В этом разделе будет рассмотрен важный класс фазовых пространств, для которых тензор $\omega^{j k}(x)$ не вырожден. Такие многообразия обладают рядом специфических свойств и называются симплектическими многообразиями.

Определение. Симплектическим многообразием ( $M, \omega$ ) называется гладкое многообразие $M$, на котором задана замкнутая невырожденная дифференциальная 2-форма $\omega$. В локальных координатах $x^{j}$ имеем
\[
\omega=\omega_{j k}(x) d x^{j} \wedge d x^{k} .
\]

Условие невырожденности означает, что $\operatorname{det}\left(\omega_{j k}(x)\right)
eq 0$ во всех точках многообразия $M$, следовательно, существует обратная к $\omega_{j k}(x)$ (кососимметричная) матрица $\omega^{j k}(x)$. Поэтому многообразие $M$ должно быть четномерно.

Условие замкнутости формы $(d \omega=0)$ в локальных координатах имеет вид
\[
\partial_{k} \omega_{i j}+\partial_{i} \omega_{j k}+\partial_{j} \omega_{k i}=0, \partial_{j}=\partial / \partial x^{j} .
\]

Оно эквивалентно условию (1.2.9) дія тензора $\omega^{j k}$; так что мы можем определить пуассонову структуру формулой (1.2.7) или же как
\[
\{F, G\}=\omega\left(X_{F}, X_{G}\right) .
\]

Отметим, что все симплектические многообразия локально устроены одинаково. Точную формулировку этого утверждения дает

Теорема Дарбу $[155,1]$ *). Пусть $x$ – произвольная точка симплектического моногообразия ( $M, \omega$ ). Тогда в некоторой окрестности $x$ можно выбрать такую систему локальных координат $\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right.$, $q^{1}, \ldots, q^{n}$ ), что форма $\omega$ примет стандартный вид
\[
\omega=\sum_{j=1}^{n} d p_{j} \wedge d q^{j}
\]

С помощью этой теоремы можно распространить на все симплектические многообразия любое утверждение .окального характера, инвариантное относительно симплектических преобразований и доказанное для стандартного фазового пространства ( $M=\mathbb{R}^{2 n}, \omega=\sum_{j=1}^{n} d p_{j} \wedge d q^{j}$ ). В частности, отсюда сразу же следует, что любые два симплектических многообразия одинаковой размерности локально симплектически изоморфны друг другу. Относительно геометрии симплектических пространств см., например, $[1,3,9,40,66]$. Заметим, что общее пуассоново многообразие с вырожденной пуассоновой структурой $\omega^{j k}$ расслаивается на симплектические подмногообразия, на каждом из которых тензор $\omega^{j k}$ уже не вырожден (см. [79, 307]).

Симплектические многообразия обладают специфическими топологическими свойствами. Отметим лишь одно из них.

Пусть $(M, \omega)$ – компактное симплектическое многообразие размерности $2 n$. Тогда внешняя $n$-степень формы $\omega-\omega^{n}$ является формой объема этого многообразия, так что класс когомологий де Рама $\left[\omega^{n}\right]$ в $H^{2 n}(M, \mathbb{R})$, к которому принадлежит форма $\omega^{n}$, отличен от нуля. Заметим, что при этом все степени формы $\omega$ вплоть до $\omega^{n}$ должны быть отличны от нуля и, следовательно, все группы когомологий $H^{2 j}(M, \mathbb{R})$, $j=1, \ldots, n$, должны быть нетривиальны.
Отметим три больших класса симплектических многообразий.
1. Если $N$ – произвольное многообразие, то кокасательное расслоение $T^{*} N$, рассматриваемое как многообразие, несет на себе каноническую симплектическую структуру $\omega$, являющуюся обобщением структуры на пространстве $\mathbb{R}^{2 n} \approx T^{*} \mathbb{R}^{n}[1,40]$.
2. Любое гладкое комплексное алгебраическое многообразие $M$, т.е. многообразие, заданное системой полиномиальных уравнений в комплексном проективном пространстве $\mathbb{C} P^{N}$, является симплектическим и, более того, обладает естественной симплектической структурой [1].

