Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Одним из важнейних методов изучения интегрируемых динамических систем является так называемый метод обратной задачи рассеяния, или метод изоспектральной деформации. Этот метод возник в известной работе П. Лакса [233] в связи с изучением уравнения Кортевега-де Фриза начатым в знаменитой теперь работе Гарднера, Грина, Крускала и Миуры [177]. Отметим еще важную работу В. Захарова и Л. Фаддеева [77], где было показано, что уравнение Кортевега-де Фриза является бесконечномерной гамильтоновой системой. К динамическим системам с конечным числом степеней свободы метод изоспектральной деформации был применен в работах $[168,88,251]^{*}$ ). Идея метода очень проста. Пусть динамическая система описывается уравнениями Предположим, что нам удалось найти пару матриц $L$ и $M$ (так называемую $L-M$-пару), элементы которых зависят от динамических переменных $x_{\alpha}$ так, что при этом уравнения (1.10.1) эквивалентны уравнению Тогда из (1.10.2) следует, что матрица $L(t)$ в процессе эволюции подвергается преобразованию подобия, Следовательно, собственные значения матрицы $L(t)$ от времени не зависят, или, что эквивалентно, матрица $L(t)$ с течением времени испытывает изоспектральную деформацию. Таким образом, собственные значения матрицы $L(t)$, или, что часто бывает более удобно, симметрические функции от собственных значений, например величины являются интегралами движения. Если при этом удается найти достаточно много функционально независимых интегралов движения и показать, что они находятся в инволюции, т.е. что скобки Пуассона любых двух интегралов равны нулю, то рассматриваемая система является вполне интегрируемой. Интересно отметить, что этот метод применим почти ко всем известным вполне интегрируемым системам. В данном разделе мы ограничимся применением метода изоспектральной деформации к простейшим системам, рассмотренным в предыдущем разделе. Таким образом, мы будем предполагать дополнительно, что к рассматриваемым системам применим метод проектирования. При этом, как мы увидим далее, мы автоматически получаем также и представление Лакса. Следует, однако, иметь в виду, что представление Лакса известно в настоящее время для более широкого класса динамических систем, однако в тех случаях, когда не удается применить метод проектирования, интегрирование уравнений движения представляет нетривиальную проблему, решение которой удается получить лишь в немногих случаях. *) Само название — метод изоспектральной деформации — было введено в работе Мозера [251]. 1. Начнем с рассмотрения свободного движения частицы на плоскости $\left(q_{1}, q_{3}\right)$. Уравнения движения здесь имеют вид Для дальнейшего нам будет более удобно представить вектор q в виде вещественной симметрической матрицы второго порядка где $\sigma_{1}$ и $\sigma_{3}$ — матрицы Паули: С другой стороны, мы можем представить матрицу $\hat{q}(t)$ в виде где Заметим, что матрица $U(\varphi)$ описывает поворот на угол $\varphi$ в плоскости $\left(q_{1}, q_{3}\right)$. Дифференцируя по времени выражение (1.10.8) для $q(t)$, получаем где Дифференцируя теперь выражение (1.10.10), приходим к уравнению то уравнение (1.10.11) выполняется, а уравнение Лакса (1.10.13) при этом эквивалентно уравнениям Гамильтона для системы с гамильтонианом Отметим, что аналогичная конструкция известна и для системы частиц с парным взаимодействием вида $v(q)=g^{2} q^{-2}$. Она была найдена в работе [251]. 2. Рассмотрим динамическую систему в пространстве $X=\{x\}$ — пространстве эрмитовых положительно определенных матриц второго порядка. Пространство $X$ является однородным: на нем транзитивно действует группа $G=\{g\}=S L(2, \mathbb{C})$ — группа комплексных матриц второго порядка. Это действие дается формулой На пространстве $X$ существует $G$-инвариантная метрика и уравнения для геодезических для этой метрики можно записать в виде Нетрудно проверить, что матрица $x(t)$, определенная согласно формуле является решением уравнений (1.10.18). где $U(t)$ — унитарная матрица. Вычисляя с помощью (1.10.20) величины $\dot{x} x^{-1}$ и $x^{-1} \dot{x}$, получаем где Дифференцируя (1.10.21) по времени, приходим к уравнению Лакса Как и в предыдущем случае, нетрудно проверить, что если матрицы $L$ и $M$ имеют вид то уравнение (1.10.22) выполняется, а уравнение Лакса (1.10.24) при этом эквивалентно уравнениям Гамильтона для системы с гамильтонианом Представление Лакса для общего случая системы $n$ частиц, взаимодействующих посредством парного потенциала $v(q)=g^{2} \operatorname{sh}^{-2} q$, было найдено в рабо$\operatorname{tax}[251,133]$, см. гл. 3. где $z(t)$ — верхняя треугольная матрица. Вычисляя с помощью величину $\dot{x} x^{-1}$, получаем где Дифференцируя равенство (1.10.28) по времени с учетом того обстоятельства, что $x(t)$ является геодезической, получаем уравнение Лакса Матрицы $L$ и $M$, выраженные через динамические переменные $p$ и $q$, даются формулами При этом уравнение (1.10.29) удовлетворяется, а уравнение Лакса (1.10.31) эквивалентно уравнениям движения системы с гамильтонианом Метод проектирования справедлив и для цепочки Тоды, состоящей из произвольного числа частиц $[256,97]$. Представление Лакса для цепочки Тоды, состоящей из произвольного числа частиц, было найдено ранее в работах $[168,88]$, см. гл. 4 .
|
1 |
Оглавление
|