Рассмотренные до сих пор цепочки Тоды тесно связаны с алгеброй Ли s1 ( $n, \mathbb{R}$ ), и ее треугольными подалгебрами. Возникает вопрос: нельзя ли связать аналогичные системы с другими простыми алгебрами Ли? Положительный ответ на этот вопрос был дан в работе Богоявленского [125], где бьло показано, как можно построить интегрируемую систему типа Тоды по системе корней простой алгебры Ли или эквивалентно по соответствующей схеме Дынкина. Дальнейший прогресс в этом направлении достигнут в работах $[222,223,102,256,110,111]$.
1. Определения и представление Лакса. Пусть $q=\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)$ и $p=$ $=\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right)$ являются векторами координаты и импульса в $n$-мерном евклидовом пространстве. Пусть $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{l}$ набор из $l$ векторов в $\mathbb{R}^{n}$. Нас будет интересовать гамильтонова система с экспоненциальным взаимодействием:
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} p_{j}^{2}+\sum_{k=1}^{l} g_{k}^{2} \exp \left(\alpha_{k}, q\right),
\]

где $g_{k}, k=1, \ldots, l$ — некоторые константы, а $\left(\alpha_{k}, q\right)=\sum_{j=1}^{\bar{n}} \alpha_{k}^{j} q_{j}$ — скалярное произведение $\alpha_{k}$ и $q$. Заметим, что для $l \leqslant n$ можно положить $g_{1}=\ldots$ $\ldots=g_{l}=1$, используя сдвиги $q_{j} \rightarrow q_{j}+a_{j}$.

Если $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{l}$ произвольный набор векторов в $\mathbb{R}^{n}$, то о таких гамильтоновых системах мало что можно сказать. Если же $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{l}$ набор простых корней простой алгебры Ли, то почти все результаты предыдущих разделов (при необходимости несколько модифицированные) остаются справедливыми. В частности, рассматриваемые системы являются вполне интегрируемыми и обладают представлением Лакса.

Приведем детали этой конструкции. Всю необходимую информацию о простых алгебрах Ли можно найти в монографии [7] .

Пусть $\mathscr{G}$ — простая вещественная расщепимая алгебра Ли, $\mathcal{A}$ — ее подалгебра Картана, $R$ — соответствующая система корней, $R_{+}$- множество положительных корней и $\left\{\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{l}\right\} \subset R_{+}$- множество простых корней. Выберем $E_{\alpha} \in \mathscr{G}_{\alpha}, \alpha \in R$ так, что.
\[
\left[H, E_{\alpha}\right]=(\alpha, H) E_{\alpha}, \quad H \in \mathcal{A} .
\]

Для краткости положим $E_{ \pm k}=E_{ \pm \alpha}$. Взяв ортонормированный базис $F_{1}, \ldots, F_{l}$ в $\mathcal{A}$ относительно формы Киллинга ( , ), можем отождествить $\mathcal{A}$ с $\mathbb{R}^{l}$. Коммутационные соотношения дія $F_{j}$ и $E_{k}$ имеют вид
\[
\begin{array}{l}
{\left[F_{j}, E_{k}\right]= \pm \alpha_{k}^{j} E_{k},} \\
{\left[E_{j}, E_{-k}\right]=\delta_{j k} g_{k}^{2} \sum_{s} \alpha_{k}^{s} F_{s}, \quad \alpha_{k}^{j}=\left(\alpha_{k}, F_{j}\right),}
\end{array}
\]

где
\[
g_{k}^{2}=\left(E_{k}, E_{-k}\right) .
\]

Т е о рем а 4.5.1. Обобщенная цепочка Тоды с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{l} p_{k}^{2}+\sum_{k=1}^{l} g_{k}^{2} \exp \left[2\left(\alpha_{k}, q\right)\right]
\]

