Рассмотрим простейший случай плоского движения, описываемого гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2}\left(\mathrm{p}_{1}^{2}+\mathrm{p}_{2}^{2}\right)+U\left(\mathrm{q}_{1}, \mathrm{q}_{2}\right), \quad U(\mathrm{q})=-\frac{\alpha}{r}+\beta q_{1} .
\]

Отметим, прежде всего, что при $\beta \rightarrow 0$ нашу задачу можно рассматривать как возмущение задачи Кеплера, причем возмущение инвариантно при замене $q_{2} \rightarrow-q_{2}$. Поэтому если задача допускает дополнительный интеграл движения, то он при этом должен переходить в компоненту $A_{1}=[1, \mathrm{p}]_{1}+$ $+\alpha q_{1} / r$ – вектора Лапласа. И действительно, наша задача допускает квадратичный интеграл движения, имеющий вид
\[
I=A_{1}+\frac{1}{2} \beta q_{2}^{2}, \quad I=-l p_{2}+\frac{\alpha q_{1}}{r}+\frac{\beta}{2} q_{2}^{2} .
\]

Отсюда следует, что уравнения движения интегрируются методом разделения переменных с одной из четырех систем координат, рассмотренных в разделе 2.3. Нетрудно видеть, что в данном случае для этого нужно перейти к параболическим координатам
\[
\xi=\frac{1}{2}\left(r+q_{1}\right), \quad \eta=\frac{1}{2}\left(r-q_{1}\right),
\]

откуда
\[
r=\xi+\eta, q_{1}=\xi-\eta, \quad q_{2}=2 \sqrt{\xi \eta} .
\]

Гамильтониан $H$ в новых переменных принимает вид
\[
H=\frac{1}{2(\xi+\eta)}\left(\xi p_{\xi}^{2}+\eta p_{\eta}^{2}\right)+\frac{1}{\xi+\eta}\left\{\beta\left(\xi^{2}-\eta^{2}\right)-\alpha\right\} .
\]

Таким образом; система имеет вид Лиувилля и ее интегрирование производится стандартно, в результате чего получаем уравнения
\[
\frac{d \xi}{\sqrt{R(\xi)}}=\frac{d \eta}{\sqrt{S(\eta)}}=d s, \quad d t=(\xi+\eta) d s,
\]

где
\[
R=2 \xi\left(\gamma+E \xi+\frac{\alpha}{2}-\beta \xi^{2}\right), \quad S=2 \eta\left(-\gamma+E \eta+\frac{\alpha}{2}+\beta \eta^{2}\right) .
\]

Интегрируя уравнения (2.9.6), получаем выражения для $\xi(s)$ и $\eta(s)$ через функцию Вейерштрасса $\mathfrak{P}(x)$. Заметим, что при $\beta=0$ мы возвращаемся к задаче Кеплера, которая может быть решена методом разделения переменных как в полярных, так и в параболических, а также в эллиптических координатах.