Следуя работе [138], рассмотрим линейное дифференциальное уравнение в частных производных
\[
\psi_{t t}+\frac{1}{2}\left[\psi_{x x}-2 x \psi_{x}+2 n \psi\right]=0 .
\]

Нетрудно видеть, что это уравнение допускает решения, являющиеся полиномами степени $n$ по переменной $x$ :
\[
\psi(x, t)=\prod_{j=1}^{n}\left(x-x_{j}(t)\right) .
\]

Подставляя $\psi(x, t)$ в (5.3.1), получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений
\[
\ddot{x}_{j}+x_{j}=\sum_{k}^{\prime}\left(1+2 \dot{x}_{j} \dot{x}_{k}\right)\left(x_{j}-x_{k}\right)^{-1}, \quad j=1, \ldots, n .
\]

Эти уравнения для величин $x_{j}(t)$ мы будем рассматривать как уравнения движения системы $n$ взаимодействующих частиц. С другой стороны, представим решение $\psi(x, t)$ в виде
\[
\psi(x, t)=2^{-n} H_{n}(x)+\sum_{k=1}^{n} c_{k}(t) H_{n-k}(x),
\]

где $H_{n}(x)$ – полином Эрмита, который является решением уравнений
\[
H_{n}^{\prime \prime}(x)-2 x H_{n}^{\prime}(x)+2 n H_{n}(x)=0
\]

и нормирован условием
\[
H_{n}(x) \sim 2^{n} x^{n} \text { при } x \rightarrow \infty .
\]

Для коэффициентов $c_{k}(t)$ из (5.3.1) следует уравнение
\[
\ddot{c}_{k}+k c_{k}=0, \quad k=1, \ldots, n,
\]

решение которого имеет вид
\[
c_{k}(t)=c_{k}(0) \cos (\sqrt{k} t)+k^{-1 / 2} \dot{c_{k}}(0) \sin (\sqrt{k} t) .
\]

Итак, мы нашли явное выражение для функции $\psi(x, t)$, нули которой и являются координатами интересующей нас системы. Рассмотрим еще одно уравнение
\[
i \psi_{t}+\frac{1}{2}\left[\psi_{x x}-2 x \psi_{x}+2 n \psi\right]=0 .
\]

Подставляя в него решение вида (5.3.2), получаем систему уравнений
\[
i \dot{x}_{j}=-x_{j}+\sum_{k}^{\prime}\left(x_{j}-x_{k}\right)^{-1} .
\]

Дифференцируя (5.3.10) еще раз по $t$, получаем систему
\[
\ddot{x}_{j}=-x_{j}+2 \sum_{v}^{\prime}\left(x_{j}-x_{k}\right)^{-3},
\]

т.е. уравнения движения для системы $n$ частиц с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2}, \sum_{j=1}^{n}\left(p_{j}^{2}+x_{j}^{2}\right)+\sum_{j<k}\left(x_{j}-x_{k}\right)^{-2} .
\]

С другой стороны, нетрудно найти полиномиальное решение уравнения (5.3.9), а именно
\[
\psi(x, t)=2^{-n} \sum_{k} c_{k}(t) H_{n-k}(x),
\]

где
\[
c_{k}(t)=c_{k}(0) \exp (i k t) .
\]

Таким образом, функция $\psi(x, t)$, а следовательно, и величины $x_{j}(t)$ определены для всех значений $t$, но при этом лишь для начальных условий специального вида (5.3.10) .

Рассмотренные выше два примера являются частными случаями определенного класса динамических систем, которые могут быть решены описанным выше методом. Мы приведем здесь лишь некоторые результаты. Более детальное рассмотрение можно найти в [43].

Рассмотрим теперь следующее линейное дифференциальное уравнение в частных производных
\[
\begin{array}{l}
\left(A_{0}+A_{1} x+A_{2} x^{2}+A_{3} x^{3}\right) \psi_{x x}+\left(B_{0}+B_{1} x-2(n-1) A_{3} x^{2}\right) \psi_{x}+ \\
+c \psi_{t t}+\left[E-(n-1) D_{2} x\right] \psi_{t}+\left(D_{0}+D_{1} x+D_{2} x^{2}\right) \psi_{x t}- \\
-\left[n(n-1)\left(A_{2}-A_{3} x\right)+n B_{1}\right] \psi=0
\end{array}
\]

и полиномиальное по $x$ решение (5.3.2) этого уравнения. Подставляя $\psi(x, t)$ в виде (5.3.2) в (5.3.15), получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений
\[
\begin{array}{l}
c \ddot{x}_{j}+E \dot{x}_{j}=B_{0}+B_{1} x_{j}+\sum_{k}^{\prime}\left(x_{j}-x_{k}\right)^{-1}\left[2\left(A_{0}+A_{1} x_{j}+A_{2} x_{j}^{2}+A_{3} x_{j} x_{k}\right)+\right. \\
\left.+2 c \dot{x}_{j} \dot{x}_{k}-\left(\dot{x}_{j}+\dot{x}_{k}\right)\left(D_{0}+D_{1} x\right)-D_{2} x_{j}\left(\dot{x}_{j} \dot{x}_{k}-x_{j} \dot{x}_{k}\right)\right] .
\end{array}
\]

Эти уравнения для величин $x_{j}(t)$ можно рассматривать как уравнения движения системы $n$ взаимодействующих частиц и исследовать их описанным выше способом.