Действительно, как хорошо известно, $N$-мерное комплексное пространство $\mathbb{C} P^{N}$ является симплектическим многообразием с канонической 2-формой $\Omega$. Пусть $i: M \rightarrow \mathbb{C} P^{N}$ – вложение комплексного многообразия $M$ в пространство $\mathbb{C} P^{N}$. Такое отображение индуцирует отображение $i^{*}$ в пространстве форм $i^{*}: H^{*}\left(\mathbb{C} P^{N}\right) \rightarrow H^{*}(M)$, и мы можем

*) Другой вариант теоремы Дарбу имеется в работе [305].

построить 2-форму $\omega$ на $M$
\[
\omega=i^{*} \Omega \text {. }
\]

Можно показать, что эта форма является замкнутой и невырожденной и, следовательно, задает симплектическую структуру на $M$ (см. [1]).

Известно также (см., например, [37]), что любое гладкое комплексное алгебраическое многообразие является кэлеровым многообразием. Это значит, что многообразие $M$ допускает кэлерову метрику, т.е. эрмитову метрику
\[
d s^{2}=h_{\mu \bar{
u}} d z^{\mu} d \bar{z}^{
u}, \bar{h}_{\mu \bar{
u}}=h_{
u \bar{\mu}},
\]

мнимая часть которой
\[
\omega=\frac{1}{2 \mathrm{i}} h_{\mu \bar{
u}} d z^{\mu} \wedge d \bar{z}^{
u}
\]

является замкнутой 2-формой. Эту форму и можно выбрать в качестве симплек тической формы многообразия $M$.

Таким образом, не только алгебраическое, но и любое кэлерово многообразие является симплектическим. Обратное утверждение, однако, не верно. Именно, В. Терстоном был найден пример четырехмерного компактного симплектического неодносвязного многообразия, не являющегося кэлеровым (см. [296, 66] и приложение А). Существуют примеры и односвязных симплектических некэлеровых многообразий ([244] и приложение A).
3. Еще одним важным классом симплектических многообразий являются орбиты коприсеединенного представления групп Ли [17].

Пусть $G$ – группа Ли, $\mathscr{G}$ – ее алгебра Ли, $\mathscr{G} *$ – пространство, дуальное к $\mathscr{G}$, т.е. пространство линейных функционалов на $\mathscr{G}$. Группа $G$ действует естественно на алгебре Ли $\mathscr{G}$, и это действие называется присоединенным представлением Ad группы $G$. Соответственно в пространстве $\mathscr{G}^{*}$ действует коприсоединенное представление $\mathrm{Ad}^{*}$ группы $G$. Действуя на какую-либо точку $f$ пространства $\mathscr{G}^{*}$ операторами $\mathrm{Ad}^{*}(g)$ для всех $g$, получим орбиту $\mathcal{O}_{f}$ коприсоединенного представления, проходящую через точку $f$. Любая орбита является симплектическим многообразием и форма $\omega^{f}$ на ней задается условием
\[
\omega^{f}\left(X_{\xi}, X_{\eta}\right)=\langle f,[\xi, \eta]\rangle,
\]

где $\xi$ и $\eta \in \mathscr{G}, X_{\xi}$ и $X_{\eta}$ – соответствующие им векторные поля на орбите, взятые в точке $x,\langle f, \xi\rangle$ – значение функционала $f$ на элементе $\xi \in \mathscr{G}$. Более подробно этот класс симплектических многообразий будет рассмотрен в разделе 1.4. Здесь мы отметим лишь, что любая орбита коприсоединенного представления компактной группы Ли является кэлеровым многообразием [126].

