Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Как хорошо известно, сохранение импульса и момента количес вва движения механической системы связано с инвариантностью этой системы относительно трансляций и вращений. В настоящем разделе мы установим такую связь для общего случая, когда фазовое пространство рассматриваемой системы является симплектическим многообразием, инвариантным относительно действия произвольной группы Ли. Такая теория была развита в работах $[64,32,243]$. Пусть $M$ — многообразие, $\mathscr{F}(M)$ — пространство функций на $M$, снабженное пуассоновой структурой (скобкой Пуассона), и на $M$ действует групта Ли $G$. Тогда на $M$ действует также алгебра Ли $\mathscr{G}$ группы $G$ (как алгебра Ли векторных полей на $M$ ). Иными словами, элементу $\xi \in \mathscr{G}$ мы ставим в соответствие векторное поле $X_{\xi}$ на $M$. Предположим дополнительно, что скобка Пуассона $\{$,$\} на \mathscr{F}(M)$ такова, что каждому полю $X_{\xi}$ можно сопоставить функцию $H_{\xi}$ на $M$ такую, что в локальных координатах $x^{j}$ и Такое действие группы $G$ назовем гамильтоновым, если имеет место равенство*) Иными словами, действие $\Phi_{g}$ группы $G$ на $M$ называется гамильтоновым, если отображение $\xi \rightarrow H_{\xi}$ является гомоморфизмом алгебры Ли $\mathscr{G}$ в алгебру Ли $\mathscr{F}(M)$ относительно скобки Пуассона. Следующий случай встречается довольно часто. Пусть $M=T^{*} X$ (где $X$ гладкое многообразие), $G$ — группа диффеоморфизмов $X$, действие которой мы считаем распространенным на $T^{*} M, \omega=d \theta$ — стандартная симплектическая структура на $M\left(\theta=p_{j} d q^{j}\right)$. Функцию Гамильтона $H_{\xi}$ однопараметрической подгруппы $g_{t}$ группы $G$ определим формулой *) В книге Арнольда [1] такое действис называется пуассоновским. В настоящее время бо́льшее распространение получил термин \»гамильтоново действие\», который мы и будем использовать в дальнейшем. Отметим еще, что возможность негамильтонова действия данной группы Ли определяется ее когомологиями: если $H^{2}(\mathscr{G}, \mathbb{R})=0$, то действие всегда гамильтсново. зависит от элемента алгебры Ли линейно и поэтому может быть записана в виде называемое отображением момента [64]. Отображение момента обладает важным свойством эквивариантности. Тео рем а 1.5.1 [1,40]. Гамильтоново действие связной группы Ли $G$ при отображении момента $\mu$ переходит в коприсосдиненное действие группы $G$ на пространстве $\mathscr{G}^{*}$, дуальном к ее алгебре Ли $\mathscr{G}$. Иными словами, коммутативна диаграмма Доказательство. Пусть элемент $g$ принадлежит однопараметрической подгруппе $\left\{g_{t}\right\}$, генерируемой элементом $\eta$ алгебры Ли $\mathscr{G}$, и пусть $\mathrm{ad}_{\eta}^{*}$ — коприсоединенное представление алгебры $\mathscr{G}$. Тогда Отсюда следует, что $\mathrm{ad}_{\eta}^{*} \cdot \mu(x)=L_{X_{\eta}} \cdot \mu(x)$, а это равенство эквивалентно коммутативности диаграммы (1.5.7) для инфинитезимальных преобразований группы $G$. Коммутативность диаграммы (1.5.7) дія конечных преобразований группы $G$ доказывается теперь без труда. След ствие. Пусть функция Гамильтона $H(x)$ рассматриваемой системы инвариантна относительно гамильтонова действия грушы $G$ на $M$. Тогда момент $\mu(x)$ является первым интегралом этой гамильтоновой системы. Отметим еще, что из эквивариантности отображения момента следует, что множество при отображении момента $\mu$ переходит в орбиту коприсоединенного представления Отметим еще следующую полезную теорему [40], обобщающую формулу (1.5.4) Т еорема 1.5.2. Пусть $\Phi_{g}$ — симплектическое действие $G$ на $M$. Предположим, чо симплектическая форма $\omega$ на $M$ является точной: $\omega=d \theta$, и что действие $\Phi_{g}$ оставляет $\theta$ инвариантной: $\Phi_{g}^{*} \theta=\theta$ для всех $g \in G$. Тогда отображение момента $\mu: M \rightarrow \mathscr{Y}^{*}$ определяется формулой Важным специальным случаем этой теоремы является случай, когда $M=T^{*} G$ и $G$ действует сама на себя левыми или правыми сдвигами, что приводит к двум коммутирующим гамильтоновым действиям $G$ на $M$. Если мы отождествим $T^{*} G$ с $G \times \mathscr{G}^{*}$ при помощи левых сдвигов, то соответствующие отображения момента $\mu_{l}$ (левое) и $\mu_{r}$ (правое) даются формулами Приведем еще интересную теорему о свойствах выпуклости отображения момента, доказанную недавно в работах [119, 120] и [180]. Теорема 1.5.3. Пусть $M$ — компактное, связное симплектическое многообразие и пусть $F_{1}, F_{2}, \ldots, F_{k}$ — вещественные функции на $M$, находящиеся в инволюции и такие, что соојветствующие им гамильтоновы векторные поля почти-периодичны $\left.{ }^{*}\right)$. Тогда отображение $\mu: M \rightarrow \mathbb{R}^{k}$, задаваемое функциями $F_{j}$, таково, что: Ортогональная проекция орбиты коприсоединенного представления на $\mathbb{R}^{k}$ (на пространство, дуальное к алгебре Ли картановской подгрупіы $T^{k}$ ) совпадает с выпуклой оболочкой соответствующей $W$-орбиты. 3амечание 3. В свою очередь, теорема Костанта для частного случая групшы $G=\operatorname{SU}(n)-$ группы унитарных унимодулярных матриц сводится к старым результатам Іура [278] и Хорна [203] о выпуклости множества диагональных элементов эрмитовых матриц с заданным спектром, т.е. множества матриц из заданного изоспектрального семейства. *) Векторное поле $X$ на $M$ называется почти-периодическим, если оно генерирует действие тора, и периодическим, если оно генерирует действие окружности $S^{1}$. Примеры Здесь $G$ — однопараметрическая группа и ей соответствует $\mathscr{G}=\{\xi\}$, векторное поле $X_{\xi}=\Sigma \frac{\partial}{\partial q^{j}}$ на $M$ и функция $H_{\xi}=\Sigma p_{j}=\mu(x)$. Элемент $A \in \mathscr{G}$ генерирует векторное поле Это векторное поле гамильтоново с гамильтонианом где $a=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right),[q, p]$ — векторное произведение векторов $q$ и $p$. Отображение момента $\mu: \mathbb{R}^{6} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ переводит $x=(p, q)$ в вектор $\mu(x)=[q, p]$. Отсюда следует, что матрица $\mathcal{A}$ имеет вид Такой матрице соответствует гамильтониан Отображение момента $\mu: \mathbb{R}^{2 n} \rightarrow \mathscr{G}$ переводит $x=(p, q)$ в матрицу $\mathcal{A}$ такую, что 4. Многообразие $M=\mathbb{R}^{2 n}$, скобки Пуассона даются формулой (1.5.10). Группа $G=\operatorname{Sp}(2 n, \mathbb{R}) \cap \operatorname{SO}(2 n) \simeq U(n)$. Элемент $\mathcal{A}$ алгебры $\mathscr{G}$ группы $G$ — это матрица вида Гамильтониан, соответствующий этой матрице, имеет вид Отображение момента $\mu: \mathbb{R}^{2 n} \rightarrow U(n)$ переводит $x=(p, q)$ в матрицу $\mathcal{A}$ (1.5.18), у которой Пуассонова структура индуцируется этой симплектической структурой. На многообразии $M$ действует группа $G=U(n)$ — группа унитарных матриц порядка $n$ : Отображение момента здесь дается формулой где верхний индекс \»минус\» означает, что мы заменяем на нуль все элементы матрицы, стояшие на главной диагонали и выше нее.
|
1 |
Оглавление
|