В данном разделе дано описание нескольких конструкций гамильтоновых систем на дуальном пространстве алгебры Ли, допускающих достаточно много интегралов движения в инволюции. Как известно, любую из таких систем можно ограничить ңа орбиту коприсоединенного представления. Во многих интересных случаях получающиеся при этом гамильтоновы системы оказываются вполне интегрируемыми. Отметим, что все эти конструкции можно рассматривать как частные случаи более общего метода так называемого метода классической $r$-матрицы [104]. Однако методы, описанные в настоящем разделе, обладают рядом’ специфических особенностей, важны для приложений и потому заслуживают отдельного рассмотрения. Перейдем к их описанию.
1. Пусть $\mathscr{G}$ – алгебра Ли, а $\mathscr{G}^{*}$ – пространство, дуальное к $\mathscr{G}$, снабженное сгандартной скобкой Ли-Пуассона (см. раздел 1.11). Обозначим через $I\left(\mathscr{G}^{*}\right)$ пространство функций на $\mathscr{G}^{*}$, инвариантных относительно коприсоединенного представления группы $G$. Поскольку эти функции коммутируют по Пуассону с любой функцией на $\mathscr{G}^{*}$, они приводят к тривиальным уравнениям Гамильтона. Тем не менее – и это является главной темой данного раздела – инвариантные функции можно использовать для полу. чения нетривиальных уравнений движения, обладающих дополнительными интегралами движения в инволюции.

Теорема 1.12.1 [90]. Пусть $f(x), h(x) \in I\left(\mathscr{G}^{*}\right), a \in \mathscr{G}^{*}$ и $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$. Введем обозначения $f_{\lambda, a}(x)=f(x+\lambda a), h_{\mu, a}(x)=h(x+\mu a)$. Тогда
\[
\left\{f_{\lambda, a}(x), h_{\mu, a}(x)\right\}=0,
\]

где $\{$,$\} – стандартная скобка Ли-Пуассона на \mathscr{G}^{*}$. $(x+\lambda a)$ и $\quad(x+\mu a): \quad x=\alpha(x+\lambda a)+\beta(x+\mu a)$, где $\alpha=\mu(\mu-\lambda)^{-1}, \quad \beta=$ $=\lambda(\lambda-\mu)^{-1}$. Тогда
\[
\begin{array}{l}
\left\{f_{\lambda, a}(x), h_{\mu, a}(x)\right\}=\left\langle x,\left[
abla f_{\lambda, a}(x),
abla h_{\mu, a}(x)\right]\right\rangle= \\
=\alpha\langle x+\lambda a,[
abla f(x+\lambda a), \quad
abla h(x+\mu a)]\rangle+ \\
+\beta\langle x+\mu a,[
abla f(x+\lambda a), \quad
abla h(x+\mu a)]\rangle .
\end{array}
\]

Но первое слагаемое обращается в нуль в силу инвариантности функции $f(x)$, а второе – в силу инвариантности функции $h(x)$. Таким образом, $\left\{f_{\lambda, a}(x), \quad h_{\mu, a}(x)\right\}=0$. Отметим, что эта конструкция дает полный инволютивный набор функций для достаточно широкого класса алгебр Ли, включающего полупростые алгебры Ли (см. ниже). В качестве гамильтониана здесь можно взять любую функцию из этого набора. Относительно дальнейших обобщений этой конструкции см. обзор [34].

2. Идея второго способа состоит в том, чтобы рассмотреть более широкую алгебру $\widetilde{\mathscr{G}}$, в которую алгебра $\mathscr{G}$ вложена в качестве подалгебры, и использовать инварианты коприсоединенного представления алгебры $\mathscr{G}$ для построения нетривиальных уравнений движения на $\mathscr{g}^{*}$.