Отметим еще следующий способ построения новых симплектических многообразий. Пусть на симплектическом многообразии $M$ действует дискретная подгруппа симплектических преобразований $\Gamma=\{\gamma\}$, причем это действие является эффектинным (т.е. лишь единичный элемент $e$ группы $\Gamma$ действует как тождественное преобразование) и не имеет неподвижных точек (т.е. при $\gamma
eq e$ для всех $x \in M, \gamma x eq x$ ). Тогда фактор-пространство $\tilde{M}=M / \Gamma$ является гладким симплектическим многообразием. Отметим, что если многообразие $M$ односв язно, то фундаментальная группа $\pi_{1}$ многообразия $\widetilde{M}$ изоморфна группе $\Gamma: \pi_{1}(\tilde{M})=\Gamma$, а первая группа когомологий $H^{1}(\widetilde{M}, \mathbb{Z}) \approx \Gamma /[\Gamma, \Gamma]$, где $[\Gamma, \Gamma]$ – коммутант группы $\Gamma$.
Примеры
1. Пусть $M=\mathbb{R}^{2 n}$ – евклидово пространство размерности $2 n$ :
\[
M=\left\{x: x=(p, q), p=\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right), q=\left(q^{1}, \ldots, q^{n}\right)\right\} .
\]

Пространство $M$ становится симплектическим после задания на нем стандартной 2-формы
\[
\omega=d p_{j} \wedge d q^{j} .
\]
2. $M=\mathbb{R}^{1} \times S^{1}$ – двумерный цилиндр с координатами $p \in \mathbb{R}^{1}, q \in$ $\in S^{1}, 0 \leqslant q<2 \pi$ ( $S^{1}$ – окружность). Здесь
\[
\omega=d p \wedge d q .
\]

Многообразие $M$ получается путем факторизации двумерной плоскости $\{(p, q)\}$ по дискретной подгруппе сдвигов $\Gamma=\left\{\gamma_{n}\right\}$, где $\gamma_{n}:(p, q) \rightarrow$ $\rightarrow(p, q+2 \pi n)$.
3. $M=T^{2}=S^{1} \times S^{1}$ – двумерный тор с координатами $0 \leqslant q<2 \pi$, $0 \leqslant p<2 \pi$; форма $\omega$ имеет вид (1.3.9). Это простейший пример компактного симплектического многообразия. Это пространство также получается из двумерной плоскости путем факторизации по подгруппе $\Gamma=$ $=\left\{\gamma_{m n}\right\}$, где $\gamma_{m n}:(p, q) \rightarrow(p+2 \pi m, q+2 \pi n)^{-}$.
4. $M=S^{2}$ – двумерная сфера с обычными координатами $\theta, \varphi$, $0 \leqslant \theta \leqslant \pi, 0 \leqslant \varphi<2 \pi$ и элементом длины
\[
d s^{2}=d \theta^{2}+\sin ^{2} \theta d \varphi^{2} .
\]

Форма $\omega$ определяет элемент площади на сфере:
\[
\omega=\sin \theta d \theta \wedge d \varphi .
\]

Если с помощью стереографической проекции отобразить сферу $S^{2}$ на плоскость Римана комплексной переменной $z$,
\[
z=x+\mathrm{i} y=\operatorname{ctg} \frac{\theta}{2} e^{i \varphi},
\]

то внешняя форма принимает вид
\[
\omega=-2 i\left(1+|z|^{2}\right)^{-2} d z \wedge d \bar{z} .
\]

Отметим, что многообразие $M$ является неплоским (нелинейным) компактным симплектическим многообразием.
5. Многообразия в примерах 3 и 4 являются частными случаями более общего класса симплектических многообразий. Именно, любое двумерное многообразие с 2-формой $\omega$, нигде не обращающейся в нуль на нем, является симплектическим.
6. $M=\mathcal{L}^{2}$ – плоскость Лобачевского, которую можно реализовать, например, в виде единичного круга $D=\{z:|z|<1\}$ на плоскости комплексного переменного $z$. Форма $\omega$ имеет вид
\[
\omega=(-2 i)\left(1-|z|^{2}\right)^{-2} d z \wedge d \bar{z} .
\]

Отметим, что область $D$ можно рассматривать как стереографическую проекцию верхней полости двухполостного гиперболоида, вложенного в терхмерное псевдоевклидово пространство.
7. Пусть $M$ – орбита коприсоединенного представления Е(3) – группы движений трехмерного евлклидова пространства. Как уже отмечалось ранее, орбита $M$ выделяется в шестимерном пространстве с координатами $x_{j}$ и $y_{k}, j, k=1,2,3$, уравнениями
\[
y^{2}=a^{2},(x y)=a b .
\]

