Рассмотренные до сих пор цепочки Тоды тесно связаны с алгеброй Ли s1 ( $n,\mathbb{R}$ ), и ее треугольными подалгебрами. Возникает вопрос: нельзя ли связать аналогичные системы с другими простыми алгебрами Ли? Положительный ответ на этот вопрос был дан в работе Богоявленского [125], где бьло показано, как можно построить интегрируемую систему типа Тоды по системе корней простой алгебры Ли или эквивалентно по соответствующей схеме Дынкина. Дальнейший прогресс в этом направлении достигнут в работах $[222,223,102,256,110,111]$.
1. Определения и представление Лакса. Пусть $q=(q_1,\dots ,q_n)$ и $p=$ $=(p_1,\dots ,p_n)$ являются векторами координаты и импульса в $n$-мерном евклидовом пространстве. Пусть ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_l$ набор из $l$ векторов в ${\mathbb{R}}^n$. Нас будет интересовать гамильтонова система с экспоненциальным взаимодействием:
$$H=\frac{1}{2}\sum _{j=1}^n{p}_j^2+\sum _{k=1}^l{g}_k^2\exp ({\alpha }_k,q),$$

где $g_k,k=1,\dots ,l$ — некоторые константы, а $({\alpha }_k,q)=\sum _{j=1}^{\overline{n}}{\alpha }_k^j{q}_j$ — скалярное произведение ${\alpha }_k$ и $q$. Заметим, что для $l⩽n$ можно положить $g_1=\dots$ $\dots =g_l=1$, используя сдвиги $q_j\to q_j+a_j$.

Если ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_l$ произвольный набор векторов в ${\mathbb{R}}^n$, то о таких гамильтоновых системах мало что можно сказать. Если же ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_l$ набор простых корней простой алгебры Ли, то почти все результаты предыдущих разделов (при необходимости несколько модифицированные) остаются справедливыми. В частности, рассматриваемые системы являются вполне интегрируемыми и обладают представлением Лакса.

Приведем детали этой конструкции. Всю необходимую информацию о простых алгебрах Ли можно найти в монографии [7] .

Пусть $\mathcal{G}$ — простая вещественная расщепимая алгебра Ли, $\mathcal{A}$ — ее подалгебра Картана, $R$ — соответствующая система корней, $R_{+}$- множество положительных корней и $\{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_l\}\subset R_{+}$- множество простых корней. Выберем $E_{\alpha }\in {\mathcal{G}}_{\alpha },\alpha \in R$ так, что.
$$[H,E_{\alpha }]=(\alpha ,H)E_{\alpha },H\in \mathcal{A}.$$

Для краткости положим $E_{\pm k}=E_{\pm \alpha }$. Взяв ортонормированный базис $F_1,\dots ,F_l$ в $\mathcal{A}$ относительно формы Киллинга ( , ), можем отождествить $\mathcal{A}$ с ${\mathbb{R}}^l$. Коммутационные соотношения дія $F_j$ и $E_k$ имеют вид
$$\begin{array}{l}[F_j,E_k]=\pm {\alpha }_k^j{E}_k,\\ [E_j,E_{-k}]={\delta }_{jk}{g}_k^2\sum _s{\alpha }_k^s{F}_s,{\alpha }_k^j=({\alpha }_k,F_j),\end{array}$$

где
$$g_k^2=(E_k,E_{-k}).$$

Т е о рем а 4.5.1. Обобщенная цепочка Тоды с гамильтонианом
$$H=\frac{1}{2}\sum _{k=1}^l{p}_k^2+\sum _{k=1}^l{g}_k^2\exp \left[2({\alpha }_k,q)\right]$$

является вполне интегрируемой и соответствующие уравнения движения допускают представление Лакса со значениями в $\mathcal{G}:\dot{L}=[L,M]$, где
$$\begin{array}{l}L=\sum _{k=1}^l{p}_k{F}_k+\sum _{k=1}^l{e}^{({\alpha }_k,q)}(E_k+E_{-k}),\\ M=\sum _{k=1.}^l{e}^{({\alpha }_k,q)}(E_k-E_{-k}).\end{array}$$

Ясно, что любое линейное представление алгебры $\mathcal{G}$ превращает пару Лакса (4.5.5) — (4.5.6) в матричнозначную пару Лакса.

