В настоящем разделе будет подробно рассмотрена другая динамическая система, для которой все финитные траектории являются замкнутыми, — частица в потенциальном поле ньютоновского центра*)
\[
U(q)=-\frac{\alpha}{r}, \quad r=|\mathrm{q}|, \quad \alpha>0 .
\]

Как будет видно из дальнейшего, замкнутость траекторий является следствием существования скрытой (динамической) симметрии, которой обладает рассматриваемая система.
*) Законы движения такой системы были установлены Кеплером [51,52] задолго до нахождения Ньютоном [27] уравнений динамики.

Гамильтониан задачи Кеплера имеет вид
\[
H=\frac{1}{2} p^{2}-\frac{\alpha}{r}, \quad \mathbf{p}=\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right) .
\]

Отсюда следуют уравнения движения
\[
\dot{\mathbf{q}}=\mathbf{p}, \quad \dot{\mathbf{p}}=\ddot{\mathbf{q}}=-\left(\alpha / \mathbf{r}^{3}\right) \mathbf{q} .
\]

Гамильтониан (2.8.2) инвариантен относительно группы SO(3) группы вращений трехмерного пространства. Отсюда следует, что компоненты вектора момента количества движения
\[
1=[\mathrm{q}, \mathrm{p}],
\]

являющегося векторным произведением векторов q и p, являются сохраняющимися величинами.

Заметим, что, как уже отмечалось в разделе 2.6 , все финитные траектории, которые при $\alpha>0$ существуют и отвечают энергии $E<0$, являются замкнутыми. Это указывает на существование скрытой симметрии и соответственно существование дополнительных интегралов движения, при: чем полное число функционально независимых интегралов движения равно пяти.
Действительно, как нетрудно проверить, компоненты вектора
\[
\mathbf{A}=[\mathbf{l}, \mathbf{p}]+(\alpha / r) \mathbf{q},
\]

где 1 дается формулой (2.8.4), являются интегралами движения.
Этот результат был впервые получен Лапласом в 1799 г. [53], развившим общий метод нахождения интегралов движения. Идея этого метода сводится к следующему.
Пусть $I(\mathbf{p}, \mathbf{q})$ — интеграл движения. Тогда
\[
\frac{d I}{d t}=\{H, I\}=\sum_{j}\left(\frac{\partial I}{\partial q_{j}} p_{j}-\frac{\alpha}{r^{3}} \frac{\partial I}{\partial p_{j}} q_{j}\right) .
\]

Разложим $I(p, q)$ по однородным полиномам степени $k$ относительно $p$ :
\[
I(p, q)=\sum_{k=0}^{\infty} I_{k}(p, q) .
\]

Из (2.8.6) получаем систему уравнений
\[
\sum_{j} \frac{\partial I_{1}}{\partial p_{j}} q_{j}=0, \quad \Sigma \frac{\partial I_{n}}{\partial q_{j}} p_{j}=\frac{\alpha}{r^{3}} \sum_{j} \frac{\partial I_{n+2}}{\partial p_{j}} q_{j} .
\]

Если предположить, что $I(p, q)$ является полиномом по $p_{j}$ степени $k$, то цепочка уравнений (2.8.8) обрывается. Лаплас ограничился рассмотрением случаев $k=1,2$ и нашел, что при $k=1$ единственным интегралом движения является вектор $1=[\mathbf{q}, \mathbf{p}]$, а при $k=2$ имеются интегралы $H=\frac{p^{2}}{2}-\frac{\alpha}{r}$ и вектор А (2.8.5). Использование вектора А облегчает исследование кеплеровского движения. Отметим следующее.
1. Из (2.8.5) получаем
\[
(\mathbf{1} \cdot \mathbf{A})=0 \text {, }
\]
т.е. вектор А лежит в плоскости орбиты.

2. Умножая $\mathbf{A}$ скалярно на $\mathbf{q}$ и вводя угол $\theta$ между $\mathbf{A}$ и $\mathbf{q}$, находим уравнение орбиты
\[
r=\frac{l^{2} / \alpha}{1-\epsilon \cos \theta}, \quad \epsilon=|\mathbf{A}| / \alpha .
\]

Следовательно, вектор А направлен по большой оси эллипса, а его модуль пропорционален эксцентриситету.
3. Средний дипольный момент частицы
\[
\mathbf{d}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} \mathrm{q}(t) d t
\]

равен
\[
|\mathbf{d}|=\frac{3}{2} \epsilon a,
\]

