В настоящем разделе мы, следуя работе [97], рассмотрим более подробно геометрический смысл результатов предыдущего раздела с точки зрения редукции гамильтоновых систем с симметрией (см. раздел 1.7). Такая редукция характеризуется определенным моментом — матрицей, зависящей от констант взаимодействия $g_j^2$. При этом мы получаем также реализацию фазового пространства цепочки Тоды как орбиты коприсоединенного представления группы треугольных матриц.
1. Напомним, что фазовым пространством геодезического потока на пространстве $X=\mathrm{SL}(n,\mathrm{LR})/\mathrm{SO}(n)$ — пространстве вещественных симметрических положительно определенных матриц порядка $n$ с определителем, равным единице, является кокасательное расслоение $M=T^{\ast }X=\{x,y\}$ с симплектической формой $\omega =dy\wedge d\left(x^{-1}\right)$, являющейся $G$-инвариантной и точной: $\omega =d\theta$. На $M$ действует группа $G=\mathrm{SL}(n$, [R) согласно формуле (4.3.13), причем формы $\omega$ и $\theta$ инвариантны относительно этого действия. Элемент $\xi$ алгебры Ли $\mathcal{G}$ группы $G$ задает бесконечно малое преобразование пространства $M$ — порождает векторное поле на $M$ :
$$\frac{d}{dt}\left(x^{-1}\right)=-{\xi }^{\prime }{x}^{-1}-x^{-1}\xi ,\frac{d}{dt}y=\xi y+y{\xi }^{\prime }.$$

Это поле является гамильтоновым и, как нетрудно проверить, в свою очередь порождается гамильтонианом
$$H_{\xi }(x,y)=\mathrm{tr}(x^{-1}y{\xi }^{\prime }+y{x}^{-1}\xi ).$$

Поэтому соответствующее отображение момента $\mathrm{\Phi }:T^{\ast }X\to {\mathcal{G}}^{\ast }$ имеет вид
$$\mathrm{\Phi }(x,y)=2y{x}^{-1}.$$

В качестве группы редукции возьмем подгруппу $Z$ верхних треугольных матриц с единицами на главной диагонали. Пусть $\mathcal{L}$ — алгебра Ли группы $Z$. Форма Киллинга -Картана $(x,y)=\mathrm{tr}(xy)$ на $\mathcal{G}$ позволяет нам отождествить дуальное пространство ${\mathcal{L}}^{\ast }$ с алгеброй Ли ${\mathcal{L}}^{\prime }$ строго нижних треугольных матриц. Ограничивая отображение момента (4.4.3) на $\mathcal{L}$, получаем отображение момента $\phi :T^{\ast }X\to {\mathcal{L}}^{\ast }=\mathcal{L}{\mathcal{L}}^{\prime }$ для действия $Z$ на $T^{\ast }X$ :
$$\phi (x,y)=2{\left(y{x}^{-1}\right)}^{-},$$

где через ${\xi }^{-}$обозначена строго нижняя треугольная часть $\xi$, т.е. элементы $\xi$, стоящие на или выше главной диагонали, полагаем равными нулю.
В качестве значения $\mu$ момента $\phi$ возьмем матрицу
$${\mu }_{jk}=2g_k{\delta }_{j,k}+1.$$

Нетрудно проверить, что $\mu$ является неподвижной точкой присоединенного действия группы $Z$.
2. Покажем, что при редукции геодезического потока на $X$ по отношению к действию группы $Z$ мы получаем цепочку Тоды.
Сначала докажем следующее предложение.
Предложение 4.4.1. Подмногообразие ${\phi }^{-1}(\mu )$ в $T^{\ast }X$ с $\mu$ и , заданными формулами (4.4.5) и (4.4.4), описывается матрицами
$$\begin{array}{l}x=z\exp (2Q)z^{\prime },\\ y=z\tilde{y}{z}^{\prime },\end{array}$$

где $z$ пробегает всю группу $Z,Q=\mathrm{diag}(q_1,\dots ,q_n)$ и
$${\tilde{y}}_{jk}=p_j{e}^{2q_j{\delta }_{jk}}+g_j{e}^{2q_j{\delta }_{j,k-1}+g_{j-1}{e}^{2q_j-1}{\delta }_{j-1,k}.}$$

