В настоящем разделе мы, следуя работе [97], рассмотрим более подробно геометрический смысл результатов предыдущего раздела с точки зрения редукции гамильтоновых систем с симметрией (см. раздел 1.7). Такая редукция характеризуется определенным моментом – матрицей, зависящей от констант взаимодействия $g_{j}^{2}$. При этом мы получаем также реализацию фазового пространства цепочки Тоды как орбиты коприсоединенного представления группы треугольных матриц.
1. Напомним, что фазовым пространством геодезического потока на пространстве $X=\mathrm{SL}(n, \mathrm{LR}) / \mathrm{SO}(n)$ – пространстве вещественных симметрических положительно определенных матриц порядка $n$ с определителем, равным единице, является кокасательное расслоение $M=T^{*} X=\{x, y\}$ с симплектической формой $\omega=d y \wedge d\left(x^{-1}\right)$, являющейся $G$-инвариантной и точной: $\omega=d \theta$. На $M$ действует группа $G=\operatorname{SL}(n$, [R) согласно формуле (4.3.13), причем формы $\omega$ и $\theta$ инвариантны относительно этого действия. Элемент $\xi$ алгебры Ли $\mathscr{G}$ группы $G$ задает бесконечно малое преобразование пространства $M$ – порождает векторное поле на $M$ :
\[
\frac{d}{d t}\left(x^{-1}\right)=-\xi^{\prime} x^{-1}-x^{-1} \xi, \frac{d}{d t} y=\xi y+y \xi^{\prime} .
\]

Это поле является гамильтоновым и, как нетрудно проверить, в свою очередь порождается гамильтонианом
\[
H_{\xi}(x, y)=\operatorname{tr}\left(x^{-1} y \xi^{\prime}+y x^{-1} \xi\right) .
\]

Поэтому соответствующее отображение момента $\Phi: T^{*} X \rightarrow \mathscr{G}^{*}$ имеет вид
\[
\Phi(x, y)=2 y x^{-1} .
\]

В качестве группы редукции возьмем подгруппу $Z$ верхних треугольных матриц с единицами на главной диагонали. Пусть $\mathscr{L}$ – алгебра Ли группы $Z$. Форма Киллинга -Картана $(x, y)=\operatorname{tr}(x y)$ на $\mathscr{G}$ позволяет нам отождествить дуальное пространство $\mathscr{L}^{*}$ с алгеброй Ли $\mathscr{L}^{\prime}$ строго нижних треугольных матриц. Ограничивая отображение момента (4.4.3) на $\mathscr{L}$, получаем отображение момента $\varphi: T^{*} X \rightarrow \mathscr{L}^{*}=\mathscr{L} \mathcal{L}^{\prime}$ для действия $Z$ на $T^{*} X$ :
\[
\varphi(x, y)=2\left(y x^{-1}\right)^{-},
\]

где через $\xi^{-}$обозначена строго нижняя треугольная часть $\xi$, т.е. элементы $\xi$, стоящие на или выше главной диагонали, полагаем равными нулю.
В качестве значения $\mu$ момента $\varphi$ возьмем матрицу
\[
\mu_{j k}=2 g_{k} \delta_{j, k}+1 .
\]

Нетрудно проверить, что $\mu$ является неподвижной точкой присоединенного действия группы $Z$.
2. Покажем, что при редукции геодезического потока на $X$ по отношению к действию группы $Z$ мы получаем цепочку Тоды.
Сначала докажем следующее предложение.
Предложение 4.4.1. Подмногообразие $\varphi^{-1}(\mu)$ в $T^{*} X$ с $\mu$ и , заданными формулами (4.4.5) и (4.4.4), описывается матрицами
\[
\begin{array}{l}
x=z \exp (2 Q) z^{\prime}, \\
y=z \tilde{y} z^{\prime},
\end{array}
\]

где $z$ пробегает всю группу $Z, Q=\operatorname{diag}\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)$ и
\[
\tilde{y}_{j k}=p_{j} e^{2 q_{j} \delta_{j k}}+g_{j} e^{2 q_{j} \delta_{j, k-1}+g_{j-1} e^{2 q_{j}-1} \delta_{j-1, k} .}
\]