где $a=\alpha / 2|E|$ — большая полуось эллипса, и напіравлен так же, как и $\mathbf{A}$. Отсюда
\[
\mathbf{A}=\frac{4}{3}|E| \mathbf{d} .
\]

При возмущении потенциала
\[
U(r)=-\frac{\alpha}{r}+\beta U_{1}(r), \quad \beta \ll \alpha,
\]

кеплеровская орбита медленно прецессирует, а вектор А поворачивается вместе с орбитой и сохраняет значение приближенного интеграла движения.
4. Возводя (2.8.5) в квадрат, получаем
\[
\mathrm{A}^{2}=2 E 1^{2}+\alpha^{2}, \quad E=\frac{p^{2}}{2}-\frac{\alpha}{r} .
\]

Введем вектор
\[
\mathrm{m}=(-2 E)^{-1 / 2} \mathrm{~A} .
\]

Тогда энергия равняется
\[
E=-\frac{\alpha^{2}}{2\left(\mathbf{1}^{2}+\mathrm{m}^{2}\right)} .
\]
5. Интегралы движения 1 и А можно выразить через адиабатические инварианты $I_{r}$ и $I_{\theta}[23]$ :
\[
l=I_{\theta}=\int p_{\theta} d \theta, \quad A=\alpha \sqrt{1-\left(\frac{I_{\theta}}{I_{r}+I_{\theta}}\right)^{2}}, \quad m=\sqrt{I_{r}\left(I_{r}+2 I_{\theta}\right)} .
\]

Отсюда следует, что при медленном изменении $\alpha$ величины $l$ и $m$ остаются неизменными, а $A$ меняется пропорционально $\alpha$.

6. Вычислим, наконец, скобки Пуассона для интегралов движения 1 и $\mathbf{A}$ :
\[
\left\{l_{i}, l_{j}\right\}=\epsilon_{i j k} l_{k}, \quad\left\{l_{i}, A_{j}\right\}=\epsilon_{i j k} A_{k},\left\{A_{i}, A_{j}\right\}=-2 E \epsilon_{i j k} l_{k},
\]

где $\epsilon_{i j k}$— полностью кососимметричный тензор, $\epsilon_{123}=1$. Из (2.8.19) видно, что при фиксированном значении $E$ алгебра интегралов движения относительно скобок Пуассона замыкается.
Переходя к вектору $\mathbf{m}$, при $E<0$ получаем
\[
\left\{l_{i}, l_{j}\right\}=\epsilon_{i j k} l_{k}, \quad\left\{l_{i}, m_{j}\right\}=\epsilon_{i j k} m_{k}, \quad\left\{m_{i}, m_{j}\right\}=\epsilon_{i j k} l_{k} .
\]

Видно, что эта алгебра есть алгебра Ли группы SO(4). Поскольку $(1, \mathrm{~m})=0$, среди $l_{i}, m_{j}$ имеется пять независимых интегралов движения, как это и должно быть для системы с тремя степенями свободы.
7. Отметим еще, что классическая задача Кеплера при $\alpha>0$ обладает специфической особенностью: некоторые решения уравнений движения (2.8.3) обладают сингулярностью, соответствующей попаданию частицы в центр силового поля.

Однако после подходящей регуляризации эта сингулярность может быть устранена. В двумерном случае способ устранения сингулярности был указан в работе Леви-Чивиты в 1906 г. [237].
Именно, если ввести вместо времени $t$ новую переменную
\[
s=\int \frac{d t}{r(t)}
\]

и преобразовать независимую переменную с помощью формул
\[
q_{1}+i q_{2}=\frac{1}{2} z^{2}, \quad p_{1}+i p_{2}=w / \bar{z} ;
\]

то для полученного дифференциального уравнения точка $z=0$ станет регулярной. После этого поверхность постоянной энергии становится многообразием без границы, топологически эквивалентным вещественному проективному пространству $\mathbb{R}^{3}{ }^{3}$, т.е. расслоению единичных касательных векторов к двумерной сфере $S^{2}$.

Регуляризация уравнений движения для трехмерного случая была найдена в работе [228]. Оба эти способа, однако, не годятся в $n$-мерном случае и, кроме того, их связь со скрытой симметрией системы не вполне ясна.
8. Мы показали, что задача Кеплера инвариантна относительно алгебры $\mathrm{SO}(4)$. Более сложно увидеть инвариантность этой задачи относительно соответствующих глобальных преобразований — преобразований группы SO (4) .

