Как нетрудно видеть, системы типов III, V и VI (см. гл. 3) обладают равновесными конфигурациями. Эти конфигурации имеют ряд замечательных особенностей. Прежде всего, положения равновесия тесно связаны с нулями классических полиномов. Кроме того, частоты малых колебаний вблизи положений равновесия и соответствующие им нормальные моды даются собственными значениями и собственными векторами определенных матриц. Здесь мы рассмотрим вопрос о равновесных конфигурациях вкратце. Детальное обсуждение этого и связанных с ним вопросов можно найти в работах $[138,115,43,139]$ и в ряде последующих работ, опубликованных главным образом в журнале Lettere al Nuovo Cimento.

Начнем с рассмотрения системы типа V (для простоты положим $g=1$ ), т.е. системы, характсризусмой гамильтонианом
\[
H_{2}=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} p_{j}^{2}+U_{2}(q)
\]

где
\[
U_{2}(q)=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} q_{j}^{2}+\sum_{j<k}\left(q_{j}-q_{k}\right)^{-2} .
\]

Обозначая величины $q_{j}$ в положении равновесия через $x_{j}$ с учетом того, что $p_{j}=0$, получаем систему уравнений для этих величин:
\[
x_{j}=2 \Sigma_{k}^{\prime}\left(x_{j}-x_{k}\right)^{-3}, j=1,2, \ldots, n .
\]

Здесь и. ниже штрих означает, что слагаемое с $k=j$ опущено. В работе бьло показано, что величины $x_{j}$ также удовлетворяют уравнениям
\[
x_{j}=\Sigma_{k}^{\prime}\left(x_{j}-x_{k}\right)^{-1}
\]

и, следовательно, описывают также положение равновесия системы, характеризуемой гамильтонианом
\[
H_{1}=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} p_{j}^{2}+U_{1}(q)
\]

где
\[
U_{1}(q)=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} q_{j}^{2}-\sum_{j<k} \ln \left|q_{j}-q_{k}\right| .
\]

Таким образом, положения равновесия для систем, характеризуемых гамильтонианами (5.1.1) и (5.1.5), совпадают.

Известно также, что величины $x_{j}$, удовлетворяющие уравнениям (5.1.4), являются нулями полиномов Эрмита:
\[
H_{n}\left(x_{j}\right)=0, \quad j=1, \ldots, n .
\]

Этот результат не нов; он был открыт Стильтьесом [289, 290] почти сто лет назад (см., например, книгу [31], подраздел 6.7). Утверждение относительно совпадения положений равновесия для систем (5.1.1) и (5.1.5) было получено в работе [136] и является следствием общей теоремы [265].

Рассмотрим последовательность динамических систем с гамильтонианами вида
\[
H_{s}=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} p_{j}^{2}+U_{s}\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)
\]

и потенциальной энергией вида
\[
U_{s}=\frac{1}{2}\left(\partial_{i} U_{1}\right)\left(\partial_{i} \partial_{j} U_{1}\right) \ldots\left(\partial_{k} \partial_{l} u_{1}\right)\left(\partial_{l} u_{1}\right), \quad s=2,3, \ldots,
\]

где $\partial_{j} U=\partial U_{1} / \partial q_{j}$, а $s$ – степень $U_{s}$ по $U_{1}$. Предположим, что система с гамильтонианом $H_{1}$ (см. (5.1.5)) обладает стабильным изолированным положением равновесия
\[
q^{0}=\left(q_{1}^{0}, \ldots, q_{n}^{0}\right)=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) .
\]

Теорема 5.1.1 [265]. Система с гамильтонианом вида (5.1.8), (5.1.9) для любого $s \geqslant 2$ обладает стабильным изолированным положением равновесия, которое совпадает с положением равновесия для системы (5.1.5). Частоты малых колебаний вблизи положения равновесия для системы с потенциальной энергией $U_{s}$ равны $s$-й степени соответствующих собственных частот малых колебаний для системы (5.1.5). Нормальные моды малых колебаний для всех рассматриваемых систем совпадают.

Доказательство этой теоремы элементарно. Применяя теперь эту теорему к системе с потенциальной энергией (5.1.6), получаем систему с потенциальной энергией
\[
U_{2}\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} q_{j}^{2}+\sum_{j<k} \frac{1}{\left(q_{j}-q_{k}\right)^{2}}-\frac{n(n-1)}{2} .
\]

Отсюда следует, что абсолютный минимум потенциальной энергии равен
\[
U_{0}=\frac{n(n-1)}{2},
\]

а равновесная конфигурация такой системы с потенциалом $U_{s}(q)$ (см. (5.1.9)) определяется уравнениями (5.1.3) или (5.1.4) .