Доказательство. Как уже отмечалось выше, любую матрицу $x\in X$ можно привести к диагональному виду с помощью преобразования из подгруппы $Z:x=z$ exp (2Q) $z^{\prime }$. Матрица $y$ при этом переходит в матрицу $\tilde{y}:y=z\widetilde{yz}{z}^{\prime }$. После отображения момента этим преобразованиям будут соответствовать преобразования из коприсоединенного представления группы $Z$. При этом очевидно, что группа $Z$ сохраняет момент $\mu$ (4.4.5). Следовательно, уравнение $2{\left(y{x}^{-1}\right)}^{-}=\mu$ дает
$$\exp (-2q_k)\widetilde{y_{k,k+1}}=g_k,{\tilde{y}}_{k,k+m}=0\text{ для }m>1.$$

Полагая ${\tilde{y}}_{kk}=p_k\exp \left(2q_k\right)$ и изменяя масштаб, так что $\tilde{y}$ становятся симметрической матрицей, получаем (4.4.8).

Однако удобнее параметризовать многообразие ${\phi }^{-1}(\mu )$ не парой $(x,y)$, а эквивалентной ей парой $x$ (4.4.6) и
$$y{x}^{-1}={\mathrm{Ad}}_{z}L,$$

где, очевидно,
$$L_{jk}=p_j{\delta }_{jk}+g_{j-1}{\delta }_{j-1,k}+g_j{e}^{2(q_j-q_{j+1})}{\delta }_{j,k-1}.$$

Заметим, что $L$ — это матрица из несимметричной пары Лакса (4.1.4′) для цепочки Тоды (с $g_1=\dots =g_{n-1}=1$ ).

Как уже отмечалось, подгруппа $Z$ совпадает со стационарной подгруппой точки $\mu$. Поэтому справедливо следующее утверждение.

Предложение 4.4.2. Приведенное фазовое пространство $\tilde{M}=$ $={\phi }^{-1}(\mu )/Z$ параметризуется двумя векторами
$$q=(q_1,\dots ,q_n)\in {\mathbb{R}}^n\text{ и }p(p_1,\dots ,p_n)\in {\mathbb{R}}^n,$$

или, что эквивалентно, двумя матрицами
$$\exp (2Q)\text{ и }L\text{ с }\mathrm{\Sigma }{q}_j=0=\mathrm{\Sigma }{p}_j\text{. }$$

Перейдем теперь к рассмотрению гамильтониана (4.3.18), описывающего геодезический поток. Он инвариантен, в частности, относительно преобразования из подгруппы $Z$.

Предложение 4.4.3. При отображении проекции $\pi :M\to \tilde{M}$ гамильтониан (4.3.18) переходит в гамильтониан цепочки Тоды (4.1.1), а симплектическая форма (4.3.12), ограниченная на ${\phi }^{-1}(\mu )$, переходит в стандартную форму на $\tilde{M}$ :
$$\tilde{\omega }=2dp\wedge dq.$$

Док а з т л в с в о. Из формулы (4.4.10) следует, что
$$\tilde{H}=\frac{1}{2}\mathrm{tr}\left(y{x}^{-1}y{x}^{-1}\right)=\frac{1}{2}\mathrm{tr}\left(L^2\right).$$

Очевидно, что $\tilde{H}$ совпадает с гамильтонианом цепочки Тоды (4.1.1).
Аналогично, используя формулы (4.4.6) и (4.4.7), мы можем вычислить форму $\omega =-\frac{1}{2}\mathrm{tr}dy\wedge d\left(x^{-1}\right)$ на $M$ и показать, что она проектируется в форму $\tilde{\omega }=dp\wedge dq$ на $\tilde{M}$. Таким образом, мы показали, что редукция по отношению к подгрупе $Z$ дает интересующую нас динамическую систему. Как уже отмечалось выше, величины
$$I_k=\frac{1}{k}\mathrm{tr}{\left(y{x}^{-1}\right)}^k$$

являются интегралами движения геодезического потока. Нетрудно показать, что они находятся в инволюции. Поскольку величины $I_k$ являются $Z$-инвариантными (в действительности $G$-инвариантными), они переходят в функциии ${\tilde{I}}_k=\frac{1}{k}\mathrm{tr}\left(L^k\right)$ на приведенном фазовом пространстве $\tilde{M}$, находящиеся в инволюции. Отсюда в качестве следствия получаем опять утверждение о том, что цепочка Тоды является вполне интегрируемой системой, причем интегралы движения даются формулой
$${\tilde{I}}_k=\frac{1}{k}\mathrm{tr}\left(L^k\right)\text{. }$$
3. Обозначим через $B$ подгруппу верхних треугольных матриц в группе $G=\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$. Покажем, как в методе редукции возникает реализация фазового пространства цепочки Тоды как орбиты коприсоединенного представления группы $B$ ([108], [222]).