Как обычно, инварианты элемента $L$, такие как $\mathrm{tr}(\pi (L{)}^k)$ для любого линейного представления $\pi$ алгебры $\mathcal{G}$, являются интегралами движения для уравнения Лакса. В частности,
$$H=\frac{1}{2}(L,L)\text{. }$$

Ниже мы покажем, что эти инварианты находятся в инволюции.
Гамильтониан (4.5.5) является прямым обобщением гамильтониана (4.1.1). Используя переменные $a_k,b_j$, аналогичные переменным (4.1.23), его можно также интерпретировать как обобщение (4.1.25). В самом деле, пусть ${\beta }_1,\dots ,{\beta }_l$ — базис, дуальный к базису ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_l:({\beta }_j,{\alpha }_k)=$ $={\delta }_{jk}$. Определим новые переменные
$$a_k=\exp ({\alpha }_k,q),b_j=({\beta }_j,p).$$

Скобки Пуассона этих переменных даются формулой
$$\{b_j,a_k\}={\delta }_{jk}{a}_k,$$

а гамильтониан (4.5.5) принимает вид
$$H=\frac{1}{2}\sum _{j,k}({\alpha }_j,{\alpha }_k)b_j{b}_k+\sum _k{g}_k^2{a}_k^2.$$

Полагая
$$H_j=\frac{2{\alpha }_j}{({\alpha }_j,{\alpha }_j)},$$

так что $[H_j,E_{\pm k}]=\pm c_{jk}{E}_{\pm k}$, где $(c_{jk}$ ) является матрицей Картана, мы можем записать представление Лакса в форме, аналогичной (4.1.14):
$$L=\sum _{j=1}^l{b}_j{H}_j+\sum _{k=1}^l{a}_k(E_k+E_{-k}),M=\sum _{k=1}^l{a}_k(E_k-E_{-k}).$$

Приведем список гамильтонианов обобщенных цепочек Тоды, соответствующих простым алгебрам Ли. При этом мы положим $g_k=1$, тогда
$$\begin{array}{l}{A}_{n-1}:H=\frac{1}{2}\sum _{j=1}^n{p}_j^2+e^{q_1-q_2}+\dots +e^{q_{n-1}-q_n},\\ B_n:H=\frac{1}{2}\sum _{j=1}^n{p}_j^2+e^{q_1-q_2}+\dots +e^{q_n-1-q_n}+e^{q_n},\\ C_n:H=\frac{1}{2}\sum _{j=1}^n{p}_j^2+e^{q_1-q_2}+\dots +e^{q_{n-1}-q_n}+e^{2q_n}\text{. }\\ D_n:H=\frac{1}{2}\sum _{j=1}^n{p}_j^2+e^{q_1-q_2}+\dots +e^{q_{n-1}-q_n}+e^{q_{n-1}+q_n}\text{, }\\ G_2:H=\frac{1}{2}\sum _{j=1}^3{p}_j^2+e^{q_1-q_2}+e^{-2q_1+q_2+q_3},\\ F_4:H=\frac{1}{2}\sum _{j=1}^4{p}_j^2+e^{q_1-q_2}+e^{q_2-q_3}+e^{q_3}+e^{\frac{1}{2}(q_4-q_1-q_2-q_3)},\\ E_6:H=\frac{1}{2}\sum _{j=1}^8{p}_j^2+e^{q_1-q_2}+e^{q_2-q_3}+e^{q_3-q_4}+\\ +e^{q_4-q_5}+e^{-(q_1+q_2)}+e^{\frac{1}{2}(-q_1+q_2+\dots +q_7-q_8)},\\ E_7:H=\frac{1}{2}\sum _{j=1}^8{p}_j^2+e^{q_1-q_2}+\dots +e^{q_5-q_6}+\\ +e^{-(q_1+q_2)}+e^{-\frac{1}{2}(-q_1+q_2+\dots +q_7-q_8)}\text{, }\\ E_8:H=\frac{1}{2}\sum _{j=1}^8{p}_j^2+e^{q_1-q_2}+\dots +e^{q_6-q_7}+\\ +e^{-(q_1+q_2)}+e^{\frac{1}{2}(-q_1+q_2+\dots +q_7-q_8)}\end{array}$$

Замечания.
1. Гамильтонианы типа $A_{n-1},G_2,E_6$ и $E_7$, приведенные выше, содержат большее число степеней свободы, чем ранг соответствующей системы корней, поскольку эти корневые системы удобно описывать в расширенном евклидовом пространстве (см. [7]). Такие корневые системы выделяются следующими линейными условиями:
$$\begin{array}{l}\text{ для }{A}_{n-1}\text{ и }{G}_2,q_7+q_8=0,\\ \sum _j=0& \text{ для }{E}_7,q_6=q_7=-q_8,\end{array}$$

2. Гамильтониан типа $D_4$ можно переписать в эквивалентном, но более симметричном виде:
$$H=\frac{1}{2}\sum _{j=1}^4{p}_j^2+e^{q_1}+e^{q_2}+e^{q_3}+e^{\frac{1}{2}(q_4-q_1-q_2-q_3)}$$
3. Системы Тоды типа $B_n$ и $C_n$ можно рассматривать как подсистемы обычной цепочки Тоды типа $A_n$ и $A_{2n-1}$ соответственно, где положения частиц симметричны относительно начала координат.