Скобка Пуассона имеет вид (1.2.30) и на многообразии $M$ невырождена. Замена
\[
z_{j}=x_{j}-\frac{b}{a} y_{j}
\]

устанавливает изоморфизм $M$ с кокасательным расслоением $T^{*} S^{2}$ к двумерной сфере $S^{2}\left\{y, z: y^{2}=a^{2},(z y)=0\right\}$. Оказывается, что скобку Пуассона на $T^{*} S^{2}$, индуцированную скобкой (1.2.30), можно глобально привести к виду (1.2.21). Соответствующая замена (см. [93, 14]) имеет вид
\[
y_{1}=a \cos \theta \cos \psi, \quad y_{2}=a \cos \theta \sin \psi, \quad y_{3}=a \sin \theta,
\]
\[
z_{1}=y_{\psi} \operatorname{tg} \theta \cos \psi-y_{\theta} \sin \psi, z_{2}=y_{\psi} \operatorname{tg} \theta \sin \psi+y_{\theta} \cos \psi, z_{3}=-y_{\psi},
\]

где
\[
-\frac{\pi}{2} \leqslant \theta<\frac{\pi}{2}, \quad 0 \leqslant \psi<2 \pi .
\]

Из формулы (1.3.17) следует, что
\[
\begin{array}{l}
\{\theta, \psi\}=\left\{y_{\theta}, \psi\right\}=\left\{y_{\psi}, \theta\right\}=0, \quad\left\{\theta, y_{\theta}\right\}=\left\{\psi, y_{\psi}\right\}=1, \\
\left\{y_{\theta}, y_{\psi}\right\}=b \cos \theta,
\end{array}
\]

а соответствующая 2-форма $\omega$ имеет вид
\[
\omega=d \theta \wedge d y_{\theta}+d \psi \wedge d y_{\psi}+b \cos \theta d \theta \wedge d \psi=d \eta^{j} \wedge d \xi_{j}+F,
\]

где
\[
\eta^{1}=\theta, \quad \eta^{2}=\psi, \quad \xi_{1}=y_{\theta}, \quad \xi_{2}=y_{\psi}, \quad F=b \cos \theta d \theta \wedge d \psi .
\]

Интеграл от формы $F$ (или $\omega$ ) по базисному циклу $\left[S^{2}\right] \in H_{2}\left(T^{*} S^{2}\right)=$ $=\mathbb{Z}$ имеет вид
\[
\iint_{S^{2}} F=\iint_{S^{2}} \omega=4 \pi b .
\]

Таким образом, мы получаем стандартную скобку Пуассона на $T^{*} S^{2}$, дополнительно искаженную магнитным полем $F$. При $b
eq 0$ эффективное магнитное поле отлично от нуля и представляет собой \”монополь Дирака\” (неквантованный).

как уже отмечалось выше, симплектические многообразия являются естественными фазовыми пространствами для гамильтоновых систем. Рассмотрим простейшие свойства таких систем (относительно подробного рассмотрения см. монографии $[1,2,40]$ ).

Пусть многообразие $M$ – симплектическое с формой $\omega=\omega_{j k}(x) d x^{j} \wedge$ $\wedge d x^{k}$. Наличие тензоров $\omega_{j k}$ и $\omega^{k l}$ позволяет установить соответствие между 1-формами $\theta=a_{j}(x) d x^{j}$ и векторными полями $X=\left\{X^{j}\right\}$ на $M$. Заметим, что векторное поле $X$ можно рассматривать как дифференциальный оператор первого порядка на $M$ :
\[
X=X^{j} \partial_{j}, \partial_{j}=\partial / \partial x^{j} .
\]

При этом векторному полю $X=X^{j} \dot{\partial}_{j}$ соответствует 1-форма $\theta=\omega(X)=$ $=\omega_{j k} X^{j} d x^{k}$.

Определение 1. Векторное поле $X$ на симплектическом многообразии ( $M, \omega$ ) называется гамильтоновым, если соответствующая ему 1-форма $\theta=\omega(X)=a_{j} d x^{j}$ является замкнутой.

