Орбиты коприсоединенного представления борелевских подгрупп, рассмотренные в предыдущем разделе, бьли описаны не вполне явно. Для их явного описания надо еще уметь описывать точку орбиты с помощью канонических координат $q_{j}$ и $p_{k}$. В простейшем случае $\operatorname{sl}(4, \mathbb{R})$, когда борелевская подгруппа является групой вещественных верхних треугольных матриц четвертого порядка, такие координаты были введены в работе [293], где для их построения был использован алгоритм работы [301]. Однако даже в этом случае такая конструкция канонических координат оказалась очень громоздкой.

В данном разделе, следуя работе [216], укажем простую конструкцию канонических координат на орбитах типа Тоды. Заметим, что в работе [216] была указана простая конструкция канонических координат для более широкого класса орбит, а именно для орбит, обладающих поляризацией. Отметим, что любая орбита коприсоединенного представления борелевской подгруппы вещественной расщепимой простой группы Ли этим свойством обладает.

Определим сначала важное понятие поляризации. Пусть $\mathscr{G}^{*}$ – пространство, дуальное к алгебре Ли $\mathscr{G},\langle x, \xi\rangle$ – значение функционала $x \in \mathscr{G}^{*}$ на элементе $\xi \in \mathscr{G}$. Тогда поляри: ация $\mathscr{P}$ относительно $x \in \mathscr{G}^{*}$ – это подалгебра в $\mathscr{G}$, которая одновременно является максимально изотропным подпространством формы $\langle x,[\xi, \eta]\rangle$, т.е. $\langle x,[\mathscr{P}, \mathscr{P}]\rangle=0$.

Пусть $G$ – связная группа Ли, соответствующая алгебре Ли $\mathscr{G}$. Если $\mathscr{P}$ – поляризация относительно $x$, то $\operatorname{Ad}_{g} \mathscr{P}$ – поляризация относительно $\operatorname{Ad}_{g}^{*} x$, т.е. при этом все точки орбиты обладают поляризацией.
3 амечания.
1. Не каждый элемент $x \in \mathscr{G}^{*}$ обладает поляризацией. Например, если $\mathscr{G}$ – компактная полупростая алгебра Ли, то поляризация существует только относительно нулевого элеменга.
2. Однако для борелевских алгебр $\mathscr{B}$ вещественных расщепимых алгебр Ли поляризация существует для любого элемента $x \in \mathscr{\mathscr { B }}^{*}$.
*) Можно показать, что для обычной цепочки Тоды это решение приводит к тому же ответу, что и решение с помощью орисферической проекции, приведенное в разделе 4.5.

Следует иметь в виду, что построение поляризации для орбиты коприсоединенного представления, вообще говоря, является очень сложной задачей. Очень простую конструкцию поляризации можно указать для специальных орбит $Z_{+}$-градуированных алгебр Ли [216].

Пусть $\mathscr{G}=\sum_{k \geqslant 0} \mathscr{G}_{k}$ есть $Z_{+}$-градуированная алгебра Ли и $\mathscr{G}^{*}=$ $=\sum_{k \geqslant 0} \mathscr{G}_{-k}^{*}$ – дуальное пространство с дуальной градуировкой
\[
\left[\mathscr{G}_{i}, \mathscr{G}_{j}\right] \subset \mathscr{G}_{i+j}, \quad \mathrm{ad}^{*} \mathscr{G}_{i} \cdot \mathscr{G}_{-j}^{*} \subset \mathscr{G}_{i-j}^{*} .
\]

Рассмотрим специальные орбиты, проходящие через элементы вида $x \in \mathscr{G}_{-k}^{*}$. Очевидно, что стационарные подалгебры $\mathscr{\mathscr { G }}_{x}$ таких элементов являются $\mathbb{Z}_{+}$-градуированными,
\[
\mathscr{G}_{x}=\sum_{i \geqslant 0} \mathscr{G}_{x, i}, \quad \mathscr{G}_{x, i}=\mathscr{G}_{x} \cap \mathscr{G}_{i},
\]

и если $k$ четно, то подпространство $\mathscr{G}_{k / 2}$ ортогонально его дополнению $\sum_{i
eq k / 2} \mathscr{G}_{i}$ относительно формы $\langle x,[\cdot, \cdot]\rangle$.

