Как хорошо известно, сохранение импульса и момента количес вва движения механической системы связано с инвариантностью этой системы относительно трансляций и вращений. В настоящем разделе мы установим такую связь для общего случая, когда фазовое пространство рассматриваемой системы является симплектическим многообразием, инвариантным относительно действия произвольной группы Ли. Такая теория была развита в работах $[64,32,243]$.

Пусть $M$ – многообразие, $\mathscr{F}(M)$ – пространство функций на $M$, снабженное пуассоновой структурой (скобкой Пуассона), и на $M$ действует групта Ли $G$. Тогда на $M$ действует также алгебра Ли $\mathscr{G}$ группы $G$ (как алгебра Ли векторных полей на $M$ ). Иными словами, элементу $\xi \in \mathscr{G}$ мы ставим в соответствие векторное поле $X_{\xi}$ на $M$. Предположим дополнительно, что скобка Пуассона $\{$,$\} на \mathscr{F}(M)$ такова, что каждому полю $X_{\xi}$ можно сопоставить функцию $H_{\xi}$ на $M$ такую, что в локальных координатах $x^{j}$
\[
X_{\xi}^{j}=\left\{H_{\xi}, x^{j}\right\}
\]

и
\[
H_{\xi+\eta}=H_{\xi}+H_{\eta} .
\]

Такое действие группы $G$ назовем гамильтоновым, если имеет место равенство*)
\[
H_{[\xi, \eta]}=\left\{H_{\xi}, H_{\eta}\right\} .
\]

Иными словами, действие $\Phi_{g}$ группы $G$ на $M$ называется гамильтоновым, если отображение $\xi \rightarrow H_{\xi}$ является гомоморфизмом алгебры Ли $\mathscr{G}$ в алгебру Ли $\mathscr{F}(M)$ относительно скобки Пуассона.

Следующий случай встречается довольно часто. Пусть $M=T^{*} X$ (где $X$ гладкое многообразие), $G$ – группа диффеоморфизмов $X$, действие которой мы считаем распространенным на $T^{*} M, \omega=d \theta$ – стандартная симплектическая структура на $M\left(\theta=p_{j} d q^{j}\right)$. Функцию Гамильтона $H_{\xi}$ однопараметрической подгруппы $g_{t}$ группы $G$ определим формулой
\[
H_{\xi}(x)=\theta(\hat{\xi}(x))=\langle x, \xi\rangle, \quad x \in X, \quad \xi(x)=\left.\frac{d}{d t}\left(g_{t} \cdot x\right)\right|_{t=0 \”},
\]
$\hat{\xi}$ – поднятие $\xi$ на $T^{*} X$.
Тогда построенное действие группы $G$ гамильтоново [1]. Заметим, что в случае гамильтонова действия группы функция Гамильтона $H_{\xi}(x)$

*) В книге Арнольда [1] такое действис называется пуассоновским. В настоящее время бо́льшее распространение получил термин \”гамильтоново действие\”, который мы и будем использовать в дальнейшем. Отметим еще, что возможность негамильтонова действия данной группы Ли определяется ее когомологиями: если $H^{2}(\mathscr{G}, \mathbb{R})=0$, то действие всегда гамильтсново.

зависит от элемента алгебры Ли линейно и поэтому может быть записана в виде
\[
H_{\xi}(x)=\langle\mu(x), \xi\rangle
\]
$\mu(x)$ – элемент пространства $\mathscr{G}^{*}$, дуатьного к $\mathscr{G},\langle\mu, \xi\rangle$ – значение функционала $\mu$ в точке $\xi \in \mathscr{G}$. Таким образом, в случае гамильтонова действия группы $G$ на $M$ возникает отображение
\[
\mu: M \rightarrow \mathscr{G}^{*},
\]

называемое отображением момента [64]. Отображение момента обладает важным свойством эквивариантности.

