Анализ общей гамильтоновой системы с двумя (и большим числом) степенями свободы выходит за рамки возможностей современной науки [1].

В то же время известно достаточно много таких систем, являющихся вполне интегрируемыми. Некоторые из них удается проинтегрировать в явном виде.
Ключевым здесь является следствие*) теоремы Лиувилля [127, 241]:
Если помимо гамильтониана $H(p, q)$ известен второй, функционально независимый от $H$ интеграл движения $I(p, q)$, определенный на всем фазовом пространстве динамической системы, то рассматриваемая система является вполне интегрируемой (т.е. в принципе может быть сведена к квадратурам).

Таким образом, основная проблема состоит в нахождении дополнительного интеграла движения. Приведем ряд примеров систем с двумя степенями свободы, обладающих дополнительным интегралом движения.
A. Движение частицы единичной массы на плоскости $\left(q_{1}, q_{2}\right)$ в потенциальном поле $U\left(q_{1}, q_{2}\right)$ : Гамильтониан рассматриваемой задачи имеет вид
\[
H=H_{2}+U, H_{2}=\frac{1}{2}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right), \quad U=U\left(q_{1}, q_{2}\right) .
\]

Конфигурационным пространством рассматриваемой системы является двумерная плоскость $\left\{q: q=\left(q_{1}, q_{2}\right)\right\}$, на которой транзитивно действует группа $E(2)$ – группа движений двумерной евклидовой плоскости. Группа $E(2)$ порождается трансляциями
\[
T_{a}: q \rightarrow q+a
\]

и вращениями
\[
R_{\varphi}:\left(q_{1}, q_{2}\right) \rightarrow\left(q_{1} \cos \varphi+q_{2} \sin \varphi,-q_{1} \sin \varphi+q_{2} \cos \varphi\right) .
\]

Действие этой группы распространяется естественно и на фазовое прост-

*) Это следствие было первоначально доказано как самостоятельная теорема для частного случая движения одной частицы в работе [209], а. затем для общего случая в [239].

ранство $\{q, p\}$ согласно формулам
\[
T_{a}: p \rightarrow p ; R_{\varphi}:\left(p_{1}, p_{2}\right) \rightarrow\left(p_{1} \cos \varphi+p_{2} \sin \varphi,-p_{1} \sin \varphi+p_{2} \cos \varphi\right) .
\]

Алгебра Ли этой группы (относительно стандартных скобок Пуассона) порождается величинами
\[
\begin{array}{l}
p_{1}, p_{2} \text { и } l=\left(q_{1} p_{2}-p_{1} q_{2}\right), \\
\left\{p_{1}, l\right\}=p_{2},\left\{p_{2}, l\right\}=-p_{1},\left\{p_{1}, p_{2}\right\}=0 .
\end{array}
\]

Рассмотрим сначала гамильтониан свободной частицн $H_{2}=\frac{1}{2}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right)$. Очевидно, что он инвариантен относительно группы $E$ (2).

В силу инвариантности гамильтониана $H_{2}$ величины $p_{1}, p_{2}$ и $l$ являются интегралами движения *) :
\[
\left\{p_{1}, H_{2}\right\}=\left\{p_{2}, H_{2}\right\}=\left\{l, H_{2}\right\}=0 .
\]

Потребуем теперь, чтобы не только $H_{2}$, но и полный гамильтониан $H$ был инвариантен относительно фднопараметрической подгруппы группы $E(2)$, порождаемой элементом
\[
a l+b_{2} p_{1}-b_{1} p_{2} .
\]

Рассмотрим отдельно два случая.
1. $a
eq 0$.

Тогда величина (2.2.5) генерирует бесконечно малый поворот вокруг вектора
\[
\mathbf{c}=\left(c_{1}, c_{2}\right)=a^{-1}\left(b_{1}, b_{2}\right) .
\]

Следовательно, величина (2.2.5) будет интегралсм движения, если $U\left(q_{1}, q_{2}\right)$ имеет вид
\[
U(q)=U(|\mathrm{q}-\mathrm{c}|) \text {. }
\]
2. $a=0$.

В этом случае величина $b_{2} p_{1}-b_{1} p_{2}$ генерирует бесконечно малую трансляцию в направлении вектора ( $b_{2},-b_{1}$ ).
Следовательно, эта величина будет интегралом движения, если
\[
U\left(q_{1}, q_{2}\right)=U\left(b_{1} q_{1}+b_{2} q_{2}\right) .
\]

Подчеркнем еще раз, что линейный по импульсу интеграл движения существует лишь в случаях 1 и 2 . Нетрудно видеть, что в соответствующей системе отсчета поренциал $U\left(q_{1}, q_{2}\right)$ не зависит от одной из координат (или, как говорят, одна из координат является циклической). В случае 1 в полярной системе координат с центром в точке $c$ координата $\varphi$ – циклическая.

Перейдем к рассмотрению систем с двумя степенями свободы, обладающих квадратичным интегралом движения. Опять рассмотрим сначала случай свободного движения: $H=H_{2}$. Тогда наиболее общий интеграл

*) Нетрудно доказать, что это единственные интегралы движения, линейные по импульсам $p_{1}$ и $p_{2}$.

движения, однородный и квадратичный по импульсам, имеет вид
\[
I_{2}=a l^{2}+b_{1} l p_{1}+b_{2} l p_{2}+c_{11} p_{1}^{2}+2 c_{12} p_{1} p_{2}+c_{22} p_{2}^{2},
\]

где $a, b_{j}, c_{j k}$ – константы.
Заметим, что действие группы $E$ (2) в пространстве величин $l, p_{1}$ и $p_{2}$ дается формулами:
при повороте $R_{\varphi}$ вокруг начала координат на угол $\varphi$
\[
l \rightarrow l ; p_{1} \rightarrow p_{1} \cos \varphi+p_{2} \sin \varphi, p_{2} \rightarrow-p_{1} \sin \varphi+p_{2} \cos \varphi ;
\]

при трансляции $T_{a}$ на вектор $a=\left(a_{1}, \dot{a}_{2}\right)$
\[
l \rightarrow l+a_{1} p_{2}-a_{2} p_{1}, \quad p_{1} \rightarrow p_{1}, \quad p_{2} \rightarrow p_{2} .
\]

Это действие индуцирует действие группы $E$ (2) в шестимерном пространстве $\S_{2}$ квадратичных величин с базисом
\[
l^{2}, l p_{1}, l p_{2}, p_{1}^{2} ; \quad p_{1} p_{2}, p_{2}^{2} .
\]

Действие группы, однако, не транзитивно, так что относительно него пространство $\AA_{2}$ расслаивается на орбиты. Так, например, гамильтониан $H_{2}$ инвариантен относительно действия $E$ (2), т.е. представляет нульмерную орбиту в $\AA_{2}$.

Естественно считать все величины $I_{2}$, отвечающие одной орбите, эквивалентными. Таким образом, число существенно различных квадратичных интегралов движения равно числу типов орбит группы $E$ (2) в пространстве $\AA_{2}$.
Оказывается, что в данном случае существует 4 типа орбит (см. [24]) :
I. $a
eq 0, c_{i j}
eq 0, I_{2}=a\left(l^{2}-c^{2} p_{2}^{2}\right)+c^{\prime}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right)$;
II. $a
eq 0, c_{i j}=0, I_{2}=a l^{2}+c^{\prime}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right)$;
III. $a=0, b_{1}^{2}+b_{2}^{2}
eq 0, I_{2}=b l p_{2}+c^{\prime}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right)$;
IV. $a=0, b_{1}=b_{2}=0, I_{2}=c p_{1}^{2}+c^{\prime}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right)$.
Заметим, что поскольку величина ( $p_{1}^{2}+p_{2}^{2}$ ) является инвариантом, коэффициент $c^{\prime}$ мы можем считать равным нулю; кроме того, коэффициент $a$ для систем типа I и II, $b$ – для системы III и $c$ – для системы IV можно считать произвольным числом.