является вполне интегрируемой и соответствующие уравнения движения допускают представление Лакса со значениями в $\mathscr{G}: \dot{L}=[L, M]$, где
\[
\begin{array}{l}
L=\sum_{k=1}^{l} p_{k} F_{k}+\sum_{k=1}^{l} e^{\left(\alpha_{k}, q\right)}\left(E_{k}+E_{-k}\right), \\
M=\sum_{k=1 .}^{l} e^{\left(\alpha_{k}, q\right)}\left(E_{k}-E_{-k}\right) .
\end{array}
\]

Ясно, что любое линейное представление алгебры $\mathscr{G}$ превращает пару Лакса (4.5.5) — (4.5.6) в матричнозначную пару Лакса.

Как обычно, инварианты элемента $L$, такие как $\operatorname{tr}\left(\pi(L)^{k}\right)$ для любого линейного представления $\pi$ алгебры $\mathscr{G}$, являются интегралами движения для уравнения Лакса. В частности,
\[
H=\frac{1}{2}(L, L) \text {. }
\]

Ниже мы покажем, что эти инварианты находятся в инволюции.
Гамильтониан (4.5.5) является прямым обобщением гамильтониана (4.1.1). Используя переменные $a_{k}, b_{j}$, аналогичные переменным (4.1.23), его можно также интерпретировать как обобщение (4.1.25). В самом деле, пусть $\beta_{1}, \ldots, \beta_{l}$ — базис, дуальный к базису $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{l}:\left(\beta_{j}, \alpha_{k}\right)=$ $=\delta_{j k}$. Определим новые переменные
\[
a_{k}=\exp \left(\alpha_{k}, q\right), \quad b_{j}=\left(\beta_{j}, p\right) .
\]

Скобки Пуассона этих переменных даются формулой
\[
\left\{b_{j}, a_{k}\right\}=\delta_{j k} a_{k},
\]

а гамильтониан (4.5.5) принимает вид
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{j, k}\left(\alpha_{j}, \alpha_{k}\right) b_{j} b_{k}+\sum_{k} g_{k}^{2} a_{k}^{2} .
\]

Полагая
\[
H_{j}=\frac{2 \alpha_{j}}{\left(\alpha_{j}, \alpha_{j}\right)},
\]

так что $\left[H_{j}, E_{ \pm k}\right]= \pm c_{j k} E_{ \pm k}$, где $\left(c_{j k}\right.$ ) является матрицей Картана, мы можем записать представление Лакса в форме, аналогичной (4.1.14):
\[
L=\sum_{j=1}^{l} b_{j} H_{j}+\sum_{k=1}^{l} a_{k}\left(E_{k}+E_{-k}\right), \quad M=\sum_{k=1}^{l} a_{k}\left(E_{k}-E_{-k}\right) .
\]