Те оре м а 1.12.2 [222, 292]. Предположим, что алгебра Ли $\mathscr{G}$ является линейной суммой двух подалгебр, $\widetilde{\mathscr{G}}=\mathscr{G}+\mathscr{F}$, и соответственно для дуальных пространств имеем $\tilde{\mathscr{G}}^{*}=\mathscr{G}^{*}+\mathscr{F}^{*}, \quad \mathscr{G}^{*} \simeq \mathscr{F}^{\perp}, \mathscr{F}^{*} \simeq \mathscr{G}^{\perp}$. Тогда:
a) инвариантные функции на $\tilde{\mathscr{G}}^{*}$, ограниченные на $\mathscr{G}^{*}$, находятся в инволюции относительно скобки Ли-Пуассона на $\mathscr{G}^{*}$;
б) пусть $f$ – инвариантная функция на $\widetilde{\mathscr{G}}^{*}$, рассматриваемая как гамильтониан на $\mathscr{G}^{*}$. Тогда соответствующие уравнения Гамильтона на $\mathscr{G}^{*}$ можно записать в виде обобщенного представления Лакса
\[
\dot{x}=\widetilde{\operatorname{ad}}_{M}^{*} \cdot x, \quad x \in \mathscr{G}^{*},
\]

где $\widetilde{\mathrm{ad}}^{*}$ означает коприсоединенное представление $\tilde{\mathscr{G}}, \quad M=\Pi_{\mathfrak{F}}
abla f(x)$, $
abla f(x)$ – градиент функции $f(x)$ в точке $x$, а $\Pi_{\mathscr{F}}: \widetilde{\mathscr{G}} \rightarrow \mathscr{F}$ – проекционный оператор для разложения $\widetilde{\mathscr{G}}=\mathscr{G}+\mathscr{F}$.

Доказ ательств о. По определению скобка Ли-Пуассона для двух функций $f$ и $h$ на $\mathscr{G}^{*}$ дается формулой
\[
\{f(x), h(x)\}_{\partial^{*}}=\langle x[
abla f(x), \quad
abla h(x)]\rangle .
\]

Для функции $f(x)$ на $\tilde{\mathscr{G}}^{*}$ положим
\[

abla f(x)=
abla_{1} f(x)+
abla_{2} f(x),
\]

где $
abla_{1} f(x) \in \mathscr{G}, \quad
abla_{2} f(x) \in \mathscr{F}$, так что $
abla_{1} f(x)$ – это дифференциал функции $f$, ограниченный на $\mathscr{G}^{*}$. Если $f(x)$ является $\widetilde{\mathrm{Ad}}^{*}$-инвариантной функцией, то для любого $\xi \in \widetilde{\mathscr{G}}$
\[
\langle x,[
abla f(x), \xi]\rangle=0 .
\]

Елии $h$ – цругая $\widetilde{\mathrm{Ad}^{*}}{ }^{*}$ инвариантная функция на $\tilde{\mathscr{g}}^{*}$, то из (1.12.3) и (1.12.5) следует
\[
\begin{array}{l}
\{f(x), h(x)\}_{y *}=\left\langle x\left[
abla_{1} f(x),
abla_{1} h(x)\right]\right\rangle= \\
=-\left\langle x\left[
abla_{2} f(x),
abla_{1} h(x)\right]=\left\langle x\left[
abla_{2} f(x),
abla_{2} h(x)\right]\right\rangle=0,\right.
\end{array}
\]

поскольку $x \in \mathscr{G}^{*}=\mathscr{F}^{\perp}$, а $\left[
abla_{2} f(x),
abla_{2} h(x)\right] \in \mathscr{F}$. Таким образом, первая часть теоремы доказана.

