Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Уже из простейшего примера было видно, что скобки Пуассона играют важную роль в гамильтоновой механике. Здесь мы рассмотрим понятие пуассоновой структуры дія систем общего вида. (Относитсльно использования нестандартных пуассоновых структур для описания конкретных физических систем см. обзорные статьи $[14,26]$.) Пусть $M$ — многообразие и $\mathscr{F}(M)$ — пространство гладких функций на $M$. Мы будем говорить, что на $M$ задана пуассонова структура, если задана операция, сопоставляющая паре функций $F(x)$ и $G(x) \in \mathscr{F}(M)$ новую функцию $\{F(x), G(x)\} \in \mathscr{F}(M)$, которая линейна по $F$ и $G$ и удовлетворяет условиям: Но равенства (1.2.1) и (1.2.2) — это не что иное, как условия, которым должны удовлетворять элементы алгебры Ли. Таким образом, пространство $\mathscr{F}(M)$, снабженное скобкой Пуассона $\{$,$\} , превращается в алгебру Ли$ (бесконечномерную!). Пусть $x^{j}$ — локальные координаты на $M$, а $H(x)$ — гладкая функция на $M$. Тогда на $M$ определена динамическая система Такая система называется гамильтоновой, а векторное поле $X_{H}=\left\{X_{H}^{j}\right\}_{-}$ гамильтоновым векторным полем. Для такой системы имеем где $F(x)$ — произвольная гладкая функция на $M$. Отсюда видно, что величины, удовлетворяющие условию являются величинами сохраняющимися — интегралами движения. Алгебра интегралов движения является важной характеристикой гамильтоновой системы, она тесно связана с наличием у рассматриваемой системы групыы симметрии. Если система обладает достаточно большим числом интегралов движения, то она является вполне интегрируемой, так что решение уравнений движения такой системы может быть, в принципе, сведено к вычислению интегралов — квадратурам. Именно такие системы и представляют для нас наибольший интерес. Возвращаясь к пуассоновой структуре, рассмотрим скобки Пуасоона вида Тогда правило Лейбница (1.2.3) автоматически выполняется, условие (1.2.1) будет эквивалентно условию а условие (1.2.2) примет вид Уравнения движения (1.2.4) принимают вид а коммутатор двух гамильтоновых векторных полей $X_{F}$ и $X_{H}$ дается формулой Нетрудно видеть, что в этом случае условия (1.2.8) и (1.2.9) совпадают с условием кососимметричности и тождеством Якоби для структурных постоянных $C_{l}^{j k}$ алгебры Ли, так что величины $C_{l}^{j k}$ должны совпадать со структурными постоянными некоторой алгебры Ли. Скобка Пуассона принимает здесь вид и называется скобкой Ли-Пуассона. Пусть $e_{j}$ — базис в $\mathscr{G}, f^{k}$ — дуальный к нему базис в $\mathscr{G}^{*}:\left\langle f^{k}, e_{j}\right\rangle=$ $=\delta_{j}^{k},\langle x, \xi\rangle-$ значение функционала $x \in \mathscr{G}^{*}$ на элементе $\xi \in \mathscr{G}$. Пусть $C_{j k}^{l}$ — структурные постоянные алгебры Ли $\mathscr{G}_{\text {в базисе }} e_{j}:\left[e_{j}, e_{k}\right]=C_{j k}^{l} e_{l}$, а $x=x_{j} f^{j}$ — элемент из $\mathscr{G}^{*}$. Тогда пространство $\mathscr{F}\left(\mathscr{G}^{*}\right)$ является пространством функций от переменных $x_{j}: F \in \mathscr{F}^{*}\left(\mathscr{G}^{*}\right), F=F\left(x_{j}\right)$. Для величин $x_{j}$ скобку Пуассона зададим формулой и, кроме того, потребуем выполнения правила Лейбница (1.2.3). Тогда мы придем к выражению для скобки Ли-Пуассона двух функций $F$ и $G$ Нетрудно проверить, что тождество Якоби (1.2.2) при этом является следствием тождества Якоби в алгебре Ли $\mathscr{G}$ Здесь $\xi, \eta$ и $\xi \in \mathscr{G}$. Отметим также, что скобка Пуассона двух полиномиальных функций на $\mathscr{G}^{*}$ снова является полиномиальной функцией, так что пространство $\mathscr{P}^{*}\left(\mathscr{G}^{*}\right)$ в сех полиномов на $\mathscr{G}^{*}$ образует