Доказательство. Как уже отмечалось выше, любую матрицу $x \in X$ можно привести к диагональному виду с помощью преобразования из подгруппы $Z: x=z$ exp (2Q) $z^{\prime}$. Матрица $y$ при этом переходит в матрицу $\widetilde{y}: y=z \widetilde{y z} z^{\prime}$. После отображения момента этим преобразованиям будут соответствовать преобразования из коприсоединенного представления группы $Z$. При этом очевидно, что группа $Z$ сохраняет момент $\mu$ (4.4.5). Следовательно, уравнение $2\left(y x^{-1}\right)^{-}=\mu$ дает
\[
\exp \left(-2 q_{k}\right){\tilde{y_{k, k+1}}}=g_{k}, \tilde{y}_{k, k+m}=0 \text { для } m>1 .
\]

Полагая $\tilde{y}_{k k}=p_{k} \exp \left(2 q_{k}\right)$ и изменяя масштаб, так что $\tilde{y}$ становятся симметрической матрицей, получаем (4.4.8).

Однако удобнее параметризовать многообразие $\varphi^{-1}(\mu)$ не парой $(x, y)$, а эквивалентной ей парой $x$ (4.4.6) и
\[
y x^{-1}=\operatorname{Ad}_{z} L,
\]

где, очевидно,
\[
L_{j k}=p_{j} \delta_{j k}+g_{j-1} \delta_{j-1, k}+g_{j} e^{2\left(q_{j}-q_{j+1}\right)} \delta_{j, k-1} .
\]

Заметим, что $L$ – это матрица из несимметричной пары Лакса (4.1.4′) для цепочки Тоды (с $g_{1}=\ldots=g_{n-1}=1$ ).

Как уже отмечалось, подгруппа $Z$ совпадает со стационарной подгруппой точки $\mu$. Поэтому справедливо следующее утверждение.

Предложение 4.4.2. Приведенное фазовое пространство $\tilde{M}=$ $=\varphi^{-1}(\mu) / Z$ параметризуется двумя векторами
\[
q=\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n} \text { и } p\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n},
\]

или, что эквивалентно, двумя матрицами
\[
\exp (2 Q) \text { и } L \text { с } \Sigma q_{j}=0=\Sigma p_{j} \text {. }
\]

Перейдем теперь к рассмотрению гамильтониана (4.3.18), описывающего геодезический поток. Он инвариантен, в частности, относительно преобразования из подгруппы $Z$.

Предложение 4.4.3. При отображении проекции $\pi: M \rightarrow \tilde{M}$ гамильтониан (4.3.18) переходит в гамильтониан цепочки Тоды (4.1.1), а симплектическая форма (4.3.12), ограниченная на $\varphi^{-1}(\mu)$, переходит в стандартную форму на $\widetilde{M}$ :
\[
\widetilde{\omega}=2 d p \wedge d q .
\]

Док а з т л в с в о. Из формулы (4.4.10) следует, что
\[
\widetilde{H}=\frac{1}{2} \operatorname{tr}\left(y x^{-1} y x^{-1}\right)=\frac{1}{2} \operatorname{tr}\left(L^{2}\right) .
\]

Очевидно, что $\tilde{H}$ совпадает с гамильтонианом цепочки Тоды (4.1.1).
Аналогично, используя формулы (4.4.6) и (4.4.7), мы можем вычислить форму $\omega=-\frac{1}{2} \operatorname{tr} d y \wedge d\left(x^{-1}\right)$ на $M$ и показать, что она проектируется в форму $\tilde{\omega}=d p \wedge d q$ на $\tilde{M}$. Таким образом, мы показали, что редукция по отношению к подгрупе $Z$ дает интересующую нас динамическую систему. Как уже отмечалось выше, величины
\[
I_{k}=\frac{1}{k} \operatorname{tr}\left(y x^{-1}\right)^{k}
\]

являются интегралами движения геодезического потока. Нетрудно показать, что они находятся в инволюции. Поскольку величины $I_{k}$ являются $Z$-инвариантными (в действительности $G$-инвариантными), они переходят в функциии $\tilde{I}_{k}=\frac{1}{k} \operatorname{tr}\left(L^{k}\right)$ на приведенном фазовом пространстве $\tilde{M}$, находящиеся в инволюции. Отсюда в качестве следствия получаем опять утверждение о том, что цепочка Тоды является вполне интегрируемой системой, причем интегралы движения даются формулой
\[
\tilde{I}_{k}=\frac{1}{k} \operatorname{tr}\left(L^{k}\right) \text {. }
\]
3. Обозначим через $B$ подгруппу верхних треугольных матриц в группе $G=\mathrm{SL}(n, \mathbb{R})$. Покажем, как в методе редукции возникает реализация фазового пространства цепочки Тоды как орбиты коприсоединенного представления группы $B$ ([108], [222]).