Возьмем в качестве гамильтониана на $\mathscr{G}^{*}$ инвариантную функцию $f$ на $\mathscr{G}^{*}$. Тогда для линейной функции $\xi \in \mathscr{G}$ на $\mathscr{G}^{*}$ получаем уравнение
\[
\begin{array}{l}
\langle\dot{x}, \xi\rangle=\{f(x), \xi(x)\}_{\Xi^{*}}=\left\langle x\left[
abla_{1} f(x), \xi\right]\right\rangle= \\
=-\left\langle x\left[
abla_{2} f(x), \xi\right]\right\rangle=\left\langle\widetilde{\mathrm{ad}}_{
abla_{2}}^{*} f(x) \cdot x, \xi\right\rangle .
\end{array}
\]

Следовательно,
\[
\dot{x}=\widetilde{\mathrm{ad}}_{
abla_{2}}^{*} f(x) \cdot x,
\]

что и требовалось доказать.
Отметим, что если на алгебре $\tilde{G}$ существует невырожденное, $\widetilde{a d}^{*}$-инвариантное скалярное произведение, которое позволяет отождествить $\tilde{\mathscr{G}}^{*}$ с $\tilde{\mathscr{G}}$ и $\widetilde{\mathrm{ad}}^{*}$ с $\widetilde{\text { ad, }}$, то уравнение (1.12.2) можно переписать как обычное представление Лакса ( $L=x$ ):
\[
\dot{L}=[L, M] \text {. }
\]

Пример
В качестве иллюстрации теоремы 1.12.2 мы обсудим цепочку Тоды $[109,222,292]$. Пусть $\widetilde{\mathscr{G}}=\operatorname{sl}(n, \mathbb{R}), \mathscr{G}$ – подалгебра нижних треугольных матриц, $\mathscr{F}=\operatorname{so}(n)-$ подалгебра антисимметричных матриц. Инвариантное скалярное произведение дается формулой $(A, B)=\operatorname{tr}(A \cdot B)$ и позволяет отождествить $\mathscr{G}^{*}$ с пространством $\mathscr{F}^{\perp}$ – пространством симметричных матриц: $\mathscr{G}^{*} \simeq \operatorname{Symm}(n)$. В качестве гамильтониана возьмем
\[
H=1 / 2 \operatorname{tr}\left(L^{2}\right) \text {. }
\]

Тогда уравнение Лакса на $\mathscr{G}^{*}$ принимает вид
\[
\dot{L}=[L, M], \quad M=\Pi_{\text {so }(n)} L
\]
(если через $L_{+}, L_{-}$обозначить верхнюю, соответственно нижнюю треугольные части $L$, то $M=L_{+}-L_{-}$). Как было показано ранее, все гамильтоновы системы на $\mathscr{G}^{*}$ можно ограничить на орбиты коприсоединенного представления. Рассмотрим, в частности орбиту, проходящую через элемент $L_{0}$,
\[
L_{0}=\left(\begin{array}{cccccc}
0 & 1 & & & 0 \\
1 & 0 & \cdot & & & \\
& . & . & . & . & 1 \\
0 & & & \cdot & . & 0
\end{array}\right) .
\]

Тогда нетрудно доказать, что эта орбита состоит из матриц вида

Ограничение скобки Ли-Пуассона на эту орбиту дается формулами
\[
\begin{array}{l}
\left\{a_{i}, a_{j}\right\}=0, \quad\left\{b_{i}, b_{j}\right\}=0, \\
\left\{a_{i}, b_{j}\right\}=a_{i}, \quad\left\{a_{i}, b_{i+1}\right\}=-a_{i}, \\
\left\{a_{i}, b_{j}\right\}=0, \quad \text { если }|i-j|>1 .
\end{array}
\]

Заметим, что замена переменных
\[
b_{i}=p_{i}, \quad a_{i}=\exp \left(q_{i+1}-q_{i}\right)
\]

приводит эти скобки к каноническому виду. При этом гамильтониан $H=1 / 2 \operatorname{tr}\left(L^{2}\right)$ принимает вид
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{1}^{n} b_{i}^{2}+\sum_{1}^{n-1} a_{i}^{2}=\frac{1}{2} \sum_{1}^{n} p_{i}^{2}+\sum_{1}^{n-1} \exp \left\{2\left(q_{i+1}-q_{i}\right)\right\},
\]