Теорема 4.7 .1 [216]. Пусть $\mathscr{G}=\sum_{i \geqslant 0} \mathscr{G}_{i}$ – градуированная алгебра Ли и $x \in \mathscr{G}_{-k}^{*}, k>0$. Предположим, что при четном $k$ существует $\mathscr{G}_{x, 0}$ – инвариантное максимальное подпространство $\mathscr{G}_{k / 2}^{\prime}$, изотропное относительно формы $\langle x,[\cdot, \cdot]\rangle$, при $k$ нечетном мы полагаем $\mathscr{G}_{k / 2}^{\prime}=0$. Тогда
\[
\mathscr{P}=\mathscr{G}_{x} \cap \sum_{i<k / 2} \mathscr{G}_{i}+\mathscr{G}_{k / 2}^{\prime}+\sum_{j>k / 2}^{\sum} \mathscr{G}_{j}
\]
– это поляризация относительно $x$, и при $k$ нечетном для любого $x$
\[
\operatorname{Ad}_{\mathrm{exp} \xi}^{*} \cdot x=x+\mathrm{ad}_{\xi}^{*} \cdot x .
\]
3 амечания.
1. Если $x \in \mathscr{G}_{0}^{*}$, то $\mathscr{G}^{+}=\sum_{i>0} \mathscr{G}_{i} \subset \mathscr{G}_{x}$, и для того, чтобы поляризация в $\mathscr{G}$ относительно $x$ существовала, необходимо и достаточно, чтобы поляризация $\mathscr{P}_{0}$ в $\mathscr{G}_{0}$ относительно ограничения $x$ на $\mathscr{G}_{0}$ существовала. В этом случае в качестве $\mathscr{P}_{0}$ можно взять $\mathscr{P}^{0} \cap \mathscr{G}_{0}$, а в качестве $\mathscr{P}^{\circ}$ можно взять $\mathscr{P}_{0}+\mathscr{G}^{+}$.
2. Размерность орбиты $G \cdot x$ дается формулой
\[
2 \operatorname{dim}\left(\mathscr{G}_{k / 2} / \mathscr{G}_{k / 2}^{\prime}\right)+2 \sum_{k / 2<j \leqslant k} \operatorname{dim~ad}_{\mathscr{y}_{j}}^{*} \cdot x \text {. }
\]
3. Условия теоремы выполняются для борелевских подалгебр вещественных расщепимых алгебр Ли. В действительности для таких алгебр справедливо следующее

Предложение. Пусть $\mathscr{G}=\sum_{k} \mathscr{G}_{k}$ – расщепимая полупростая алгебра Ли, градуированная высотой корней. Тогда для любого $k$ пространство $\mathscr{G}_{k}$ можно представить в виде линейной суммы коммутативных подалгебр $\mathscr{G}_{k}^{\prime}$ и $\mathscr{G}_{k}^{\prime \prime}, \mathscr{G}_{k}=\mathscr{G}_{k}^{\prime}+\mathscr{G}_{k}^{\prime \prime}$, натянутых на корневые подпространства и, следовательно, $\mathscr{G}_{0}$-инвариантных. Это предложение проверяется путем просмотра всех систем корней по отдельности.

Приведем теперь список канонических координат и гамильтонианов для систем типа Тоды на элементарных орбитах (гамильтонианы, используемые ниже, индуцированы формой Киллинга). Детали вычислений можно найти в работе [216].

Серия $\boldsymbol{A}_{r}$. Обозначим через $E_{j k}$ матрицу $(r+1) \times(r+1)$, элемент которой типа ( $j k$ ) равен единице, а все остальные элементы равны нулю. Пусть $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{r}$ – простые корни. Тогда корневой вектор, соответствующий $\alpha=\alpha_{1}+\ldots+\alpha_{r}$, – это $E_{\alpha}=E_{1, r+1}$, и орбита, проходящая через $E_{\alpha}^{*}$, имеет следующую параметризацию:
\[
x_{A}=\sum_{i} q_{i} E_{i, r+1}-\sum_{i \leqq j} q_{i} p_{j} E_{i j}+\Sigma q_{i} p_{i} E_{r+1, r+1}, q_{1}>0,
\]

а гамильтониан имеет вид
\[
H_{A}=\sum_{i \leqslant j} q_{j}^{2} p_{j}^{2}+\sum_{i<j} q_{i} q_{j} p_{i} p_{j}+q^{2} .
\]

