Как отмечалось в разделе 1.1.2, любое кэлерово многообразие является симплектическим.

Обратное утверждение, однако, не верно. Приведем пример (найденный В. Терстоном в 1971 г., см. [296]) четырехмерного компактного симплектического многообразия ( $M, \omega)$, не являющегося кэлеровым.

Пусть $M=\mathbb{R}^{4}$ – обычное евклидово пространство с координатами $\left(q_{1}, p_{1}, q_{2}, p_{2}\right)$ и обычной симплектической структурой
\[
\omega=d p_{1} \wedge d q_{1}+d p_{2} \wedge d q_{2} .
\]

Пусть $\Gamma$ – дискретная подгруппа симплектических преобразований пространства $M$, порожденія преобразованиями
\[
\begin{array}{l}
a: \quad\left(q_{1}, p_{1}, q_{2}, p_{2}\right) \rightarrow\left(q_{1}, p_{1}, q_{2}+1, p_{2}\right), \\
b: \quad\left(q_{1}, p_{1}, q_{2}, p_{2}\right) \rightarrow\left(q_{1}, p_{1}, p_{2}, p_{2}+1\right), \\
c: \quad\left(q_{1}, p_{1}, q_{2}, p_{2}\right) \rightarrow\left(q_{1}+1, p_{1}, q_{2}, p_{2}\right), \\
d: \quad\left(q_{1}, p_{1}, q_{2}, p_{2}\right) \rightarrow\left(q_{1}, p_{1}+1, q_{2}+p_{2}, p_{2}\right) .
\end{array}
\]

Многообразие $\tilde{M}=M / \Gamma$ – факторпространство $M$ по действию группы $\Gamma$ является симплектическим многообразием, поскольку $\Gamma$ действует на $M$ без неподвижных точек.

Первая гомотопическая группа $\tilde{M} \quad \pi_{1}(\tilde{M})=\pi_{1}(M / \Gamma)=\Gamma$, а первая группа когомологий $H^{1}(\tilde{M}, \mathbb{Z})=\Gamma /[\Gamma, \Gamma] \quad([\Gamma, \Gamma]$ – коммутант группы $\Gamma$, факторгруппа $\Gamma /[\Gamma, \Gamma]$ абелева). Группа $\Gamma /[\Gamma, \Gamma]$ имеет ранг 3 и, следовательно, первое число Бетти $b_{1}$ многообразия $\tilde{M}$ равно $b_{1}(\tilde{M})=3$.

В то же время хорошо известно, что для кэлерова многообразия $b_{k}$ ( $k$ – нечетное) является четным (см., например, [37]). Таким образом, симплектическое многообразие $\tilde{M}$ не допускает никакой кэлеровой структуры.

Отметим (см. [66]), что $\tilde{M}$ – является нильмногообразием, т.е. факторпространством нильпотентной группы. Действительно, пространству $M=\mathbb{R}^{4}$ можно придать структуру нилыотентной группы, отождествив точку $\left(q_{1}, p_{1}, q_{2}, p_{2}\right)$ с матрицей
\[
\left(\begin{array}{ccccc}
1 & p_{1} & q_{2} & 0 & 0 \\
0 & 1 & p_{2} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & q_{1} \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right) .
\]

При этом группа $Г$ будет состоять из левых трансляций на элементы подгруппы $\mathbb{Z}^{4}$. Группа $\mathbb{R}^{4}$ действует транзитивно на $\mathbb{R}^{4} / \Gamma$ правыми трансляциями, однако некоторые из этих трансляций не сохраняют симплектическую структуру.

Отметим также, что построенное многообразие является $T^{2}$-расслоением над тором $T^{2}$ и что симплектическая форма $\omega=d p_{1} \wedge d q_{1}+$ $+d p_{2} \wedge d q_{2}$ на $M$ является целочисленной: $[\omega] \in H^{2}(M ; \mathbb{Z})$. Отметим также, что многообразие $M$ не удовлетворяет теореме Лефшеца, т.е. умножение на $[\omega]$ не индуцирует изоморфизм из $H^{1}(M ; \mathbb{R})$ в $H^{3}(M ; \mathbb{R})$.

Далее, как показано в работе [297], любое многообразие с целочисленной симплектической формой $\omega$ может быть вложено в комплексное проективное пространство с помощью отображения $f$ такого, что $f^{*} \omega_{0}=\omega$, где $\omega_{0}$ – стандартная кэлерова форма на $\mathbb{C} P^{N}$. Воспользуемся теперь результатом Громова [187], который доказал, что если $\operatorname{dim} M=2 m$, то $N=2 m+1$. Таким образом, мы можем вложить многообразие Терстона ( $M, \omega)$ в $\left(\mathbb{C} P^{5}, \omega_{0}\right)$. Громов показал также, что если $(M, \omega)$ симплектически вложено в $(X, \omega)$, то тогда можно раздуть $X$ на подмногообразии $M$ и получить новое симплектическое многообразие $(\tilde{X}, \omega)$.

Теперь можно построить новое симплектическое многообразие ( $\tilde{X}, \tilde{\omega}$ ) путем раздутия $C P^{5}$ вдоль многообразия $M$. Далее, как показано в работе [244], многообразие ( $\tilde{X}, \tilde{\omega}$ ) является компактным односвязным симплектическим многообразием с $b_{1}=b_{3}=3$.