В локальных координатах $x^{j}$ условие гамильтоновости поля $X=X^{j} \partial_{j}$ имеет вид
\[
\partial_{k} a_{j}-\partial_{j} a_{k}=0, a_{j}=\omega_{j k} X^{k} .
\]

Нетрудно видеть, что любое гамильтоново векторное поле $X$ сохраняет форму $\omega$ :
\[
L_{X} \omega=0,
\]

где $L_{X}$ – производная по направлению поля $X$. Отметим, что обратное утверждение также справедливо.

При некоторых дополнительных предположениях гамильтоново векторное поле $X$ генерирует однопараметрическую группу $\left\{g_{t}\right\}$ симплектических преобразований многообразия $M$ – фазовый поток. Такой поток оставляет инвариантной форму $\omega$, т.е. $g_{t}^{*} \omega=\omega$.

Определение 2. Векторное поле $X$ называется строго гамильтоновым, если соответствующая ему форма $\theta=\omega(X)$ является точной, т.е. $\omega(X)=d H$, где $H-$ функция на симплектическом многообразии $M$ (функция Гамильтона, или гамильтониан) .

Обратно, если $H$ – функция на $M$, то векторное поле $X_{H}=\omega^{-1} \cdot d H$, соответствующее 1-форме, является строго гамильтоновым.

Приведем простой пример гамильтонова векторного поля, не являющегося строго гамильтоновым. Пусть $M=S^{1} \times S^{1}$ – двумерный тор, $\omega=d p \wedge d q, 0 \leqslant p<2 \pi, 0 \leqslant q<2 \pi$. Поле $X=a \frac{\partial}{\partial q}+b \frac{\partial}{\partial p}$ ( $a$ и $b-$ константы) является гамильтоновым, но не строго гамильтоновым. Нетрудно видеть, что это связано с топологическими свойствами многообразия $M$, а именно с тем, что первая группа когомологий $H^{1}(M$; $\mathbb{R})$ нетривиальна: $H^{1}(M ;$ 匹R $)
eq 0$.

Мы будем в основном рассматривать случаи, когда поле $X$ строго гамильтоново и динамика на $M$ задается функцией Гамильтона $H(x)$, а уравнения-динамики в локальных координатах имеют вид
\[
\omega_{j k} \dot{x}^{k}=\partial_{j} H \text { или } \dot{x}^{k}=\omega^{k l} \partial_{l} H .
\]

Еще раз отметим, что такая форма записи уравнений была впервые использована (в частном случае) Лагранжем в 1808 г. (см. [230, 231]). Пример
Пусть $M=\mathbb{R}^{2 n}, \omega=d p_{j} \wedge d q^{j}, H=H(p, q)$. Тогда уравнения динамики имеют вид обычных уравнений Гамильтона
\[
\dot{p}_{j}=-\frac{\partial H}{\partial q^{j}}, \quad \dot{q}^{k}=\frac{\partial H}{\partial p_{k}} .
\]

Пусть $X_{H}$ – строго гамильтоново векторное поле, порожденное функцией Гамильтона $H$. Тогда, как нетрудно видеть, поток, генерируемый $X_{H}$, оставляет функцию $H$ инвариантной:
\[
X_{H} \cdot H=\omega\left(X_{H}, X_{H}\right)=0 .
\]

Иными словами, функция $H$ (энергия системы) не зависит от времени является интегралом движений уравнений динамики.

Далее, поскольку векторные поля можно рассматривать как дифференциальные операторы 1-го порядка на $M$, для них определена операция коммутирования, относительно которой они образуют алгебру Ли. Эта алгебра Ли бесконечномерна. Отметим, что коммутатор двух гамильтоновых векторных полей является строго гамильтоновым векторным полем. Таким образом, строго гамильтоновы векторные поля образуют инвариантную подалгебру этой алгебры. Факторалгебра одной алгебры по другой является алгеброй одномерных когомологий $H^{1}(M, \mathbb{R})$ пространства $M$.

Отметим еще, что в рассматриваемом нами случае для двух произвольных функций $F$ и $H$ на $M$ имеет место тождество
\[
X_{\{F, H\}}=\left[X_{F}, X_{H}\right] .
\]