подалгебру Ли. Пусть теперь в пространстве $\mathscr{G}^{*}$ задана динамическая система с гамильтонианом $H(x)$ и $M$ — подмногообразие в $\mathscr{G}^{*}$ такое, что вектор $X_{H}$ во всех точках этого подмногообразия касателен к $M$. Такое подмногообразие называется инвариантным подмногообразием рассматриваемой динамической системы. Выбирая из них функционально независимые и приравнивая их постоянным получем подмногообразие в $\mathscr{G}^{*}$, которое, как нетрудно видеть, является инвариантным подмногообразием для любого гамильтониана $H(x)$. В пространстве $\mathscr{G}^{*}$ имеется естественное действие группы $G$ (с помощью коприсоединенного представления этой группы), и нетрудно видеть, что рассматриваемое подмногообразие инвариантно относительно этого действия, т.е. является орбитой коприсоединенного представления или же объединением ряда таких орбит. В частности, любая орбита является инвариантным многообразием и обладает невырожденной пуассоновой структурой. задает на $\mathscr{F}(M)$ обычную пуассонову структуру. с учетом правила Лейбница задают на $M$ пуассонову структуру. Эта структура вырождена и на орбитах коприсоединенного представления $\mathcal{O}_{c}=$ $=\{x: x=(p, q, r), r=c где 2-форма замкнута,$d F=0$. Соответствующая этой скобке Пуассона симплектическая форма $\omega$ имеет вид Уравнения движения в рассматриваемом случае имеют вид и при $n=2$ или $n=3$ описывают заряженную частицу во \»внешнем магнитном поле $F_{i j}$ \». Отметим, что в области, где $F=d A$ ( $A=A_{j} d q^{j}-1$-форма), скобка (1.2.21) приводится к стандартному виду с $F_{i j}(x) \equiv 0$. К виду (1.2.21) обычно глобально приводятся скобки Пуассона для кокасательных расслоений $M=T^{*} N$, удовлетворяющие дополнительному условию: любые функции $F$ и $G$, зависящие лишь от координат базы $N$, имеют нулевую скобку Пуассона $\{F, G\}=0$. где $\epsilon_{j k l}$ — полностью кососимметричный тензор, $\epsilon_{123}=1$. Отсюда нетрудно получить явную формулу Здесь $[x, y]$ — векторное произведение векторов $x$ и $y$. Пуассонова структура вырождена и на орбитах коприсоединенного представления $\mathcal{O}_{r}=$ $=\left\{x:|x|^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=r^{2}\right\}$ переходит в структуру Здесь $x_{1}=r \sin \theta \cos \varphi, x_{2}=r \sin \theta \sin \varphi, x_{3}=r \cos \theta$. Динамика в $M$ задается уравнением Отметим, что для случая квадратичного гамильтониана эти уравнения переходят в уравнения Эйлера, описывающие вращениє свободного твердого тела вокруг неподвижной точки. Или, в более явном виде, Эта пуассонова структура вырождена и становится невырожденной н: орбитах коприсоединенного представления Уравнения динамики в $M$ имеют вид Отметим, что дотя случая квадратичного гамильтониана эти уравнения совпадают с уравнениями Кирхгофа, описьвающими движение твердого тела в идеальной жидкости. В заключение этого раздела приведем краткий исторический комментарий. Общая теория скобок Пуассона (так же, как и ряд других важных понятий гамильтоновой механики) была развита в локальной форме Софусом Ли (см. [54-57, 307]; там же можно найти и случай линейной зависимости $\omega^{j k}(x)$ от $x$ ). Выражение для линейной скобки Пуассона (1.2.12) бьло переоткрыто Березиным в 1967 г. [69]. На ином языке, языке симплектических многообразий, оно встречалось также в работах Кириллова и Костанта по геометрическому квантованию (см. $[17,79])$. Скобки Пуассона с более сложной зависимостью $\omega^{j k}(x)$ от $x$ в настоящее время только начинают изучаться. По-видимому, первый пример таких скобок с квадратичной зависимостью от $x$ бъл найден в работе [105]. Дальнейшее развитие теории скобок Пуассона осуществлено в работе [76].
|
1 |
Оглавление
|