5.4.1. До сих пор мы рассматривали лишь одномерные многочастичные проблемы. Однако, используя формальный прием (\”комплексификацию\”), можно получить отсюда определенные \”уравнения движения\”, которые напоминают уравнения движения для соответствующих двумерных многочастичных систем [137].

Рассмотрим, например, классическую нерелятивистскую задачу частиц единичной массы, движущихся по двумерной плоскости ( $x, y$ ) и взаимодействующих друг с другом с помощью силы

где
\[
\begin{array}{l}
f_{x}(r)=g r^{-6} x\left(x^{2}-3 y^{2}\right)=g r^{-3} \cos 3 \varphi, \\
f_{y}(r)=g r^{-6} \cdot y \cdot y^{2} .
\end{array}
\]

Здесь $f_{x}$ и $f_{y}$ – это $x$ – и $y$-компоненты силы $f, x$ и $y$ (соответственно $r$ и $\varphi$ ) – декартовы (соответственно полярные) координаты вектора $\mathbf{r}$, связывающего две частицы. Заметим, что модуль силы $f(\mathbf{r})$ зависит лишь от $r$, однако сама сила $f(\mathbf{r})$ не является центральной. Кроме того, эта сила не является консервативной. Тем не менее уравнения движения рассматриваемой многочастичной системы имеют вид
\[
\ddot{r}_{j}=\Sigma_{k}^{\prime}\left[f\left(r_{j k}\right)-\omega^{2} r_{j k}\right],
\]

где
\[
r_{j k}=r_{j}-r_{k} .
\]

Для того чтобы решить их, заметим, что после введения новых координат
\[
z_{j}=x_{j}+i y_{j}
\]

мы получаем
\[
\ddot{z}_{j}=\Sigma_{k}^{\prime}\left(g z_{j k}^{-3}-\omega^{2} z_{j k}\right),
\]
т.е. уравнения движения для системы типа V $A_{n-1}$. Следовательно, решение дается хорошо известными формулами [95] (см. гл. 3).
-5.4.2. Опишем здесь, следуя работе [264], класс гамильтоновых систем, обладающих дополнительными интегралами движения (однако, по-видимому, не являющихся вполне интегрируемыми).
Рассмотрим систему с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{j} p_{j}^{2}+U(q), \quad U(q)=\sum_{\alpha \in R_{+}} g_{\alpha}^{2} v\left(q_{\alpha}\right) .
\]

Здесь $q_{\alpha}=(\alpha, q), R=\{\alpha\}$ – система корней простой алгебры Ли, $R_{+}-$ подсистема положительных корней, $g_{\alpha}$ – константы, равные друг другу для корней равной длины, $v\left(q_{\alpha}\right)$ – вещественная четная функция. Предположим дополнительно, что $v(x)$ – полином от $x^{2}$. Тогда $U(q)$ – полином той же степени (четной), инвариантный относительно действия группы Вейля $W$.

Тогда, как следствие известных результатов относительно алгебры полиномов, инвариантных относительно действия групшы Вейля $w$, мы получаем, что если степень полинома $v(x)$ достаточно мала, то потенциал $U(q)$ зависит лишь от величины $q^{2}=\sum_{\alpha \in R_{+}} q_{\alpha}^{2}$. В этом случае рассматриваемая система инвариантна относительно действия группы $O(n)$. Она обладает поэтому дополнительными интегралами
\[
l_{j k}=\left(q_{j} p_{k}-q_{k} p_{j}\right)
\]

и может быть проинтегрирована стандартным способом.

Приведем таблицу таких случаев, в которой указаны степени полиномов: