В предыдущем разделе мы обсудили различные конструкции инволютивных семейств функций на дуальном пространстве к алгебре Ли. Доказательство полноты таких семейств является, вообще говоря, нетривиальной задачей. В данном разделе, следуя работе [70], будет указан критерий полноты инволютивных систем, описанных в теоремах 1.12.1 и 1.12.3.

Как и прежде, через $\mathscr{G}$ обозначена конечномерная алгебра Ли, а через $\mathscr{G}^{*}$ – пространство, дуальное к ней. Мы уже видели, что для произвольного элемента а пространства $\mathscr{G}^{*}$ функции $f_{\lambda, a}(x)=f(x+\lambda a)$, где $\lambda \in \mathbb{R}$, $f \in I\left(\mathscr{G}^{*}\right)$, при разных $\lambda$ находятся в инволюции относительно скобки Ли-Пуассона на $\mathscr{G}^{*}$. В случае полупростой алгебры Ли $\mathscr{G}$ проблема полноты до некоторой степени решается следующими двумя теоремами.

Теорема 1.13.1 [90]. Пусть $\mathscr{G}$ – полупростая алгебра Ли и $a$ регулярный элемент в $\mathscr{G}^{*}$. Тогда семейство сдвинутых инвариантных $f_{\lambda, a}(x)$ полно на $\mathscr{G}^{*}$.

Т еорема 1.13.2 [71]. Пусть $\mathscr{G}$ – полупростая алгебра Ли (так что мы можем идентифицировать $\mathscr{G}^{*}$ и $\mathscr{G}$ ) и пусть $x$ – полупростой элемент*) $\mathscr{G}$. Тогда существует элемент $a \in \mathscr{G}$ такой, что семейство сдвинутых инвариантов $f_{\lambda, a}(x)$ является полным на орбите $\mathcal{O}_{x}$, проходящей через $x$.

Обратимся к рассмотрению алгебр Ли общего вида. Отметим прежде всего, что конструкция сдвинутых инвариантов может быть переформулирована в локальной форме. Для этого фиксируем элемент $a \in \mathscr{G}^{*}$ и для любой функции $f$, определенной в окрестности этого элемента, рассмотрим разложение функции $f(x)$ в ряд Тейлора в точке $a$ :
\[
f(a+\lambda x)=f_{0}(a)+\lambda f_{1}(x)+\lambda^{2} f_{2}(x)+\ldots
\]

Когда $f(x)$ пробегает все локально инвариантные функции, определенные в окрестности точки $a$, т.е. такие, что $\operatorname{ad}_{
abla}^{*} f(x) \cdot x=0$, тогда полиномы $f_{k}(x)$ образуют инволютивное семейство на $\mathscr{G}^{*}$, которое мы обозначим через $\mathscr{F}_{a}$. (Если на пространстве $\mathscr{G}^{*}$ имеется достаточно много инвариантов для того,

*)Элемент $x$ алгебры Ли \” называется полупростым, если оператор ad $_{x}$ является полупростым, т.е. если существует базис из собственных векторов для $\operatorname{ad}_{x}$ в $\mathscr{C}$.

чтобы разделить орбиты общего положения, то семейства $\left\{f_{\lambda, a}\right\}$ и $\mathscr{F}_{a}$ по существу совпадают – они имеют одну и ту же линейную оболочку.)

Пусть $\operatorname{rk}(\mathscr{G})$ – ранг алгебры $\mathscr{G}$, т.е. коразмерность орбиты коприсоединенного представления общего положения. Для $x \in \mathscr{G}^{*}$ мы положим $\operatorname{Ann}(x)=\left\{\xi \in \mathscr{G} \mid \operatorname{ad}_{\xi}^{*} \cdot x=0\right\}$.

Теорема 1.13 .3 [70]. Пусть $\mathscr{C}$ – конечномерная комплексная алгебра Ли и $a$ – регулярный элемент $\mathscr{G}^{*}$. Пусть $S=\left\{y \in \mathscr{G}^{*} \mid \operatorname{dim} \operatorname{Ann}(y)>\right.$ $>\operatorname{rk}(\mathscr{G})\}$ – множество сингулярнных элементов в $\mathscr{G}^{*}$. Инволютивное семейство $\mathscr{F}_{a}$ полно относительно скобки Ли-Пуассона на $\mathscr{G}^{*}$, если и только если $\operatorname{codim} S \geqslant 2$. Соответствующее условие полноты для вещественной алгебры Ли $\mathscr{G}_{\text {требует, чтобы }} \operatorname{codim} S \geqslant 2$ для комплексификации $\mathscr{G}$.
Примеры
Пусть $\mathscr{G}$ – (комплексная или вещественная) полупростая алгебра Ли. В этом случае множество сингулярных элементов имеет коразмерность 3 и из теоремы 1.13.3 следует теорема 1.13.1.

Другой класс примеров дается фробениусовыми алгебрами Ли, которые являются алгебрами Ли ранга нуль. Поскольку в этом случае не существует инвариантных функций, отличных от констант, семейство $\mathscr{F}_{a}$ является тривиальным. С другой стороны, множество сингулярных элементов определяется одним уравнением вида $C_{j k}^{i} x_{i}=0$, где $C_{j k}^{i}$ – структурные постоянные алгебры Ли.