Теперь потребуем, чтобы и для полного гамильтониана $H=H_{2}+U$ существовал интеграл движения вида $I=I_{2}+V$, где $U$ и $V-$ величины нулевой степени по импульсам. Условие $\{H, I\}=0$ при этом сводится к условию
\[
\left\{H_{2}, V\right\}=\left\{I_{2}, U\right\},
\]

которое эквивалентно системе дифференциальных уравнений в частных производных для функций $U(q)$ и $V(q)$.
Так, в случае I, полагая $a=1 / 2$ и $c^{\prime}=0$, получаем следующую систему:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial V}{\partial \dot{q}_{1}}=q_{2}\left(q_{2} \frac{\partial U}{\partial q_{1}}-q_{1} \frac{\partial U}{\partial q_{2}}\right), \\
\frac{\partial V}{\partial q_{2}}=-q_{1}\left(q_{2} \frac{\partial U}{\partial q_{1}}-q_{1} \frac{\partial U}{\partial q_{2}}\right)-c^{2} \frac{\partial U}{\partial q_{2}} .
\end{array}
\]
Исключая из системы (2.2.18) функцию $V(q)$, получаем уравнение цля функции $U(q)$ :
\[
\begin{array}{l}
q_{1} q_{2}\left(\frac{\partial^{2} U}{\partial q_{1}^{2}}-\frac{\partial^{2} U}{\partial q_{2}^{2}}\right)+\left(q_{2}^{2}-q_{1}^{2}+c^{2}\right) \frac{\partial^{2} U}{\partial q_{1} \partial q_{2}}+ \\
+3\left(q_{2} \frac{\partial U}{\partial q_{1}}-q_{1} \frac{\partial U}{\partial q_{2}}\right)=0 .
\end{array}
\]

Для решения этого уравнения удобно перейти от переменных $q_{1}$ и $q_{2}$ к новым переменным
\[
r_{1}=|\mathbf{q}-\mathbf{c}| \text { и } r_{2}=|\mathbf{q}+\mathbf{c}|, \mathbf{c}=(c, 0) .
\]

Опуская вычисления, приведем окончательный ответ:
\[
U=\frac{1}{r_{1} r_{2}}\left[A\left(r_{1}+r_{2}\right)+B\left(r_{1}-r_{2}\right)\right] .
\]

Аналогично, полагая в случае III $b=t, c^{\prime}=0$, приходим к системе уравнений
\[
\frac{\partial V}{\partial \dot{q}_{1}}=q_{2} \frac{\partial U}{\partial q_{2}}, \frac{\partial V}{\partial q_{2}}=-2 q_{1} \frac{\partial U}{\partial q_{2}}+q_{2} \frac{\partial U}{\partial q_{1}},
\]

откуда получаем
\[
\begin{array}{l}
q_{2}\left(\frac{\partial^{2} U}{\partial q_{2}^{2}}-\frac{\partial^{2} U}{\partial q_{1}^{2}}\right)+2 q_{1} \frac{\partial^{2} U}{\partial q_{1} \partial q_{2}}+3 \frac{\partial U}{\partial q_{2}}=0, \\
U=\frac{1}{r}\left(A\left(r+q_{1}\right)+B\left(r-q_{1}\right)\right), \quad r=|\mathbf{q}| .
\end{array}
\]

Аналогично нетрудно найти возможный вид потенциальной энергии и в случаях III и IV.

Итак, возможны следующие виды гамильтониана $H$ (2.2.1), допускающие квадратичный интеграл движения.
I. $H=\frac{1}{2}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right)+\frac{1}{r_{1} r_{2}}\left(A\left(r_{1}+r_{2}\right)+B\left(r_{1}-r_{2}\right)\right)$,

где
\[
r_{1}=|\mathrm{q}-\mathrm{c}|, \boldsymbol{r}_{2}=|\mathrm{q}+\mathbf{c}|, \quad \mathbf{c}=(c, 0) .
\]

В этом случае
\[
\begin{array}{l}
I=\frac{1}{2}\left(l^{2}-c^{2} p_{2}^{2}\right)+\frac{1}{r_{1} r_{2}}\left[-\left(c^{2}-\eta^{2}\right) A(\xi)+\left(\xi^{2}-c^{2}\right) B(\eta)\right], \\
\xi=\frac{r_{2}+r_{1}}{2}, \quad \eta=\frac{r_{2}-r_{1}}{2} .
\end{array}
\]
II. $H=\frac{1}{2}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right)+A(r)+r^{-2} B(\theta)$,

где
\[
r=|\mathbf{q}|, q_{1}=r \cos \theta, q_{2}=r \sin \theta .
\]

При этом
\[
I=\frac{1}{2} l^{2}+B(\theta) \text {. }
\]
III. $H=\frac{1}{2}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right)+\frac{1}{r}\left(A\left(\frac{r+q_{1}}{2}\right)+B\left(\frac{r-q_{1}}{2}\right)\right)$,

где $r=|\mathbf{q}|$.
Здесь
\[
I=l p_{2}+\frac{1}{r}[\eta A(\xi)-\xi B(\eta)], \quad \xi=\frac{r+q_{1}}{2}, \quad \eta=\frac{r-q_{1}}{2} .
\]
IV. $H=\frac{1}{2}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right)+U_{1}\left(\dot{q}_{1}\right)+U_{2}\left(q_{2}\right)$,
\[
I=\frac{1}{2} p_{1}^{2}+U_{1}\left(\dot{q}_{1}\right) \quad\left(\text { или } I=\frac{1}{2} p_{2}^{2}+U_{2}\left(q_{2}\right)\right) .
\]

Приведем несколько конкретных примеров систем такого типа.
1. Системы с полиномиальными потенциалами, которые допускают разделение переменных после замены переменных $q_{1}$ и $q_{2}$ на $\left(q_{1}+q_{2}\right)$ и $\left(q_{1}-q_{2}\right)$. В этом случае потенциал $U\left(q_{1}, q_{2}\right)$ имеет вид
\[
\begin{array}{l}
U=U_{k}\left(q_{1}, \dot{q}_{2}\right)=\frac{1}{2}\left[\left(q_{1}+q_{2}\right)^{k}+\left(q_{1}-q_{2}\right)^{k}\right], \\
U_{1}=q_{1}, \quad U_{2}=q_{1}^{2}+q_{2}^{2}, \quad U_{3}=q_{1}^{3}+3 q_{1} q_{2}^{2}, \\
U_{4}=q_{1}^{4}+6 q_{1}^{2} q_{2}^{2}+q_{2}^{4}, \ldots .
\end{array}
\]
2. Пусть потенциальная энергия имеет вид
\[
U\left(q_{1}, q_{2}\right)=U_{1}(\dot{r})+U_{2}\left(q_{1}, \dot{q}_{2}\right), \quad r=\sqrt{q_{1}^{2}+q_{2}^{2}},
\]

где $U_{2}\left(q_{1}, q_{2}\right)$ – однородная функция степени (-2) :
\[
U_{2}\left(\lambda q_{1}, \lambda q_{2}\right)=\lambda^{-2} U_{2}\left(q_{1}, \dot{q}_{2}\right) .
\]

Переходя к полярным координатам
\[
q_{1}=r \cos \theta, \quad q_{2}=r \sin \theta,
\]

