В настоящем разделе будет подробно рассмотрена другая динамическая система, для которой все финитные траектории являются замкнутыми, — частица в потенциальном поле ньютоновского центра*)
$$U(q)=-\frac{\alpha }{r},r=|\mathrm{q}|,\alpha >0.$$

Как будет видно из дальнейшего, замкнутость траекторий является следствием существования скрытой (динамической) симметрии, которой обладает рассматриваемая система.
*) Законы движения такой системы были установлены Кеплером [51,52] задолго до нахождения Ньютоном [27] уравнений динамики.

Гамильтониан задачи Кеплера имеет вид
$$H=\frac{1}{2}{p}^2-\frac{\alpha }{r},\mathbf{p}=(p_1,p_2,p_3).$$

Отсюда следуют уравнения движения
$$\dot{\mathbf{q}}=\mathbf{p},\dot{\mathbf{p}}=\ddot{\mathbf{q}}=-\left(\alpha /{\mathbf{r}}^3\right)\mathbf{q}.$$

Гамильтониан (2.8.2) инвариантен относительно группы SO(3) группы вращений трехмерного пространства. Отсюда следует, что компоненты вектора момента количества движения
$$1=[\mathrm{q},\mathrm{p}],$$

являющегося векторным произведением векторов q и p, являются сохраняющимися величинами.

Заметим, что, как уже отмечалось в разделе 2.6 , все финитные траектории, которые при $\alpha >0$ существуют и отвечают энергии $E<0$, являются замкнутыми. Это указывает на существование скрытой симметрии и соответственно существование дополнительных интегралов движения, при: чем полное число функционально независимых интегралов движения равно пяти.
Действительно, как нетрудно проверить, компоненты вектора
$$\mathbf{A}=[\mathbf{l},\mathbf{p}]+(\alpha /r)\mathbf{q},$$

где 1 дается формулой (2.8.4), являются интегралами движения.
Этот результат был впервые получен Лапласом в 1799 г. [53], развившим общий метод нахождения интегралов движения. Идея этого метода сводится к следующему.
Пусть $I(\mathbf{p},\mathbf{q})$ — интеграл движения. Тогда
$$\frac{dI}{dt}=\{H,I\}=\sum _j(\frac{\partial I}{\partial q_j}{p}_j-\frac{\alpha }{r^3}\frac{\partial I}{\partial p_j}{q}_j).$$

Разложим $I(p,q)$ по однородным полиномам степени $k$ относительно $p$ :
$$I(p,q)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{I}_k(p,q).$$

Из (2.8.6) получаем систему уравнений
$$\sum _j\frac{\partial I_1}{\partial p_j}{q}_j=0,\mathrm{\Sigma }\frac{\partial I_n}{\partial q_j}{p}_j=\frac{\alpha }{r^3}\sum _j\frac{\partial I_{n+2}}{\partial p_j}{q}_j.$$

Если предположить, что $I(p,q)$ является полиномом по $p_j$ степени $k$, то цепочка уравнений (2.8.8) обрывается. Лаплас ограничился рассмотрением случаев $k=1,2$ и нашел, что при $k=1$ единственным интегралом движения является вектор $1=[\mathbf{q},\mathbf{p}]$, а при $k=2$ имеются интегралы $H=\frac{p^2}{2}-\frac{\alpha }{r}$ и вектор А (2.8.5). Использование вектора А облегчает исследование кеплеровского движения. Отметим следующее.
1. Из (2.8.5) получаем
$$(\mathbf{1}\cdot \mathbf{A})=0\text{, }$$
т.е. вектор А лежит в плоскости орбиты.

2. Умножая $\mathbf{A}$ скалярно на $\mathbf{q}$ и вводя угол $\theta$ между $\mathbf{A}$ и $\mathbf{q}$, находим уравнение орбиты
$$r=\frac{l^2/\alpha }{1-ϵ\cos \theta },ϵ=|\mathbf{A}|/\alpha .$$

Следовательно, вектор А направлен по большой оси эллипса, а его модуль пропорционален эксцентриситету.
3. Средний дипольный момент частицы
$$\mathbf{d}=\frac{1}{T}{\int }_0^T\mathrm{q}(t)dt$$

равен
$$|\mathbf{d}|=\frac{3}{2}ϵa,$$

где $a=\alpha /2|E|$ — большая полуось эллипса, и напіравлен так же, как и $\mathbf{A}$. Отсюда
$$\mathbf{A}=\frac{4}{3}|E|\mathbf{d}.$$

