Простая замена переменных, предложенная в [133], позволяет получить некоторое обобщение систем типа II. Пусть
\[
q_{j} \rightarrow q_{j}+i \frac{\pi}{2 a}, \quad 0<n_{1}<j \leqslant n .
\]

Тогда потенциал
\[
U(q)=g^{2} a^{2} \sum_{k<j} \operatorname{sh}^{-2}\left[a\left(q_{j}-q_{k}\right)\right]
\]

перейдет в потенциал
\[
U(q)=g^{2} a^{2} \sum_{\substack{1 \leqslant j \leqslant n_{1} \\ n_{1}<j<i \leqslant n}} \operatorname{sh}^{-2}\left[a\left(q_{i}-q_{j}\right)\right]-g^{2} a^{2} \sum_{j \leqslant n_{1}<i} \operatorname{ch}^{-2}\left[a\left(q_{i}-q_{j}\right)\right] .
\]

Эта система содержит $n_{1}$ частиц одного знака и $n_{2}=n-n_{1}$ частиц противоположного. Каждая пара частиц противоположного знака притягивается с потенциалом $-g^{2} a^{2} \mathrm{ch}^{-2}\left[a\left(q_{j}-q_{k}\right)\right]$. В то же время частицы одного знака отталкиваются с потенциалом $g^{2} a^{2} \operatorname{sh}^{-2}\left[a\left(q_{j}-q_{k}\right)\right]$. Очевидно, что все предыдущие результаты, касающиеся систем типа II, остаются справедливыми после замены (3.6.1). В частности, величины $\exp \left[2 \alpha q_{j}(t)\right]$ являются собственными значениями матрицы
\[
x(t)=b \exp (2 a t) b^{+} .
\]

Однако эта формула не позволяет явно ответить на важный вопрос: существуют ли связанные состояния (или, иными словами, финитные движения) в системе с потенциалом (3.6.3) ? Ответ на него дан в [257] .

Отметим сначала, что формула (3.6.4) уже не определяет геодезическую в пространстве эрмитовых положительно определенных матриц, как это было для систем типа II. Оказывается, что системам (3.6.3) отвечает пространство $X_{n_{1}, n_{2}}$ эрмитовых матриц сигнатуры $\left(n_{1}, n_{2}\right)$, а формула (3.6.4) определяет (при условии замены (3.6.1)) геодезическую в этом пространстве. Таким образом, ответ на вопрос о связанных состояниях сводится к выяснению характера поведения геодезических в пространстве $X_{n_{1}}, n_{2}$. Для того чтобы связанные состояния существовали, очевидно, необходимо, чтобы существовали геодезические, целиком лежащие в ограниченной области пространства $X_{n_{1}, n_{2}}$ (геодезические, не уходящие на бесконечность). Множество различных классов геодезических пространств $X_{n_{1}}, n_{2}$ больше, чем у пространства $X_{\bar{n}}^{-}$, отвечающего системам типа II, и соответственно динамика систем с потенциалом (3.6.3) богаче динамики систем с потенциалом (3.6.2).

Рассмотрим систему с одной степенью свободы. В этом случае вместо пространства $X_{1,1}$ можно рассмотреть однополостный гиперболоид $\left\{x: x^{2}=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=-1\right\}$. Легко показать, что энергия свободной частицы в сферических координатах
\[
x_{0}=\operatorname{sh} q, \quad x_{1}=\operatorname{ch} q \cos \varphi, \quad x_{2}=\operatorname{ch} q \sin \varphi
\]

после исключения циклической координаты $\varphi$ приводится к виду
\[
H=\frac{1}{2} p^{2}-g^{2} \operatorname{ch}^{-2} q,
\]