Используя выражение (5.1.6) для $U_{1}(q)$, нетрудно получить явные выражения для матрицы
\[
a_{i j}=\left(\partial_{i} \partial_{j} U_{1}(q)\right)_{q=q^{0}}, \quad \partial_{j}=\partial / \partial \dot{q}_{j},
\]

собственные значения которой дают квадраты частот малых колебаний вблизи положения равновесия. Именно
\[
a_{i j}=\delta_{i j}\left(1+\sum_{k}^{\prime}\left(x_{j}-x_{k}\right)^{-2}\right)-\left(1-\delta_{i j}\right)\left(x_{j}-x_{k}\right)^{-2} .
\]

Собственные значения этой матрицы равны $1,2, \ldots, n$; частоты малых колебаний системы с потенциальной энергией (5.1.6) равны $\sqrt{1}, \sqrt{2}, \ldots, \sqrt{n}$.
Отметим, что этот результат следует также из работы [136] .
Заметим также, что из (5.1.13) следует, что
\[
\sum_{j} a_{i j} x_{j}=2 x_{i} \text {. }
\]

Следовательно, вектор $x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ определяет нормальную моду малых колебаний системы с потенциалом $U_{2}$.

Отметим еще следующую гипотезу Ф. Калоджеро. Заменим в формуле (5.1.13) числа $x_{j}$ на произвольные числа $y_{j}$ и потребуем, чтобы собственные значения этой матрицы были по-прежнему равны $1,2, \ldots,(n-1)$. Тогда с точностью до общего сдвига числа $y_{j}$ совпадают с нулями полинома Эрмита $H_{n}(x)$ :
\[
y_{j}=x_{j}+c \text {. }
\]

Аналогично при рассмотрении системы с потенциальной энергией $U_{2}(q)$ приходим к матрице
\[
B_{j k}=\delta_{j k}\left(\sum_{l}^{\prime}\left(x_{j}-x_{l}\right)^{-4}\right)-\left(1-\delta_{j k}\right)\left(x_{j}-x_{k}\right)^{-4},
\]

которая, как мохно показать, связана с матрицей $a$ простым соотношением
\[
B=\frac{1}{6}\left(a^{2}-I\right) \text {. }
\]

Следовательно, собственные значения этой матрицы равны
\[
\frac{1}{6}\left(k^{2}-1\right), \quad k=1,2, \ldots,(n-1) .
\]

Относительно аналогичных результатов для систем с потенциальной энергией более общего вида см. работу [265] .

Для нахождения нормальных мод колебаний вблизи положения равновесия можно использовать следующий метод. Введем матрицы
\[
\begin{aligned}
X_{j k} & =\left(1-\delta_{j k}\right)\left(x_{j}-x_{k}\right)^{-1}, \\
\bar{M}_{j k} & =\delta_{j k}\left(\sum_{l}^{\prime}\left(x_{k}-x_{l}\right)^{-2}\right)-\left(1-\delta_{j k}\right)\left(x_{j}-x_{k}\right)^{-2}, \\
Q_{j k} & =\delta_{j k} x_{k}, \quad A^{ \pm}=Q \pm X
\end{aligned}
\]

или
\[
A_{j k}^{ \pm}=\delta_{j k}\left(\sum_{l}^{\prime}\left(x_{j}-x_{l}\right)^{-1}\right) \pm\left(1-\delta_{j k}\right)\left(x_{j}-x_{k}\right)^{-1} .
\]

Заметим, что матрица $i X$ равна матрице $L$ для положения равновесия и играет роль импульса. Соответственно матрицы $A^{ \pm}$, введенные в работе [262], играют роль повышающих и понижающих операторов. Действи. тельно, из работы [262] следует, что для равновесной конфигурации
\[
\left[\bar{M}, A^{ \pm}\right]= \pm A^{ \pm} \quad\left(\text { но }\left[A^{+}, A^{-}\right]
eq \lambda \bar{M}\right) .
\]

Поэтому если $u^{(k)}$ – собственный вектор матрицы $\bar{M}$ с собственным зна. чениё м $\mu_{k}$, то
\[
A^{ \pm} u^{(k)}=\lambda_{k}^{ \pm} u^{(k \pm 1)}, \quad A^{-} u^{(1)}=0, \quad A^{+} u^{(n)}=0, \quad \mu_{k \pm 1}=\mu_{k} \pm 1 .
\]