При возмущении потенциала
$$U(r)=-\frac{\alpha }{r}+\beta U_1(r),\beta \ll \alpha ,$$

кеплеровская орбита медленно прецессирует, а вектор А поворачивается вместе с орбитой и сохраняет значение приближенного интеграла движения.
4. Возводя (2.8.5) в квадрат, получаем
$${\mathrm{A}}^2=2E{1}^2+{\alpha }^2,E=\frac{p^2}{2}-\frac{\alpha }{r}.$$

Введем вектор
$$\mathrm{m}=(-2E{)}^{-1/2}\mathrm{A}.$$

Тогда энергия равняется
$$E=-\frac{{\alpha }^2}{2({\mathbf{1}}^2+{\mathrm{m}}^2)}.$$
5. Интегралы движения 1 и А можно выразить через адиабатические инварианты $I_r$ и $I_{\theta }[23]$ :
$$l=I_{\theta }=\int p_{\theta }d\theta ,A=\alpha \sqrt{1-{\left(\frac{I_{\theta }}{I_r+I_{\theta }}\right)}^2},m=\sqrt{I_r(I_r+2I_{\theta })}.$$

Отсюда следует, что при медленном изменении $\alpha$ величины $l$ и $m$ остаются неизменными, а $A$ меняется пропорционально $\alpha$.

6. Вычислим, наконец, скобки Пуассона для интегралов движения 1 и $\mathbf{A}$ :
$$\{l_i,l_j\}={ϵ}_{ijk}{l}_k,\{l_i,A_j\}={ϵ}_{ijk}{A}_k,\{A_i,A_j\}=-2E{ϵ}_{ijk}{l}_k,$$

где ${ϵ}_{ijk}$— полностью кососимметричный тензор, ${ϵ}_{123}=1$. Из (2.8.19) видно, что при фиксированном значении $E$ алгебра интегралов движения относительно скобок Пуассона замыкается.
Переходя к вектору $\mathbf{m}$, при $E<0$ получаем
$$\{l_i,l_j\}={ϵ}_{ijk}{l}_k,\{l_i,m_j\}={ϵ}_{ijk}{m}_k,\{m_i,m_j\}={ϵ}_{ijk}{l}_k.$$

Видно, что эта алгебра есть алгебра Ли группы SO(4). Поскольку $(1,\mathrm{m})=0$, среди $l_i,m_j$ имеется пять независимых интегралов движения, как это и должно быть для системы с тремя степенями свободы.
7. Отметим еще, что классическая задача Кеплера при $\alpha >0$ обладает специфической особенностью: некоторые решения уравнений движения (2.8.3) обладают сингулярностью, соответствующей попаданию частицы в центр силового поля.

Однако после подходящей регуляризации эта сингулярность может быть устранена. В двумерном случае способ устранения сингулярности был указан в работе Леви-Чивиты в 1906 г. [237].
Именно, если ввести вместо времени $t$ новую переменную
$$s=\int \frac{dt}{r(t)}$$

и преобразовать независимую переменную с помощью формул
$$q_1+i{q}_2=\frac{1}{2}{z}^2,p_1+i{p}_2=w/\overline{z};$$

то для полученного дифференциального уравнения точка $z=0$ станет регулярной. После этого поверхность постоянной энергии становится многообразием без границы, топологически эквивалентным вещественному проективному пространству ${\mathbb{R}}^3{}^3$, т.е. расслоению единичных касательных векторов к двумерной сфере $S^2$.

Регуляризация уравнений движения для трехмерного случая была найдена в работе [228]. Оба эти способа, однако, не годятся в $n$-мерном случае и, кроме того, их связь со скрытой симметрией системы не вполне ясна.
8. Мы показали, что задача Кеплера инвариантна относительно алгебры $\mathrm{SO}(4)$. Более сложно увидеть инвариантность этой задачи относительно соответствующих глобальных преобразований — преобразований группы SO (4) .

