Одним из важнейних методов изучения интегрируемых динамических систем является так называемый метод обратной задачи рассеяния, или метод изоспектральной деформации. Этот метод возник в известной работе П. Лакса [233] в связи с изучением уравнения Кортевега-де Фриза
\[
u_{t}=u_{x x x}+u u_{x}=0, \quad u=u(x, t), \quad u_{x}=\frac{\partial u}{\partial x}, \quad u_{t}=\frac{\partial u}{\partial t},
\]

начатым в знаменитой теперь работе Гарднера, Грина, Крускала и Миуры [177]. Отметим еще важную работу В. Захарова и Л. Фаддеева [77], где было показано, что уравнение Кортевега-де Фриза является бесконечномерной гамильтоновой системой.

К динамическим системам с конечным числом степеней свободы метод изоспектральной деформации был применен в работах $[168,88,251]^{*}$ ). Идея метода очень проста. Пусть динамическая система описывается уравнениями
\[
\dot{x}_{\alpha}=F_{\alpha}(x) .
\]

Предположим, что нам удалось найти пару матриц $L$ и $M$ (так называемую $L-M$-пару), элементы которых зависят от динамических переменных $x_{\alpha}$ так, что при этом уравнения (1.10.1) эквивалентны уравнению
\[
\dot{L}=[M, L] \text {. }
\]

Тогда из (1.10.2) следует, что матрица $L(t)$ в процессе эволюции подвергается преобразованию подобия,
\[
\begin{array}{l}
L(t)=U(t) L(0) U^{-1}(t), \\
U^{-1}(t)=U^{+}(t), \quad M=\dot{U} U^{-1} .
\end{array}
\]

Следовательно, собственные значения матрицы $L(t)$ от времени не зависят, или, что эквивалентно, матрица $L(t)$ с течением времени испытывает изоспектральную деформацию. Таким образом, собственные значения матрицы $L(t)$, или, что часто бывает более удобно, симметрические функции от собственных значений, например величины
\[
I_{k}=k^{-1} \operatorname{tr}\left(L^{k}\right),
\]

являются интегралами движения. Если при этом удается найти достаточно много функционально независимых интегралов движения и показать, что они находятся в инволюции, т.е. что скобки Пуассона любых двух интегралов равны нулю, то рассматриваемая система является вполне интегрируемой.

Интересно отметить, что этот метод применим почти ко всем известным вполне интегрируемым системам. В данном разделе мы ограничимся применением метода изоспектральной деформации к простейшим системам, рассмотренным в предыдущем разделе. Таким образом, мы будем предполагать дополнительно, что к рассматриваемым системам применим метод проектирования. При этом, как мы увидим далее, мы автоматически получаем также и представление Лакса.

Следует, однако, иметь в виду, что представление Лакса известно в настоящее время для более широкого класса динамических систем, однако в тех случаях, когда не удается применить метод проектирования, интегрирование уравнений движения представляет нетривиальную проблему, решение которой удается получить лишь в немногих случаях.

*) Само название – метод изоспектральной деформации – было введено в работе Мозера [251].

1. Начнем с рассмотрения свободного движения частицы на плоскости $\left(q_{1}, q_{3}\right)$. Уравнения движения здесь имеют вид
\[
\dot{\mathbf{q}}=\mathbf{p}, \quad \dot{\mathbf{p}}=0 .
\]

Для дальнейшего нам будет более удобно представить вектор q в виде вещественной симметрической матрицы второго порядка
\[
\mathbf{q} \rightarrow \hat{q}=\left(q_{1} \sigma_{1}+q_{3} \sigma_{3}\right),
\]

где $\sigma_{1}$ и $\sigma_{3}$ – матрицы Паули:
\[
\sigma_{1}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right), \quad \sigma_{3}=\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right)
\]

С другой стороны, мы можем представить матрицу $\hat{q}(t)$ в виде
\[
\hat{q}(t)=U(t) Q U^{-1}(t),
\]

где
\[
\begin{array}{l}
Q=\left(\begin{array}{cc}
q & 0 \\
0 & -q
\end{array}\right), U(t)=U(\varphi(t))=\left(\begin{array}{cc}
\cos (\varphi / 2) & \sin (\varphi / 2) \\
-\sin (\varphi / 2) & \cos (\varphi / 2)
\end{array}\right), \\
q=q(t)=\sqrt{q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}, \quad \varphi=\varphi(t) .
\end{array}
\]

Заметим, что матрица $U(\varphi)$ описывает поворот на угол $\varphi$ в плоскости $\left(q_{1}, q_{3}\right)$. Дифференцируя по времени выражение (1.10.8) для $q(t)$, получаем
\[
\dot{\hat{q}}=U(t) L(t) U^{-1}(t)=\hat{p},
\]

где
\[
\begin{array}{l}
L=\dot{Q}+i\left[\begin{array}{ll}
M, Q
\end{array},\right. \\
M=-i U^{-1} \dot{U}=i \dot{U} U^{-1} .
\end{array}
\]

Дифференцируя теперь выражение (1.10.10), приходим к уравнению
\[
\dot{L}+i[M, L]=0,
\]
т.е. к уравнению Лакса. Заметим, что помимо уравнения Лакса (1.10.13) должно также выполняться и уравнение (1.10.11). Нетрудно проверить, что если матрицы $L$ и $M$ имеют вид
\[
L=\left(\begin{array}{cc}
p & g q^{-1} \\
g q^{-1} & -p
\end{array}\right), \quad M=i\left(\begin{array}{cc}
0 & g q^{-2} \\
-g q^{-2} & 0
\end{array}\right),
\]

то уравнение (1.10.11) выполняется, а уравнение Лакса (1.10.13) при этом эквивалентно уравнениям Гамильтона для системы с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2}\left(p^{2}+g^{2} q^{-2}\right) .
\]

Отметим, что аналогичная конструкция известна и для системы частиц с парным взаимодействием вида $v(q)=g^{2} q^{-2}$. Она была найдена в работе [251].