Отметим, что сведение вопроса о полноте семейства сдвинутых инвариантов к вычислению коразмерности множества сингулярных элементов в ряде случаев упрощает задачу построения полных инволютивных семейств на $\mathscr{G}^{*}$.

След ств и е. Пусть $\mathscr{G}=\mathscr{K}+{ }_{\varphi} \mathscr{-}$ – полупрямая сумма классической простой алгебры Ли $\mathscr{K}$ и векторного пространства $\mathscr{V}$ относительно непривориантов $\mathscr{F}_{a}$ полно на $\mathscr{G}^{*}$ для любого регулярного элемента $a \in \mathscr{G}^{*}$.

Пусть теперь $x \in \mathscr{G}^{*}$ – сингулярный элемент. Возникает естественный вопрос: когда семейство $\mathscr{F}_{a}$ при ограничении на сингулярную орбиту $\mathcal{O}_{x}$ дает полное инволютивное семейство относительно стандартной симплектической структуры на $\mathcal{O}_{x}$ (задаваемой ограничением скобки Ли-Пуассона на $\mathcal{O}_{x}$ )? Известно, что из полноты семейства $\mathscr{F}_{a}$ на всем пространстве $\mathscr{G}^{*}$ еще не вытекает полнота при его ограничении на сингулярную орбиту. Оказывается, тем не менее, что при некотором дополнительном предположении относительно $x$ полнота имеет место.

Теорема 1.13.4 [70]. Пусть $\mathscr{G}$ – конечномерная комплексная алгебра Ли, $S$ – множество сингулярных элементов на $\mathscr{G}^{*}$, и предположим, что $\operatorname{codim} S \geqslant 2$. Пусть $x \in \mathscr{G}^{*}$ – сингулярный элемент такой, что rk $\operatorname{Ann}(x)=$ $=\mathrm{rk} \mathscr{G}$. Тогда существует регулярный элемент $a \in \mathscr{G}^{*}$ такой, что ограничение инволютивного семейства $\mathscr{F}_{a}$, ограниченного на сингулярную орбиту $\mathcal{O}_{x}$, является полным. Это утверждение остается справедливым и для вещественной алгебры Ли $\mathscr{G}$, если $S$ рассматривается как множество сингулярных элементов в пространстве ( $\left.\mathscr{G}^{\mathbb{C}}\right)^{*}$.
Пример
Пусть алгебра $\mathscr{G}$ полупроста. Тогда нетрудно доказать, что для полупростых элементов $x \in \mathscr{G}^{*} \simeq \mathscr{G}$ условие $\operatorname{rk} \operatorname{Ann}(x)=\operatorname{rk} \mathscr{G}$, очевидно, выполнено. Таким образом, из теоремы 1.13.4 следует теорема 1.13.2. Более того,
если $\mathscr{G}=\operatorname{sl}(n, \mathbb{C})$, то $\mathrm{rk} \operatorname{Ann}(x)=\mathrm{rk} \mathscr{G}$ для любого сингулярного элемента $x \in \mathscr{G}^{*} \simeq \mathscr{G}$. Следовательно, система сдвинутых инвариантов дает полное инволютивное семейство на любой орбите коприсоединенного представления группы $\operatorname{sl}(n, \mathbb{C})$.

Обсудим также другую конструкцию функций в инволюции, которая дается теоремой 1.12 .3 и связана с симметрической градуировкой алгебры Ли. При этом ограничимся рассмотрением случая, наиболее интересного для приложений. Пусть $\sigma$ – инволюция Картана в $\mathscr{G}$ и $\mathscr{G}=\mathscr{K}+\mathscr{P}$ – разложение $\mathscr{G}$ на собственные подпространства $\sigma$, соответствующие собственным значениям +1 и -1 соответственно. Обозначим через $\mathscr{G}_{\sigma}$ полупрямую сумму подалгебры и векторного пространства $\mathscr{P}$. С помощью формы Килсамым на $\mathscr{G}$ возникает две скобки Ли-Пуассона: $\{$,$\} и \{,\}_{\sigma}$. Фиксируем какой-либо элемент $a \in \mathscr{G}$. Тогда, как известно, для любых $\mathscr{G}$-инвариантов $f$ и $h$ и любых $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ функции $f\left(p+\lambda k+\lambda^{2} a\right)$ и $h\left(p+\mu k+\mu^{2} a\right)$ коммутируют по Пуассону по отношению к скобке Пуассона $\{,\}_{\sigma}$ на $\mathscr{G}$. Такое семейство функций может оказаться неполным, однако его всегда можно дополнить произвольным полным инволютивным набором $\mathscr{F}_{\mathscr{F}_{a}}$ функций на $\mathscr{K}_{a}^{*}$, где $\mathscr{K}_{a}$ – стационарная подалгебра элемента а в $\mathscr{K}$. (Функции $f\left(p+\lambda k+\lambda^{2} a\right)$, очевидно, инвариантны относительно действия стационарной подгрупп $K_{a}$, следовательно, они коммутируют по Пуассону с любой функцией, поднятой с $\mathscr{K}_{a}^{*}$ с помощью проекции $\mathscr{G}^{*} \rightarrow \mathscr{N}_{a}^{*}$.)

