Среди гамильтоновых систем принято выделять класс интегрируемых систем. \”Если, однако, мы попытаемся сформулировать точное понятие интегрируемости, то оказываются возможными многие различные определения, каждому из которых присущ известный теоретический интерес\” [6]. В этом разделе мы приведем основные определения и теоремы об интегрируемости гамильтоновых систем, не забывая при этом указания Пуанкаре, что \”система дифференциальных уравнений может быть только более или менее интегрируемой\” [6] .
A. Системы, интегрируемые в квадратурах. Система дифференциальных уравнений называется интегрируемой в квадратурах, если решения этих уравнений могут быть получены с помощью конечного числа алгебраических операций (включая обращение функций) и квадратур – вычислений интегралов известных функций. Оказывается, что при наличии достаточно большого числа интегралов движения гамильтонову систему можно проинтегрировать в квадратурах.

Основная теорема здесь была доказана Буром [127] и Лиувиллем [241]. Мы приведем ее в более современной формулировке.
$\begin{array}{lll}\text { Т е о р е м а } & 1.8 .1 & \text { [2]. Пусть } \mathbb{R}^{2 n}=\{p, q\} \text { – фазовое пространство }\end{array}$ гамильтоновой системы со стандартной скобкой Пуассона и гамильтонианом $H(p, q, t)$. Предположим, что эта система имеет $n$ интегралов движения $F_{1}, \ldots, F_{n}$ в инволюции, т.е.
\[
\frac{\partial F_{j}}{\partial t}+\left\{F_{j}, H\right\}=0, \quad\left\{F_{j}, F_{k}\right\}=0 .
\]

Если на множестве
\[
M_{a}=\left\{(p, q, t) \in \mathbb{R}^{2 n} \times \mathbb{R}^{1}: F_{j}(p, q, t)=a_{j}, j=1, \ldots, n\right\}
\]

функции $F_{1}, \ldots, F_{n}$ независимы, то решения уравнений Гамильтона
\[
\dot{p}_{j}=-\frac{\partial H}{\partial q^{j}}, \quad \dot{q}^{j}=\frac{\partial H}{\partial p_{j}},
\]

лежащие на $M_{a}$, можно найти в квадратурах.
Обобщением этой теоремы является
Т е о р м а 1.8.2 [81]. Пусть $\mathbb{R}^{2 n}$ – фазовое пространство гамильтоновой системы со стандартной симплектической структурой и гамильтонианом $H(p, q, t)$. Предположим, что эта система имеет $n$ интегралов движения $F_{1}, \ldots, F_{n}$ таких, что
\[
\left\{F_{i}, F_{j}\right\}=C_{i j}^{k} F_{k}, C_{i j}^{k}=\text { const. }
\]

Если:
1) на множестве
\[
\left.M_{a}=\{(p, q ; t)\} \in \mathbb{R}^{2 n} \times \mathbb{R}^{1}: F_{j}(p, q ; t)=a_{j}\right\}
\]

функции $F_{1}, \ldots, F_{n}$ независимы;
2) алгебра Ли со структурными константами $C_{i j}^{k}$ разрешима;
3) $C_{i j}^{k} a_{k}=0$ для всех $i, j=1, \ldots, n$, то решения уравнений Гамильтона (1.8.3), лежащие на $M_{a}$, можно найти в квадратурах.
Пример [81].
Рассмотрим систему трех точек на прямой с потенциальной энергией, являющейся произвольной однородной функцией координат, степени (-2). Тогда уравнения движения для нулевых значений полной энергии и импульса можно проинтегрировать в квадратурах. Действительно, функции $F_{1}=H, F_{2}=\Sigma p_{j} q_{j}, F_{3}=\Sigma p_{j}$ независимы и алгебра
\[
\left\{F_{1}, F_{3}\right\}=0, \quad\left\{F_{2}, F_{3}\right\}=F_{3},\left\{F_{2}, F_{1}\right\}=2 F_{1}
\]

является разрешимой, так что можно воспользоваться теоремой 1.8.2.
Б. Вполне интег рируемые системы $[1,3]$.
Пусть $M^{2 n}$ – симплектическое многообразие и $F_{1}, \ldots, F_{k}$ – гладкие независимые функции на $M$, генерирующие конечномерную алгебру Ли $\mathscr{G}:$
\[
\left\{F_{i}, F_{j}\right\}=C_{i j}^{m} F_{m}, \quad C_{i j}^{m}=\mathrm{const}, \quad i, j, m=1, \ldots, k .
\]