Заметим вначале, что действие $B$ на симметрическом пространстве $X$ является свободным и транзитивным, поскольку любую матрицу $x\in X$ можно представить в виде $x=b{b}^{\prime },b\in B$, и такое разложение единственно. Следовательно, $X$ можно отождествить с $B$, так что действие $B$ на $X$ отождествляется с действием $B$ на самой себе левыми сдвигами, а $T^{\ast }X$ отождествляется с $T^{\ast }B$. Пример 3 в конце раздела 1.7 показывает, что гамильтонова редукция $T^{\ast }B$ по отношению к действию $B$ левыми сдвигами на точку $\mu$, принадлежащую ${\mathcal{B}}^{\ast }$, дает орбиту ${\mathcal{O}}_{\mu }$ коприсоединенного представления, проходящую через $\mu$. Мы должны теперь сравнить результаты двух редукций: одной по отношению к группе $Z$ и другой по отношению к большей группе $B$.
Отображение момента ${\phi }_B:T^{\ast }X\to {\mathcal{P}}^{\ast }$ дается формулой
$${\phi }_B(x,y)=2{\left(y{x}^{-1}\right)}_{-},$$

где ${\xi }_{-}$означает нижнюю треугольную часть матрицы $\xi$. Мы имеем $\phi (x,y)=$ $={({\phi }_B(x,y))}^{-}$. Ясно, что для любого $\mu \in {\mathcal{P}}^{\ast },{\phi }_B^{-1}(\mu )\subset {\phi }^{-1}\left({\mu }^{-}\right)$. Пусть $B_{\mu }$ (соответственно $Z_{\mu }$ ) является стационарной подгруппой элемента $\mu$ в групи $B$ (соответственно в группе $Z$ ). Приведенное пространство ${\tilde{M}}_B$ для $B$-редукции является пространством $B_{\mu }$-орбит в ${\phi }_B^{-1}(\mu )$, тогда как приведенное пространетво $\tilde{M}$ для $Z$-редукции является пространством $Z_{\mu \text{-орбит в }}{\phi }^{-1}\left({\mu }^{-}\right)$. Мы утверждаем, что если $\mu$ дается формулой (4.4.5) с $g_{k}eq0,k=1,\dots ,n-1$, то $Z_{\mu }=Z$ и каждая $Z$-орбита в ${\phi }^{-1}\left({\mu }^{-}\right)$ пересекает ${\phi }_B^{-1}(\mu )$ вдоль единственной орбиты группы $B_{\mu }$. Действительно, из $\phi (x,y)=\mu$ следует, что ${\phi }_B(x,y)=\mu +d$, где $d$ — диагональная матрица. Нетрудно видеть, что при наших предположениях имеется элемент $z\in Z$ такой, что ${\left({\mathrm{Ad}}_B^{\ast }\right)}_z(\mu +d)=\mu$, где ${\mathrm{Ad}}_B^{\ast }$ — коприсоединенное представление группы $B$. Тогда ${\phi }_B(zx{z}^{\prime },zy{z}^{\prime })=\mu$, так что каждая $Z$-орбита в ${\phi }^{-1}(\mu )$ пересекает ${\phi }_B^{-1}(\mu )$. Если $(x,y)$ и $(zx{z}^{\prime },zy{z}^{\prime })$ — две точки в ${\phi }_B^{-1}(\mu )$, то
$${\phi }_B(zx{z}^{\prime },zy{z}^{\prime })={\left({\mathrm{Ad}}_B^{\ast }\right)}_z{\phi }_B(x,y)=\mu ,$$

так что ${\left({\mathrm{Ad}}_B^{\ast }\right)}_z\mu =\mu$, и следовательно, $z\in B_{\mu }$. Таким образом, пересечение представляет одну $B_{\mu }$-орбиту в ${\phi }_B^{-1}(\mu )$. Мы показали, такимобразом, что приведенные пространства $\tilde{M}$ и ${\tilde{M}}_B$ можно канонически отождествить. Однако, как мы упоминали выше, ${\tilde{M}}_B$ совпадает с коприсоединенной орбитой ${\mathcal{O}}_{\mu }$ элемента $\mu$.

Нетрудно доказать, что коразмерность $B_{\mu }$ в $B$, а следовательно, размерность орбиты ${\mathcal{O}}_{\mu }$, равна $2(n-1)$, т.е. размерности $\tilde{M}$.
4.5. Обобщенные непериодические цепочки Тоды, связанные с простыми алгебрами Ли