Приведем список гамильтонианов обобщенных цепочек Тоды, соответствующих простым алгебрам Ли. При этом мы положим $g_{k}=1$, тогда
\[
\begin{array}{l}
A_{n-1}: \quad H=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} p_{j}^{2}+e^{q_{1}-q_{2}}+\ldots+e^{q_{n-1}-q_{n}}, \\
B_{n}: H=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} p_{j}^{2}+e^{q_{1}-q_{2}}+\ldots+e^{q_{n}-1-q_{n}}+e^{q_{n}}, \\
C_{n}: H=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} p_{j}^{2}+e^{q_{1}-q_{2}}+\ldots+e^{q_{n-1}-q_{n}}+e^{2 q_{n}} \text {. } \\
D_{n}: H=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} p_{j}^{2}+e^{q_{1}-q_{2}}+\ldots+e^{q_{n-1}-q_{n}}+e^{q_{n-1}+q_{n}} \text {, } \\
G_{2}: H=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{3} p_{j}^{2}+e^{q_{1}-q_{2}}+e^{-2 q_{1}+q_{2}+q_{3}}, \\
F_{4}: H=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{4} p_{j}^{2}+e^{q_{1}-q_{2}}+e^{q_{2}-q_{3}}+e^{q_{3}}+e^{\frac{1}{2}\left(q_{4}-q_{1}-q_{2}-q_{3}\right)}, \\
E_{6}: H=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{8} p_{j}^{2}+e^{q_{1}-q_{2}}+e^{q_{2}-q_{3}}+e^{q_{3}-q_{4}}+ \\
+e^{q_{4}-q_{5}}+e^{-\left(q_{1}+q_{2}\right)}+e^{\frac{1}{2}\left(-q_{1}+q_{2}+\ldots+q_{7}-q_{8}\right)}, \\
E_{7}: H=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{8} p_{j}^{2}+e^{q_{1}-q_{2}}+\ldots+e^{q_{5}-q_{6}}+ \\
+e^{-\left(q_{1}+q_{2}\right)}+e^{-\frac{1}{2}\left(-q_{1}+q_{2}+\ldots+q_{7}-q_{8}\right)} \text {, } \\
E_{8}: H=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{8} p_{j}^{2}+e^{q_{1}-q_{2}}+\ldots+e^{q_{6}-q_{7}}+ \\
+e^{-\left(q_{1}+q_{2}\right)}+e^{\frac{1}{2}\left(-q_{1}+q_{2}+\ldots+q_{7}-q_{8}\right)} \\
\end{array}
\]

Замечания.
1. Гамильтонианы типа $A_{n-1}, G_{2}, E_{6}$ и $E_{7}$, приведенные выше, содержат большее число степеней свободы, чем ранг соответствующей системы корней, поскольку эти корневые системы удобно описывать в расширенном евклидовом пространстве (см. [7]). Такие корневые системы выделяются следующими линейными условиями:
\[
\begin{array}{ll}
\text { для } A_{n-1} \text { и } G_{2}, q_{7}+q_{8}=0, \\
\sum_{j}=0 & \text { для } E_{7}, q_{6}=q_{7}=-q_{8},
\end{array}
\]

2. Гамильтониан типа $D_{4}$ можно переписать в эквивалентном, но более симметричном виде:
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{4} p_{j}^{2}+e^{q_{1}}+e^{q_{2}}+e^{q_{3}}+e^{\frac{1}{2}\left(q_{4}-q_{1}-q_{2}-q_{3}\right)}
\]
3. Системы Тоды типа $B_{n}$ и $C_{n}$ можно рассматривать как подсистемы обычной цепочки Тоды типа $A_{n}$ и $A_{2 n-1}$ соответственно, где положения частиц симметричны относительно начала координат.

Приведем также пары Лакса для цепочек Тоды типа $A_{n-1}, B_{n}, C_{n}$, $D_{n}, G_{2}$. Обозначим $a_{j}=e^{q_{j}-q_{j+1}}$ :
\[
\begin{array}{l}
B_{n}(\mathscr{G}=\text { so }(n, n+1)) \text { : } \\
\end{array}
\]

$C_{n}(\mathscr{G}=\operatorname{sp}(2 n, \mathbb{R})):$
$D_{n}(\mathscr{G}=$ so $(n, n)):$

2. Орбитная интерпретация обобщенных цепочек Тоды. Мы уже отмечали ранее, что существует общая ли-алгебраическая конструкция, связывающая обычную цепочку Тоды с группой Ли SL $(n, \mathbb{R}$ ) (см. теорему 4.2.1 и теорему 1.12.2). Та же конструкция работает также и для обобщенных цепочек Тоды, связанных с вещественными простыми расщепимыми группами Ли.