мы получаем
\[
U_{2}\left(q_{1}, \dot{q}_{2}\right)=r^{-2} B(\theta),
\]
т.е. приходим к случаю II.
Сюда относятся, например:
a) рассмотренная Якоби [212] система трех частиц на прямой, взаимодействующих обратно пропорционально квадрату расстояния,
\[
U\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=g_{12}\left(x_{1}-x_{2}\right)^{-2}+g_{23}\left(x_{2}-x_{3}\right)^{-2}+g_{31}\left(x_{3}-x_{1}\right)^{-2}
\]

(это становится очевидным после перехода к относительным координатам $q_{1}$ и $q_{2}$ в системе центра масс) ;
б) более общая система трех взаимодействующих частиц с потенциалом
\[
U\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\sum_{j<k=1}^{3} U_{j k}\left(x_{j}-x_{k}\right),
\]

где
\[
U_{j k}(x)=g_{j k} x^{-2}+\alpha x^{2}+\beta x^{4} .
\]

Это следует из легко проверяемого тождества
\[
\begin{array}{l}
{\left[\left(x_{1}-x_{2}\right)^{4}+\left(x_{2}-x_{3}\right)^{4}+\left(x_{3}-x_{1}\right)^{4}\right]=} \\
=\frac{1}{2}\left[\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}-x_{3}\right)^{2}+\left(x_{3}-x_{1}\right)^{2}\right]^{2} .
\end{array}
\]

Относительно более общих систем такого типа см. работу [264] .
3. Системы с полиномиальным потенциалом, для которых переменные разделяются после перехода к параболическим координатам $\left(r+q_{1}\right)$ и $\left(r-q_{1}\right)$, где $r=\sqrt{q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}$. Сюда относится случай
\[
\begin{array}{l}
U=U_{k}=\frac{1}{2 r}\left[\left(r+q_{1}\right)^{k+1}+(-1)^{k}\left(r-q_{1}\right)^{k+1}\right], \\
U_{1} \sim q_{1}, U_{2} \sim\left(4 q_{1}^{2}+q_{2}^{2}\right), U_{3} \sim q_{1}\left(2 q_{1}^{2}+q_{2}^{2}\right), \\
U_{4} \sim\left(16 q_{1}^{4}+12 q_{1}^{2} q_{2}^{2}+q_{2}^{4}\right), U_{5} \sim q_{1}\left(16 q_{1}^{4}+16 q_{1}^{2} q_{2}^{2}+3 q_{2}^{2}\right) .
\end{array}
\]
4. Системы с полиномиальным потенциалом, для которых переменные разделяются после перехода к эллиптическим координатам $\left(r_{1}+r_{2}\right)$ и $\left(r_{1}-r_{2}\right)$, где $r_{1}=\sqrt{\left(q_{1}-c\right)^{2}+q_{2}^{2}}, r_{2}=\sqrt{\left(q_{1}+c\right)^{2}+q_{2}^{2}}$. Сюда относится случай
\[
\begin{array}{l}
U=U_{2 k}=\frac{1}{2 r_{1} r_{2}}\left[\left(r_{1}+r_{2}\right)^{2 k+2}-\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2 k+2}\right], \\
U_{2} \sim\left(q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+c^{2}\right), U_{4} \sim\left[\left(q_{1}^{2}+q_{2}^{2}\right)^{2}+c^{2}\left(q_{1}^{2}+2 q_{2}^{2}\right)\right] .
\end{array}
\]
5. Двумерный ангармонический осциллятор (частный случай системы, рассмотренной Гарнье [178])
\[
U\left(q_{1}, q_{2}\right)=A q_{1}^{2}+B q_{2}^{2}+\left(q_{1}^{2}+q_{2}^{2}\right)^{2} .
\]

Здесь
\[
I=\frac{p_{1}^{2}}{2}+\frac{1}{A-B}\left(q_{1} p_{2}-q_{2} p_{1}\right)^{2}+A q_{1}^{2}+q_{1}^{2}\left(q_{1}^{2}+q_{2}^{2}\right),
\]

или
\[
I=\frac{p_{2}^{2}}{2}-\frac{1}{A-B}\left(q_{1} \dot{p}_{2}-q_{2} p_{1}\right)^{2}+B q_{2}^{2}+q_{2}^{2}\left(q_{1}^{2}+q_{2}^{2}\right) .
\]

Эта система легко сводится к случаю [.

Отметим еще интегрируемое обобщение системы Гарнье, указанное в работе [313]:
\[
U=\left(q_{1}^{2}+q_{2}^{2}\right)^{2}+A q_{1}^{2}+B q_{2}^{2}+C q_{1}^{-2}+D q_{2}^{-2} .
\]

В этом случае
\[
\begin{array}{l}
I=\frac{p_{1}^{2}}{2}+q_{1}^{2}\left(q_{1}^{2}+q_{2}^{2}\right)+A q_{1}^{2}+C q_{1}^{-2}+ \\
+\frac{1}{2(B-A)}\left[\left(q_{2} p_{1}-q_{1} p_{2}\right)^{2}+2 C\left(\frac{q_{2}}{q_{1}}\right)^{2}+2 D\left(\frac{q_{1}}{q_{2}}\right)^{2}\right],
\end{array}
\]

и уравнения движения этой системы интегрируются после перехода к эллиптическим координатам.
Б. Кубический интеграл движения. Общий случай натуральной системы (т.е. системы вида $H=\frac{1}{2} \mathbf{p}^{2}+U(\mathbf{q})$ ) с двумя степенями свободы, допускающей интеграл движения, кубичный по импульсам, изучался в работах $[161,202]$.

Потенциал Драха. В первой из этих работ [161] рассматривалась система с гамильтонианом
\[
H=p_{1} p_{2}+U\left(q_{1}, q_{2}\right)
\]

и были найдены 10 случаев с дополнительным интегралом движения, кубичным по импульсам. Потенциал $U$ при этом зависит от трех постоянных $\alpha, \beta$ и $\gamma$. Приведем выражения для $U$ (относительно интегралов движения см. работу [161]).
1. $U=\frac{\alpha}{x y}+\beta x^{r_{1}} y^{r_{2}}+\gamma x^{r_{2}} y^{r_{1}}$,

где $r_{1}$ и $r_{2}$ – корни уравнения $r^{2}+3 r+3=0$.
2. $U=\frac{\alpha}{\sqrt{x y}}+\frac{\beta}{\left(y-\mu_{0} x\right)^{2}}+\frac{\gamma\left(y+\mu_{0} x\right)}{\sqrt{x y}\left(y-\mu_{0} x\right)^{2}}$.
3. $U=\alpha x y+\frac{\beta}{(y-a x)^{2}}+\frac{\gamma}{(y+a x)^{2}}$.
4. $U=\frac{\alpha}{\sqrt{y(x-a)}}+\frac{\beta}{\sqrt{y(x+a)}}+\frac{\gamma x}{\sqrt{\left(x^{2}-a^{2}\right)}}$.
5. $U=\frac{\alpha}{\sqrt{x y}}+\frac{\beta}{\sqrt{x}}+\frac{\gamma}{\sqrt{y}}$.
6. $U=\alpha x y+\beta y \frac{2 x^{2}+c}{\sqrt{x^{2}+c}}+\gamma \frac{x}{\sqrt{x^{2}+c}}$.
7. $U=\frac{\alpha}{(y+3 m x)^{2}}+\beta(y-3 m x)+\gamma(y-m x)(y-9 m x)$.
8. $U=\frac{\alpha}{\left(y+\frac{m}{3} x\right)^{2 / 3}}+\frac{\beta\left(y-\frac{m}{3} x\right)}{\left(y+\frac{m}{3} x\right)^{2 / 3}}+$ $+\gamma \frac{4\left(y-\frac{m}{3} x\right)^{2}-3\left(y+\frac{m}{3} x\right)}{\left(y+\frac{m}{3} x\right)^{2 / 3}}$.
9. $U=\alpha y^{-3 / 2}+\beta x y^{-3 / 2}+\gamma x$.
10. $U=\alpha\left(y-\frac{\rho}{3} x\right)+\beta x^{-1 / 2}+\gamma x^{-1 / 2}(y-\rho x)$.