Впервые это было сделано в 1935 г. В. Фоком [172] для квантового случая. Для классического случая глобальная инвариантность задачи Кеплера относительно группы SO(4) для трехмерного случая, а также группы $\mathrm{SO}(n+1)$ для $n$-мерного случая была явно продемонстрирована лишь в 1970 г. в работе Мозера [250]. В этой же работе была описана естественная регуляризация уравнений движения. Именно, Мозером было показано, что после подходящей компактификации поверхность постоянной энергии ( $E<0$ ) топологически эквивалентна касательному расслоению единичных векторов к $n$-мерной сфере $S^n$. Им была доказана

Т е о р е м а 2.8.1. При $E<0$ поверхность энергии $H=E$ можно отобразить топологически и взаимно однозначно на касательное расслоение единичных векторов к $S^n$ при условии, что одна точка сферы (северный полюс, соответствующий центру сил) выколота.

Кроме того, фазовый поток задачи Кеплера переходит, после замены времени новой переменной, в геодезический поток на $S^n$ без выколотой точки. Сингулярные орбиты соответствуют при этом окружностям, проходящим через северный полюс сферы.

Ниже излагается решение проблемы, следуя оригинальной работе $[250]$.
А. Геодезический поток на сфере и задача Кеплера.
a) Начнем с описания геодезического потока на сфере $S^n$, которую мы рассматриваем как вложенную в $(n+1)$-мерное пространство:
$$S^n=\{\xi =({\xi }_0,{\xi }_1,\dots ,{\xi }_n):|\xi {|}^2=\sum _0^n{\xi }_j^2=1\}.$$

Рассмотрим в $(n+1)$-мерном пространстве динамическую систему с гамильтонианом
$$H=\frac{1}{2}|\eta {|}^2|\xi {|}^2\text{, }$$

где $\xi =({\xi }_0,{\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)$ и $\eta =({\eta }_0,{\eta }_1,\dots ,{\eta }_n)$ — это $(n+1)$-мернье векторы координаты и импульса соответственно. Уравнения движения такой системы имеют вид
$${\xi }^{\prime }=|\xi {|}^2\eta ,{\eta }^{\prime }=-|\eta {|}^2\xi .$$

Здесь штрих означает дифференцирование по величине $s$, играющей роль времени.

Из (2.8.25) следует, что если в начальный момент времени выполнялись условия
$$|\xi {|}^2=1,(\xi ,\eta )=\sum _{j=0}^n{\xi }_j{\eta }_j=0,$$

то они будут выполняться и во все последующие моменты времени. Но, как нетрудно видеть, многообразие, определяемое условиями (2.8.26), представляет касательное расслоение $T{S}^n$ к сфере $S^n$, а уравнение (2.8.25), или же
$${\xi }^{\prime \prime }+|\eta {|}^2\xi =0$$

описывает геодезический поток на сфере $S^n=\{\xi :|\xi {|}^2=1\}$ с энергией $H=\frac{1}{2}|\eta {|}^2$. Единичные касательные векторы $\{\eta :(\eta ,\xi )=0,|\eta {|}^2=1\}$, образуют поверхность постоянной энергии $H=E=\frac{1}{2}$. Для того чтобы описать этот поток в евклидовом пространстве, используем стереографическую проекцию
$$x_k=\frac{{\xi }_k}{1-{\xi }_0},k=1,\dots ,n,$$

которая отображает сферу $S^n$ с выколотой точкой $(1,0,\dots ,0)$ на $n$-мерное евклидово пространство.

Распространим это отображение до отображения касательного расслоения в пространство ${\mathbb{R}}^{2n}=\{(x,y):x,y\in {\mathbb{R}}^n\}$ так, чтобы при этом выполнялось условие
$$\sum _{\mu =0}^n{\eta }_{\mu }d{\xi }_{\mu }=\sum _{k=1}^n{y}_{k}d{x}_k.$$

Величины $y_k$ будем искать в виде
$$y_k=a(\xi ,\eta ){\eta }_k+b(\xi ,\eta ){\xi }_k,k=1,2,\dots ,n.$$

С помощью соотношений (2.8.26), а также равенств
$$\begin{array}{l}\sum _0^n{\eta }_{\mu }d{\xi }_{\mu }=\sum _1^n({\eta }_k-\frac{{\eta }_0}{{\xi }_0}{\xi }_k)d{\xi }_k,\\ d{x}_k=\frac{d{\xi }_k}{1-{\xi }_0}-\frac{{\xi }_k\left({\xi }_{l}d{\xi }_l\right)}{{\xi }_0{(1-{\xi }_0)}^2}\end{array}$$