Пусть, как и вьше, $\mathscr{G}$ — вещественная простая расщепимая алгебра Ли, $\theta$ — автоморфизм Картана алгебры $\mathscr{G}$ и
\[
\mathscr{G}=\mathscr{H}+\mathscr{F}
\]

— соответствующее разложение Картана алгебры $\mathscr{G}$. Фиксируем картановскую алгебру $\mathcal{A}_{\text {в }} \mathscr{P}$ и выберем корневые векторы $E_{\alpha}, \alpha \in R$ таким образом, что $\theta E_{\alpha}=-E_{-\alpha}$. Тогда компактная подалгебра $\mathscr{K}$ в $\mathscr{G}$ натянута на элементы $E_{\alpha}-E_{-\alpha}$, а \»симметрическое\» подпространство $\mathscr{F P}^{\circ}$ натянуто на элементы $E_{\alpha}+E_{-\alpha}, \alpha \in R_{+}$и $\mathcal{A}$. Соответствующая подгруппа $K$ является максимальной компактной подгруппой в $G$. Пусть $\mathscr{L}$ — нильпотентная подалгебра в $\mathscr{G}$, натянутая на $E_{\alpha}, \alpha \in R_{+}$и $Z$ — соответствующая подгрупа. Тогда имеет место разложение Ивасавы
\[
\begin{array}{l}
\mathscr{G}=\mathscr{K}+\mathscr{A}+\mathscr{L}=\mathscr{K}+\mathscr{B}, \quad \mathscr{B}=\mathscr{A}+\mathscr{L}, \\
G=K A Z=K B, \quad B=A Z,
\end{array}
\]

где $A$ — картановская подгруппа, а $B$ — борелевская подгруппа в $G$.
Применим теперь теорему 1.12 .2 к разложению $\mathscr{G}=\mathscr{K}+\mathscr{B}$. Как обычно, пространство $\mathscr{G}^{*}$ можно отождествить с $\mathscr{G}$ с помощью формы Киллинга, так что $b^{*}$ отождествляется с $\mathscr{P}^{9}$ :
\[
\mathscr{P}^{*} \simeq \mathscr{K}^{1}=\mathscr{S}^{*} .
\]

Напомним, что скобка Ли—Пуассона на $\mathscr{P}^{*}$ имеет вид
\[
\left\{x_{j}, x_{k}\right\}=\sum_{l} C_{j k}^{l} x_{l}
\]

для линейных координатных функций $x_{i}$, где $C_{j k}^{l}-$ структурные постоянные алгебры $\mathscr{F}^{\circ}$. Теорема 1.12 .2 теперь переходит в
Теоре у 4.5.2.
a) Инвариантные функции на $\mathscr{G}$, ограниченные на $\mathscr{P} \simeq \mathscr{B}^{*}$, находятся в инволюции по отношению к скобке Пуассона на $\mathscr{B}_{8}^{*}$.
б) Если $F$ — инвариантная функция, то соответствующие уравнения Гамильтона на $\mathscr{~}^{\circ}$ можно переписать в форме Лакса
\[
\dot{L}=\left[L, M_{\mathscr{X}}\right]=\left[L, M_{\mathscr{B}}\right],
\]

где $M_{\mathscr{X}} \in \mathscr{K}_{\text {и }} M_{\mathscr{B}} \in \mathscr{B}$ определяются формулой
\[

abla F(L)=M_{\mathscr{K}}-M_{\mathscr{B}} .
\]

Для того чтобы получить обобщенную цепочку Тоды из теоремы 4.5.2, мы должны фиксировать орбиту группы $B$ в $\mathscr{B}^{*}$. Напомним, что $E_{ \pm j}=E_{ \pm \alpha_{j}}$, а $H_{j}$ определены формулой (4.5.11).
Теорем 4.5.3. Элементы
\[
L=\Sigma b_{j} H_{j}+\Sigma a_{j}\left(E_{j}+E_{-j}\right),
\]

где $-\infty<b_{j}<\infty, 0<a_{j}<\infty, j=1, \ldots, l(l=\operatorname{dim} \mathcal{A})$ заметают орбиту $O$ группы $B$ в $\mathscr{B}^{*} \simeq \mathscr{P}$. Скобка Ли-Пуассона на $\mathcal{O}$ дается при этом формулой
\[
\left\{b_{j}, a_{k}\right\}=\delta_{j k} a_{k},\left\{a_{j}, a_{k}\right\}=0,\left\{b_{j} b_{k}\right\}=0 .
\]

