно восстановить потенциал $U(q)$ (см. $[23,107]$ ). В частности, если $T$ не зависит от $E$ и $U(q)$ — четная функция, то $U(q)=k{q}^2$.

Рис. 2
Рис. 3
$2^{\prime }.U(q)=-g^2{\mathrm{ch}}^{-2}q$ (рис. 2).
а) $-g^2<E<0$. Движение финитно: $-q_0<q<q_0$, где $q_0=$ $=\mathrm{Arch}\sqrt{g^2/|E|}$, и
$\mathrm{sh}q=a\sin \omega t,a=\mathrm{sh}{q}_0=\sqrt{\left(g^2/|E|\right)-1}$, $\omega =\sqrt{2|E|},T=\frac{\sqrt{2}\pi }{\sqrt{|E|}}$.
б) $E>0$. Движение инфинитно: $-\mathrm{\infty }<q<\mathrm{\infty }$.
sh $q=a\mathrm{sh}{p}_{0}t,a=\sqrt{\left(g^2/E\right)+1},p_0=\sqrt{2E}$.
в) $E=0,-\mathrm{\infty }<q<\mathrm{\infty }$.
sh $q=at,a=\sqrt{2}g$.
3. $U(q)=g^2{\sin }^{-2}q,E>g^2$ (рис. 3).
Движение происходит на отрезке $q_0<q<\pi -q_0$, где $q_0=\arcsin \sqrt{g^2/E}$.
При этом
$\cos q=a\cos \omega t,a=\cos q_0=\sqrt{1-g^2/E}$,
$\omega =\sqrt{2E},T=\frac{\sqrt{2}\pi }{\sqrt{E}}$.
Интересной особенностью движения в случаях 2’а и 3 является независимость периода колебаний $T$ от величины $g$.
4. $U(q)=g^2\mathcal{P}(q\mid {\omega }_1,{\omega }_2)$, где $\mathcal{P}(q\mid {\omega }_1,{\omega }_2)$ — функция Вейерштрасса (см. [4]) (см. рис. 3).
$$\begin{array}{l}{\mathcal{P}}^{\mathfrak{O}}(q\mid {\omega }_1,{\omega }_2)=\sum _{n_1{n}_2}^{{\mathrm{\Sigma }}^{\prime }}{(q-2n_1{\omega }_1-2n_2{\omega }_2)}^{-2}-\\ -\sum _{n_1{n}_2}^{{\mathrm{\Sigma }}^{\prime }}{(2n_1{\omega }_1+2n_2{\omega }_2)}^{-2}+q^{-2}=\alpha {\mathrm{sn}}^{-2}(\beta q,k)+\gamma .\end{array}$$

Здесь ${\omega }_1=a,{\omega }_2=ib$ — два полупериода этой функции (мы ограничимся рассмотрением простейшего случая, когда $a$ и $b$ вещественны), $\sin (q,k)-$ так называемый эллиптический синус
$$\begin{array}{l}{\mathrm{sn}}^{-2}({(e_1-e_3)}^{1/2}q,k)={(e_1-e_2)}^{-1}(\mathcal{P}(q)-e_2),\\ e_j=\mathcal{P}\left({\omega }_j\right),j=1,2,e_3=\mathcal{P}({\omega }_1+{\omega }_2).\end{array}$$

Мы можем поэтому предположить, что $U(q)=g^2{\mathrm{sn}}^{-2}(q,k)$. При $E>E_0$, $E_0=g^2\mathcal{P}\left({\omega }_1\right)$, движение происходит в области $q_0<q<2a-q_0$, где $q_0$ находится из условия $\mathrm{sn}(q_0,k)=\sqrt{g^2/E}$ и определяется уравнением
$$\mathrm{cn}(q,k)=a\mathrm{cn}(\gamma t,\tilde{k}).$$

Здесь
$$\begin{array}{l}{\tilde{k}}^2=\frac{k^2{a}^2}{1-k^2(1-a^2)}=k^2\frac{E-g^2}{E-g^2{k}^2},\\ \gamma =\sqrt{2}g{(1-k^2(1-a^2))}^{1/2}=\sqrt{2}{(E-g^2{k}^2)}^{1/2}.\end{array}$$

Период колебаний дается формулой
$$T=\frac{4}{\gamma }K(k),K(k)={\int }_0^1\frac{dx}{{(1-x^2)}^{1/2}{(1-k^2{x}^2)}^{1/2}},k<1.$$
5. $U(q)=g^2{q}^{-2}+\frac{{\omega }^2{q}^2}{2},E>E_0=\sqrt{2}\omega g$ (рис. 4) .

Цвижение происходит на отрезке $q_1<q<q_2$, где $q_1$ и $q_2$ определяются из уравнения
$$g^2{x}^{-2}+\frac{{\omega }^2}{2}{x}^2=E.$$

При этом
$$q=\sqrt{q_1^2+(q_2^2-q_1^2){\sin }^2\omega t}.$$

Период колебаний $T=\pi /\omega$ не зависит от $g$ и так же, как и в случае гармонических колебаний, не зависит от энергии.
$$\text{ 6. }U(q)=g^2\exp (-2q),E>0\text{ (рис. 5). }$$
Рис. 4
Рис. 5

Движение инфинитно: $q_0<q<\mathrm{\infty }$, где $q_0=-\frac{1}{2}\ln \left(E/g^2\right)$. При этом $q=\ln \mathrm{ch}bt+q_0,b=\sqrt{2E}$.
$6^{\prime }.U(q)=g^2\mathrm{ch}2q,E>g^2$ (рис. 6).
Движение происходит на отрезке $-q_0<q<q_0$, где $q_0=\frac{1}{2}\mathrm{Arch}\left(E/g^2\right)$. При этом
sh $q(t)=a\mathrm{cn}(\gamma t,k)$,

где
$a=\mathrm{sh}{q}_0={\left[\frac{1}{2}(E/g^2-1)\right]}^{1/2},k=$ th $q_0={\left[(E-g^2)/(E+g^2)\right]}^{1/2}$,
$\gamma =2g$ ch $q_0={(E+g^2)}^{1/2}$.
Период колебаний равен
$T=\frac{4}{\gamma }K(k)$.
7. $U(q)=-g^2{q}^4$.
В этом случае интеграл
$${\int }^q\frac{dx}{\sqrt{E+g^2{x}^4}}$$

стремится к определенному пределу при $q\to \mathrm{\infty }$, а это значит, что частица за конечное время уходит на бесконечность. Таким образом, траекторию
Рис. 6

частицы в этом случае нельзя продолжить неограниченно по времени. Это — простейший пример гамильтонова векторного поля
$$\dot{q}=p,\dot{p}=4g^2{q}^3,$$

которое не определяет поток на фазовой плоскости $(q,p)$.
Мы рассмотрели простейшие случаи, когда фазовым пространством системы является обычная евклидова плоскость. Более сложные системы с нелинейным фазовым пространством типа двумерной сферы ${\text{AA}}^2$ или плоскости Лобачевского ${\mathcal{L}}^2$ мы рассмотрим позже. Отметим лишь, что к случаю ${\mathrm{\Phi }}^2$ сводится хорошо известный волчок Эйлера.
3 адача: Проинтегрировать уравнения движения:
a) математического маятника: $U(q)=g^2(1-\cos q)$;
б) системы с $U(q)=g^2(2e^q+e^{-2q}-3)$;
в) гистемы с $U(q)=g_1^2{\mathrm{sh}}^{-2}q-g_2^2{\mathrm{ch}}^{-2}q$.