Приведем также пары Лакса для цепочек Тоды типа $A_{n-1},B_n,C_n$, $D_n,G_2$. Обозначим $a_j=e^{q_j-q_{j+1}}$ :
$$\begin{array}{l}{B}_n(\mathcal{G}=\text{ so }(n,n+1))\text{ : }\end{array}$$

$C_n(\mathcal{G}=\mathrm{sp}(2n,\mathbb{R})):$
$D_n(\mathcal{G}=$ so $(n,n)):$

2. Орбитная интерпретация обобщенных цепочек Тоды. Мы уже отмечали ранее, что существует общая ли-алгебраическая конструкция, связывающая обычную цепочку Тоды с группой Ли SL $(n,\mathbb{R}$ ) (см. теорему 4.2.1 и теорему 1.12.2). Та же конструкция работает также и для обобщенных цепочек Тоды, связанных с вещественными простыми расщепимыми группами Ли.

Пусть, как и вьше, $\mathcal{G}$ — вещественная простая расщепимая алгебра Ли, $\theta$ — автоморфизм Картана алгебры $\mathcal{G}$ и
$$\mathcal{G}=\mathcal{H}+\mathcal{F}$$

— соответствующее разложение Картана алгебры $\mathcal{G}$. Фиксируем картановскую алгебру ${\mathcal{A}}_{\text{в }}\mathcal{P}$ и выберем корневые векторы $E_{\alpha },\alpha \in R$ таким образом, что $\theta E_{\alpha }=-E_{-\alpha }$. Тогда компактная подалгебра $\mathcal{K}$ в $\mathcal{G}$ натянута на элементы $E_{\alpha }-E_{-\alpha }$, а \»симметрическое\» подпространство ${\mathcal{F}\mathcal{P}}^{\circ }$ натянуто на элементы $E_{\alpha }+E_{-\alpha },\alpha \in R_{+}$и $\mathcal{A}$. Соответствующая подгруппа $K$ является максимальной компактной подгруппой в $G$. Пусть $\mathcal{L}$ — нильпотентная подалгебра в $\mathcal{G}$, натянутая на $E_{\alpha },\alpha \in R_{+}$и $Z$ — соответствующая подгрупа. Тогда имеет место разложение Ивасавы
$$\begin{array}{l}\mathcal{G}=\mathcal{K}+\mathcal{A}+\mathcal{L}=\mathcal{K}+\mathcal{B},\mathcal{B}=\mathcal{A}+\mathcal{L},\\ G=KAZ=KB,B=AZ,\end{array}$$

где $A$ — картановская подгруппа, а $B$ — борелевская подгруппа в $G$.
Применим теперь теорему 1.12 .2 к разложению $\mathcal{G}=\mathcal{K}+\mathcal{B}$. Как обычно, пространство ${\mathcal{G}}^{\ast }$ можно отождествить с $\mathcal{G}$ с помощью формы Киллинга, так что $b^{\ast }$ отождествляется с ${\mathcal{P}}^9$ :
$${\mathcal{P}}^{\ast }\simeq {\mathcal{K}}^1={\mathcal{S}}^{\ast }.$$

Напомним, что скобка Ли—Пуассона на ${\mathcal{P}}^{\ast }$ имеет вид
$$\{x_j,x_k\}=\sum _l{C}_{jk}^l{x}_l$$

для линейных координатных функций $x_i$, где $C_{jk}^l-$ структурные постоянные алгебры ${\mathcal{F}}^{\circ }$. Теорема 1.12 .2 теперь переходит в
Теоре у 4.5.2.
a) Инвариантные функции на $\mathcal{G}$, ограниченные на $\mathcal{P}\simeq {\mathcal{B}}^{\ast }$, находятся в инволюции по отношению к скобке Пуассона на ${\mathcal{B}}_8^{\ast }$.
б) Если $F$ — инвариантная функция, то соответствующие уравнения Гамильтона на ${}^{\circ }$ можно переписать в форме Лакса
$$\dot{L}=[L,M_{\mathcal{X}}]=[L,M_{\mathcal{B}}],$$