Переходя от переменных $b_{j}, a_{k}$ к переменным $p_{j}, q_{k}$ согласно формуле (4.5.8), мы можем отождествить фазовое пространство обобщенной цепочки Тоды с орбитой коприсоединенного представления группы $B$, проходящей через точку $\mu=\sum_{j}\left(E_{j}+E_{-j}\right)$. Далее, из (4.5.7), (4.5.10) мы видим, что гамильтониан цепочки Тоды $H=1 / 2(L, L)$ и инварианты $L$ являются интегралами движения, находящимися в инволюции. Нетрудно видеть, что среди этих интегралов имеется $l=1 / 2 \operatorname{dim} \mathcal{O}$ функционально независимых на орбите. Действительно, инварианты алгебры $\mathscr{G}$, ограниченные на ‘картановскую подалгебру $\mathcal{A}$, дают $l$ функционально независимых полиномов на $\mathcal{A}$ (это следует из теоремы Шевалле).

Эти . $l$ полиномов остаются независимыми на подмножестве $\mathcal{A}+$ $+\Sigma a_{j}\left(E_{j}+E_{-j}\right)$ для случая достаточно малых положительных $a_{j}$, и следовательно, они независимы на $\mathcal{O}$. Это показывает, что обобщенные цепочки Тоды являются вполне интегрируемыми.
3. Обобщенные цепочки Тоды как редуцированные системы. В полной аналогии с разделами 4.3 и 4.4 можно показать, что цепочка Тоды, связанная с простой алгеброй Ли $\mathscr{G}$, получается путем редукции геодезического потока на симметрическом пространстве $X=G / K$ по отношению действия нильпотентной группы $Z$. Напомним, что дуальное пространство $\mathscr{P}^{*}$ можно отождествить с $\mathscr{P}$ из (4.5.16) и что имеется естественная проекция $\mathscr{P}^{*} \rightarrow \mathscr{L}^{*}$. Мы можем отождествить $\mathscr{L}^{2}$ с ортогональным дополнением к $\mathcal{A}_{\text {в }} \mathscr{P}^{\mathfrak{P}}$, натянутым на ( $E_{\alpha}+E_{-\alpha}$ ), $\alpha \in R_{+}$.
Tеорема4.5.4.
a) Приведенное пространство $T^{*} X$ по отношению к действию $Z$ для момента $\mu$ вида
\[
\mu=\sum_{j=1}^{l}\left(E_{j}+E_{-j}\right)
\]

симплектически диффеоморфно орбиге $O_{\mu}$ группы $B$ в $\mathscr{B}^{*}$.
б) Редукция переводит геодезический поток на $T^{*} X$ в гамильтонов поток для цепочки Тоды на $\mathcal{O}_{\mu}$. В частности, риманова метрика на $X$ переходит в гамильтониан цепочки Тоды.

Опишем схему редукции более детально (она здесь несколько отличается от рассмотрения в разделе 4.4). Мы должны сначала определить отображение момента для действия $Z$ на $T^{*} X$. Введем сокращенное обозначение
\[
g^{T}=\theta\left(g^{-1}\right),
\]

где $\theta$— это инволюция Картана в $G$. Симметрическое пространство $X$ можно вложить в $G$ как вполне геодезическое подмногообразие, $X=\exp \mathscr{P}$, состоящее из элементов вида $x=g^{T}$.
Вспоминая разложение Ивасавы $G=B K$, мы можем написать
\[
x=b b^{T}, \quad b \in B,
\]

и это отображение является диффеоморфизмом между $B$ и $X$. Действие группы $G$ на $X$ дается формулой
\[
x \rightarrow g x g^{T},
\]

так что действие $B$ на $X$ при отождествлении (4.5.24) становится естественным действием группы $B$ на самой себе с помощью левых трансляций.

