Хорошо известно, что как анизотропный гармонический осциллятор, так и частица $;$ движущаяся в поле произвольного центрального потенциала $U(r)$, являются интегрируемыми системами. Однако ангармонический осциллятор, находящийся в поле центрального потенциала, вообще говоря, не является интегрируемой системой. Исключительным здесь является случай центрального потенциала четвертой степени
\[
U(r)=\alpha r^{4}=\alpha\left(\Sigma q_{j}^{2}\right)^{2},
\]

для которого система оказывается вполне интегрируемой.
Мы рассмотрим сначала более общую гамильтонову систему, открытую и подробно изученную Гарнье в 1919 г. [178]. Отметим, что Гарнье показал, что уравнения движения этой системы можно проинтегрировать с помощью тета-функций.
Гамильтониан системы Гарнье имеет вид
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} p_{j} y_{j}+\sum_{j} a_{j} q_{j} x_{j}+\left(\sum_{j} q_{j} x_{j}\right)^{2}
\]

где $\{p, y\}$ – канонические импульсы, а $\{q, x\}$ – канонические координаты в стандартном фазовом пространстве $\mathbb{R}^{4 n}$. При этом, как нетрудно видеть, подпространство $\mathbb{R}^{2 n}$, определяемое условиями
\[
y_{j}=p_{j}, x_{k}=q_{k} ; j, k=1, \ldots, n,
\]

является инвариантным подпространством для системы Гарнье. Ограничение системы Гарнье на это подпространство приводит к интересующему нас случаю ангармонического осциллятора с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} p_{j}^{2}+\sum_{j=1}^{n} a_{j} q_{j}^{2}+\left(\sum_{j=1}^{n} q_{j}^{2}\right)^{2} .
\]

Для доказательства интегрируемости системы Гарнье проще всего использовать представление ее уравнений движения в форме Лакса. Такое представление было дано в работе [151], исходя из представления Лакса для нелинейного уравнения Шредингера
\[
\dot{L}(\lambda)=[L(\lambda), M(\lambda)],
\]

где
\[
\begin{array}{l}
L(\lambda)=\left(q \otimes e_{n+1}-e_{n+1} \otimes x\right)+\lambda B+\lambda^{-1}(q \otimes x+ \\
\left.+p \otimes e_{n+1}+e_{n+1} \otimes y+(q, x) e_{n+1} \otimes e_{n+1}+A\right), \\
M(\lambda)=\left(q \otimes e_{n+1}-e_{n+1} \otimes x\right)+\lambda B .
\end{array}
\]

Здесь $L$ и $M$ – матрицы порядка $(n+1),\left\{e_{1}, \ldots, e_{n+1}\right\}$ – стандартный ортонормированный базис в пространстве $\mathbb{R}^{n+1}$,
\[
\begin{array}{l}
A=\operatorname{diag}\left[a_{1}, \ldots, a_{n}, 0\right], \\
B=\operatorname{diag}[0,0, \ldots, 0,1] .
\end{array}
\]

Лаксово представление для ангармонического осциллятора получается при замене в (3.10.5), (3.10.6) у на $p$ и $x$ на $q$.

Рассмотрим подробнее случай общего положения, когда все величины $a_{j}$ различны и отличны от нуля. В этом случае, как показано в работе [188], величины
\[
F_{j}=\Sigma_{k}^{\prime}\left(a_{j}-a_{k}\right)^{-1} l_{j k}^{2}+p_{j}^{2}+a_{j} q_{j}^{2}+a_{j}^{2}\left(\underset{k}{\Sigma} q_{k}^{2}\right),
\]

где $l_{j k}=\left(q_{j} p_{k}-q_{k} p_{j}\right)$, являются интегралами движения *), причем все они квадратичны по импульсам.

Нетрудно видеть, что все они функционально независимы. Можно показать также прямым вычислением, что все они находятся в инволюции. Замечая, что
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} F_{j}
\]

мы приходим к выводу, что рассматриваемая система является вполне интегрируемой. Тот факт, что интегралы движения $F_{j}$ зависят от импульсов квадратично, указывает на то, чго уравнение Гамильтона-Якоби для данной системы допускает разделение переменных. Как оказывается, в этом случае разделение переменных происходит в эллиптической системе координат. Относительно деталей ингегрирования уравнения ГамильтонаЯкоби в эллиптической системе координат см. работу [312].

Перейдем теперь к рассмотрению обобщения ангармонического осциллятора, данному в работе [312]. А именно, возьмем систему с гамильтонианом
\[
\tilde{H}=\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} p_{k}^{2}+\sum_{k}\left(a_{k} q_{k}^{2}+c_{k} q_{k}^{-2}\right)+\left(\Sigma q_{k}^{2}\right)^{2} .
\]
*) Полная интегрируемость рассматриваемой системы была доказана также в работе [151], где эта система рассматривалась как стационарный поток для многокомпонентного нелинейного уравнения Шредингера. В. этой работе была указана также рекуррентная конструкция интегралов движения.

Дия такой системы, так же, как и для системы, рассмотренной ранее, величины
\[
\begin{array}{l}
\tilde{F}_{j}=\sum_{k}^{\prime}\left(a_{j}-a_{k}\right)^{-1}\left(l_{j k}^{2}+c_{j} q_{k}^{2} q_{j}^{-2}+c_{k} q_{j}^{2} q_{k}^{-2}\right)+ \\
+p_{j}^{2}+a_{j} q_{j}^{2}+q_{j}^{2}\left(\sum_{k} q_{k}^{2}\right)+c_{j} q_{j}^{-2}
\end{array}
\]

являются интегралами движения. Все они квадратичны по импульсам, функционально независимы и находятся в инволюции, так что рассматриваемая система является вполне интегрируемой. Относительно интегрирования уравнения Гамильтона-Якоби путем разделения переменных в эллиптической системе координат см. работу [312]. Там же приведено іредставление Лакса для этой системы.