Тогда в каждой точке $x \in M$ векторы $X_{j} \equiv X_{F_{j}}$ порождают $k$-мерное линейное подпространство П ( $x$ ) в $T_{x} M$. Распределение плоскостей П ( $x$ ) инволютивно (если $X_{i}$ и $X_{j} \in \Pi$, то $\left[X_{i}, X_{j}\right] \in \Pi$ ). Поэтому, по теореме Фробениуса, через каждую точку $x \in M$ проходит максимальное интегральное многообразие $N_{x}$ распределения П. Эти многообразия могут быть погружены в $M$ весьма сложным образом, в частности, они не обязаны быть замкнутыми. Если $k=n$, то среди интегральных многообразий распределения П есть замкнутые многообразия $M_{a}=\left\{x \in M: F_{j}(x)=a_{j}, \Sigma C_{i j}^{l} a_{l}=0\right\}$. Если $x \in M_{a}$, то $N_{x}$ совпадает с одной из связных компонент $M_{a}$. В частном случае, когда функции $F_{1}, \ldots, F_{n}$ находятся в инволюции, почти все $M$ \”расслоено\” на замкнутые интегральные многообразия $M_{a}$.

Теорема, обобщающая теорему Лиувилля, была доказана Арнольдом (cм. $[1,3]$ ).

Т е о р е м 1.8.3. Пусть на симплектическом $2 n$-мерном многообразии даны $n$ гладких функций $F_{1}, \ldots, F_{n}$ в инволюции,
\[
\left\{F_{j}, F_{k}\right\}=0, \quad j, k=1, \ldots, n .
\]

Если :
1) они независимы на $M_{a}$ (т.е. $n$ дифференциалов линейно независимы в каждой точке $M_{a}$ );
2) гамильтоновы поля $X_{j}=X_{F_{j}}(1 \leqslant j \leqslant n)$ полны на $M_{a}$, то:
a) $M_{a}$ – гладкое многообразие, инвариантное относительно фазового потока с функцией Гамильтона $H=F_{j}(1 \leqslant j \leqslant n)$;
б) если многообразие $M_{a}$ связно, то оно диффеоморфно произведению $k$-мерного тора и ( $n-k$ ) -мерного евклидова пространства $M_{a} \simeq T^{k} \times$
в) на $M_{a}$ существуют координаты $\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{k}, y_{1}, \ldots, y_{n-k}$ такие, что в этих координатах уравнения Гамильтона на $M_{a}$ имеют вид
\[
\dot{\varphi}_{m}=\omega_{m_{j}}, \quad \dot{y}_{s}=c_{s j}(\omega=\omega(a), c=\text { const }) .
\]
г) если $M_{a}$ компактно, то оно имеет окрестность в $M$, диффеоморфную прямому произведению $n$-мерного тора $T^{n}$ на шар $D^{n} n$-мерного евклидова пространства.

Гамильтоновы системы, для которых выполнены условия теоремы 1.8.3, называются вполне интегрируемыми.
3 а ме ч а и е 1 [3]. Если алгебра $\mathcal{A}$ интегралов движения некоммутативна, то замкнутые инвариантные интегральные уровни диффеоморфны односвязной группе алгебры $\mathcal{A}$, профакторизованной по некоторой ее дискретной подгруппе. Однако реализация этого общего замечания упирается в нерешенную задачу классификации групп и алгебр Ли.
3 а м е чани е 2. Переменные $F_{j}, \varphi_{k} j, k=1, \ldots, n$ не являются; вообще говоря, каноническими координатами на $M$. Можно показать, однако, что существуют некоторые функции $I_{j}(F), j=1, \ldots, n$, – так называемые переменные действия такие, что переменные $I_{j}, \varphi_{k}$ уже будут каноническими, т.е. симплектическая форма $\omega$ в этих переменных имеет стандартный вид
\[
\omega=\sum_{j=1}^{n} d I_{j} \wedge d \varphi_{j} .
\]

Фиксируя величины $F_{j}$ (или, это эквивалентно, $I_{j}$ ), мы фиксируем (в компактном случае) инвариантный тор, на котором развивается динамика системы. При этом величины $\varphi_{j}$ характеризуют положение точки на этом торе и меняются с течением времени линейно.

В ряде случаев число глобальных интегралов движения гамильтоновой системы может быть больше чем $n=\frac{1}{2} \operatorname{dim} M$ (при этом не все они находятся в инволюции!). В таком случае инвариантными многообразиями $M_{a}$ будуг торы размерности меньшей $n$.

