Следуя работе [138], рассмотрим линейное дифференциальное уравнение в частных производных
$${\psi }_{tt}+\frac{1}{2}[{\psi }_{xx}-2x{\psi }_x+2n\psi ]=0.$$

Нетрудно видеть, что это уравнение допускает решения, являющиеся полиномами степени $n$ по переменной $x$ :
$$\psi (x,t)=\prod _{j=1}^n(x-x_j(t)).$$

Подставляя $\psi (x,t)$ в (5.3.1), получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений
$${\ddot{x}}_j+x_j=\sum _k^{\prime }(1+2{\dot{x}}_j{\dot{x}}_k){(x_j-x_k)}^{-1},j=1,\dots ,n.$$

Эти уравнения для величин $x_j(t)$ мы будем рассматривать как уравнения движения системы $n$ взаимодействующих частиц. С другой стороны, представим решение $\psi (x,t)$ в виде
$$\psi (x,t)=2^{-n}{H}_n(x)+\sum _{k=1}^n{c}_k(t)H_{n-k}(x),$$

где $H_n(x)$ — полином Эрмита, который является решением уравнений
$$H_n^{\prime \prime }(x)-2x{H}_n^{\prime }(x)+2n{H}_n(x)=0$$

и нормирован условием
$$H_n(x)\sim 2^n{x}^n\text{ при }x\to \mathrm{\infty }.$$

Для коэффициентов $c_k(t)$ из (5.3.1) следует уравнение
$${\ddot{c}}_k+k{c}_k=0,k=1,\dots ,n,$$

решение которого имеет вид
$$c_k(t)=c_k(0)\cos (\sqrt{k}t)+k^{-1/2}\dot{c_k}(0)\sin (\sqrt{k}t).$$

Итак, мы нашли явное выражение для функции $\psi (x,t)$, нули которой и являются координатами интересующей нас системы. Рассмотрим еще одно уравнение
$$i{\psi }_t+\frac{1}{2}[{\psi }_{xx}-2x{\psi }_x+2n\psi ]=0.$$

Подставляя в него решение вида (5.3.2), получаем систему уравнений
$$i{\dot{x}}_j=-x_j+\sum _k^{\prime }{(x_j-x_k)}^{-1}.$$

Дифференцируя (5.3.10) еще раз по $t$, получаем систему
$${\ddot{x}}_j=-x_j+2\sum _v^{\prime }{(x_j-x_k)}^{-3},$$

т.е. уравнения движения для системы $n$ частиц с гамильтонианом
$$H=\frac{1}{2},\sum _{j=1}^n(p_j^2+x_j^2)+\sum _{j<k}{(x_j-x_k)}^{-2}.$$

С другой стороны, нетрудно найти полиномиальное решение уравнения (5.3.9), а именно
$$\psi (x,t)=2^{-n}\sum _k{c}_k(t)H_{n-k}(x),$$

где
$$c_k(t)=c_k(0)\exp (ikt).$$

Таким образом, функция $\psi (x,t)$, а следовательно, и величины $x_j(t)$ определены для всех значений $t$, но при этом лишь для начальных условий специального вида (5.3.10) .

Рассмотренные выше два примера являются частными случаями определенного класса динамических систем, которые могут быть решены описанным выше методом. Мы приведем здесь лишь некоторые результаты. Более детальное рассмотрение можно найти в [43].

Рассмотрим теперь следующее линейное дифференциальное уравнение в частных производных
$$\begin{array}{l}(A_0+A_{1}x+A_2{x}^2+A_3{x}^3){\psi }_{xx}+(B_0+B_{1}x-2(n-1)A_3{x}^2){\psi }_x+\\ +c{\psi }_{tt}+[E-(n-1)D_{2}x]{\psi }_t+(D_0+D_{1}x+D_2{x}^2){\psi }_{xt}-\\ -[n(n-1)(A_2-A_{3}x)+n{B}_1]\psi =0\end{array}$$

и полиномиальное по $x$ решение (5.3.2) этого уравнения. Подставляя $\psi (x,t)$ в виде (5.3.2) в (5.3.15), получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений
$$\begin{array}{l}c{\ddot{x}}_j+E{\dot{x}}_j=B_0+B_1{x}_j+\sum _k^{\prime }{(x_j-x_k)}^{-1}[2(A_0+A_1{x}_j+A_2{x}_j^2+A_3{x}_j{x}_k)+\\ +2c{\dot{x}}_j{\dot{x}}_k-({\dot{x}}_j+{\dot{x}}_k)(D_0+D_{1}x)-D_2{x}_j({\dot{x}}_j{\dot{x}}_k-x_j{\dot{x}}_k)].\end{array}$$

Эти уравнения для величин $x_j(t)$ можно рассматривать как уравнения движения системы $n$ взаимодействующих частиц и исследовать их описанным выше способом.