Предлагаемая книга посвящена быстро развивающемуся разделу современной математической физики – вполне интегрируемым системам классической механики. Под такими системами мы понимаем гамильтоновы системы с конечным числом степеней свободы, обладающие достаточно большим числом сохраняющихся величин (интегралов движения), так что, в принципе, решение уравнений движения может быть сведено к квадратурам. (Относительно точного определения смотри раздел 1.8.)

До недавнего времени было известно лишь несколько таких систем с двумя и большим числом степеней свободы. Перечислим некоторые из них.
1. Движение в поле центрального потенциала (Ньютон)
\[
U(\mathbf{q})=U(|\mathbf{q}|) \text {. }
\]
2. Движение в кулоновском (или ньютоновском) поле двух фиксированных центров (Эйлер)
\[
U(\mathbf{q})=\alpha_{1}\left|\mathbf{q}-\mathbf{a}_{1}\right|^{-1}+\alpha_{2}\left|\mathbf{q}-\mathbf{a}_{2}\right|^{-1} .
\]
3. Свободное движение частицы на поверхности трехосного эллипсоида (Якоби).
4. Движение частицы на сфере под влиянием линейной силы (К. Нейман).
5. Одномерное движение трех частиц с парным взаимодействием вида (Якоби)
\[
U(q)=\sum_{i<j}^{3} g_{i j}\left(q_{i}-q_{j}\right)^{-2} .
\]
6. Движение твердого тела вокруг неподвижной точки в поле тяжести в ряде специальных случаев (Эйлер, Лагранж, Ковалевская) .
7. Движение твердого тела в идеальной жидкости в ряде специальных случаев (Кирхгоф, Клебш, Стеклов).

Дальнейший прогресс в этой области был достигнут лишь недавно. А именно, в 1967 г. Гарднер, Грин, Крускал и Миура [177] открыли новый метод интегрирования нелинейных эволюционных уравнений – метод обратной задачи рассеяния или метод изоспектральной деформации. Этот метод был преобразован к алгебраическому виду в работе Лакса [233] и применен первоначально к нелинейным эволюционным уравнениям в частных производных: уравнению Кортевега-де Фриза, нелинейному уравнению Шредингера и так называемому уравнению sine-Gordon
\[
\begin{array}{l}
u_{t}=u_{x x x}+u u_{x}, \\
u_{t}=u_{x x}+|u|^{2} u, \quad u_{t t}-u_{x x}=\sin u .
\end{array}
\]

Отметим еще работу В.Е. Захарова и Л.Д. Фаддеева [77], где была установлена гамильтоновость уравнения Кортевега- де Фриза.

Применение этого метода к системам классической механики, начатое в работах $[168,88,251]$, дало возможность установить полную интегрируемость множества классических систем.

Суть метода изоспектральной деформации состоит в том, что интегралы движения рассматриваемой динамической системы являются собственными значениями некоторой матрицы $L$, зависящей от динамических переменных этой системы. Зависимость эта, однако, такова, что спектр матрицы для любого решения уравнений движения от времени не зависит. Таким образом, в процессе эволюции динамической системы эта матрица подвергается изоспектральной деформации. Собственные же значения матрицы, рассматриваемые как функционалы от переменных динамической системы, представляют интегралы движения.

Заметим, что все известные системы такого типа связаны с алгебрами Ли и во всех известных случаях их интегрируемость обусловлена наличием высшей (скрытой) симметрии. В специальных случаях такие системы описывают одномерную задачу $n$ тел с парным взаимодействием, исследованную недавно многими авторами.

Явное интегрирование уравнений движения вполне интегрируемой системы является более сложной задачей. Тем не менее ряд вполне интегрируемых систем удается проинтегрировать явно с помощью так называемого метода проектирования $[94,95]$.

Сущность этого метода состоит в рассмотрении новой динамической системы с числом степеней свободы бо́льшим, чем у исходной системы. За счет этого динамика новой системы значительно упрощается и уравнения движения этой системы могут быть проинтегрированы явно. При этом исходная система представляет собой проекцию бо́льшей системы. Если проектирование может бъіть описано явными формулами, то мы получаем таким способом явное решение уравнений движения исходной системы.

В настоящей монографии из-за ограниченного объема рассмотрена лишь часть интегрируемых систем классической механики. Оставшуюся часть, в которую входят системы со связями и твердое тело, мы предполагаем рассмотреть в отдельной монографии. Там же будет рассмотрен ряд задач, относящихся к так называемому периодическому случаю. Теоретико-групповой подход для этого случая в настоящее время еще слабо разработан, и здесь требуется использование более сложного математического аппарата – техники алгебраической геометрии, алгебраических кривых, абелевых и якобиевых многообразий, абелевых интегралов и тета-функций.

Читатель, интересующийся такими проблемами, может найти детали в обзорах $[12,13,14,58,110,111]$.и оригинальных статьях.

Мы считаем, что читатель знаком с основами классической механики. Все аспекты этой области науки с разных точек зрения отражены в классических монографиях $[35,23.1,40]$, в которых интересующийся читатель может найти дальнейшие детали.