Итак, рассмотрим систему с гамильтонианом $H$ на симплектическом многообразии $M^{2 n}$, обладающую $(n+k)$ независимыми интегралами движения $F_{1}, F_{2}, \ldots, F_{n+k}$, и пусть многообразие уровней интегралов
\[
M_{a}=\left\{x \in M: F_{j}(x)=a_{j}, \quad 1 \leqslant j \leqslant n+k\right\}
\]

компактно и связно.
Т е о р е м а 1.8.4 [91]. Пусть лервые $(n-k)$ интегралов находятся в инволюции со всеми интегралами, тогда:
1) многообразие $M_{a}$ диффеоморфно ( $n-k$ )-мерному тору;
2) в окрестности $M_{a}$ существуют канонические координаты типа действие-угол $(I, p ; \varphi, q)$ такие, что
\[
I_{s}=I_{s}\left(F_{1}, \ldots, F_{n-k}\right), \quad 1 \leqslant s \leqslant n-k,
\]

а координаты $p_{l}, q_{m}(l, m=1, \ldots, k)$ зависят от всех $F_{j}$.
Некоммутативные наборы интегралов. Пусть $M=M^{2 n}$ – симплектическое многообразие и $F_{1}, \ldots, F_{k}$ – гладкие независимые функции на $M$, образующие алгебру Ли $\mathscr{G}$ относительно скобки Пуассона,
\[
\left\{F_{i}, F_{j}\right\}=C_{i j}^{m} F_{m} .
\]

Рангом алгебры $\mathscr{G}(r k \mathscr{G})$ назовем минимальное число нулевых собственных значений матрицы
\[
C_{i j}(f)=C_{i j}^{m} f_{m},
\]

когда $f_{j}$ пробегают все пространство $\mathbb{R}^{k}$.
В такой ситуации справедливо утверждение, родственное теореме 1.8.4, указанное в работе [90] (см. также [34]). Отметим, что его можно вывести из более общей теоремы Ли-Картана (см. теорему 1.8.7, ниже).
Т е о рем а 1.8.5. Предположим, что на множестве
\[
M_{a}=\left\{x \in M: F_{j}(x)=a_{j}, \quad 1 \leqslant j \leqslant k\right\}
\]

дифференциалы $d F_{j}$ линейно независимы и алгебра $\mathscr{G}$ удовлетворяет условию
\[
\operatorname{dim} \mathscr{G}+r k \mathscr{G}=\operatorname{dim} M=2 n=k+r .
\]

Если $M_{a}$ компактно и связно, то оно диффеоморфно $r$-мерному тору $T^{r}$, где $r=r k \mathscr{G}$. Далее, если функции $F_{1}, \ldots, F_{k}$ являются первыми интегралами гамильтоновой системы с гамильтонианом $H$, то на $M_{a}$ можно выбрать угловые координаты $\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{r}$ гак, чтобы уравнения Гамильтона на $T^{r}$ приняли следующий вид:
\[
\dot{\varphi}_{s}=\omega_{s}(a)=\text { const } .
\]

3 а м е чание и Во всех известных случаях, описываемых теоремой 1.8.5, можно указать полный набор интегралов в инволюции. Это не случайно. В действительности справедлива

T е о р е м а 1.8.6 [34]. Если $M$ компактно, то в предположениях теоремы 1.8.5 можно найти $n=(\operatorname{dim} M) / 2$ независимых интегралов движения $\Phi_{1}, \ldots, \Phi_{n}$, находящихся в инволюции; эти функции являются полиномами от $F_{1}, \ldots, F_{k}$.

В заключение этого раздела приведем старые результаты С. Ли и Э. Картана.

Пусть функции $F_{1}\left(p_{1}, \ldots, p_{n} ; q_{1}, \ldots, q_{n}\right), \ldots, F_{k}\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right.$; $q_{1}, \ldots, q_{n}$ ) обладают тем свойством, что все скобки Пуассона для них выражаются через эти же функции,
\[
\left\{F_{j}, F_{l}\right\}=c_{j l}\left(F_{1}, \ldots, F_{k}\right) .
\]