Тео рем а 1.5.1 [1,40]. Гамильтоново действие связной группы Ли $G$ при отображении момента $\mu$ переходит в коприсосдиненное действие группы $G$ на пространстве $\mathscr{G}^{*}$, дуальном к ее алгебре Ли $\mathscr{G}$. Иными словами, коммутативна диаграмма

Доказательство. Пусть элемент $g$ принадлежит однопараметрической подгруппе $\left\{g_{t}\right\}$, генерируемой элементом $\eta$ алгебры Ли $\mathscr{G}$, и пусть $\mathrm{ad}_{\eta}^{*}$ – коприсоединенное представление алгебры $\mathscr{G}$. Тогда
\[
\left\langle\operatorname{ad}_{\eta}^{*} \mu(x), \xi\right\rangle=\langle\mu(x),[\xi, \eta]\rangle=H_{[\xi, \eta]}(x)=X_{\eta} \cdot H_{\xi}(x)=\left\langle L_{X_{\eta}} \cdot \mu(x), \xi\right\rangle .
\]

Отсюда следует, что $\mathrm{ad}_{\eta}^{*} \cdot \mu(x)=L_{X_{\eta}} \cdot \mu(x)$, а это равенство эквивалентно коммутативности диаграммы (1.5.7) для инфинитезимальных преобразований группы $G$. Коммутативность диаграммы (1.5.7) дія конечных преобразований группы $G$ доказывается теперь без труда.

След ствие. Пусть функция Гамильтона $H(x)$ рассматриваемой системы инвариантна относительно гамильтонова действия грушы $G$ на $M$. Тогда момент $\mu(x)$ является первым интегралом этой гамильтоновой системы.

Отметим еще, что из эквивариантности отображения момента следует, что множество
\[
\Omega_{x}=\left\{\Phi_{g} \cdot x: g \text { пробегает всю группу } G\right\}
\]

при отображении момента $\mu$ переходит в орбиту коприсоединенного представления
\[
\mathcal{O}_{\mu(x)}=\left\{\operatorname{Ad}^{*}(g) \cdot \mu(x): g \text { пробегает всю группу } G\right\} .
\]

Отметим еще следующую полезную теорему [40], обобщающую формулу (1.5.4)

Т еорема 1.5.2. Пусть $\Phi_{g}$ – симплектическое действие $G$ на $M$. Предположим, чо симплектическая форма $\omega$ на $M$ является точной: $\omega=d \theta$, и что действие $\Phi_{g}$ оставляет $\theta$ инвариантной: $\Phi_{g}^{*} \theta=\theta$ для всех $g \in G$. Тогда отображение момента $\mu: M \rightarrow \mathscr{Y}^{*}$ определяется формулой
\[
\langle\mu(x), \xi\rangle=\left\langle\theta(x), X_{\xi}(x)\right\rangle .
\]

Важным специальным случаем этой теоремы является случай, когда $M=T^{*} G$ и $G$ действует сама на себя левыми или правыми сдвигами, что приводит к двум коммутирующим гамильтоновым действиям $G$ на $M$. Если мы отождествим $T^{*} G$ с $G \times \mathscr{G}^{*}$ при помощи левых сдвигов, то соответствующие отображения момента $\mu_{l}$ (левое) и $\mu_{r}$ (правое) даются формулами
\[
\begin{array}{l}
\mu_{l}(g, x)=-\mathrm{Ad}^{*}(g) \cdot x, \\
\mu_{r}(g, x)=x, g \in G, \quad x \in \mathscr{G}^{*} .
\end{array}
\]

Приведем еще интересную теорему о свойствах выпуклости отображения момента, доказанную недавно в работах [119, 120] и [180].