а матрица $M=L_{+}-L_{-}$, входящая в уравнение Лакса, имеет вид
\[
M=\left(\begin{array}{cccccc}
0 & a_{1} & & & \\
-a_{1} & 0 & \cdot & & & \\
\cdot & \cdot & \cdot & & \\
& \cdot & & \cdot & \cdot & a_{n-1} \\
& & \cdot & -a_{n-1} & \cdot & 0
\end{array}\right) .
\]

Инвариантные функции $I_{k}=\frac{1}{k} \operatorname{tr}\left(L^{k}\right), k=2, \ldots, n$, образуют полный набор интегралов движения в инволюции. (Заметим, что уравнения движения, генерируемые этими функциями, имеют вид Лакса с $M=$ $=\left(L^{k-1}\right)_{+}-\left(L^{k-1}\right)_{-}$. Этот факт был впервые отмечен П. ван Мербеке, см. [109].)
3. Другое полезное семейство функций в инволюции дается следующей теоремой.

Т е о р е м а 1.12.3 [30]. Пусть $\mathscr{G}$ – алгебра Ли, $\sigma$ – инволюция на $\mathscr{G}$, а $\mathscr{G}=\mathscr{K}+\mathscr{O}$ – разложение на собственные пространства оператора $\sigma$ : $\sigma=$ id на $\mathscr{K}$ и $\sigma=$-id на $\mathscr{P}^{\mathscr{D}}$. Пусть $\mathscr{G}_{\sigma}=\mathscr{K}+\mathscr{S}^{0}$ – полупрямая сумма подалгебры $\mathscr{K}$ и векторного пространства $\mathscr{P}$. Фиксируем элемент $a \in \mathscr{P}^{*}$ и определим семейство функций на $\mathscr{G}_{\sigma}^{*}=\mathscr{F}^{*}+\mathscr{P}^{*}$ формулой
\[
f_{a, \lambda}(L)=f\left(\lambda^{-1} a+x+\lambda s\right), \quad L=x+s,
\]

где $f \in I\left(\mathscr{G}^{*}\right), x \in \mathscr{K}^{*}$ и $s \in \mathscr{P}^{*}$ – независимые переменные, а $\lambda$ – вещественный параметр. Тогда функции (1.12.12) находятся в инволюции относительно скобки Ли-Пуассона для полупрямой суммы $\mathscr{G}_{\sigma}=\mathscr{N} \dot{+P}$.

Доказатель ств о. Обозначим через \{, \} скобку Ли-Пуассона на $\mathscr{G}^{*}$, а через $\{,\}_{\sigma}$ – скобку Ли-Пуассона на $\mathscr{\mathscr { G }}_{\sigma}^{*}$ (относительно структуры полупрямой суммы). Тогда линейное преобразование $T_{\lambda}$ на $\mathscr{G}^{*}$, определенное формулой
\[
T_{\lambda}(x+s)=\lambda^{-1} a+x+\lambda s
\]
( $\lambda$ фиксировано), переводит скобку $\{$,$\} в скобку \{;\}_{\lambda}=\lambda^{-2}\{\}+$, $+\left(1-\lambda^{-2}\right)\{,\}_{\sigma}+\lambda^{-2}\{,\}_{a}$, где скобка \{\}$_{a}$ определена формулой
\[
\{\xi, \eta\}_{a}=\langle a\{\xi, \eta]\rangle
\]