Потенциал Холта. В работе [202] для системы с $H=\frac{1}{2}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right)+$ $+U\left(q_{1}, \dot{q}_{2}\right)$ был получен следующий новый интегрируемый потенциал:
\[
U=q_{2}^{-2 / 3}\left(c q_{2}^{2}+q_{1}^{2}+\delta\right), \quad c=3 / 4 .
\]

В этом случае дополнительный интеграл движения имеет вид
\[
I=I_{3}=2 p_{1}^{3}+3 p_{1} p_{2}^{2}+3 p_{1}\left(-3 q_{2}^{2}+2 q_{1}^{2}+2 \delta\right) q_{2}^{-2 / 3}+18 p_{2} q_{1} q_{2}^{1 / 3} .
\]

Потенциал Фокаса – Лагерстрема. Еще один случай с дополнительным интегралом движения, кубичным по импульсам, был обнаружен в работе [173] . В этом случае
\[
\begin{array}{l}
U\left(q_{1}, \dot{q}_{2}\right)=\left(q_{1}^{2}-q_{2}^{2}\right)^{-2 / 3}, \\
I=I_{3}=\left(\dot{p}_{1}^{2}-p_{2}^{2}\right)\left(q_{1} p_{2}-q_{2} p_{1}\right)-4\left(q_{2} p_{1}+q_{1} p_{2}\right)\left(q_{1}^{2}-q_{2}^{2}\right)^{-2 / 3} .
\end{array}
\]

Потенциалы, связанные с лаксовым представлением. Несколько важных многочастичных систем, которые подробно рассматриваются в следующей главе, в частном случае сводятся к системам с двумя степенями свободы, обладающим дополнительным интегралом движения, кубичным по импульсам.

Рассмотрим, например, систему трех взаимодействующих частиц на прямой с потенциальной энергией,
\[
U\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\right)=\left[v\left(q_{1}-q_{2}\right)+v\left(q_{2}-q_{3}\right)+v\left(q_{3}-q_{1}\right)\right],
\]

где
(1) $v(x)=a^{2} \mathscr{P}(a x), \mathscr{P}(x)$ – функция Вейерштрасса [133] ;
(2) $v(x)=g^{2} \exp (-x)$. Это так называемая цепочка Тоды $[298,299]$.

В обоих случаях интеграл движения кубичен по импульсам и имеет вид
\[
I=I_{3}=p_{1} p_{2} p_{3}-p_{1} v\left(q_{2}-q_{3}\right)-p_{2} v\left(q_{3}-q_{1}\right)-p_{3} v\left(q_{1}-q_{2}\right) .
\]

Относительно интегрирования системы (1) см. работу [85], а относительно интегрирования системы (2) см. работы $[214,215]$.
B. Интегралы четвертой степени по импульсам. Перейдем теперь к рассмотрению интегралов четвертой степени по импульсам.
1. Потенциал кубический. Возьмем систему с кубическим потенциалом вида
\[
U=a\left(c q_{2}^{3}+q_{1}^{2} q_{2}\right),
\]

детальное изучение которой началось в работе [197]. Отметим прежде всего, что из приведенных выше формул (2.2.41) и (2:2.33) следует, что при $c=1 / 3$ и $c=2$ такая система допускает квадратичный интеграл движения и интегрируется методом разделения переменных.

Еще один интегрируемый случай (уже нетривиальный) был найден независимо в работах [183] и [191]. Это случай с $c=16 / 3$. Интеграл движения здесь имеет вид
\[
I=I_{4}=p_{1}^{4}+4 a q_{1}^{2} q_{2} p_{1}^{2}-4 a q_{1}^{3} \dot{p}_{1} p_{2} / 3-4 a^{2} q_{1}^{4} q_{2}^{2} / 3-2 a^{2} q_{1}^{6} / 9 .
\]

В работах [185] и [200] было найдено интегрируемое обобщение этого потенциала
\[
U=\frac{16}{3} q_{2}^{3}+q_{1}^{2} \dot{q}_{2}+\frac{a}{2}\left(q_{1}^{2}+16 q_{2}^{2}\right)+m q_{1}^{-2}+n q_{1}^{-6}
\]

с дополнительным интегралом движения
\[
\begin{array}{l}
I=I_{4}=p_{1}^{4}+\left(2 a q_{1}^{3}+4 q_{1}^{2} q_{2}+4 m q_{1}^{-2}+4 n q_{1}^{-6}\right) p_{1}^{2}- \\
-4 q_{1}^{3} p_{1} p_{2} / 3-4 a q_{1}^{4} q_{2} / 3-4 q_{1}^{4} q_{2}^{2} / 3+8 m q_{2} / 3+8 n q_{2} q_{1}^{-4}- \\
-2 q_{1}^{6} / 9+a^{2} q_{1}^{4}+4\left(a n+m^{2}\right) q_{1}^{-4}+8 m n q_{1}^{-8}+4 n^{2} q_{1}^{-12} .
\end{array}
\]
2. Потенциал четвертой степени. Рассмотрим потенциал четвертой степени вида
\[
U=A q_{1}^{4}+B q_{1}^{2} q_{2}^{2}+C q_{2}^{4} .
\]

Отметим прежде всего уже указанные вьше случаи разделения переменных для этой системы:
(1) $B=0$, уравнения разделяются в переменных $q_{1}$ и $q_{2}$;
(2) $B=6 A, C=A$ : система разделяется в координатах $\left(q_{1}+q_{2}\right)$ и $\left(q_{1}-q_{2}\right)$;
(3) $B=2 A, C=A$ : система разделяется в координатах $r$ и $\varphi, q_{1}=$ $=r \cos \varphi, q_{2}=r \sin \varphi$;
(4) $B=12 A, C=16 A$ : система разделяется в параболических координатах $\left(r+q_{1}\right)$ и $\left(r-q_{1}\right)$.
Последний случай допускает интегрируемое обобщение
\[
\begin{array}{l}
U=a\left(q_{1}^{4}+12 q_{1}^{2} q_{2}^{2}+16 q_{2}^{4}\right)+b\left(q_{1}^{2}+4 q_{2}^{2}\right)+ \\
+c q_{1}^{-6}\left(q_{1}^{2}+4 q_{2}^{2}\right)+m q_{1}^{-2}+n q_{2}^{-2} .
\end{array}
\]

Отметим, что если параметр $n=0$, то система допускает квадратичный

интеграл движения вида
\[
I=I_{2}=\left(q_{1} p_{2}-q_{2} p_{1}\right) p_{1}+f(q),
\]

но если $n
eq 0$, то квадратичного интеграла нет, а есть лишь интеграл четвертой степени. Он имеет вид [186]
\[
I=I_{4}=I_{2}^{2}+n\left[2 q_{1}^{2} q_{2}^{-2} p_{1}^{2}+16\left(a q_{1}^{4}+c q_{1}^{-4}\right)\right] .
\]
(5) Известен еще один интегрируемый потенциал четвертой степени по импульсам, который допускает дополнительный интеграл движения степени по импульсам $[184,270]$,
\[
U=q_{1}^{4}+6 q_{1}^{2} q_{2}^{2}+8 q_{2}^{4} .
\]