2. Рассмотрим динамическую систему в пространстве $X=\{x\}$ – пространстве эрмитовых положительно определенных матриц второго порядка. Пространство $X$ является однородным: на нем транзитивно действует группа $G=\{g\}=S L(2, \mathbb{C})$ – группа комплексных матриц второго порядка. Это действие дается формулой
\[
g: \quad x \rightarrow g x g^{+} .
\]

На пространстве $X$ существует $G$-инвариантная метрика
\[
d s^{2}=\operatorname{tr}\left(x^{-1} d x x^{-1} d x\right),
\]

и уравнения для геодезических для этой метрики можно записать в виде
\[
\frac{d}{d t}\left(x^{-1} \dot{x}+\dot{x} x^{-1}\right)=0 .
\]

Нетрудно проверить, что матрица $x(t)$, определенная согласно формуле
\[
\begin{array}{l}
x(t)=b \exp \{2 a t\} b^{+}, \quad b \in S L(2, \mathbf{C}), \\
a^{+}=a, \quad \operatorname{tr} a=0,
\end{array}
\]

является решением уравнений (1.10.18).
С другой стороны, эрмитову положительно определенную матрицу $x(t)$ можно представить в виде
\[
x(t)=U(t) \exp (Q(t)) U^{-1}(t),
\]

где $U(t)$ – унитарная матрица. Вычисляя с помощью (1.10.20) величины $\dot{x} x^{-1}$ и $x^{-1} \dot{x}$, получаем
\[
\frac{\dot{x} x^{-1}+x^{-1} \dot{x}}{2}=U(t) L(t) U^{-1}(t),
\]

где
\[
\begin{array}{l}
L(t)=P+\frac{i}{2}\{\exp (-Q) M \exp (Q)-\exp (Q) M \exp (-Q)\}, \\
M=-i U^{-1}(t) \dot{U}(t) .
\end{array}
\]

Дифференцируя (1.10.21) по времени, приходим к уравнению Лакса
\[
\dot{L}+i[M, L]=0 \text {. }
\]

Как и в предыдущем случае, нетрудно проверить, что если матрицы $L$ и $M$ имеют вид
\[
L=\left(\begin{array}{ll}
p & g \operatorname{cth} q \\
g \operatorname{cth} q & -p
\end{array}\right), \quad M=\frac{i g}{\operatorname{sh}^{2} q}\left(\begin{array}{rr}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array}\right),
\]

то уравнение (1.10.22) выполняется, а уравнение Лакса (1.10.24) при этом эквивалентно уравнениям Гамильтона для системы с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2}\left(p^{2}+g^{2} \operatorname{sh}^{-2} q\right) .
\]

Представление Лакса для общего случая системы $n$ частиц, взаимодействующих посредством парного потенциала $v(q)=g^{2} \operatorname{sh}^{-2} q$, было найдено в рабо$\operatorname{tax}[251,133]$, см. гл. 3.
3. В качестве последнего примера рассмотрим ту же динамическую систему в пространстве эрмитовых положительно определенных матриц второго порядка, что и в предыдущем разделе, но вместо формулы $(1.10 .20)$ воспользуемся другой формулой :
\[
x(t)=z(t) \exp (2 Q(t)) z^{+}(t),
\]

где $z(t)$ – верхняя треугольная матрица. Вычисляя с помощью величину $\dot{x} x^{-1}$, получаем
\[
\dot{x} x^{-1}=z L z^{-1},
\]

где
\[
\begin{array}{l}
L=P+M+\exp (Q) M^{+} \exp (-Q), \\
M=z^{-1} \dot{z} .
\end{array}
\]

Дифференцируя равенство (1.10.28) по времени с учетом того обстоятельства, что $x(t)$ является геодезической, получаем уравнение Лакса
\[
\dot{L}=[L, M] \text {. }
\]

Матрицы $L$ и $M$, выраженные через динамические переменные $p$ и $q$, даются формулами
\[
L=\left(\begin{array}{cc}
p & \exp (2 q) \\
1 & -p
\end{array}\right), \quad M=\left(\begin{array}{ll}
0 & \exp (2 q) \\
0 & 0
\end{array}\right) .
\]

При этом уравнение (1.10.29) удовлетворяется, а уравнение Лакса (1.10.31) эквивалентно уравнениям движения системы с гамильтонианом
\[
H=1 / 2\left(p^{2}+\exp (2 q)\right) .
\]

Метод проектирования справедлив и для цепочки Тоды, состоящей из произвольного числа частиц $[256,97]$. Представление Лакса для цепочки Тоды, состоящей из произвольного числа частиц, было найдено ранее в работах $[168,88]$, см. гл. 4 .