для $\xi, \eta \in \mathscr{G}$. Предположим теперь, что $f$ – инвариантная функция на $\mathscr{G}^{*}$. Поскольку $f_{a, \lambda}(L)=f\left(T_{\lambda} \cdot L\right)$ и $f$ является центральной функцией для $\{$,$\} , т.е. \{f, \psi\}=0$ для произвольной функции $\psi$, мы имеем $\left\{f_{a, \lambda}, \psi\right\}_{\lambda}=0$ для произвольной функции $\psi$. Следовательно, если $h$ – другая инвариантная функция, то
\[
\left\{f_{a, \lambda}, h_{a, \mu}\right\}_{\lambda} \mp 0=\left\{f_{a, \lambda}, h_{a, \mu}\right\}_{\mu} .
\]

Таким образом, $f_{a, \lambda}$ и $h_{a, \mu}$ коммутируют по Пуассону также по отношению к любой линейной комбинации скобок $\{,\}_{\lambda}$ и $\{,\}_{\mu}$. В частности,
\[
\lambda^{2}\{,\}_{\lambda}-\mu^{2}\{,\}_{\mu}=\left(\lambda^{2}-\mu^{2}\right)\{,\}_{\sigma},
\]

так что $\left\{f_{a, \lambda}, h_{a, \mu}\right\}_{\sigma}=0$, что и требовалось показать.
Заметим, что в действительности было доказано более сильное утверждение: функции $f_{a, \lambda}$ (1.12.12) находятся в инволюции по отношению к линейному семейству скобок Пуассона
\[
\alpha\{,\}_{\sigma}+\beta\left(\{,\}+\{,\}_{a}\right) .
\]

Применение теоремы 1.12 .3 к римановым симметрическим парам $(\mathscr{G}, \sigma)$ дает многочисленные интегрируемые гамильтоновы системы, имеющие естественную механическую интерпретацию, такие, например, как вращение многомерного твердого тела в определенных потенциальных полях.

4. Все рассмотренные выше конструкции гамильтоновых систем с большим числом интегралов движения в инволюции оказываются специальными случаями так называемого метода классической $r$-матрицы, который в настоящее время является, по-вицимому, наиболее общим методом построения интегрируемых гамильтоновых систем. Этот метод был предложен вначале в работе [105] и был развит затем в теоретико-групповую схему в работе [104]. Здесь мы лишь сформулируем основную теорему, отсылая интересующегося читателя за деталями к работе [104].

Начнем с определения. Пусть $\mathscr{G}$ – алгебра Ли и $R$ – линейный оператор на $\mathscr{G}$. Определим на $\mathscr{G}$ билинейную операцию $[,]_{R}$ согласно формуле
\[
[\xi, \eta]_{R}=[R \xi, \eta]+[\xi, R \eta] ; \quad \xi, \eta \in \mathscr{G} .
\]

Очевидно, что эта операция антисимметрична. Оператор $R$ называется классической $r$-матрицей, если [, ] удовлетворяет тождеству Якоби. Если $R$ – классическая $r$-матрица, то скобка (1.12.13) определяет вторую структуру алгебры Ли на $\mathscr{G}$, и мы назовем пару ( $\mathscr{G}, R$ ) двойной алгеброй Ли. Этим двум скобкам Ли соответствуют две скобки Ли-Пуассона на $\mathscr{G}^{*}$ :
\[
\begin{array}{l}
\{f(x), h(x)\}=\langle x,[
abla f(x),
abla h(x)]\rangle, \\
\{f(x), h(x)\}_{R}=\left\langle x,[
abla f(x),
abla h(x)]_{R}\right\rangle .
\end{array}
\]

Теперь из (1.12.14) получаем
\[
\left(\operatorname{ad}_{R}^{*}\right)_{\xi} \cdot x=\operatorname{ad}_{R \xi}^{*} \cdot x+R^{*}\left(\operatorname{ad}_{\xi}^{*} \cdot x\right) .
\]