Здесь
\[
\begin{array}{l}
I=I_{4}=p_{1}^{4}+4\left(q_{1}^{4}+6 q_{1}^{2} q_{2}^{2}\right) p_{1}^{2}-16 q_{1}^{3} q_{2} p_{1} p_{2}+4 q_{1}^{4} p_{2}^{2}+ \\
+4 q_{1}^{8}+16 q_{1}^{6} q_{2}^{2}+16 q_{1}^{4} q_{2}^{4} .
\end{array}
\]

Известны два интегрируемых обобщения этого потенциала. Это случаи
(a) $e=0 \quad[185]$

и
(б) $n=l=0 \quad[200]$

для $U\left(q_{1}, q_{2}\right)$ вида
\[
U=q_{1}^{4}+6 q_{1}^{2} q_{2}^{2}+8 q_{2}^{4}+k\left(q_{1}^{2}+4 q_{2}^{2}\right)+m q_{1}^{-2}+n q_{1}^{-6}+l q_{2}^{-2}+e q_{2} .
\]

Здесь
\[
\begin{array}{l}
I=p_{1}^{4}+4 p_{1}^{2}\left(q_{1}^{4}+6 q_{1}^{2} q_{2}^{2}+k q_{1}^{2}+m q_{1}^{-2}+n q_{1}^{-6}+e q_{2}\right)- \\
-\left(16 q_{1}^{3} q_{2}+4 e q_{1}\right) p_{1} p_{2}+4 q_{1}^{4} q_{2}^{2}+4 m^{2} q_{1}^{-4}+8 m q_{1}^{2}+16 m q_{2}^{2}+ \\
+4 k^{2} q_{1}^{4}+8 k q_{1}^{6}+16 k q_{1}^{4} q_{2}^{2}+4 q_{1}^{8}+16 q_{1}^{6} q_{2}^{2}+16 q_{1}^{4} q_{2}^{4}+ \\
+e\left(8 m q_{1}^{-2} q_{2}-2 e q_{1}^{2}-8 q_{1}^{4} q_{2}-16 q_{1}^{2} q_{2}^{3}-8 k q_{1}^{2} q_{2}\right)+8 l q_{1}^{4} q_{2}^{-2}+ \\
+n\left(8 m q_{1}^{-8}+4 n q_{1}^{-12}+8 k q_{1}^{-4}+8 q_{1}^{-2}+48 q_{1}^{-4} q_{2}^{2}\right) .
\end{array}
\]
3. Потенциал типа Холта. В работах [185] и [199] бьло показано, что потенциал
\[
U=q_{1}^{-2 / 3}\left(\frac{9}{2} q_{1}^{2}+q_{2}^{2}\right)
\]

является интегрируемым и допускает дополнительный интеграл четвертой степени по импульсам
\[
I=I_{4}=P_{4} .
\]

Интегрируемое обобщение этого потенциала было указано в работах [185]

и [200]. Именно,
\[
\begin{array}{l}
U=q_{1}^{-2 / 3}\left(\frac{9}{2} q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+d\right)+m q_{1}^{2 / 3}+n q_{2}^{-2}+a\left(9 q_{1}^{2}+4 q_{2}^{2}\right) \\
I=I_{4}=p_{1}^{4}+2 p_{1}^{2} p_{2}^{2}+\left(16 a q_{2}^{2}+4 n q_{2}^{-2}\right) p_{1}^{2}+24 q_{1}^{1 / 3} q_{2} p_{1} p_{2}+ \\
+4 p_{2}^{2}\left(q_{1}^{-2 / 3}\left(q_{2}^{2}+d\right)+m q_{1}^{2 / 3}+a\left(9 q_{1}^{2}+4 q_{2}^{2}\right)+n q_{2}^{-2}\right)+16 m q_{2}^{2}+ \\
+32 a d q_{1}^{-2 / 3} q_{2}^{2}+8 d n q_{1}^{-2 / 3} q_{2}^{-2}+8 n q_{1}^{-2 / 3}+32 a m q_{1}^{2 / 3} q_{2}^{2}+8 m n q_{1}^{2 / 3} q_{2}^{-2}+ \\
+72 q_{1}^{2 / 3} q_{2}^{2}+72 a n q_{1}^{2} q_{2}^{-2}+4 n^{2} q_{2}^{-4}+32 a q_{1}^{-2 / 3}\left(9 q_{1}^{2}+q_{2}^{2}\right) q_{2}^{2}+ \\
+32 a^{2} q_{2}^{2}\left(9 q_{1}^{2}+2 q_{2}^{2}\right) .
\end{array}
\]

Еще один интегрируемый случай такого типа был обнаружен в работах $[199,185]$. Именно,
\[
U=q_{1}^{-2 / 3}\left(12 q_{1}^{2}+q_{2}^{2}\right) .
\]

В этом случае
\[
\begin{array}{l}
I=I_{6}=p_{2}^{6}+3 p_{1}^{2} p_{2}^{4}+72 q_{1}^{1 / 3} q_{2} p_{1} p_{2}^{3}+6\left(3 q_{1}^{4 / 3}+q_{1}^{-2 / 3} q_{2}^{2}\right)+ \\
+648 q_{1}^{2 / 3} q_{2}^{2} p_{2}^{2}+648 q_{2}^{4} .
\end{array}
\]

Относительно дальнейших обобщений см. работу [49] .
Отметим еще, что в работе [317] было рассмотрено семейство потенциалов вида
\[
U=q_{1}^{4}+b q_{1}^{2} q_{2}^{2}+q_{2}^{4}
\]

и доказано, что единственные интегрируемые случаи – это случаи, рассмотренные выше, т.е. $b=0,2$ и 6 .
4. Потенциалы, связанные с лаксовым представлением. Здесь, следуя [49], мы опишем несколько систем с двумя степенями свободы, которые обладают дополнительным интегралом движения четвертой степени по импульсам и представляют собой частные случаи многочастичных систем, рассмотренных в следующем разделе. Потенциал таких систем имеет вид
\[
U\left(q_{1}, \dot{q}_{2}\right)=\left[v_{1}\left(\dot{q}_{1}\right)+v_{2}\left(q_{2}\right)+v_{3}\left(q_{1}-q_{2}\right)+v_{4}\left(q_{1}+q_{2}\right)\right] .
\]

Дополнительный интеграл движения такой системы будем искать в виде
\[
I=I_{4}=\frac{p_{1}^{2} p_{2}^{2}}{2}+g_{0} p_{1}^{2}+g_{1} p_{1} p_{2}+g_{2} p_{2}^{2}+h .
\]

Из условия $\{I, H\}=0$ сразу же получаем явное выражение для функций $g_{0}, g_{1}$ и $g_{2}$ :
\[
g_{0}=v_{2}(y), \quad g_{1}=-v_{3}(x-y)+v_{4}(x+y), \quad g_{2}=v_{1}(\dot{x})
\]

и функциональное уравнение для интересующих нас функций $v_{1}, v_{2}, v_{3}$ и $v_{4}$
\[
\begin{array}{l}
{\left[v_{4}(x+y)-v_{3}(x-y)\right]\left[v_{2}^{\prime \prime}(y)-v_{1}^{\prime \prime}(x)\right]+} \\
+2\left[v_{4}^{\prime \prime}(x+y)-v_{3}^{\prime \prime}(x-y)\right]\left[v_{2}(y)-v_{1}(x)\right]+ \\
+3 v_{4}^{\prime}(x+y)\left[v_{2}^{\prime}(y)-v_{1}^{\prime}(x)\right]+3 v_{3}^{\prime}(x-y)\left[v_{2}^{\prime}(y)+v_{1}^{\prime}(\dot{x})\right]=0 .
\end{array}
\]