где $p=\dot{q}, g^{2}=\frac{1}{2} \mu_{\varphi}^{2}, \mu_{\varphi}$ – момент.
Так как гиперболоид однороден относительно гиперболических в ращений, то достаточно рассмотреть геодезические, проходящие через фиксированную точку. Остальные геодезические получаются гиперболическими сдвигами точки. Рассмотрим геодезические, проходящие через точку $e=$ $=(0,1,0)$. В метрике (3.5.8) это сечения гиперболоида плоскостями, проходящими через точку $е$ и начало координат. Отсюда получаем уравнение геодезических
\[
\text { th } q=k \cos \varphi .
\]

При $k<1$ это эллипсы, $k=1$ – изотропные прямые, $k>1$ – гиперболы. Таким образом, имеются два класса геодезических – замкнутые ( $k<1$ ) и уходящие в бесконечность ( $k \geqslant 1$ ). В первом случае движение финитно, а во втором – инфинитно, что согласуется с характером движения, определяемого гамильтонианом (3.6.6).

Перейдем теперь к общему случаю. Пространство $X_{n_{1}, n_{2}}$ эрмитовых матриц порядка $n \times n$ и сигнатуры ( $\left.n_{1}, n_{2}\right), n_{1}+n_{2}=n$, является однородным псевдоримановым пространством с метрикой (3.5.8). Группа $G=$ $=\mathrm{GL}(n, \mathbb{C})$ действует на $X_{n_{1} n_{2}}$ обычным способом:
\[
x \rightarrow g x g^{+}, \quad x \in X_{n_{1} n_{2}}, \quad g \in G .
\]

Стационарная подгруппа матрицы
\[
J=\operatorname{diag}(1, \ldots, 1,-1, \ldots,-1), \operatorname{tr} J=n_{1}-n_{2},
\]
– это $K=U\left(n_{1}, n_{2}\right)$, так что $X_{n_{1} n_{2}}=G / K$; заметим, что группа $K$ некомпактна и состоит из матриц, удовлетворяющих условию $g^{-1}=J g^{+} J$. В соответствующем \”псевдокартановском разложении\” $\mathscr{G}=\mathscr{K}+\mathscr{P}$ подпространство $\mathscr{P}$ состоит из матриц $a$ гаких, что
\[
J a^{+}=a J,
\]

а действие $K$ на $\mathscr{P}$ дается формулой
\[
a \rightarrow \operatorname{gag}^{-1}, \quad a \in \mathscr{P}, \quad g \in K .
\]

Нетрудно доказать, что геодезические в $X_{n_{1} n_{2}}$ имеют вид
\[
x(t)=b \exp (2 a t) J b^{+} \text {, }
\]

где $b \in G, a \in \mathscr{I}^{\circ}$. При этом различным типам геодезических соответствуют различные классы сопряженных картановских подалгебр в $\mathscr{P}$ относительно действия $K$, т.е. различные типы нормальной формы, к которой можно привести $a$ путем действия $K$. Можно показать, что матрицу $a$ всегда можно привести к виду

где
\[
\begin{array}{l}
n_{1}-n_{2} \leqslant r \leqslant n, \quad k \leqslant n_{2}, \quad r+2 k=n, \\
\sum_{j=1}^{r} \alpha_{j}+2 \sum_{j=1}^{k} \beta_{j}=0 .
\end{array}
\]

Соответственно матрицу ехр (2at) можно привести к виду
Из (3.6.14), (3.6.15) следует, что все геодезические распадаются на $n_{2}+1$ класса. Каждый класс характеризуется $k$ \”компактными\” параметрами $\varphi_{j}$ и $r+k$ \”некомпактными\” $\left(\alpha_{j}, \beta_{l}\right)$.

Заметим теперь, что геодезическая (3.6.15) содержится в ограниченной части пространства $X_{n_{1}, n_{2}}$, если и только если $\alpha_{1}=\ldots=\alpha_{r}=\beta_{1}=\ldots=\beta_{r}=$ $=0$. Такая геодезическая зависит то.тько от $k \leqslant n_{2}$ параметров, тогда как геодезическая общего положения зависит от $n-1$ параметров. При $n>2$ она находится не в общем положении, и это означает, что она является неустойчивой – некоторое число частиц будет уходить на бесконечность при малом изменении начальных данных.