Цепочка Тоды — это система частиц на прямой с экспоненциальным взаимодействием между ближайшими соседями.

Для бесконечного числа частиц на прямой такая система была впервые рассмотрена в 1967 г. в работе Тоды [298, 299], который обнаружил, что в такой ангармонической решетке могут распространяться незатухающие нелинейные волны.

Случай конечного числа частиц отличается от изученного Тодой рядом специфических особенностей и должен рассматриваться отдельно. Прежде всего надо различать непериодическую цепочку $n$ частиц на прямой, когда первая и последняя частицы не взаимодействуют друг с другом, и периодическую цепочку $n$ частиц, когда эти частицы взаимодействуют так же, как. и все остальные.

Более простой случай непериодической цепочки Тоды и его обобщения и будут представлены в данной главе. Периодическая цепочка будет рассмотрена отдельно; в этом случае приходится использовать более сложный математический аппарат — теорию абелевых интегралов и тета-функций.

Остановимся кратко на истории данной задачи, отсылая за деталями к монографии [33].

В 1974 г. в работе [196] для цепочки Тоды, состоящей из $n$ частиц, были найдены $n$ функционально независимых интегралов движения. В том же году в работах Флашки $[168,169]$ и Манакова [88] была доказана инволютивность этих интегралов и, тем самым, полная интегрируемость рассматриваемой системы. Вскоре Мозером [252] и Кацем и ван Мербеке [214] было показано, что для непериодической цепочки величины $\exp (q_j(t))$ ( $q_j$ — координата $j$-й точки) являются рациональными функциями экспонент $\exp \left({\lambda }_{k}t\right)$, где ${\lambda }_k$ — асимптотический импульс $k$-й частицы при $t\to +\mathrm{\infty }$.

В работе Богоявленского [125] были введены обобщенные цепочки Тоды, связанные с системами корней произвольной простой алгебры Ли. При этом обычная цепочка Тоды связана с алгеброй Ли $\mathrm{sl}(n,\mathbb{R})$-алгеброй вещественных матриц порядка $n$ со следом, равным нулю. Наконец, в работах Ольшанецкого и автора [256, 97] и Костанта [222] с помощью методов теории групп уравнения движения для непериодического случая были проинтегрированы явно. Отметим еще работу Адлера [109], где было показано, что фазовое пространство непериодической цепочки Тоды изоморфно орбите коприсоединенного представления группы треугольных матриц со стандартной симплектической структурой на этой орбите. Другие обобщенные цепочки Тоды связаны с орбитами коприсоединенного представления разрешимьх групп Ли [292,293,272,216,181,182].

Периодическая цепочка Тоды является значительно более сложной системой и не будет подробно рассматриваться в данной главе. Отметим лишь, что хотя она и вполне интегрируема, однако, в отличие от непериодической цепочки, она не является асимптотически свободной: при $t\to \pm \mathrm{\infty }$ она испытывает сложные нелинейные колебания. Уравнения движения такой системы были сведены к квадратурам в работе Каца и ван Мербеке [215] и проинтегрированы в тета-функциях в работе Кричевера [83] методами алгебраической геометрии, развитыми в обзоре [12]. Случай обобщенных периодических цепочек Тоды [125] изучен в работах [272, 273, $110,111]$.

Интегрирование так называемой неабелевой цепочки Тоды было выполнено Кричевером (см. приложение к работе [13]). Отметим еще работу [246], где было показано, что для периодической цепочки Тоды уравнения движения могут быть линеаризованы на так называемом многообразии Якоби алгебраической кривой, связанной с данной системой, а также ряд других работ $[170,158,171,167,112,113,216,181,182,247,68]$, посвященных различным аспектам рассматриваемой проблемы.