Общее решение этого уравнения не известно, однако известен целый ряд его частных решений.
(1) Как показано в работе [255], рассматриваемая система интегрируема при вьполнении условий
\[
\begin{array}{l}
v_{3}=v_{4}=g^{2} v(x), \quad v_{1}(x)=g_{1}^{2} v(x)+g_{2}^{2} v(2 x)=v_{2}(x), \\
g_{1}\left[g_{1}^{2}-2 g^{2}+\sqrt{2} g_{2} g_{1}\right]=0
\end{array}
\]

и если $v(x)$ – функция одного из пяти типов:
I. $v(q)=q^{-2}$;
II. $v(q)=a^{2}[\operatorname{sh} a q]^{-2}$;
III. $v(q)=a^{2}[\sin a q]^{-2}$;
IV. $v(q)=a^{2} \mathscr{F}(a q), \quad \mathscr{P}(x)-$ функция Вейерштрасса;
V. $v(q)=q^{-2}+\omega^{2} q^{2}$.
(2) В работе [128] были найдены интегрируемые системы с потенциалами
\[
\begin{array}{l}
v_{1}(\dot{x})=[a+b \sin x][\cos x]^{-2}, \\
v_{2}(y)=[c+d \sin y][\cos y]^{-2}, \\
v_{3}\left(z^{\prime}\right)=-v_{4}(z)=-\cos z .
\end{array}
\]
(3) В работе [206]
\[
\begin{array}{l}
v_{1}(\dot{x})=v_{2}(x)=k \operatorname{ch}(b x), \\
v_{3}(x)=k_{2}[\operatorname{sh}(b x / 2)]^{-2}+k_{3}[\operatorname{sh}(b x / 4)]^{-2}, \\
v_{4}(x)=k_{4}[\operatorname{sh}(b x / 2)]^{-2}+k_{5}[\operatorname{sh}(b x / 4)]^{-2} ; \\
v_{1}(\dot{x})=v_{2}(x)=k_{1} \operatorname{ch}(b x)+k_{2} \operatorname{ch}(2 b x), \\
v_{3}(x)=k_{3}[\operatorname{sh}(b x / 2)]^{-2}, \\
v_{4}(x)=k_{4}[\operatorname{sh}(b x / 2)]^{-2} .
\end{array}
\]
(4) В работах [238], [207]
\[
\begin{array}{l}
v_{1}(\dot{x})=v_{2}(x)=g_{1}^{2} x^{-2}+g_{2}^{2} x^{2}+g_{3}^{2} x^{4}+g_{4}^{2} x^{6}, \\
v_{3}(x)=v_{4}(x)=g^{2} x^{-2}, \\
v_{1}(x)=v_{2}(x)=g_{1}^{2}[\operatorname{sh}(a x)]^{-2}+g_{2}^{2}[\operatorname{sh}(2 a x)]^{-2}+ \\
+g_{3}^{2} \operatorname{ch}(2 a x)+g_{4}^{2} \operatorname{ch}(4 a x), \\
v_{3}(x)=v_{4}(x)=g^{2}[\operatorname{sh}(a x)]^{-2}, \\
v_{1}(x)=v_{2}(x)=g_{1}^{2} \mathscr{P}(a x)+g_{2}^{2} \mathscr{P}\left(a x+\frac{\omega_{1}}{2}\right)+g_{3}^{2} \mathscr{P}\left(a x+\frac{\omega_{2}}{2}\right)+ \\
+g_{4}^{2} \mathscr{P}\left(a x+\frac{\omega_{1}+\omega_{2}}{2}\right), \\
v_{3}(x)=v_{4}(x)=g^{2} \mathscr{P}(a x) .
\end{array}
\]

В последнем случае величины $\omega_{j}$ – эго периоды функции $\mathscr{P}(x)$, а константы $g_{j}$ удовлетворяют условию
\[
\left(\sum_{j} g_{j}^{4}-\sum_{i
eq j} g_{i}^{2} g_{j}^{2}\right)^{2}=64 \prod_{k} g_{k} .
\]
(5) В частном случае $v_{4}=0$ в работе [206] бьло найдено два типа решений уравнений
\[
\begin{array}{l}
v_{1}(\dot{x})=k_{1} \operatorname{ch}\left(2 b x+c_{1}+2 d\right)+k_{2} \operatorname{ch}\left(b x+c_{2}+d\right), \\
v_{2}(x)=k_{1} \operatorname{ch}\left(2 b x+c_{1}-2 d\right)+k_{2} \operatorname{ch}\left(b x+c_{2}-d\right), \\
v_{3}(x-y)=k_{3}\left[\operatorname{sh}\left(\frac{1}{2} b(x-y)+d\right)\right]^{-2}
\end{array}
\]
(которые тоже бьши найдены в работе [311]), а также решение
\[
\begin{array}{l}
v_{1}(\dot{x})=k_{1} \operatorname{ch}\left(b x+c_{1}+d\right) \\
v_{2}(x)=k_{1} \operatorname{ch}\left(b x+c_{1}-d\right) \\
v_{3}(x-y)=k_{2}\left[\operatorname{sh}\left(\frac{1}{2} b(x-y)+d\right)\right]^{-2}+k_{3}[\operatorname{sh}(b(x-y) / 4+d / 2)]^{-2} .
\end{array}
\]
(6) Отсюда в качестве предельного случая можно получить решение, ранее найденное в работе [108],
\[
v_{1}(\dot{z})=v_{2}(z)=a \exp (z), \quad v_{3}=(\operatorname{cth}(z / 2))^{2},
\]

а также решения ( $[207,311]$ )
\[
v_{1}=v_{2}=c_{0} z+c_{1} z^{2}+c_{2} z^{3}+c_{3} z^{4} ; v_{3}=a^{2} z^{-2} .
\]
Г. Другие результаты. В работе [314] было описано новое семейство интегрируемых потенциалов $U(x, y)$, допускающих дополнительный интеграл четвертой степени по импульсам. Эти потенциалы имеют вид
\[
U(x, y)=\frac{1}{4 c}\left[\gamma(x)-n^{\prime}(x) y+v(y)\right],
\]

где $v(y)=\frac{1}{6} b y^{3}+\frac{1}{2} a y^{2}+e y+f ; a, b, c, e, f-$ некоторые константы, а функции $n(x)$ и $\gamma(x)$ – решения двух нелинейных дифференциальных уравнений
\[
n\left(n^{\prime \prime \prime}+b\right)+5 n^{\prime} n^{\prime \prime}=0
\]

и
\[
n\left(\gamma^{\prime \prime}-a\right)+3 n^{\prime} \gamma^{\prime}+2 n^{\prime \prime \prime} \gamma=0 .
\]

Интеграл движения в этом случае имеет вид
\[
\begin{array}{l}
I=\frac{1}{4 c}\left(\gamma^{2}(x)-\frac{1}{2} n^{2}(x)+e \int n(x) d x+n(x) \gamma^{\prime}(x) y-\right. \\
\left.-\frac{1}{2} n(x) n^{\prime \prime}(x) y^{2}\right)+\left[\gamma(x)-n^{\prime}(x) y\right] p_{x}^{2}+c p_{x}^{4}+n(x) p_{x} p_{y} .
\end{array}
\]

