Уже из простейшего примера было видно, что скобки Пуассона играют важную роль в гамильтоновой механике. Здесь мы рассмотрим понятие пуассоновой структуры дія систем общего вида. (Относитсльно использования нестандартных пуассоновых структур для описания конкретных физических систем см. обзорные статьи $[14,26]$.)

Пусть $M$ – многообразие и $\mathscr{F}(M)$ – пространство гладких функций на $M$. Мы будем говорить, что на $M$ задана пуассонова структура, если задана операция, сопоставляющая паре функций $F(x)$ и $G(x) \in \mathscr{F}(M)$ новую функцию $\{F(x), G(x)\} \in \mathscr{F}(M)$, которая линейна по $F$ и $G$ и удовлетворяет условиям:
a) кососимметричность
\[
\{F(x), G(x)\}=-\{G(x), F(x)\},
\]
б) тождество Якоби
\[
\{F\{G, H\}\}+\{G\{H, F\}\}+\{H\{F, G\}\}=0 \text {, }
\]
в) правило Лейбница
\[
\{F, G H\}=\{F, G\} H+\{F, H\}_{G} .
\]

Но равенства (1.2.1) и (1.2.2) – это не что иное, как условия, которым должны удовлетворять элементы алгебры Ли. Таким образом, пространство $\mathscr{F}(M)$, снабженное скобкой Пуассона $\{$,$\} , превращается в алгебру Ли$ (бесконечномерную!).

Пусть $x^{j}$ – локальные координаты на $M$, а $H(x)$ – гладкая функция на $M$. Тогда на $M$ определена динамическая система
\[
\dot{x}^{j}=\left\{H, x^{j}\right\}=X_{H}^{j} .
\]

Такая система называется гамильтоновой, а векторное поле $X_{H}=\left\{X_{H}^{j}\right\}_{-}$ гамильтоновым векторным полем. Для такой системы имеем
\[
\dot{F}=\{H, F\},
\]

где $F(x)$ – произвольная гладкая функция на $M$. Отсюда видно, что величины, удовлетворяющие условию
\[
\{H, F\}=0,
\]

являются величинами сохраняющимися – интегралами движения.
Заметим, что из тождества Якоби (1.2.2) следует, что скобка Пуассона двух интегралов движения снова является интегралом движения, так что интегралы движения тоже образуют алгебру Ли. Из (1.2.3) следует также, что произведение двух интегралов движения также является интегралом движения.

Алгебра интегралов движения является важной характеристикой гамильтоновой системы, она тесно связана с наличием у рассматриваемой системы групыы симметрии. Если система обладает достаточно большим числом интегралов движения, то она является вполне интегрируемой, так что решение уравнений движения такой системы может быть, в принципе, сведено к вычислению интегралов – квадратурам. Именно такие системы и представляют для нас наибольший интерес.

Возвращаясь к пуассоновой структуре, рассмотрим скобки Пуасоона вида
\[
\{F(x), G(x)\}=\omega^{j k}(x) \partial_{j} F \partial_{k} G, \quad \partial_{j}=\partial / \partial x^{i} .
\]

Тогда правило Лейбница (1.2.3) автоматически выполняется, условие (1.2.1) будет эквивалентно условию
\[
\omega^{j k}(x)=-\omega^{k j}(x),
\]

а условие (1.2.2) примет вид
\[
\omega^{j k} \partial_{k} \omega^{l m}+\omega^{l k} \partial_{k} \omega^{m j}+\omega^{m k} \partial_{k} \omega^{j l}=0 .
\]

Уравнения движения (1.2.4) принимают вид
\[
\dot{x}^{j}=X_{H}^{j}=\omega^{j k}(x) \partial_{k} H, \quad \partial_{k}=\frac{\partial}{\partial x^{k}},
\]

а коммутатор двух гамильтоновых векторных полей $X_{F}$ и $X_{H}$ дается формулой
\[
\left[X_{F}, X_{H}\right]=X_{\{F, H\}} .
\]
(Подчеркнем, что мы не требуем, чтобы тензор $\omega^{j k}(x)$, входящий в определение скобки Пуасоона (1:2.7), был невырожден. В частности, пространство $M$ может быть и нечетномерным.)
Рассмотрим основные типы скобок Пуассона.
1. Простейшим здесь является случай, когда тензор $\omega^{j k}(x)$ от координаты $x$ не зависит. Этот случай с помощью линейной замены переменных сводится к случаю, рассмотренному в предыдущем разделе.
2. Следующий по сложности (и наиболее важный) случай – это случай линейной зависимости $\omega^{j k}(x)$ от $x$ (мы предполагаем здесь, что пространство $M$ является Јинейным) :
\[
\omega^{j k}(x)=C_{l}^{j k} x^{l} .
\]