Теорема 1.5.3. Пусть $M$ – компактное, связное симплектическое многообразие и пусть $F_{1}, F_{2}, \ldots, F_{k}$ – вещественные функции на $M$, находящиеся в инволюции и такие, что соојветствующие им гамильтоновы векторные поля почти-периодичны $\left.{ }^{*}\right)$. Тогда отображение $\mu: M \rightarrow \mathbb{R}^{k}$, задаваемое функциями $F_{j}$, таково, что:
(A) все (непустые) прообразы $\mu^{-1}(c)\left(c \in \mathbb{R}^{k}\right)$ связны;
(Б) образ $\mu(M)$ является выпуклым множеством.
Кроме того, если $Z_{1}, \ldots, Z_{N}$ – связные компоненты множества $Z \subset M$ общих критических точек функций $F_{j}$, то $\mu\left(Z_{j}\right)=c_{j}$ – одна точка в $\mathbb{R}^{k}$, а $\mu(M)$ – выпуклая оболочка точек $c_{1}, \ldots, c_{N}$.
3 амечание 1. Важный частный случай теоремы – это когда всем $F_{j}$ соответствуют периодические гамильтоновы векторные поля, так что мы имеем симплектическое действие тора $T^{k}$ на $M$. Отображение $\mu \cdots$ это отображение момента $M \rightarrow \mathscr{G}^{*}, \quad \mathscr{G}=\mathbb{R}^{k}, \mathscr{G}^{*}-$ дуальное пространствок алгебре Ли группы $G=T^{k}$.
3амечание 2. Пусть $M$ – орбита коприсоединенного представления компактной простой группы Ли $G, H=T^{k} \subset G$ – максимальный тор в $G$ (картановская подгруппа), $F_{1}, \ldots, F_{k}$ – линейные функции на $\mathscr{S}^{*}$, соответствующие $T^{k}$. Фиксируем $G$-инвариантную метрику на $\mathscr{G}^{*}$ и определим ортогональную проекцию на $\mathbb{R}^{k}$ – пространство, дуальное к алгебре Ли группы $T^{k}$. При этом нетрудно идентифицировать точки $c_{1}, \ldots, c_{N}$ (cм. формулировку теоремы) с орбитой группы Вейля $W_{\text {в }} \mathbb{R}^{k}$. Теорема 1.5.3 сводится при этом к теореме Костанта [221]:

Ортогональная проекция орбиты коприсоединенного представления на $\mathbb{R}^{k}$ (на пространство, дуальное к алгебре Ли картановской подгрупіы $T^{k}$ ) совпадает с выпуклой оболочкой соответствующей $W$-орбиты. 3амечание 3. В свою очередь, теорема Костанта для частного случая групшы $G=\operatorname{SU}(n)-$ группы унитарных унимодулярных матриц сводится к старым результатам Іура [278] и Хорна [203] о выпуклости множества диагональных элементов эрмитовых матриц с заданным спектром, т.е. множества матриц из заданного изоспектрального семейства.

*) Векторное поле $X$ на $M$ называется почти-периодическим, если оно генерирует действие тора, и периодическим, если оно генерирует действие окружности $S^{1}$.

Примеры
\[
\begin{array}{l}
\text { 1. } M=\mathbb{R}^{2 n}=\left\{x=(p, q): p=\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right), q=\left(q^{1}, \ldots, q^{n}\right)\right\}, \\
\{F, H\}=\frac{\partial F}{\partial p_{j}} \frac{\partial H}{\partial q^{j}}-\frac{\partial F}{\partial q^{j}} \frac{\partial H}{\partial p_{j}}, \\
G=\left\{g_{s}\right\}, g_{s}: p_{j} \rightarrow p_{j}, q^{j} \rightarrow q^{j}+s .
\end{array}
\]

Здесь $G$ – однопараметрическая группа и ей соответствует $\mathscr{G}=\{\xi\}$, векторное поле $X_{\xi}=\Sigma \frac{\partial}{\partial q^{j}}$ на $M$ и функция $H_{\xi}=\Sigma p_{j}=\mu(x)$.
2. Многообразие $M$ и скобки Пуассона те же, что и в примере 1 при $n=3$. Группа $G=\mathrm{SO}(3)$, действие группы дается формулой $\Phi_{g}(p, q)=(g p, g q)$, $g \in G$. Элемент $g$ принадлежит однопараметрической подгруппе $\left\{g_{t}\right\}$ при $t=1, g_{t}=\exp (t A)$, где
\[
A=\left(\begin{array}{ccc}
0 & a_{3} & -a_{2} \\
-a_{3} & 0 & a_{1} \\
a_{2} & -a_{1} & 0
\end{array}\right) .
\]

Элемент $A \in \mathscr{G}$ генерирует векторное поле
\[
X_{A}: \dot{p}=A p, \quad \dot{q}=A q .
\]

Это векторное поле гамильтоново с гамильтонианом
\[
H_{A}=\langle A p, q\rangle=(a[q, p]),
\]