Приведем два явных решения:
\[
\begin{array}{l}
\text { 1) } U(x, y)=\frac{1}{4 c}\left[\left(\frac{E}{\delta}\right) x^{-2 / 3}+F \delta^{2} x^{2 / 3}+\right. \\
\left.+\left(\frac{9 a}{32}\right) x^{2}-\frac{1}{3} \delta y x^{-2 / 3}+v(y)\right], \\
v(y)=\frac{1}{2} a y^{2}+e y+f,
\end{array}
\]
2) $U(x, y)=\frac{1}{4 c}\left[E x^{-6}+F x^{-2}+a \frac{x^{2}}{32}+\frac{b x^{2} y}{32}+v(y)\right]$.
Д. Трансиендентные интегралы движения. Почти во всех рассмотренных выше случаях дополнительный интеграл движения полиномиален по импульсам (а в большинстве случаев также и по координатам). Однако известны также случаи, когда дополнительный интеграл движения является рациональным или же трансцендентным. Приведем три случая, найденные в работе [200] :
\[
\begin{array}{l}
\text { (1) } H=\frac{1}{2} p_{x}^{2}+\frac{1}{2}\left(p_{y}-\frac{x}{y}\right)^{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}\right)^{2}, \\
I=I_{1}=\left(x p_{y}-y p_{x}+y\right) / p_{y},
\end{array}
\]

или же
\[
I=I_{2}=p_{x}+\ln \left(\frac{p_{y}}{y}\right), \quad I=I_{3}=\frac{p_{y}}{y} \exp \left(p_{x}\right) .
\]
(2) $H=\frac{1}{2}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}\right)+2 y p_{x} p_{y}-x$
\[
\begin{array}{l}
I=I_{1}=p_{y} \exp \left(p_{x}^{2}\right), \\
I=I_{2}=-y \exp \left(-p_{x}^{2}\right)+\frac{1}{4}(2 \pi)^{1 / 2} p_{y} \exp \left(p_{x}^{2}\right) \operatorname{erf}\left(\sqrt{2} p_{x}\right),
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{l}
\text { (3) } H=\frac{1}{2}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}\right)+\left(\frac{x}{y}\right) ; \quad I=I_{2}=\frac{1}{2} y\left[p_{y} W_{+}\left(\frac{1}{2} E, p_{x}\right)+\right. \\
\left.+2 W_{+}^{\prime}\left(\frac{E}{2}, p_{x}\right)\right]^{2} \\
I=I_{3} \frac{p_{y} W_{-}\left(\frac{1}{2} E, p_{x}\right)+2 W_{-}^{\prime}\left(\frac{1}{2} E, p_{x}\right)}{p_{y} W_{+}\left(\frac{1}{2} E, p_{x}\right)+2 W_{+}^{\prime}\left(\frac{1}{2} E, p_{x}\right)},
\end{array}
\]

где $W_{+}$и $W_{-}$- стандартные функции Уиттекера, т.е. решения уравнения
\[
y^{\prime \prime}+\left(\frac{1}{4} x^{2}-a\right) y=0 .
\]
E. Системы Камалина – Переломова. В работе [216] описан класс интегрируемых гамильтоновых систем, связанных с определенными орбитами (типа Тоды) коприсоединенного представления борелевских подгрупп вещественных расщепимых групп Ли. В частном случае получаются интегрируемые системы с двумя степенями свободы.
Приведем несколько примеров.
(1) Случай $A_{2}$ :
\[
H=q_{1}^{2} p_{1}^{2}+\left(q_{1}^{2}+q_{2}^{2}\right) p_{2}^{2}+q_{1} q_{2} p_{1} p_{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2} \text {. }
\]
(2) Три случая, связанных с группой $G_{2}$ :
(a) $H=q_{1}^{2} p_{1}^{2}+3\left(q_{1}^{2}+q_{2}^{2}\right) p_{2}^{2}+3 q_{1} q_{2} p_{1} p_{2}+\left(q_{1}^{2}+q_{2}^{2}\right)$;
(б) $H=q_{1}^{2} p_{1}^{2}+\left(4 q_{1}^{2}+3 q_{2}^{2}\right) p_{2}^{2}+q_{1}^{4}+4 q_{1}^{2} q_{2}^{2}+3 q_{2}^{4}$;
(в) $H=q_{1}^{2} p_{1}^{2}+\left(3 q_{1}^{2}+q_{2}^{2}\right) p_{2}^{2}-q_{1} q_{2} p_{1} p_{2}+q_{1}^{6}-\frac{3}{4} q_{2}^{6}$.
Ж. Движение по поверхности. 1. Движение по поверхности вращения*). Эту поверхность можно задавагь, например, уравнением
\[
z=f(\rho), \quad \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, \quad x=\rho \cos \varphi, \quad y=\rho \sin \varphi .
\]

Гамильтониан такой системы имеет вид
\[
H=\frac{1}{2}\left(\frac{p_{\rho}^{2}}{1+\left(f^{\prime}(\rho)\right)^{2}}+\frac{p_{\varphi}^{2}}{\rho^{2}}\right) .
\]

Координата $\varphi$ здесь является циклической и соответственно величина $p_{\varphi}=\rho^{2} \dot{\varphi}$ является интегралом движения.
Заметим, что при движении в потенциальном поле вида
\[
U=U(\rho, \varphi)=A(\rho)+\frac{B(\varphi)}{\rho^{2}}
\]

система обладает интегралом движения
\[
I=\frac{1}{2} p_{\varphi}^{2}+B(\varphi)
\]

и интегрируется в квадратурах [35].
Задача. Проинтегрирювать уравнения движения свободной частицы:
a) на поверхности шара;
б) на поверхности параболоида в ращения;
в) на поверхности конуса.
Детали вычислений можно найти в книге [35].
*) Движение по поверхности вращения впервые исследовано Ньютоном [27].

Задача. Проинтегрировать уравнения движения частицы на поверхности вращения в поле тяжести, направленном по оси симметрии системы, для поверхностей, задаваемых уравнениями:
а) $9 a \rho^{2}=z(z-3 a)^{2}$;
б) $2 \rho^{4}+3 a^{2} \rho^{2}-2 z a^{2}=0$;
в) $\left(\rho^{2}-a z-\frac{1}{2} a^{2}\right)^{2}=a^{3} z$.
Ука з а н и е. В этих примерах интегрирование выполняется в эллиптических функциях. Случаи а) и б) были рассмотрены в работе [219]. Относительно других случаев интегрируемости в эллиптических функциях см. работу [280].
2. Свободное движение по поверхности эллипсоида с полуосями $a, b, c$ (Якоби [210]). Поверхность эллипсоида задается уравнением
\[
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \text {. }
\]

Система допускает квадратичный интеграл движения (Иоахимсталь [213])
\[
I=\left(\frac{x^{2}}{a^{4}}+\frac{y^{2}}{b^{4}}+\frac{z^{2}}{c^{4}}\right)\left[\frac{\dot{x}^{2}}{a^{2}}+\frac{\dot{y}^{2}}{b^{2}}+\frac{\dot{z}^{2}}{c^{2}}\right],
\]

а также интегралы
\[
\begin{array}{l}
I_{j}=\frac{1}{2} p_{j}^{2}+\Sigma_{k}^{\prime}\left(\alpha_{j}-\alpha_{k}\right)^{-1} l_{j k}^{2}, \\
\alpha_{1}=a^{2}, \quad \alpha_{2}=b^{2}, \quad \alpha_{3}=c^{2}, \quad l_{j k}=\left(x_{j} p_{k}-x_{k} p_{j}\right), \\
H=I_{1}+I_{2}+I_{3},
\end{array}
\]