Нетрудно видеть, что в этом случае условия (1.2.8) и (1.2.9) совпадают с условием кососимметричности и тождеством Якоби для структурных постоянных $C_{l}^{j k}$ алгебры Ли, так что величины $C_{l}^{j k}$ должны совпадать со структурными постоянными некоторой алгебры Ли. Скобка Пуассона принимает здесь вид
\[
\{F(x), G(x)\}=C_{l}^{j k} x^{l} \partial_{j} F \partial_{k} G
\]

и называется скобкой Ли-Пуассона.
Рассмотрим этот случай более подробно. Пусть $\mathscr{G}$ – алгебра Ли, $\mathscr{G}^{*}-$ пространство, дуальное к ней, т.е. пространство линейных функционалов на $\mathscr{G}$. Тогда пространство $\mathscr{F}\left(\mathscr{G}^{*}\right)$ – пространство гладких функций на $\mathscr{G}^{*}$ – обладает естественной пуассоновой структурой. Опишем ее.

Пусть $e_{j}$ – базис в $\mathscr{G}, f^{k}$ – дуальный к нему базис в $\mathscr{G}^{*}:\left\langle f^{k}, e_{j}\right\rangle=$ $=\delta_{j}^{k},\langle x, \xi\rangle-$ значение функционала $x \in \mathscr{G}^{*}$ на элементе $\xi \in \mathscr{G}$. Пусть $C_{j k}^{l}$ – структурные постоянные алгебры Ли $\mathscr{G}_{\text {в базисе }} e_{j}:\left[e_{j}, e_{k}\right]=C_{j k}^{l} e_{l}$, а $x=x_{j} f^{j}$ – элемент из $\mathscr{G}^{*}$. Тогда пространство $\mathscr{F}\left(\mathscr{G}^{*}\right)$ является пространством функций от переменных $x_{j}: F \in \mathscr{F}^{*}\left(\mathscr{G}^{*}\right), F=F\left(x_{j}\right)$. Для величин $x_{j}$ скобку Пуассона зададим формулой
\[
\left\{x_{j}, x_{k}\right\}=C_{i k}^{l} x_{l},
\]

и, кроме того, потребуем выполнения правила Лейбница (1.2.3). Тогда мы придем к выражению для скобки Ли-Пуассона двух функций $F$ и $G$
\[
\{F, G\}=C_{j k}^{i} x_{i} \partial^{j} F \partial^{k} G .
\]

Нетрудно проверить, что тождество Якоби (1.2.2) при этом является следствием тождества Якоби в алгебре Ли $\mathscr{G}$
\[
[\xi[\eta, \zeta]]+[\eta[\zeta, \xi]]+[\zeta[\xi, \eta]]=0 .
\]

Здесь $\xi, \eta$ и $\xi \in \mathscr{G}$.
Заметим, что линейные функции на $\mathscr{G}^{*}$ (которые можно рассматривать как элементы алгебры $\mathscr{G}$ ) образуют подалгебру относительно скобки Пуассона, которая совпадает с исходной алгеброй Ли $\mathscr{G}$.

Отметим также, что скобка Пуассона двух полиномиальных функций на $\mathscr{G}^{*}$ снова является полиномиальной функцией, так что пространство $\mathscr{P}^{*}\left(\mathscr{G}^{*}\right)$ в сех полиномов на $\mathscr{G}^{*}$ образует подалгебру Ли.

