Как было показано ранее (см. раздел 1.4), орбиты коприсоединенного представления групп Ли являются однородными симплектическими многообразиями, и потому они — естественные кандидаты на фазовые пространства гамильтоновых систем.

В этом разделе мы рассмотрим гамильтоновы системы с фазовыми пространствами такого типа со стандартной скобкой Ли-Пуассона на них. Уравнения движения подобных систем во многих случаях допускают представление Лакса;такие системы обладают высокой симметрией и в ряде случаев оказываются вполне интегрируемыми.

Естественным аппаратом цля изучения этого типа систем является теория групп и алгебр Ли; такой теоретикогрупповой подход интенсивно развивался в последние годы как для конечномерных, так и для бесконечномерных гамильтоновых систем. Различные аспекты и обобщения этого подхода, а также ссылки на статьи, имеющие отношение к данному вопросу, можно найти в работах $[30,34,87,102,104,109-111,122,181,182$, $216,223,271-273,292,293]$.

Перейдем к рассмотрению конструкции этого класса гамильтоновых систем.

Пусть $G$ — произвольная группа Ли, $\mathscr{G}$ — ее алгебра Ли, $\mathscr{G}^{*}$ — пространство, дуальное к $\mathscr{G}$, т.е. пространство линейных функционалов на $\mathscr{G}$. В пространстве $\mathscr{F}\left(\mathscr{G}^{*}\right)$ гладких функций на $\mathscr{G}^{*}$ введем, следуя [54-57], скобку Пуассона согласно формуле
\[
\{F, G\}=C_{i k}^{l} x_{l} \partial^{j} F \partial^{k} G .
\]

Здесь $x_{j}$ — координаты точки $x$ в пространстве $\mathscr{E}^{*}, C_{j k}^{l}$ — структурные постоянные алгебры $\mathscr{G}$ (относительно деталей этой конструкции см. раздел 1.2).

Пространство $\mathscr{F}\left(\mathscr{G}^{*}\right)$ приобретает после этого структуру бесконечномерной алгебры Ли. Величины $\partial^{j} F$ в (1.11.1) представляют координаты некоего элемента $
abla F$ алгебры Ли $\mathscr{G}$ — градиента функции $F$ — и выражение (1.11.1) для скобки Пуассона теперь можно переписать в бескоординатной форме
\[
\{F, G\}(x)=\langle x,[
abla F,
abla G]\rangle,
\]

где $\langle x, \xi\rangle$ — значение функционала $x$ в точке $\xi \in \mathscr{G}$.
В пространстве, снабженном скобкой Пуассона, мы можем рассмотреть динамическую систему, задаваемую уравнением
\[
\dot{x}=\{H, x\} .
\]

Расписывая это уравнение по компонентам, получаем
\[
\dot{x}_{j}=-C_{j k}^{l} x_{l} \partial^{k} H .
\]

Приведем еще одну форму записи этого уравнения:
\[
\dot{x}:=-\left(\operatorname{ad}_{
abla H}^{*}\right) \cdot x, \quad x \in \mathscr{G}^{*},
\]

где $\operatorname{ad}_{\xi}^{*}(\xi \in \mathscr{G})$ — оператор коприсоединенного представления алгебры Ли $\mathscr{G}:$
\[
\operatorname{ad}_{\xi}^{*}: \mathscr{G}^{*} \rightarrow \mathscr{G}^{*} .
\]

Таким образом, уравнения гамильтоновой динамики всегда имеют вид (1.11.5). Они, однако, не имеют вид уравнений Лакса, поскольку действие оператора $\mathrm{ad}_{\xi}^{*}$ не сводится, вообще говоря, к вычислению коммутатора.

Предположим теперь дополнительно, что на алгебре Ли $\mathscr{G}$ существует невырожденное, инвариантное относительно присоединенного представления скалярное произведение ( , ). В этом случае мы можем отождествить пространство $\mathscr{G}^{*}$ с $\mathscr{G}$ с помощью соотношения
\[
\left\langle y^{*}, \xi\right\rangle=(y, \xi) .
\]

Здесь $\xi \in \mathscr{G}, y^{*} \in \mathscr{G}^{*}$ и элемент $y \in \mathscr{G}$ отождествляется с $y^{*}$. Инвариантность скалярного произведения эквивалентна тождеству
\[
([c, b], a)+(b,[c, a])=0,
\]

и потому в рассматриваемом случае
\[
\{F, G\}\left(x^{*}\right)=\left\langle x^{*},[
abla F,
abla G]\right\rangle=(x,[
abla F,
abla G])=(
abla G[x,
abla F]),
\]

где мы отождествили $x^{*}$ и $x$ с помощью (1.11.6). Уравнения движения (1.11.4) теперь нетрудно преобразовать к виду
\[
\dot{x}=[x, \quad
abla H]=-\operatorname{ad}
abla H \cdot x, \quad x \in \mathscr{G} .
\]

Таким образом, в рассматриваемом случае динамика разыгрывается в пространстве $\mathscr{G}$ и уравнения динамики всегда приводятся к специальному виду Лакса
\[
\dot{x}=-[M, x], \quad M=
abla H .
\]

Уравнения (1.11.10) являются обобщением уравнений Эйлера, описывающих вращение твердого тела вокруг неподвижной точки. В этом случае алгебра Ли $\mathscr{G}$ — алгебра Ли группы вращений трехмерного пространства, а гамильтониан $H$ квадратичен по элементам этой алгебры. Описание вращения $n$-мерного твердого тела с помощью таких уравнений было дано впервые Арнольдом [118,67].

Уравнения (1.11.5) (или (1.11.9)) задают динамику в пространстве $\mathscr{G}^{*}$ (соответственно в пространстве $\mathscr{G}$ ). Эти уравнения обычно допускают ряд интегралов движения, так что реальное движение происходит на некоем подмногообразии пространства $\mathscr{G}^{*}$ (или $\mathscr{G}$ ), а именно на орбите коприсоединенного (присоединенного) представления группы $G$.

Действительно, рассмотрим множество $I\left(\mathscr{G}^{*}\right)(I(\mathscr{G}))$ функций $f_{\alpha}(x)$, таких, что
\[
\left\{f_{\alpha}(x), x_{j}\right\}=0 \quad \text { или } C_{j k}^{l} x_{l} \partial^{k} f_{\alpha}=0, \quad j=1,2, \ldots, n .
\]

Эти функции являются инвариантами коприсоединенного (присоединенного) представления и, как нетрудно видеть, обладают тем свойством, что
\[
\left\{f_{\alpha}(x), h(x)\right\}=0
\]

для произвольной функции $h(x)$. Это значит, что они являются интегралами движения для произвольной гамильтоновой системы типа (1.11.5) (или (1.11.9) ). Приравнивая эти функщии лостоянным,
\[
f_{\alpha}(x)=c_{\alpha},
\]

мы получаем инвариантное многообразие, которое является орбитой коприсеединенного представления (или же объединением ряда таких орбит).

Для полной интегрируемости такой системы интегралов $\left\{f_{\alpha}\right\}$, разумеется, недостаточно — если динамика происходит на орбите размерности $2 n$, то помимо гамильтониана необходимо иметь еще ( $n-1$ ) интегралов движения в инволюции.

Гамильтоновы системы, допускающие дополнительные интегралы движения, действительно существуют. Описанию конструкции таких систем посвящен следующий раздел.