Отсюда следует, что собственные векторы $u^{(k)}$ получаются из вектора $u^{(1)}=(1, \ldots, 1)$ по формуле $u^{(k)}=c_{k}\left(A^{+}\right)^{k-1} u^{(1)}$ и имеют вид
\[
u^{(k+1)}=N_{k}\left(P_{k}\left(x_{1}\right) \ldots P_{k}\left(x_{n}\right)\right),
\]

где $P_{k}(x)$ – полином степени $k$, имеющий определенную четность. Явное выражение для нормированного вектора $u^{(k)}$ было получено в работе [130]. Аналогичные результаты имеют место и для полиномов Лагерра и Якоби и функций Бесселя (см. $[115,43,131]$ ).
Отметим также, что собственные значения матрицы
\[
\delta_{j k} x_{j} \cos \theta+i\left(1-\delta_{j k}\right)\left(x_{j}-x_{k}\right)^{-1} \sin \theta,
\]

где $x_{j}$ – нули полинома Эрмита $H_{n}(x)$, не зависят от величины $\theta$ и, следовательно, равны $x_{j}$ (см. [115]).

Приведем некоторые результаты относительно положений равновесия для систем типа III $[141,143]$ ). Относительно результатов для систем типа VI см. статьи [170, 245].

Равновесная конфигурация для системы с гамильтонианом (см. работу [163])
\[
H=\frac{1}{2} \Sigma p_{j}^{2}-\sum_{j<k} \log \left|\sin \left(q_{j}-q_{k}\right)\right|
\]

дается формулой
\[
x_{j}=x_{0}+\frac{\pi}{n} j, . j=1, \ldots, n,
\]

где $x_{0}$ – некоторая постоянная.
Для частот малых колебаний вблизи положения равновесия в работе [143] была получена формула
\[
\omega_{s}^{2}=2 s(n-s), \quad s=1,2, \ldots, n .
\]

При рассмотрении малых колебаний такой системы естественно возникают эрмитовы матрицы
\[
\begin{array}{l}
A_{j k}=\left(1-\delta_{j k}\right)\left[1+i \operatorname{ctg}(j-k) \frac{\pi}{n}\right], \\
B_{j k}=\left(1-\delta_{j k}\right) \sin ^{-2}(j-k) \frac{\pi}{n}, \\
C_{j k}=\left(1-\delta_{j k}\right) \sin ^{-4}(j-k) \frac{\pi}{n} .
\end{array}
\]

Можно показать [143], что собственные значения матрицы $A$ даются формулами
\[
a_{s}=2 s-n-1, \quad s=1,2, \ldots, n,
\]

и что матрицы $B$ и $C$ выражаются через матрицу $A$ согласно формулам
\[
\begin{array}{l}
B=\frac{1}{2}\left(A^{2}+2 A-\sigma_{n}^{(1)} I\right), \\
C=-\frac{1}{6}\left(B^{2}-2\left(2+\sigma_{n}^{(1)}\right) B-\sigma_{n}^{(2)} I\right),
\end{array}
\]

где $I$ – единичная матрица, а
\[
\sigma_{n}^{(1)}=\frac{1}{3}\left(n^{2}-1\right), \quad \sigma_{n}^{(2)}=\frac{1}{45}\left(n^{2}-1\right)\left(n^{2}+1\right) .
\]

Собственные векторы $v^{(s)}$ этих матриц определяются простой формулой
\[
v_{\dot{j}}^{(s)}=\exp (-2 \pi i s j / n), j=1,2, \ldots, n .
\]

В заключение этого раздела отметим результат, относящийся к матрицам, построенным с помощью системы произвольных чисел. Пусть числа $x_{j}$, определяющие матрищы $X$ и $A^{+}$согласно формулам (5.1.19) и (5.1.19′), произвольны. Определим матрицу $N=X A^{+}$:
\[
N_{j k}=\delta_{j k} x_{j}\left(\sum_{l}\left(x_{j}-x_{l}\right)^{-1}\right)+\left(1-\delta_{j k}\right) x_{j}\left(x_{j}-x_{k}\right)^{-1} .
\]

В работе [115] было показано, что собственными значениями этой матрицы являются $n$ первых неотрицательных целых чисел.

Оказывается, что матрицы $X$ и $A^{+}$в значительной степени аналогичны операторам $x$ и $d / d x$ : именно они представляют эти операторы в некотором функциональном пространстве, натянутом на полиномы степени меньше $n$ [139]. Отсюда можно получить большое число матричных тождеств.