получаем простой ответ *)
$$y_k=(1-{\xi }_0){\eta }_k+{\eta }_0{\xi }_k.$$

Приведем еще формулы для обратного отображения из пространства ${\mathbb{R}}^n$ на сферу $S^n$ :
$$\begin{array}{l}{\xi }_k=\frac{2x_k}{|x{|}^2+1},{\xi }_0=\frac{|x{|}^2-1}{|x{|}^2+1},\\ {\eta }_k=\frac{|x{|}^2+1}{2}{y}_k-(x,y)x_k,{\eta }_0=(x,y).\end{array}$$

Гамильтониан же после перехода в пространство $(x,y)$ принимает вид
$$F=\frac{{(|x{|}^2+1)}^2}{8}|y{|}^2=\frac{1}{2}|\xi {|}^2|\eta {|}^2\text{. }$$

Поскольку уравнения Гамильтона
$$x^{\prime }=\frac{\partial F}{\partial y},y^{\prime }=-\frac{\partial F}{\partial x}$$

содержат лишь производные от функции $F$, то мы можем заменить функцию $F$ любой функцией $G(F)$ при условии, что $G^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=1$. Сделаем такую

*) Можно показать [250], что это единственная возможная форма $y_k$.

замену:
$$G=\sqrt{2F}-1=\frac{(|x{|}^2+1)|y|}{2}-1.$$

Тогда уравнения движения (2.8.35) переходят в уравнения
$$x^{\prime }=\frac{\partial G}{\partial y},y^{\prime }=-\frac{\partial G}{\partial x},$$

причем условие $F=1/2$ переходит в условие $G=0$.
Переходя от переменной $s$ к новой переменной $t$ согласно формуле
$$t=\int |y|ds\text{, }$$

получаем вместо (2.8.35′)
$$\dot{x}=|y{|}^{-1}\frac{\partial G}{\partial y},\dot{y}=-|y{|}^{-1}\frac{\partial G}{\partial x},$$

где точка означает дифференцирование по $t$.
Заметим, наконец, что при $G=0$
$$|y{|}^{-1}\partial G/\partial y=\partial H/\partial y,|y{|}^{-1}\partial G/\partial x=+\partial H/\partial x;$$

где
$$H=|y{|}^{-1}G-\frac{1}{2}=\frac{1}{|y|}(\sqrt{2F}-1)=\frac{1}{2}|x{|}^2-|y{|}^{-1},$$

так что окончательно мы получаем систему с гамильтонианом (2.8.39), полагая в котором $p=-x,q=y$, приходим к гамильтониану задачи Кеплера
$$H=\frac{1}{2}|p{|}^2-\frac{1}{|q|}=-\frac{1}{2}\text{. }$$

В результате мы показали, что преобразования (2.8.28), (2.8.31) и (2.8.37) отображают расслоение единичных касательных векторов к сфере в $2n$-мерное фазовое пространство, а большие окружности сферы $S^n-$ в кеплеровские эллипсы на поверхности энергии $H=E=-1/2$.

До сих пор мы исключали из рассмотрения северный полюс сферы $\xi =(1,0,\dots ,0)$. Теперь мы можем рассмотреть и его. При этом геодезические, проходящие через северный полюс сферы, преобразуются в вырожденные орбиты, отвечающие попаданию частицы в начало координат.

Если мы хотим описать фазовый поток вблизи сингулярной точки $q=0$, соответствующей северному полюсу сферы, то нам следует использовать преобразование
$${\xi }_0\to -{\xi }_0,{\eta }_0\to -{\eta }_0,{\xi }_k\to {\xi }_k,{\eta }_k\to {\eta }_k,k=1,2,\dots ,n,$$

переводящее северный полюс в южный. Этому преобразованию соответствует следующее преобразование в пространстве $(p,q)$ :
$$q\to |p{|}^{2}q-2(pq)p,p\to \frac{p}{|p{|}^2},$$

которое, как отмечается в [250], уже использовалось в теории Зундмана. Заметим, что при этом преобразовании кеплеровские орбиты переходят в кеплеровские орбиты. Кроме того, сингулярные состояния системы ( $|p|=\mathrm{\infty },q=0$ ) преобразуются в состояния $p=0,|q|=2$.

Отметим также, что общий случай произвольной отрицательной энергии $E=-1/2{\rho }^2$ легко сводится к рассмотренному случаю $E=-1/2$ заменой переменных $q\to {\rho }^{2}q,p\to {\rho }^{-1}p,t\to {\rho }^{3}t$.