Используя (4.5.24), мы можем идентифицировать кокасательное пространство $T_{x}^{*} X$ с $\mathscr{B}^{*}$, тогда, как нетрудно видеть, отображение момента $\Phi$ : $T^{*} X \rightarrow \mathscr{G}^{*}$ для действия (4.5.25) дается формулой
\[
\Phi\left(a, b b^{T}\right)=\operatorname{Ad}_{b} a, \quad a \in \mathscr{P} .
\]

Следовательно, отображение момента для действия $Z$ имеет вид
\[
\varphi\left(a, b b^{T}\right)=\left(\operatorname{Ad}_{b} a\right)^{-},
\]

где верхний индекс — означает проекцию из $\mathscr{G}^{*}$ на $\mathscr{L}^{*}$. Для того чтобы описать приведенное пространство, мы должны решить уравнение
\[
\left(\operatorname{Ad}_{b} a\right)^{-}=\mu .
\]

Полагая $b=z e^{Q}$, где $z \in Z, Q \in \mathcal{A}$, и замечая, что $\mu$ является фиксированной точкой для коприсоединенного действия $Z$, так что $Z_{\mu}=Z$, мы можем записать (4.5.28) в виде
\[
\left(\operatorname{Ad}_{e} Q\right)^{-}=\sum_{j=1}^{l}\left(E_{j}+E_{-j}\right)
\]

что приводит к решению
\[
a=\sum_{j=1}^{l} b_{j} H_{j}+\sum_{j=1}^{l} a_{j}\left(E_{j}+E_{-j}\right),
\]

где $a_{j}=\exp \left(\alpha_{j}, Q\right)$, а величины $b_{j}$ произвольны. Нетрудно показать, что вели чины $a_{j}$ и $b_{j}$ являются канонически сопряженными. Это показывает, что приведенное пространство $\varphi^{-1}(\mu) / Z$ совпадает с орбитой $\mathcal{O}_{\mu}$, описанной в теореме 4.5.3.

Геодезический піоток на $T^{*} X$ определяется $G$-инвариантным гамильтонианом $H(a, x)=\frac{1}{2} \quad(a, a)$, который редуцируется к гамильтониану обобщенной цепочки Тоды. Геодезические в $X$ даются простой формулой
\[
x(t)=b e^{a t} b^{T} .
\]

Для $b=z e^{Q}$ и $a$, определяемых формулой (4.5.30), эта геодезическая (точнее, ее подъем на $T^{*} X$ ) лежит в $\varphi^{-1}(\mu)$. Теперь редукция сводится к нахождению орисферической координаты $Q(t) \in \mathcal{A}$ в разложении
\[
x(t)=b(t) b^{T}(t)=z(t) e^{Q(t)} z^{T}(t), z(t) \in Z .
\]

Следовательно, мы заключаем, что траектория $Q(t)$ обобщенной цепочки Тоды является орисферической проекцией геодезической $e^{Q(0)} e^{a t} e^{Q(0)}$, где $a$ дается формулой (4.5.30).

В заключение этого раздела заметим, что теорема 1.12.7 дает следующий рецепт для решения уравнения Лакса (4.5.18).
Т е о р е м а 4.5.5. Пусть $F$ — инвариантная функция и
\[
e^{t
abla F(L)}=k(t) b(t)
\]
— факторизация Ивасавы элемента $\exp [t
abla F(L)]$. Тогда решение $L(t)$
уравнения Лакса (4.5.18) дается формулой
$L(t)=\operatorname{Ad}_{k(t)} L(0)=\operatorname{Ad}_{b^{-1}(t)} L(0)$.
Для обобщенной цепочки Тоды мы имеем $F(L)=\frac{1}{2}(L, L)$ и $
abla F(L)=L$, где $L$ дается формулой (4.5.20). Нетрудно видеть (так же, как в разделе 4.4), что решение проблемы факторизации (4.5.33) в этом случае эквивалентно нахождению разложения (4.5.32).