Свойства таких систем функций изучались С. Ли [54] и Э. Картаном [16]. С. Ли называл такие наборы группами функций. Такой набор определяет отображение $F: M \rightarrow \mathbb{R}^{k}$.
Здесь мы укажем теорему Ли-Картана в формулировке работы [3].
T е ор е м а 1.8.7. Предположим, что точка $a \in \mathbb{R}^{k}$ не является критическим значением отображения $F$ и в ее окрестности ранг матрицы $\left\|c_{i j}\right\|$ постоянен. Тогда в малой окрестносги $U \subset \mathbb{R}^{k}$ точки $a$ найдутся $k$ независимых функций $\varphi_{s}: U \rightarrow \mathbb{R}$ таких, что функции $\Phi_{s}=\varphi_{s} \circ F: N \rightarrow \mathbb{R}, N=$ $=F^{-1}(U)$, удовлетворяют следующим соотношениям:
\[
\left\{\Phi_{1}, \Phi_{2}\right\}=\ldots=\left\{\Phi_{2 q-1}, \Phi_{2 q}\right\}=1,
\]

а все остальные скобки Пуассона $\left\{\Phi_{i}, \Phi_{j}\right\}=0$. При этом число $2 q$ равно рангу матрицы $\left\|c_{i j}\right\|$.

С помощью теоремы Ли-Картана нетрудно осуществить редукцию системы к системе с меньшим числом степеней свободы.

Пусть $a=\left(a_{1}, \ldots, a_{k}\right)$ удовлетворяет условиям теоремы Ли-Картана. Тогда множество
\[
M_{a}=\left\{x \in M: \Phi_{s}(x)=a_{s}, 1 \leqslant s \leqslant k\right\}
\]

является гладким подмногообразием в $M$, размерность которого равна $2 n-k$. Поскольку $\Phi_{2 q+1}, \ldots, \Phi_{k}$ находятся в инволюции со всеми функциями $\Phi_{s}, s=1, \ldots, k$, то их гамильтоновы векторные поля касаются многообразия $M_{a}$, и, следовательно, определено действие коммутативной группы $\mathbb{R}^{l}, l=k-2 q$, на $M_{a}$, порожденное фазовыми потоками уравнений Гамильтона с гамильтонианами $\tilde{\Phi}_{s}, s>2 q$.
Факторпространство
\[
M_{a} / \mathbb{R}^{l}=\tilde{M}_{a}
\]

является гладким многообразием. Это приведенное фазовое пространство и его размерность
\[
\operatorname{dim} \tilde{M}_{a}=(2 n-k)-l=2(n-k+q) .
\]

Однако следует иметь в виду, что в вырожденных случаях ранг матрицы $c_{i j}$ может, конечно, падать.

B. Алгебраическая полная интегрируемость. Рассмотренные до сих пор вполне интегрируемые гамильтоновы системы обладают тем характерным свойством, что для системы с $2 n$-мерным фазовым пространством траектория находится на вещественном $n$-мерном торе $T^{n}$, зависящем от $n$ интегралов движения.

При этом во многих случаях интегралы движения являются рациональными функциями от фазовых переменных, а тор $T^{n}$ является частью комплексного тора, который, в свою очередь, является алгебраическим (абелевым) многообразием. Решение же уравнений движения дается абелевыми функциями, связанными с этим абелевым многообразием и выражающимися через многомерные тэта-функции. Движение на абелевом многообразии линеаризуется, а фазовые переменные являются мероморфными функциями времени.

Такие системы, следуя $[112,41]$, мы будем называть алгебраически вполне интегрируемыми. При этом, в отличие от вполне интегрируемых систем, для которых нахождение критерия интегрируемости в настоящее время представляется безнадежной задачей, для некоторых типов алгебраически вполне интегрируемых систем удается получить эффективный критерий интегрируемости $[112,113] *)$.

Такой критерий интегрируемости был впервые использован С. Ковалевской в знаменитых статьях $[224,225]$, где она показала, что единственными алгебраически вполне интегрируемыми случаями движения твердого тела вокруг неподвижной точки в поле тяжести могут быть случаи:
1) Эйлера [165] , когда неподвижная точка совпадает с центром тяжести тела;
2) Лагранжа [22], когда центр тяжести и неподвижная точка находятся на оси симметрии тела,
3) и новый случай, открытый Ковалевской [224], когда неподвижная точка находится на оси симметрии эллипсоида инерции; центр тяжести находится в плоскости, проходящей через неподвижную точку перпендикулярно оси симметрии, и главные моменты инерции тела относительно неподвижной точки связаны соотношением
\[
A=B=2 C \text {. }
\]

Перейдем теперь, следуя [112], к точным формулировкам. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида
\[
\dot{z}=f(z)=J \frac{\partial H}{\partial z}, \quad z \in \mathbb{C}^{k},
\]

где матрица $J(z)$ рациональна по $z$.