где $M_{\mathcal{X}}\in {\mathcal{K}}_{\text{и }}{M}_{\mathcal{B}}\in \mathcal{B}$ определяются формулой
\[

abla F(L)=M_{\mathscr{K}}-M_{\mathscr{B}} .
\]

Для того чтобы получить обобщенную цепочку Тоды из теоремы 4.5.2, мы должны фиксировать орбиту группы $B$ в ${\mathcal{B}}^{\ast }$. Напомним, что $E_{\pm j}=E_{\pm {\alpha }_j}$, а $H_j$ определены формулой (4.5.11).
Теорем 4.5.3. Элементы
$$L=\mathrm{\Sigma }{b}_j{H}_j+\mathrm{\Sigma }{a}_j(E_j+E_{-j}),$$

где $-\mathrm{\infty }<b_j<\mathrm{\infty },0<a_j<\mathrm{\infty },j=1,\dots ,l(l=\dim \mathcal{A})$ заметают орбиту $O$ группы $B$ в ${\mathcal{B}}^{\ast }\simeq \mathcal{P}$. Скобка Ли-Пуассона на $\mathcal{O}$ дается при этом формулой
$$\{b_j,a_k\}={\delta }_{jk}{a}_k,\{a_j,a_k\}=0,\left\{b_j{b}_k\right\}=0.$$

Переходя от переменных $b_j,a_k$ к переменным $p_j,q_k$ согласно формуле (4.5.8), мы можем отождествить фазовое пространство обобщенной цепочки Тоды с орбитой коприсоединенного представления группы $B$, проходящей через точку $\mu =\sum _j(E_j+E_{-j})$. Далее, из (4.5.7), (4.5.10) мы видим, что гамильтониан цепочки Тоды $H=1/2(L,L)$ и инварианты $L$ являются интегралами движения, находящимися в инволюции. Нетрудно видеть, что среди этих интегралов имеется $l=1/2\dim \mathcal{O}$ функционально независимых на орбите. Действительно, инварианты алгебры $\mathcal{G}$, ограниченные на ‘картановскую подалгебру $\mathcal{A}$, дают $l$ функционально независимых полиномов на $\mathcal{A}$ (это следует из теоремы Шевалле).

Эти . $l$ полиномов остаются независимыми на подмножестве $\mathcal{A}+$ $+\mathrm{\Sigma }{a}_j(E_j+E_{-j})$ для случая достаточно малых положительных $a_j$, и следовательно, они независимы на $\mathcal{O}$. Это показывает, что обобщенные цепочки Тоды являются вполне интегрируемыми.
3. Обобщенные цепочки Тоды как редуцированные системы. В полной аналогии с разделами 4.3 и 4.4 можно показать, что цепочка Тоды, связанная с простой алгеброй Ли $\mathcal{G}$, получается путем редукции геодезического потока на симметрическом пространстве $X=G/K$ по отношению действия нильпотентной группы $Z$. Напомним, что дуальное пространство ${\mathcal{P}}^{\ast }$ можно отождествить с $\mathcal{P}$ из (4.5.16) и что имеется естественная проекция ${\mathcal{P}}^{\ast }\to {\mathcal{L}}^{\ast }$. Мы можем отождествить ${\mathcal{L}}^2$ с ортогональным дополнением к ${\mathcal{A}}_{\text{в }}{\mathcal{P}}^{\mathfrak{P}}$, натянутым на ( $E_{\alpha }+E_{-\alpha }$ ), $\alpha \in R_{+}$.
Tеорема4.5.4.
a) Приведенное пространство $T^{\ast }X$ по отношению к действию $Z$ для момента $\mu$ вида
$$\mu =\sum _{j=1}^l(E_j+E_{-j})$$

симплектически диффеоморфно орбиге $O_{\mu }$ группы $B$ в ${\mathcal{B}}^{\ast }$.
б) Редукция переводит геодезический поток на $T^{\ast }X$ в гамильтонов поток для цепочки Тоды на ${\mathcal{O}}_{\mu }$. В частности, риманова метрика на $X$ переходит в гамильтониан цепочки Тоды.