Теорема 1.13.5 [70]. Пусть $\mathscr{G}$ – вещественная полупростая алгеб. ра Ли, $\sigma$ – инволюция Картана, $\mathscr{G}=\mathscr{K}+\mathscr{P}$ – соответствующее разложение Картана и $a$ – произвольный элемент в $\mathscr{P}$. Тогда инволютивное семейство
\[
\mathscr{F}_{a, \sigma}=\left\{f\left(p+\lambda k+\lambda^{2} a\right) \mid f \in I(\mathscr{G}) \lambda \in \mathbb{R}\right\} \cup \mathscr{F}\left(\mathscr{K}_{a}\right)
\]

полно на $\mathscr{G}_{\text {относительно скобки Ли–Пуассона }}\{,\}_{\sigma}$.
В качестве иллюстрации дадим описание семейства гамильтонианов, содержащихся в $\mathscr{F}_{a, \sigma}$ и описывающих конкретные механические системы Обозначим через $\mathscr{K}_{a}^{\perp}$ ортогональное дополнение $\mathscr{K}_{a}$ в $\mathscr{G}$. Нетрудно доказать, что $\mathrm{ad}_{a}$ является обратимым оператором на $\mathscr{K}_{a}^{\perp}$. Выберем элемент в $b \in \mathscr{P}$ такой, что $[b, a]=0,\left[b, \mathscr{K}_{a}\right]=0$. Тогда $[b, \mathscr{K}] \subset \mathscr{K}_{a}^{\perp}$, так что можно определить оператор $C_{a, b}: \mathscr{K} \rightarrow \mathscr{K}$ согласно формуле
\[
C_{a, b}(k)=\left(\mathrm{ad}_{a}^{-1} \cdot \mathrm{ad}_{b} \cdot k_{1}\right)+k_{2} \text {, где } k=k_{1}+k_{2}, k_{1} \in \mathscr{K}_{a}^{\perp}, k_{2} \in \mathscr{K}_{a} .
\]

Тогда гамильтонианы
\[
H(k+p)=\frac{1}{2}\left(k, C_{a, b} k\right)-(b, p)
\]

содержатся в семействе $\mathscr{F}_{a, \sigma}$ и, следовательно, описывают вполне интегрируемые системы на $\mathscr{G}$ по отношению к скобке $\{,\}_{\sigma}$. Во многих практических случаях эти гамильтонианы описывают классические интегрируемые случаи движения твердого тела и их многомерные аналоги (см., например, [30], [274], [275]).

Отметим еще, что инволютивные семейства $\mathscr{F}_{a}$ и $\mathscr{F}_{a, \sigma}$ связаны с парами согласованных скобок Пуассона: в первом случае это скобки \{,\} и

$\{,\}_{a}$, где $\{f, h\}_{a}=\langle a[
abla f,
abla h]\rangle$; во втором случае это $\{,\}_{\sigma}$ и $\{\}+,\{,\}_{a}$ $[30]$.

Еще одна серия согласованных скобок Пуассона была указана И.Л. Кантором. Опишем частный случай этой конструкции. Пусть $L$ – пространство антисимметричных матриц. Зададим на $L$ семейство коммутаторов $[,]_{A}$ : $[\xi, \eta]_{A}=\xi A \eta-\eta A \xi$, где $A-$ произвольная симметричная матрица. Тем самым на $L^{*}$ определено многопараметрическое семейство скобок Ли-Пуассона $\{,\}_{A}$, причем любые две скобки $\{,\}_{A}$ и $\{,\}_{B}$ согласованы, поскольку рассматриваемое семейство линейно: $\alpha\{,\}_{A}+\beta\{,\}_{B}=$ $=\{,\}_{\alpha A+\beta B}$.

Обозначим через $I_{A}$ множество центральных функций для скобки $\{,\}_{A}$, а через $S(A, B)$ – двумерное подпространство $\alpha A+\beta B$. Положим $r=\max \left\{\operatorname{rk}[,]_{c}, c \in S(A, B)\right\}$ и обозначим через $\mathscr{F}_{A B}$ объединение множеств $I_{c}$ с такими $c=S(A, B)$, для которых ранг $[,]_{c}=r$. Как нетрудно видеть, $\mathscr{F}_{A, B}$ – это инволютивное семейство по отношению к любой скобке $\{,\}_{c}, c, c \in S(A, B)$. Если положить $A_{0}=\operatorname{diag}[1,1, \ldots, 1,1], B_{0}=$ $=\operatorname{diag}[1,1, \ldots, 1,0], C_{0}=\operatorname{diag}\left[c_{1}, \ldots, c_{n}\right], c_{i}
eq c_{j}$, то оказывается, что $\mathscr{F}_{A_{0} B_{0}}$ – это множество первых интегралов уравнений движения $n$-мерного твердого тела в идеальной жидкости, обобщающих случай Клебша (см. [99]) .