Серия $\boldsymbol{B}_{r}$. В этом случае имеются две элементарные орбиты Тоды: одна соответствует короткому корню
\[
\alpha_{s}=\alpha_{1}+\ldots+\alpha_{r}
\]
(это корень вида $2 E_{1,0}+E_{0,1}$ ), а другая – длинному корню
\[
\alpha_{l}=\alpha_{1}+\ldots+\alpha_{r-1}+2 \alpha_{r}
\]
(это корень вида $E_{1,-r}-E_{r,-1}$ ). Мы имеем
\[
\begin{array}{l}
x_{B, s}=\frac{1}{\sqrt{10}} \Sigma q_{i}\left(2 E_{i, 0}+E_{0,-i}\right)-\frac{1}{2} \sum_{i \leqq j} q_{i} p_{j}\left(E_{i, j}-E_{-j,-i}\right), \\
q_{1}>0 \text {, } \\
H_{B, s}=\frac{1}{2} \sum_{i} q_{i}^{2} p_{i}^{2}+\sum_{i<j} q_{i}^{2} p_{j}^{2}+q^{2}, \\
x_{B, l}=\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{r-1} q_{k}\left(E_{k,-r}-E_{r,-k}\right)+\frac{1}{\sqrt{10}} q_{r}\left(2 E_{r, 0}+E_{0,-r}\right)- \\
-\frac{1}{2} \sum_{l \leqq m<r} q_{l} p_{m}\left(E_{l, m}-E_{-m,-l}\right)-\frac{\sqrt{10}}{8} \sum_{k=1}^{r-1} q_{k} p_{k}\left(2 E_{k, 0}+E_{0,-k}\right)- \\
-\frac{1}{2} \sum_{i} q_{i} p_{i}\left(E_{r, r}-E_{-r,-r}\right), \quad q_{1}>0 \text {, } \\
H_{B, l}=\sum_{i \leqq j} q_{i}^{2} p_{j}^{2}+\sum_{i<j} q_{i} q_{j} p_{i} p_{j}+\frac{1}{16}\left(9 q^{2}-17 q_{r}^{2}\right) p_{r}^{2}+q^{2} . \\
\end{array}
\]

Серия $C_{r}$. Здесь, как и выше, имеются две элементарные орбиты Тоды, соответствующие корням
\[
\alpha_{s}=\alpha_{1}+\ldots+\alpha_{r}, \quad \alpha_{s} \rightarrow E_{s}=E_{1,-r}+E_{r,-1}
\]

и
\[
\alpha_{l}=2 \alpha_{1}+\ldots+2 \alpha_{r-1}+\alpha_{r}, \quad \alpha_{l} \rightarrow E_{l}=E_{1,-1} .
\]

Здесь
\[
\begin{array}{l}
x_{C, s}=\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{r-1} q_{k}\left(E_{k,-r}+E_{r,-k}\right)+\frac{1}{\sqrt{2}} q_{r} E_{r,-r}- \\
-\frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{k=1}^{r-1} q_{k} p_{r}\left(E_{k, r}-E_{-r,-k}\right)- \\
-\left(\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{r-1} q_{k} p_{k}+q_{r} p_{r}\right)\left(E_{r, r}-E_{-r,-r}\right)- \\
-\frac{1}{2} \sum_{l \leqq m<r} q_{l} p_{m}\left(E_{l, m}-E_{-m,-l}\right), \quad q_{1}>0, \\
H_{C, s}=\sum_{i \leqq j} q_{i}^{2} p_{j}^{2}+\sum_{i<j} q_{i} q_{j} p_{i} p_{j}+\sum_{k=1}^{r-1} q_{k} q_{r} p_{k} p_{r}+q^{2} p_{r}^{2}+q^{2}, \\
x_{C, l}=\frac{1}{2 \sqrt{2}} \sum_{i, j} q_{i} q_{j}\left(E_{i,-j}+E_{j,-i}\right)-\frac{1}{2} \sum_{i \leqq j} q_{i} p_{j}\left(E_{i, j}-E_{-j,-i}\right), \\
q_{1}>0, \\
H_{C, l}=\frac{1}{2} \sum_{i} q_{i}^{2} p_{i}^{2}+\sum_{i<j} q_{i}^{2} p_{j}^{2}+q^{4}, \quad q^{4}=\left(q^{2}\right)^{2} .
\end{array}
\]

Серия $D_{r}$. Здесь имеется одна элементарная орбита Тоды, соответствующая корню
\[
\alpha_{s}=\alpha_{1}+\ldots+\alpha_{r}, \quad \alpha_{s} \rightarrow E_{s}=E_{1,1-r}-E_{r-1,-1},
\]

и мы имеем
\[
\begin{array}{l}
x_{D}=\frac{1}{2} \sum_{i
eq r-1} q_{i}\left(E_{i, 1-r}-E_{r-1,-i}\right)+\frac{1}{2} q_{r-1}\left(E_{r-1, r}-E_{-r, 1-r}\right)- \\
-\frac{1}{2} \sum_{i \leqq j} q_{i} p_{j}\left(E_{i, j}-E_{-j,-i}\right)-\frac{1}{2} \sum_{i} q_{i} p_{i}\left(E_{r-1, r-1}-E_{1-r, 1-r}\right)- \\
-\frac{1}{2} \sum_{i
eq r-1} q_{i} p_{r-1}\left(E_{r,-i}-E_{i,-r}\right)+ \\
+\frac{1}{2} q_{r-1} p_{r-1}\left(E_{r, r}-E_{-r,-r}\right), \quad q_{1}>0 \\
H_{D}=\frac{1}{2} \sum_{i} q_{i}^{2} p_{j}^{2}+\sum_{i<j} q_{i}^{2} p_{j}^{2}+q_{r}^{2} p_{r-1}^{2}-q_{r-1}^{2} p_{r}^{2}-q_{r-1} q_{r} p_{r-1} p_{r}+q^{2} .
\end{array}
\]

Приведем также результаты для исключительных простых алгебр Ли. Вычисления удобно выполнять в базисе Шевалле (см. [7]) с точностью до знаков структурных постоянных, что достаточно для нахождения гамильтонианов.