Заметим вначале, что действие $B$ на симметрическом пространстве $X$ является свободным и транзитивным, поскольку любую матрицу $x \in X$ можно представить в виде $x=b b^{\prime}, b \in B$, и такое разложение единственно. Следовательно, $X$ можно отождествить с $B$, так что действие $B$ на $X$ отождествляется с действием $B$ на самой себе левыми сдвигами, а $T^{*} X$ отождествляется с $T^{*} B$. Пример 3 в конце раздела 1.7 показывает, что гамильтонова редукция $T^{*} B$ по отношению к действию $B$ левыми сдвигами на точку $\mu$, принадлежащую $\mathscr{B}^{*}$, дает орбиту $\mathcal{O}_{\mu}$ коприсоединенного представления, проходящую через $\mu$. Мы должны теперь сравнить результаты двух редукций: одной по отношению к группе $Z$ и другой по отношению к большей группе $B$.
Отображение момента $\varphi_{B}: T^{*} X \rightarrow \mathscr{P}^{*}$ дается формулой
\[
\varphi_{B}(x, y)=2\left(y x^{-1}\right)_{-},
\]

где $\xi_{-}$означает нижнюю треугольную часть матрицы $\xi$. Мы имеем $\varphi(x, y)=$ $=\left(\varphi_{B}(x, y)\right)^{-}$. Ясно, что для любого $\mu \in \mathscr{P}^{*}, \varphi_{B}^{-1}(\mu) \subset \varphi^{-1}\left(\mu^{-}\right)$. Пусть $B_{\mu}$ (соответственно $Z_{\mu}$ ) является стационарной подгруппой элемента $\mu$ в групи $B$ (соответственно в группе $Z$ ). Приведенное пространство $\widetilde{M}_{B}$ для $B$-редукции является пространством $B_{\mu}$-орбит в $\varphi_{B}^{-1}(\mu)$, тогда как приведенное пространетво $\tilde{M}$ для $Z$-редукции является пространством $Z_{\mu \text {-орбит в }} \varphi^{-1}\left(\mu^{-}\right)$. Мы утверждаем, что если $\mu$ дается формулой (4.4.5) с $g_{k}
eq 0, k=1, \ldots, n-1$, то $Z_{\mu}=Z$ и каждая $Z$-орбита в $\varphi^{-1}\left(\mu^{-}\right)$ пересекает $\varphi_{B}^{-1}(\mu)$ вдоль единственной орбиты группы $B_{\mu}$. Действительно, из $\varphi(x, y)=\mu$ следует, что $\varphi_{B}(x, y)=\mu+d$, где $d$ – диагональная матрица. Нетрудно видеть, что при наших предположениях имеется элемент $z \in Z$ такой, что $\left(\operatorname{Ad}_{B}^{*}\right)_{z}(\mu+d)=\mu$, где $\operatorname{Ad}_{B}^{*}$ – коприсоединенное представление группы $B$. Тогда $\varphi_{B}\left(z x z^{\prime}, z y z^{\prime}\right)=\mu$, так что каждая $Z$-орбита в $\varphi^{-1}(\mu)$ пересекает $\varphi_{B}^{-1}(\mu)$. Если $(x, y)$ и $\left(z x z^{\prime}, z y z^{\prime}\right)$ – две точки в $\varphi_{B}^{-1}(\mu)$, то
\[
\varphi_{B}\left(z x z^{\prime}, z y z^{\prime}\right)=\left(\operatorname{Ad}_{B}^{*}\right)_{z} \varphi_{B}(x, y)=\mu,
\]

так что $\left(\operatorname{Ad}_{B}^{*}\right)_{z} \mu=\mu$, и следовательно, $z \in B_{\mu}$. Таким образом, пересечение представляет одну $B_{\mu}$-орбиту в $\varphi_{B}^{-1}(\mu)$. Мы показали, такимобразом, что приведенные пространства $\tilde{M}$ и $\tilde{M}_{B}$ можно канонически отождествить. Однако, как мы упоминали выше, $\widetilde{M}_{B}$ совпадает с коприсоединенной орбитой $\mathcal{O}_{\mu}$ элемента $\mu$.

Нетрудно доказать, что коразмерность $B_{\mu}$ в $B$, а следовательно, размерность орбиты $\mathcal{O}_{\mu}$, равна $2(n-1)$, т.е. размерности $\widetilde{M}$.
4.5. Обобщенные непериодические цепочки Тоды, связанные с простыми алгебрами Ли