Из найденной геометрической картины сразу получается и зависимость координат и импульсов от времени. В силу инвариантности относительно вращений вокруг оси ${\xi }_0$ мы можем считать, что движение происходит в трехмерном пространстве $({\xi }_0,{\xi }_1,{\xi }_2):{\xi }_3={\xi }_4=\dots ={\xi }_n=0$. Движение совершается по большой окружности, угол между плоскостью которой и плоскостью экватора ${\xi }_0=0$ обозначим через $\alpha$. Тогда при соответствующем выборе начала отсчета величины $s$ мы получаем
$${\xi }_0=\sin \alpha \cos s,{\xi }_1=\sin s,{\xi }_2=-\cos \alpha \cos s,{\eta }_{\mu }={\xi }_{\mu }^{\prime }=d{\xi }_{\mu }/ds.$$

После стереографической проекции и замены $x_j=-p_j,y_j=q_j$ мы получаем
$$\begin{array}{l}{p}_1=-\frac{\sin s}{1-\sin \alpha \cos s},p_2=\frac{\cos \alpha \cos s}{1-\sin \alpha \sin s},\\ q_1=\cos s-\sin \alpha ,q_2=\cos \alpha \sin s.\end{array}$$

Таким образом, вектор $p=(p_1,p_2)$ описывает окружность, а вектор $q=(q_1,q_2)$ описывает эллипс с эксцентриситетом
$$ϵ=\sin \alpha \text{, }$$

параметризованные эксцентрической аномалией s (см. [250]). Для получения соотношения между $t$ и $s$ заметим, что
$$|y|=|q|=1-\sin \alpha \cos s=1-ϵ\cos s$$

и, следовательно,
$$t={\int }^s|y|ds=s-ϵ\sin s.$$

Таким образом, данная регуляризационная процедура автоматически приводит к уравнению Кеплера.
Заметим, наконец, что при $ϵ=1$ уравнение Кеплера принимает вид
$$t=s-\sin s\approx \frac{1}{6}{s}^3-\dots ,$$

откуда видно, что координаты орбиты вблизи сингулярности являются аналитическими функциями величины $t^{1/3}$.

Отметим две работы, имеющие огношение к рассматриваемому вопроcу. В работе [124] методом Мозера были изучены также случаи $E>0$ и $E=0$, которые сводятся к исследованию геодезических потоков на гиперболоиде и в евклидовом пространстве. В работе [227] рассмотрено соотношение между методами регуляризации работ [228] и [250] для трехмерной задачи Кеплера.

Отметим еще, что если взять все состояния задачи Кеплера (для простоты при $n=3$ ), то это пространство естественно изоморфно пространству $T_0^{\ast }{S}^3$, т.е. подпространству. в $T^{\ast }{S}^3$, состоящему из ненулевых касательных векторов к сфере $S^3$. Оказывается, что это пространство является однородным: на нем транзитивно действует групта $\mathrm{SO}(4,2)$, причем как группа симплектических диффеоморфизмов на $T_0^{\ast }{S}^3$ (т.е. эти преобразования сохраняют стандартную симплектическую структуру этого пространства). При этом $T^{\ast }{S}^3$ изоморфно орбите наименьшей размерности — шестимерной орбите коприсоединенного представления группы SO $(4,2)$. Этот изоморфизм используется при так называемом геометрическом квантовании задачи Кеплера (детали см. в [258]; описание действия группы $\mathrm{SO}(4,2)$ в фазовом пространстве дано в [124]).
Зам ечание (А.Б. Гивенталь, см. [2]).
Пусть плоскость $(x,y)$ — конфигурационная плоскость задачи Кеплера с гамильтонианом $H=\frac{1}{2}(p_x^2+p_y^2)-\frac{1}{r},r=\sqrt{x^2+y^2}$. Рассмотрим в пространстве $(x,y,z)$ прямой круговой конус $z^2=(x^2+y^2)$ и семейство вписанных в него параболоидов вращения $z=\left((x^2+y^2)/4\alpha \right)+\alpha (\alpha$ — параметр). Спроектируем пространство $(x,y,z)$ на плоскость $(x,y)$ вдоль оси $z$. Тогда можно показать, что:
(a) траектории задачи Кеплера — это проекции плоских сечений конуса (в частности, вершина конуса — фокус проекций его плоских сечений);
(б) траектории с одинаковым значением полной энергии — проекции сечений конуса плоскостями, касающимися одного и того же параболоида;
(в) траектории с одинаковым значением момента импульса — проекции сечений конуса плоскостями, проходящими через одну и ту же точку оси $z$.