Опишем схему редукции более детально (она здесь несколько отличается от рассмотрения в разделе 4.4). Мы должны сначала определить отображение момента для действия $Z$ на $T^{\ast }X$. Введем сокращенное обозначение
$$g^T=\theta \left(g^{-1}\right),$$

где $\theta$— это инволюция Картана в $G$. Симметрическое пространство $X$ можно вложить в $G$ как вполне геодезическое подмногообразие, $X=\exp \mathcal{P}$, состоящее из элементов вида $x=g^T$.
Вспоминая разложение Ивасавы $G=BK$, мы можем написать
$$x=b{b}^T,b\in B,$$

и это отображение является диффеоморфизмом между $B$ и $X$. Действие группы $G$ на $X$ дается формулой
$$x\to gx{g}^T,$$

так что действие $B$ на $X$ при отождествлении (4.5.24) становится естественным действием группы $B$ на самой себе с помощью левых трансляций.

Используя (4.5.24), мы можем идентифицировать кокасательное пространство $T_x^{\ast }X$ с ${\mathcal{B}}^{\ast }$, тогда, как нетрудно видеть, отображение момента $\mathrm{\Phi }$ : $T^{\ast }X\to {\mathcal{G}}^{\ast }$ для действия (4.5.25) дается формулой
$$\mathrm{\Phi }(a,b{b}^T)={\mathrm{Ad}}_{b}a,a\in \mathcal{P}.$$

Следовательно, отображение момента для действия $Z$ имеет вид
$$\phi (a,b{b}^T)={\left({\mathrm{Ad}}_{b}a\right)}^{-},$$

где верхний индекс — означает проекцию из ${\mathcal{G}}^{\ast }$ на ${\mathcal{L}}^{\ast }$. Для того чтобы описать приведенное пространство, мы должны решить уравнение
$${\left({\mathrm{Ad}}_{b}a\right)}^{-}=\mu .$$

Полагая $b=z{e}^Q$, где $z\in Z,Q\in \mathcal{A}$, и замечая, что $\mu$ является фиксированной точкой для коприсоединенного действия $Z$, так что $Z_{\mu }=Z$, мы можем записать (4.5.28) в виде
$${\left({\mathrm{Ad}}_{e}Q\right)}^{-}=\sum _{j=1}^l(E_j+E_{-j})$$

что приводит к решению
$$a=\sum _{j=1}^l{b}_j{H}_j+\sum _{j=1}^l{a}_j(E_j+E_{-j}),$$

где $a_j=\exp ({\alpha }_j,Q)$, а величины $b_j$ произвольны. Нетрудно показать, что вели чины $a_j$ и $b_j$ являются канонически сопряженными. Это показывает, что приведенное пространство ${\phi }^{-1}(\mu )/Z$ совпадает с орбитой ${\mathcal{O}}_{\mu }$, описанной в теореме 4.5.3.

Геодезический піоток на $T^{\ast }X$ определяется $G$-инвариантным гамильтонианом $H(a,x)=\frac{1}{2}(a,a)$, который редуцируется к гамильтониану обобщенной цепочки Тоды. Геодезические в $X$ даются простой формулой
$$x(t)=b{e}^{at}{b}^T.$$

Для $b=z{e}^Q$ и $a$, определяемых формулой (4.5.30), эта геодезическая (точнее, ее подъем на $T^{\ast }X$ ) лежит в ${\phi }^{-1}(\mu )$. Теперь редукция сводится к нахождению орисферической координаты $Q(t)\in \mathcal{A}$ в разложении
$$x(t)=b(t)b^T(t)=z(t)e^{Q(t)}{z}^T(t),z(t)\in Z.$$

Следовательно, мы заключаем, что траектория $Q(t)$ обобщенной цепочки Тоды является орисферической проекцией геодезической $e^{Q(0)}{e}^{at}{e}^{Q(0)}$, где $a$ дается формулой (4.5.30).

В заключение этого раздела заметим, что теорема 1.12.7 дает следующий рецепт для решения уравнения Лакса (4.5.18).
Т е о р е м а 4.5.5. Пусть $F$ — инвариантная функция и
$$e^{tablaF(L)}=k(t)b(t)$$
— факторизация Ивасавы элемента $\exp [tablaF(L)]$. Тогда решение $L(t)$
уравнения Лакса (4.5.18) дается формулой
$L(t)={\mathrm{Ad}}_{k(t)}L(0)={\mathrm{Ad}}_{b^{-1}(t)}L(0)$.
Для обобщенной цепочки Тоды мы имеем $F(L)=\frac{1}{2}(L,L)$ и $ablaF(L)=L$, где $L$ дается формулой (4.5.20). Нетрудно видеть (так же, как в разделе 4.4), что решение проблемы факторизации (4.5.33) в этом случае эквивалентно нахождению разложения (4.5.32).