Пусть теперь в пространстве $\mathscr{G}^{*}$ задана динамическая система с гамильтонианом $H(x)$ и $M$ – подмногообразие в $\mathscr{G}^{*}$ такое, что вектор $X_{H}$ во всех точках этого подмногообразия касателен к $M$. Такое подмногообразие называется инвариантным подмногообразием рассматриваемой динамической системы.
Обычно в пространстве $\mathscr{F}\left(\mathscr{G}^{*}\right)$ существуют такие функции $F_{\alpha}(x)$, что
\[
\left\{x_{k}, F_{\alpha}(x)\right\} \equiv 0 .
\]

Выбирая из них функционально независимые и приравнивая их постоянным
\[
F_{\alpha}(x)=c_{\alpha},
\]

получем подмногообразие в $\mathscr{G}^{*}$, которое, как нетрудно видеть, является инвариантным подмногообразием для любого гамильтониана $H(x)$. В пространстве $\mathscr{G}^{*}$ имеется естественное действие группы $G$ (с помощью коприсоединенного представления этой группы), и нетрудно видеть, что рассматриваемое подмногообразие инвариантно относительно этого действия, т.е. является орбитой коприсоединенного представления или же объединением ряда таких орбит. В частности, любая орбита является инвариантным многообразием и обладает невырожденной пуассоновой структурой.
Примеры
1. Пусть $M=\mathbb{R}^{2 n}, M=\left\{x: x=(p, q), p=\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right), q=\left(q_{1}, \ldots\right.\right.$ $\left.\left.\ldots, q_{n}\right)\right\}$.
Тогда формула
\[
\{F, G\}=\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial F}{\partial p_{j}} \frac{\partial G}{\partial q_{j}}-\frac{\partial F}{\partial q_{j}} \frac{\partial G}{\partial p_{j}}\right)
\]

задает на $\mathscr{F}(M)$ обычную пуассонову структуру.
2. $M=\mathscr{G}^{*}-$ пространство, дуальное алгебре Гейзенберга-Вейля $\mathscr{G}=$ $=\mathscr{W}_{n}: M=\left\{x: x=(p, q, r), p=\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right), q=\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)\right\}$. Тогда формулы
\[
\begin{array}{l}
\left\{p_{j}, p_{k}\right\}=\left\{q_{j}, q_{k}\right\}=0, \\
\left\{p_{j}, q_{k}\right\}=\delta_{j k} r,\left\{p_{j}, r\right\}=\left\{q_{k}, r\right\}=0
\end{array}
\]

с учетом правила Лейбница задают на $M$ пуассонову структуру. Эта структура вырождена и на орбитах коприсоединенного представления $\mathcal{O}_{c}=$ $=\{x: x=(p, q, r), r=c
eq 0\}$ отличается от структуры (1.2.19) лишь посто янным множителем $c$.
3. Скобка Пуассона для частицы во \”внешнем магнитном поле\” $F_{i j}(x)$ определяется формулой [14]
\[
\left\{q^{i}, q^{j}\right\}=0,\left\{q^{i}, p_{j}\right\}=\delta_{j}^{i},\left\{p_{i}, p_{j}\right\}=F_{i j}(q), i, j=1, \ldots, n,
\]

где 2-форма
\[
F=F_{i j}(q) d q^{i} \wedge d q^{j}
\]

замкнута,$d F=0$. Соответствующая этой скобке Пуассона симплектическая форма $\omega$ имеет вид
\[
\omega=\sum_{j} d p_{j} \wedge d q^{j}+\sum_{i, j} F_{i j}(q) d q^{i} \wedge d q^{j} .
\]

Уравнения движения в рассматриваемом случае имеют вид
\[
\dot{p}_{j}=-\frac{\partial H}{\partial q^{j}}+F_{j k} \frac{\partial H}{\partial p_{k}}, \quad \dot{q}^{j}=\frac{\partial H}{\partial p_{j}},
\]

и при $n=2$ или $n=3$ описывают заряженную частицу во \”внешнем магнитном поле $F_{i j}$ \”. Отметим, что в области, где $F=d A$ ( $A=A_{j} d q^{j}-1$-форма), скобка (1.2.21) приводится к стандартному виду с $F_{i j}(x) \equiv 0$.