находящиеся в инволющии (К. Уленбек [300]).
3. Цвижение по поверхности сферы в поле квадратичного потенциала (К. Нейман [254])
\[
U=\frac{1}{2}\left(\lambda_{1} x_{1}^{2}+\lambda_{2} x_{2}^{2}+\lambda_{3} x_{3}^{2}\right) .
\]

Система допускает квадратичный интеграл движения
\[
I=\frac{1}{2} \Sigma \lambda_{j} p_{j}^{2}+\frac{1}{2}\left(\Sigma p_{j}^{2}\right)\left(\Sigma \lambda_{k} q_{k}^{2}\right)+\frac{1}{2} \Sigma \lambda_{j}^{2} q_{j}^{2},
\]

а также интегралы
\[
I_{j}=\frac{1}{2}\left(p_{j}^{2}+\lambda_{j} q_{j}^{2}\right)+\sum_{k} \frac{1}{\lambda_{j}-\lambda_{k}} l_{j k}^{2},
\]

находящиеся в инволюции (К. Уленбек [300]).
3. Системы с нелинейным фазовым пространством. Мы рассмотрим здесь движение твердого тела с неподвижной точкой в поле тяжести и движение твердого тела в идеальной жидкости.

Обе эти системы связаны с группой Е (3) – группой движений*) трехмерного евклидова пространства $[93,99]$. Динамическими переменными здесь являются величины $l_{1}, l_{2}, l_{3}, p_{1}, p_{2}, p_{3}$. Скобки Пуассона для них имеют вид
\[
\left\{l_{i}, l_{j}\right\}=\epsilon_{i j k} l_{k}, \quad\left\{l_{i}, p_{j}\right\}=\epsilon_{i j k} p_{k}, \quad\left\{p_{i}, p_{j}\right\}=0,
\]

а уравнения движения
\[
\dot{l}_{j}=\left\{\dot{H}, l_{j}\right\}, \quad \dot{p_{j}}=\left\{H, p_{j}\right\} .
\]

Величины $I_{1}=\mathrm{p}^{2}$ и $I_{2}=1 \mathrm{p}$ инвариантны относительно действия группы Е(3). Приравнивая их константам, получаем четырехмерное многообразие, топологически эквивалентное кокасательному расслоению $T^{*} \S^{2}$ к двумерной сфере $\S^{2}$. Таким образом, рассматриваемая система относится к числу систем с двумя степенями свободы.
Приведем несколько примеров таких систем.
1) Волчок Лагранжа (Лагранж [22]):
\[
H=\frac{1}{2}\left[A\left(l_{1}^{2}+l_{2}^{2}\right)+C l_{3}^{2}\right]+\gamma p_{3} \text {. }
\]

Как следствие симметрии относительно вращений вокруг третьей оси, система обладает интегралом
\[
I=l_{3} \text {. }
\]
2) Волчок Ковалевской (С. Ковалевская $[224,225]$ ):
\[
H=\frac{A}{2}\left(l_{1}^{2}+l_{2}^{2}+2 l_{3}^{2}\right)+\gamma_{1} p_{1}+\gamma_{2} p_{2} .
\]

Дополнительный интеграл движения имеет вид
\[
I=\left|A\left(l_{1}+i l_{2}\right)^{2}+\left(\gamma_{1}+i \gamma_{2}\right)\left(p_{1}+i p_{2}\right)\right|^{2} \text {. }
\]
3) Движение твердого тела в идеальной жидкости. Случай Кирхгофа [218] :
\[
\begin{array}{l}
H=\frac{A_{1}}{2}\left(l_{1}^{2}+l_{2}^{2}\right)+\frac{A_{3}}{2} l_{3}^{2}+B_{1}\left(l_{1} p_{1}+l_{2} p_{2}\right)+ \\
+B_{3} l_{3} p_{3}+\frac{C_{1}}{2}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right)+\frac{C_{3}}{2} p_{3}^{2} .
\end{array}
\]

Так же, как и в случае волчка Лагранжа,
\[
I=l_{3} \text {. }
\]
4) Движение твердого тела в идеальной жидкости. Случай Клебша [152]:
\[
2 H=\left(A_{1} l_{1}^{2}+A_{2} l_{2}^{2}+A_{3} l_{3}^{2}\right)+\left(C_{1} p_{1}^{2}+C_{2} p_{2}^{2}+C_{3} p_{3}^{2}\right),
\]

где коэффициенты $A_{j}$ и $C_{k}$ не являются независимыми, а удовлетворяют
*) Эта группа, однако, имеет различную физическую интерпретацию для этих двух случаев.

соотношению
\[
A_{1}^{-1}\left(C_{2}-C_{3}\right)+A_{2}^{-1}\left(C_{3}-C_{1}\right)+A_{3}^{-1}\left(C_{1}-C_{2}\right)=0 .
\]

Дополнительный интеграл движения имеет вид
\[
I=\left(l_{1}^{2}+l_{2}^{2}+l_{3}^{2}\right)-\left(B_{1} p_{1}^{2}+B_{2} p_{2}^{2}+B_{3} p_{3}^{2}\right), \quad B_{1}-B_{2}=\frac{C_{1}-C_{2}}{A_{3}}, \ldots
\]
5) Движение твердого тела в идеальной жидкости. Случай Стеклова [288] :
\[
2 H=\sum_{j}\left(A_{j} l_{j}^{2}+C_{j} p_{j}^{2}+2 B_{j} l_{j} p_{j}\right) .
\]

Коэффициенты $A_{j}, B_{k}$ и $C_{l}$ удовлетворяют условиям
\[
B_{j}=\mu\left(A_{1} A_{2} A_{3}\right) A_{j}^{-1}+v, \quad C_{1}=\mu^{2} A_{1}\left(A_{2}-A_{3}\right)^{2}+v^{\prime}, \ldots
\]

Дополнительный интеграл
\[
2 I=\sum_{j}\left(l_{j}^{2}-2 \mu\left(A_{j}+
u\right) l_{j} p_{j}\right)+\mu^{2}\left(\left(A_{2}-A_{3}\right)^{2}+v^{\prime \prime}\right) p_{1}^{2}+\ldots
\]

Отметим, что во всех рассмотренных случаях (за исключением волчка Ковалевской) дополнительный интеграл движения линеен или квадратичен по импульсам (или динамическим переменным). С этим обстоятельством связана возможность интегрирования уравнений движения методом разделения переменных (см. следующий раздел). В случае С. Ковалевской приходится использовать более сложный метод (см. [224]).

В настоящее время известны системы (помимо системы Гарнье и системы С. Ковалевской), для которых дополнительный интеграл движения имеет более высокую степень по импульсам. Приведем два примера таких систем. Это системы трех взаимодействующих частиц на прямой с потенциальной энергией
\[
U\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left[v\left(x_{1}-x_{2}\right)+v\left(x_{2}-x_{3}\right)+v\left(x_{3}-x_{1}\right)\right],
\]

где
6) $v(x)=g^{2} \mathscr{P}(x)$,
$\mathscr{P}(x)$ – функция Вейерштрасса, и
7) $v(x)=g^{2} e^{x}$.
Это – так называемая система Тоды [298, 299].
В обоих случаях интеграл движения кубичен по импульсам и имеет вид
\[
I=p_{1} p_{2} p_{3}-p_{1} v\left(x_{2}-x_{3}\right)-p_{2} v\left(x_{3}-x_{1}\right)-p_{3} v\left(x_{1}-x_{2}\right) .
\]

Относительно интегрирования системы 6) см. работу [85], а относительно системы 7) см. [214].