где $a=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right),[q, p]$ – векторное произведение векторов $q$ и $p$. Отображение момента $\mu: \mathbb{R}^{6} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ переводит $x=(p, q)$ в вектор $\mu(x)=[q, p]$.
3. Многообразие $M=\mathbb{R}^{2 n}$ и скобки Пуассона те же, что и в примере 1 . Группа $G=\mathrm{Sp}(2 n ; \mathbb{R})$ – вещественная симплектическая группа. Пространство $\mathscr{G}^{*}$ мы можем здесь отождествить с алгеброй Ли $\mathscr{G}$, которая состоит из матриц $\mathcal{A}$ порядка $2 n$, удовлетворяющих условию
\[
\mathcal{A} J+J \mathcal{A}^{\prime}=0, \quad \mathcal{A}=\left(\begin{array}{cc}
A & B \\
C & D
\end{array}\right), \quad J=\left(\begin{array}{cc}
0 & -I \\
I & 0
\end{array}\right) .
\]

Отсюда следует, что матрица $\mathcal{A}$ имеет вид
\[
\mathcal{A}=\left(\begin{array}{cc}
A & B \\
C & -A^{\prime}
\end{array}\right), \quad B^{\prime}=B, \quad C^{\prime}=C .
\]

Такой матрице соответствует гамильтониан
\[
H_{A}=(\mathcal{A} x, J x)=(p, C p)-(q, B q)-(q, A p)-\left(p, A^{\prime} q\right) .
\]

Отображение момента $\mu: \mathbb{R}^{2 n} \rightarrow \mathscr{G}$ переводит $x=(p, q)$ в матрицу $\mathcal{A}$ такую, что
\[
A=-(p \otimes q), B=p \otimes p, \quad C=-(q \otimes q) .
\]

4. Многообразие $M=\mathbb{R}^{2 n}$, скобки Пуассона даются формулой (1.5.10). Группа $G=\operatorname{Sp}(2 n, \mathbb{R}) \cap \operatorname{SO}(2 n) \simeq U(n)$. Элемент $\mathcal{A}$ алгебры $\mathscr{G}$ группы $G$ – это матрица вида
\[
\mathcal{A}=\left(\begin{array}{cc}
A & B \\
-B & A
\end{array}\right), \quad A^{\prime}=-A, \quad B^{\prime}=B .
\]

Гамильтониан, соответствующий этой матрице, имеет вид
\[
H_{a}=(A x, J x)=-(p, B p)-(q, B q)+(p, A q)-(q, A p) .
\]

Отображение момента $\mu: \mathbb{R}^{2 n} \rightarrow U(n)$ переводит $x=(p, q)$ в матрицу $\mathcal{A}$ (1.5.18), у которой
\[
A=p \otimes q-q \otimes p, \quad B=-(p \otimes p+q \otimes q) .
\]
5. Многообразие $M=T^{*} X=\{x, y\}, X=\{x\}-$ множество эрмитовых матриц порядка $n$. Симплектическая структура на $M$ задается формулой $\omega=\operatorname{tr}(d y \wedge d x)$.

Пуассонова структура индуцируется этой симплектической структурой. На многообразии $M$ действует группа $G=U(n)$ – группа унитарных матриц порядка $n$ :
\[
g: x \rightarrow g x g^{+}, y \rightarrow g y g^{+},{g g^{+}}^{+} I .
\]

Отображение момента здесь дается формулой
\[
\mu:(x, y) \rightarrow i[x, y]=i(x y-y x) .
\]
6. Многообразие $M=T^{*} X$, где $X$ – пространство вещественных симметрических положительно определенных матриц порядка $n$. Элемент пространства $M$ задается парой $(x, y), x \in X, y \in T_{x}^{*} X$. Симплектическая форма $\omega$ имеет вид $d \theta$, где $\theta=\frac{1}{2} \operatorname{tr}\left(y \cdot x^{-1} \cdot d x \cdot x^{-1}\right)$. Обе эти формы инвариантны относительно преобразований $x \rightarrow g x g^{\prime}, y \rightarrow g y g^{\prime}$, где $g$ – элемент группы $G$ верхних треугольных матриц с единицами на главной диагонали. Пространство $\mathscr{G}^{*}$ состоит из нижних треутольных матриц с нулями на главной диагонали. Отображение момента имеет вид
\[
\mu:(x, y) \rightarrow\left(y x^{-1}\right)^{-},
\]

где верхний индекс \”минус\” означает, что мы заменяем на нуль все элементы матрицы, стояшие на главной диагонали и выше нее.