Напомним, что $\mathrm{Ad}^{*}$-инвариантные функции на $\mathscr{G}^{*}$ являются центральными дія скобки Ли-Пуассона \{ , \}.
Т е о р е м а 1.12.4 [104]. Пусть ( $\mathscr{G}, R)$ – двойная алгебра Ли. Тогда:
(1) $\mathrm{Ad}^{*}$-инвариантные функции на $\mathscr{G}^{*}$ находятся в инволюции по отношению к $R$-скобке $\{,\}_{R}$;
(2) уравнения движения на $\mathscr{G}^{*}$, индуцируемые инвариантным гамильтонианом $H$ относительно $R$-скобки $\{,\}_{R}$, т.е. уравнения
\[
\dot{x}=\left(\mathrm{ad}_{R}^{*}\right)_{
abla H(x)} \cdot x,
\]

можно записать в \”обобщенном лаксовом виде\”
\[
\dot{x}=\operatorname{ad}_{M}^{*} \cdot x, \text { где } M=R \cdot
abla H(x) .
\]

Доказатель ст в о. $R$-скобку (1.12.13) можно записать в более явном виде:
\[
\{f(x), h(x)\}_{R}=\langle x[R
abla f(\dot{x}),
abla h(x)]\rangle+\langle x[
abla f(x), R
abla h(x)]\rangle .
\]

Если $H$ – инвариантная функция, то $\langle x[
abla H(x), \xi]\rangle=0$ для любого элемента $\xi \in \mathscr{G}$. Отсюда и следует часть (1) теоремы. Теперь, как следует из (1.12.15), уравнения движения, индуцируемые $H$, имеют вид
\[
\dot{x}=\left(\mathrm{ad}_{R}^{*}\right)_{
abla H(x)} \cdot x=\mathrm{ad}_{R \cdot
abla H(x)}^{*} \cdot x+R^{*}\left(\mathrm{ad}_{
abla H(x)}^{*} \cdot x\right) .
\]

В силу инвариантности функции $H(x), \operatorname{ad}_{
abla H(x)}^{*} x=0$ и мы приходим к уравнению (1.12.16).

Важный класс $r$-матриц возникает при рассмотрении разложения алгебры $\mathscr{G}$ в линейную сумму двух подалгебр, $\mathscr{G}=\mathscr{G}_{+}+\mathscr{G}-$ (ср. с теоремой 1.12.2). Пусть $P_{ \pm}-$проекционные операторы на $\mathscr{G}_{ \pm}$параллельно $\mathscr{G}_{\mp}$. Тогда оператор
\[
R=\frac{1}{2}\left(P_{+}-P_{-}\right)
\]

является $r$-матрицей, а соответствующая $R$-скобка является прямой разностью скобок Ли в алгебрах $\mathscr{G}_{+}$и $\mathscr{G}_{-}$:
\[
\left[\xi_{+}+\xi_{-}, \eta_{+}+\eta_{-}\right]_{R}=\left[\xi_{+}, \eta_{+}\right]-\left[\xi_{-}, \eta_{-}\right],
\]
$\xi_{ \pm}, \eta_{ \pm} \in \mathscr{G}_{ \pm}$. Для $r$-матрицы такого вида теорема 1.12 .4 становится прямым обобщением теоремы 1.12.2 (в таком виде она впервые появилась в работе [30]) :

Т е ор е м а 1.12.5. Пусть $\mathscr{G}=\mathscr{G}_{+}+\mathscr{G}_{-}$- расщепление алгебры Ли в линейную сумму двух подалгебр. Тогда:
1) $\mathrm{Ad}^{*}$-инвариантные функции на $\mathscr{G}^{*}=\mathscr{G}_{+}^{*}+\mathscr{G}_{-}^{*}$ находятся в инволюции по отношению к \”прямой разности\” скобок Ли-Пуассона на $\mathscr{G}_{+}$и $\varphi_{-}(1.12 .19)$;
2) уравнения движения на $\mathscr{G}^{*}=\mathscr{G}_{+}^{*}+\mathscr{G}_{-}^{*}$, индуцируемые инвариантным гамильтонианом $H$ относительно $R$-скобки (1.12.19), можно записать в обобщенном лаксовом виде
\[
\dot{x}=\operatorname{ad}_{M_{ \pm}}^{*} \cdot x,
\]