Алгебра $G_{2}$. Здесь имеются три элементарные орбиты Тоды, соответствующие корням
\[
\alpha_{1}+\alpha_{2}, \quad 2 \alpha_{1}+\alpha_{2}, \quad 3 \alpha_{1}+\alpha_{2} .
\]

Соответственно имеем
\[
\begin{array}{l}
H_{G_{2}(1,1)}=q_{1}^{2} p_{1}^{2}+3 q_{2}^{2} p_{2}^{2}+3 q_{1} q_{2} p_{1} p_{2}+3 q_{1}^{2} p_{2}^{2}+q^{2}, \\
H_{G_{2}(2,1)}=q_{1}^{2}\left(p_{1}^{2}+q_{1}^{2}\right)+4 q_{1}^{2}\left(p_{2}^{2}+q_{2}^{2}\right)+3 q_{2}^{2}\left(p_{2}^{2}+q_{2}^{2}\right), \\
H_{G_{2}(3,1)}=q_{1}^{2} p_{1}^{2}+q_{2}^{2} p_{2}^{2}-q_{1} q_{2} p_{1} p_{2}+3 q_{1}^{2} p_{2}^{2}+q^{6}-\frac{3}{4} q_{2}^{6} .
\end{array}
\]

Алгебра $F_{4}$. Здесь имеются две элементарные орбиты Тоды, соответствующие корням
\[
\begin{array}{l}
\alpha_{s}=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}+\alpha_{4}, \\
H_{F_{4}, s}=\sum_{i} q_{i}^{2} p_{i}^{2}+2 \sum_{i<j \leqq 3} q_{i}^{2} p_{j}^{2}+\sum_{i=1}^{3} q_{i}^{2} p_{4}^{2}+\sum_{i=1}^{3} q_{i} q_{4} p_{i} p_{4}+q^{2},
\end{array}
\]

и
\[
\begin{array}{l}
\alpha_{1}=\alpha_{1}+\alpha_{2}+2 \alpha_{3}+2 \alpha_{4}, \\
H_{F_{4}, l}=\sum_{i=1}^{3} q_{i}^{2} p_{i}^{2}+3 q_{4}^{2} p_{4}^{2}+2\left(q_{2} p_{2}+q_{3} p_{3}\right) q_{4} p_{4}+ \\
+2 \sum_{i<j \leqq 3} q_{i}^{2} p_{j}^{2}+4\left(q_{1}^{2}+2 q_{2}^{2}+2 q_{3}^{2}\right) p_{4}^{2}+ \\
+4\left(q_{2}^{2}+q_{3}^{2}\right) \frac{p_{4}^{2}}{q_{1}^{2}}+\left(\sum_{i=1}^{3} q_{i}^{2}\right)^{2}+q_{1}^{2} q_{4}^{2} .
\end{array}
\]

Алгебры $\boldsymbol{E}_{6}, \boldsymbol{E}_{7}, \boldsymbol{E}_{8}$. Здесь имеется лишь одна элементарная орбита Тоды для каждого случая, которая соответствует корню
\[
\alpha=\alpha_{1}+\ldots+\alpha_{r},
\]

где $r=6,7,8$ соответственно. Гамильтонианы можно записать в едином виде:
\[
\begin{array}{l}
H_{E}=\frac{3}{4} \sum_{i} q_{i}^{2} p_{i}^{2}-\frac{1}{2} q_{\omega}^{2} p_{\omega}^{2}+\frac{1}{2} \sum_{\omega<i<j}^{5} q_{i} q_{j} p_{i} p_{j}- \\
-\sum_{i=\omega+1}^{5} q_{i} q_{8} p_{i} p_{8}+q_{\omega}^{2} p_{8}^{2}+\sum_{i<i<8}^{\Sigma} q_{i}^{2} p_{j}^{2}+ \\
+\sum_{i=2}^{5} q_{i}^{2} q_{8}^{2} \frac{p_{6}^{2}+p_{7}^{2}}{q_{\omega}^{2}}+q_{1}^{2} q_{8}^{2}+q_{\omega}^{2} \sum_{i=1}^{7} q_{i}^{2}+\sum_{i=2}^{5} q_{i}^{2} q_{8}^{2},
\end{array}
\]

где $\omega .=3, q_{1}=q_{2}=0$ для $E_{6}, \omega=2, q_{1}=0$ для $E_{7}$ и $\omega=1$ для $E_{8}$.