Как отмечалось в разделе 1.1.2, любое кэлерово многообразие является симплектическим.

Обратное утверждение, однако, не верно. Приведем пример (найденный В. Терстоном в 1971 г., см. [296]) четырехмерного компактного симплектического многообразия ( $M,\omega )$, не являющегося кэлеровым.

Пусть $M={\mathbb{R}}^4$ — обычное евклидово пространство с координатами $(q_1,p_1,q_2,p_2)$ и обычной симплектической структурой
$$\omega =d{p}_1\wedge d{q}_1+d{p}_2\wedge d{q}_2.$$

Пусть $\mathrm{\Gamma }$ — дискретная подгруппа симплектических преобразований пространства $M$, порожденія преобразованиями
$$\begin{array}{l}a:(q_1,p_1,q_2,p_2)\to (q_1,p_1,q_2+1,p_2),\\ b:(q_1,p_1,q_2,p_2)\to (q_1,p_1,p_2,p_2+1),\\ c:(q_1,p_1,q_2,p_2)\to (q_1+1,p_1,q_2,p_2),\\ d:(q_1,p_1,q_2,p_2)\to (q_1,p_1+1,q_2+p_2,p_2).\end{array}$$

Многообразие $\tilde{M}=M/\mathrm{\Gamma }$ — факторпространство $M$ по действию группы $\mathrm{\Gamma }$ является симплектическим многообразием, поскольку $\mathrm{\Gamma }$ действует на $M$ без неподвижных точек.

Первая гомотопическая группа $\tilde{M}{\pi }_1(\tilde{M})={\pi }_1(M/\mathrm{\Gamma })=\mathrm{\Gamma }$, а первая группа когомологий $H^1(\tilde{M},\mathbb{Z})=\mathrm{\Gamma }/[\mathrm{\Gamma },\mathrm{\Gamma }]([\mathrm{\Gamma },\mathrm{\Gamma }]$ — коммутант группы $\mathrm{\Gamma }$, факторгруппа $\mathrm{\Gamma }/[\mathrm{\Gamma },\mathrm{\Gamma }]$ абелева). Группа $\mathrm{\Gamma }/[\mathrm{\Gamma },\mathrm{\Gamma }]$ имеет ранг 3 и, следовательно, первое число Бетти $b_1$ многообразия $\tilde{M}$ равно $b_1(\tilde{M})=3$.

В то же время хорошо известно, что для кэлерова многообразия $b_k$ ( $k$ — нечетное) является четным (см., например, [37]). Таким образом, симплектическое многообразие $\tilde{M}$ не допускает никакой кэлеровой структуры.

Отметим (см. [66]), что $\tilde{M}$ — является нильмногообразием, т.е. факторпространством нильпотентной группы. Действительно, пространству $M={\mathbb{R}}^4$ можно придать структуру нилыотентной группы, отождествив точку $(q_1,p_1,q_2,p_2)$ с матрицей
$$\left(\begin{array}{ccccc}1& p_1& q_2& 0& 0\\ 0& 1& p_2& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& q_1\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right).$$

При этом группа $Г$ будет состоять из левых трансляций на элементы подгруппы ${\mathbb{Z}}^4$. Группа ${\mathbb{R}}^4$ действует транзитивно на ${\mathbb{R}}^4/\mathrm{\Gamma }$ правыми трансляциями, однако некоторые из этих трансляций не сохраняют симплектическую структуру.

Отметим также, что построенное многообразие является $T^2$-расслоением над тором $T^2$ и что симплектическая форма $\omega =d{p}_1\wedge d{q}_1+$ $+d{p}_2\wedge d{q}_2$ на $M$ является целочисленной: $[\omega ]\in H^2(M;\mathbb{Z})$. Отметим также, что многообразие $M$ не удовлетворяет теореме Лефшеца, т.е. умножение на $[\omega ]$ не индуцирует изоморфизм из $H^1(M;\mathbb{R})$ в $H^3(M;\mathbb{R})$.

Далее, как показано в работе [297], любое многообразие с целочисленной симплектической формой $\omega$ может быть вложено в комплексное проективное пространство с помощью отображения $f$ такого, что $f^{\ast }{\omega }_0=\omega$, где ${\omega }_0$ — стандартная кэлерова форма на $\mathbb{C}{P}^N$. Воспользуемся теперь результатом Громова [187], который доказал, что если $\dim M=2m$, то $N=2m+1$. Таким образом, мы можем вложить многообразие Терстона ( $M,\omega )$ в $(\mathbb{C}{P}^5,{\omega }_0)$. Громов показал также, что если $(M,\omega )$ симплектически вложено в $(X,\omega )$, то тогда можно раздуть $X$ на подмногообразии $M$ и получить новое симплектическое многообразие $(\tilde{X},\omega )$.

Теперь можно построить новое симплектическое многообразие ( $\tilde{X},\tilde{\omega }$ ) путем раздутия $C{P}^5$ вдоль многообразия $M$. Далее, как показано в работе [244], многообразие ( $\tilde{X},\tilde{\omega }$ ) является компактным односвязным симплектическим многообразием с $b_1=b_3=3$.