где
\[
M_{ \pm}= \pm P_{ \pm}(
abla H(x)) .
\]

Напомним еще раз, что если существует инвариантное невырожденное скалярное произведение на $\mathscr{G}$, которое позволяет отождествить $\mathscr{G}^{*}$ и $\mathscr{G}$, и $\mathrm{ad}^{*}$ и $\mathrm{ad}$, то уравнение (1.12.20) принимает обычный лаксов вид $(L=x)$
\[
\dot{L}=\left[L, M_{ \pm}\right] .
\]

Теорема 1.12.2 является очевидным следствием теоремы 1.12 .5 (для случая $\widetilde{\mathscr{G}}=\mathscr{G}, \mathscr{G}=\mathscr{G}_{+}, \mathscr{F}=\mathscr{G}_{-}$), поскольку $\mathscr{G}_{+}^{*}$ является инвариантным подпространством в $\mathscr{G}^{*}$ относительно $R$-скобки.

Переходя к рассмотрению более общего случая, предположим, что тое\” пространство $\left(\mathscr{G}_{+}^{*}+a\right)$ является инвариантным подпространством в $\mathscr{G}^{*}$, так что, применяя теорему 1.12 .5 к этому подпространству, получаем следующую теорему.

Т е орема 1.12 .6 [222]. Предположим, что алгебра Ли $\mathscr{G}$ является линейной суммой двух подалгебр: $\mathscr{G}=\mathscr{G}+\mathscr{F}^{*}$. Пусть $a \in \mathscr{F}^{*} \simeq \mathscr{G} \perp-$ характер $\mathscr{F}$, т.е. $\langle a,[\mathscr{F}, \mathscr{F}]\rangle=0$. Тогда:
(a) функции на $\mathscr{G}^{*} \simeq \mathscr{F}^{1}$ вида $f_{a}(x)=f(x+a)$; где $f(x)$ пробегает множество инвариантных функций на $\tilde{\mathscr{g}}^{*}$, находятся в инволюции по отношению к скобке Ли–Пуассона на $\mathscr{G}^{*}$;
(б) пусть $f \in I\left(\widetilde{\mathscr{G}}^{*}\right)$. Тогда уравнения движения на $\mathscr{G}^{*}$, индуцируемые гамильтонианом $f_{a}$, можно переписать в обобщенном лаксовом виде
\[
\dot{L}=\operatorname{ad}_{M_{ \pm}}^{*} \cdot L,
\]

где $L=x+a$, а $M_{ \pm}= \pm P_{ \pm}(
abla f(L))$.

Проиллюстрируем эту теорему на примере цепочки Тоды. Пусть $\mathscr{G}=$ $=\operatorname{sl}(n, \mathbb{R}), \mathscr{G}_{-}-$подалгебра нижних треугольных матриц, а $\mathscr{G}_{+}-$подалгебра верхних треугольных матриц с нулями на диагонали. Скалярное произведение в $\mathscr{G}$, как и прежде, выберем в виде $\operatorname{tr}(A B)$. Тогда $\mathscr{G}$ * идентифицируется с пространством верхних треугольных матриц. Рассмотрим два элемента $e_{+}$и $e_{-}$в алгебрах $\mathscr{C}_{+}$и $\mathscr{G}_{-}$соответственно:
$e_{+}$- это характер $\mathscr{G}_{-}$, или, что эквивалентно, одноточечная орбита. Орбита $\mathcal{O}_{+}$алгебры $\mathscr{G}_{\text {-, }}$, проходящая через $\mathcal{e}_{+}$, состоит из матриц вида