К виду (1.2.21) обычно глобально приводятся скобки Пуассона для кокасательных расслоений $M=T^{*} N$, удовлетворяющие дополнительному условию: любые функции $F$ и $G$, зависящие лишь от координат базы $N$, имеют нулевую скобку Пуассона $\{F, G\}=0$.
4. $M=\mathscr{G}^{*}-$ пространство, дуальное алгебре Ли группы $\mathrm{SO}(3), M=$ $=\left\{x: x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)\right\}$. Пуассонова структура задается формулой
\[
\left\{x_{j}, x_{k}\right\}=\epsilon_{j k l} x_{l}, \quad j, k, l=1,2,3,
\]

где $\epsilon_{j k l}$ – полностью кососимметричный тензор, $\epsilon_{123}=1$. Отсюда нетрудно получить явную формулу
\[
\{F(x), G(x)\}=\left(x,\left[\frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial G}{\partial x}\right]\right) .
\]

Здесь $[x, y]$ – векторное произведение векторов $x$ и $y$. Пуассонова структура вырождена и на орбитах коприсоединенного представления $\mathcal{O}_{r}=$ $=\left\{x:|x|^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=r^{2}\right\}$ переходит в структуру
\[
\{F(\theta, \varphi), G(\theta, \varphi)\}=\frac{1}{r \sin \theta}\left(\frac{\partial F}{\partial \theta} \frac{\partial G}{\partial \varphi}-\frac{\partial F}{\partial \varphi} \frac{\partial G}{\partial \theta}\right) .
\]

Здесь $x_{1}=r \sin \theta \cos \varphi, x_{2}=r \sin \theta \sin \varphi, x_{3}=r \cos \theta$. Динамика в $M$ задается уравнением
\[
\dot{x}=\left[x, \frac{\partial H}{\partial x}\right] .
\]

Отметим, что для случая квадратичного гамильтониана
\[
H=\frac{1}{2} \sum a_{j} x_{j}^{2}
\]

эти уравнения переходят в уравнения Эйлера, описывающие вращениє свободного твердого тела вокруг неподвижной точки.
5. Пусть $M=\mathscr{G}^{*}$ – пространство, дуальное алгебре Ли группы $E$ (3) группы движений трехмерного свклидова пространства, $M=\{(x, y): x=$ $\left.=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right), y=\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)\right\}$.
Пуассонова структура задается формулами
\[
\left\{x_{j}, x_{k}\right\}=\epsilon_{j k l} x_{l}, \quad\left\{x_{j}, y_{k}\right\}=\epsilon_{j k l} y_{l},\left\{y_{j}, y_{k}\right\}=0 .
\]

Или, в более явном виде,
\[
\begin{array}{l}
\{F(x, y), G(x, y)\}=\left(x,\left[\frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial G}{\partial x}\right]\right)+ \\
+\left(y,\left[\frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial G}{\partial y}\right]\right)+\left(y,\left[\frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial G}{\partial x}\right]\right) .
\end{array}
\]

Эта пуассонова структура вырождена и становится невырожденной н: орбитах коприсоединенного представления
\[
\mathcal{O}_{a, b}=\left\{(x, y):|y|^{2}=a^{2},(x, y)=a b\right\}, a>0 .
\]

Уравнения динамики в $M$ имеют вид
\[
\dot{x}=\left[x, \frac{\partial H}{\partial x}\right]+\left[y, \frac{\partial H}{\partial y}\right], \quad \dot{y}=\left[y, \frac{\partial H}{\partial x}\right] .
\]

Отметим, что дотя случая квадратичного гамильтониана
\[
H=\frac{1}{2} \Sigma\left(a_{j} x_{j}^{2}+2 b_{j} x_{j} y_{j}+c_{j} y_{j}^{2}\right)
\]

эти уравнения совпадают с уравнениями Кирхгофа, описьвающими движение твердого тела в идеальной жидкости.

В заключение этого раздела приведем краткий исторический комментарий. Общая теория скобок Пуассона (так же, как и ряд других важных понятий гамильтоновой механики) была развита в локальной форме Софусом Ли (см. [54-57, 307]; там же можно найти и случай линейной зависимости $\omega^{j k}(x)$ от $x$ ). Выражение для линейной скобки Пуассона (1.2.12) бьло переоткрыто Березиным в 1967 г. [69]. На ином языке, языке симплектических многообразий, оно встречалось также в работах Кириллова и Костанта по геометрическому квантованию (см. $[17,79])$. Скобки Пуассона с более сложной зависимостью $\omega^{j k}(x)$ от $x$ в настоящее время только начинают изучаться. По-видимому, первый пример таких скобок с квадратичной зависимостью от $x$ бъл найден в работе [105]. Дальнейшее развитие теории скобок Пуассона осуществлено в работе [76].