Выбирая в качестве $H$ простейшую инвариантную функцию $H(L)=$ $=\frac{1}{2} \operatorname{tr}\left(L^{2}\right)$ и применяя теорему 1.12.6к орбите $\mathcal{O}_{+}$, находим второе представление Лакса для цепочки Тоды $\dot{L}=\left[L, M_{ \pm}\right]$с $L=L_{0}+e_{-}, M_{ \pm}=$ $= \pm P_{ \pm} L$,

Отметим еще, что теоремы 1.12.1 и 1.12.3 можно вывести из теоремы 1.12.5. Однако для этого необходимо ввести бесконечномерные алгебры Ли, состоящие из многочленов Лорана с коэффициентами в данной алгебре Ли (см. [102], [30]). Подчеркнем, что $r$-матрица $R=\frac{1}{2}\left(P_{+}-P_{-}\right)$ (1.12.18), связанная с разложением $\mathscr{G}=\mathscr{Y}_{+}+\mathscr{G}_{-}$, является выделенной. Именно, соответствующая алгебраическая схема; описанная в теореме 1.12 .5 , интимно связана с задачей факторизации в соответствующей группе $G([272],[273]$, [30]).

Т еорема 1.12.7. Пусть $G_{ \pm}$- подгруппы группы $G$, соответствующие подалгебрам $\mathscr{G}_{ \pm}$. Пусть $H \in I\left(\mathscr{G}^{*}\right)$ и $\xi=
abla H(x)$. Пусть $g_{ \pm}(t)$ – гладкие кри. вые в соответствующих подгрупах $G_{ \pm}$, являющиеся решениями задачи факторизации
\[
\exp (t \xi)=g_{+}(t)^{-1} g_{-}(t), \quad g_{ \pm}(0)=c
\]
(величины $g_{ \pm}(t)$ существуют по крайней мере для достаточно малых $t$ ). Тогда решение уравнения $\dot{x}=\mathrm{ad}_{M_{ \pm}}^{*} \cdot x(1.12 .20)$ дается формулой
\[
x(t)=\operatorname{Ad}_{g_{ \pm}(t)}^{*} \cdot x .
\]

Доказательство. Прежде всего отметим, что $\operatorname{ad}_{\xi}^{*} \cdot x=0$, так что $\operatorname{Ad}^{*}(\exp \xi t) x=x$ и, следовательно, $\operatorname{Ad}^{*}\left(g_{+}\right) \cdot x=\operatorname{Ad}^{*}\left(g_{-}\right) \cdot x$. Дифференцируя (1.12.26) по отношению к $t$, мы получаем
\[
\dot{x}(t)=\mathrm{ad}_{\dot{g}_{+}(t) g_{+}^{-1}(t)}^{*} \cdot x(t)=\mathrm{ad}_{\dot{g}_{-}(t) g_{-}^{-1}(t)} \cdot x(t) .
\]

Мы должны показать, что $\dot{g}_{ \pm}(t) g_{ \pm}^{-1}(t)=M_{ \pm}(t)$, где $M_{ \pm}(t)=\mp P_{ \pm} \cdot \xi(t)$, а $\xi(t)=
abla H(\xi(t))$. Поскольку $H$ – это инвариантная функция, мы имеем $\xi(t)=\operatorname{Ad}_{g_{ \pm}(t)} \cdot \xi$. Перепишем (1.12.25) в виде $g_{+}(t) \exp (t \xi)=g_{-}(t)$ и продифференцируем его по $t$. Получаем $\dot{g}_{+}(t) g_{+}^{-1}(t)+\operatorname{Ad}_{g_{-}(t)} \cdot \xi \cdot$ $=\dot{g}_{-}(t) g_{-}^{-1}(t)$. Поскольку $\dot{g}_{ \pm}(t) g_{ \pm}(t)^{-1} \in \mathscr{G}_{ \pm}$, отсюда следует, что $\dot{g}_{ \pm}(t) g_{ \pm}(t)^{-1}=\mp P_{ \pm} \xi(t)$, что и требовалось доказать.