Впервые это было сделано в 1935 г. В. Фоком [172] для квантового случая. Для классического случая глобальная инвариантность задачи Кеплера относительно группы SO(4) для трехмерного случая, а также группы $\mathrm{SO}(n+1)$ для $n$-мерного случая была явно продемонстрирована лишь в 1970 г. в работе Мозера [250]. В этой же работе была описана естественная регуляризация уравнений движения. Именно, Мозером было показано, что после подходящей компактификации поверхность постоянной энергии ( $E<0$ ) топологически эквивалентна касательному расслоению единичных векторов к $n$-мерной сфере $S^{n}$. Им была доказана

Т е о р е м а 2.8.1. При $E<0$ поверхность энергии $H=E$ можно отобразить топологически и взаимно однозначно на касательное расслоение единичных векторов к $S^{n}$ при условии, что одна точка сферы (северный полюс, соответствующий центру сил) выколота.

Кроме того, фазовый поток задачи Кеплера переходит, после замены времени новой переменной, в геодезический поток на $S^{n}$ без выколотой точки. Сингулярные орбиты соответствуют при этом окружностям, проходящим через северный полюс сферы.

Ниже излагается решение проблемы, следуя оригинальной работе $[250]$.
А. Геодезический поток на сфере и задача Кеплера.
a) Начнем с описания геодезического потока на сфере $S^{n}$, которую мы рассматриваем как вложенную в $(n+1)$-мерное пространство:
\[
S^{n}=\left\{\xi=\left(\xi_{0}, \xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right):|\xi|^{2}=\sum_{0}^{n} \xi_{j}^{2}=1\right\} .
\]

Рассмотрим в $(n+1)$-мерном пространстве динамическую систему с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2}|\eta|^{2}|\xi|^{2} \text {, }
\]

где $\xi=\left(\xi_{0}, \xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right)$ и $\eta=\left(\eta_{0}, \eta_{1}, \ldots, \eta_{n}\right)$ — это $(n+1)$-мернье векторы координаты и импульса соответственно. Уравнения движения такой системы имеют вид
\[
\xi^{\prime}=|\xi|^{2} \eta, \quad \eta^{\prime}=-|\eta|^{2} \xi .
\]

Здесь штрих означает дифференцирование по величине $s$, играющей роль времени.

Из (2.8.25) следует, что если в начальный момент времени выполнялись условия
\[
|\xi|^{2}=1, \quad(\xi, \eta)=\sum_{j=0}^{n} \xi_{j} \eta_{j}=0,
\]

то они будут выполняться и во все последующие моменты времени. Но, как нетрудно видеть, многообразие, определяемое условиями (2.8.26), представляет касательное расслоение $T S^{n}$ к сфере $S^{n}$, а уравнение (2.8.25), или же
\[
\xi^{\prime \prime}+|\eta|^{2} \xi=0
\]

описывает геодезический поток на сфере $S^{n}=\left\{\xi:|\xi|^{2}=1\right\}$ с энергией $H=\frac{1}{2}|\eta|^{2}$. Единичные касательные векторы $\left\{\eta:(\eta, \xi)=0,|\eta|^{2}=1\right\}$, образуют поверхность постоянной энергии $H=E=\frac{1}{2}$. Для того чтобы описать этот поток в евклидовом пространстве, используем стереографическую проекцию
\[
x_{k}=\frac{\xi_{k}}{1-\xi_{0}}, \quad k=1, \ldots, n,
\]

которая отображает сферу $S^{n}$ с выколотой точкой $(1,0, \ldots, 0)$ на $n$-мерное евклидово пространство.

Распространим это отображение до отображения касательного расслоения в пространство $\mathbb{R}^{2 n}=\left\{(x, y): x, y \in \mathbb{R}^{n}\right\}$ так, чтобы при этом выполнялось условие
\[
\sum_{\mu=0}^{n} \eta_{\mu} d \xi_{\mu}=\sum_{k=1}^{n} y_{k} d x_{k} .
\]

Величины $y_{k}$ будем искать в виде
\[
y_{k}=a(\xi, \eta) \eta_{k}+b(\xi, \eta) \xi_{k}, \quad k=1,2, \ldots, n .
\]

С помощью соотношений (2.8.26), а также равенств
\[
\begin{array}{l}
\sum_{0}^{n} \eta_{\mu} d \xi_{\mu}=\sum_{1}^{n}\left(\eta_{k}-\frac{\eta_{0}}{\xi_{0}} \xi_{k}\right) d \xi_{k}, \\
d x_{k}=\frac{d \xi_{k}}{1-\xi_{0}}-\frac{\xi_{k}\left(\xi_{l} d \xi_{l}\right)}{\xi_{0}\left(1-\xi_{0}\right)^{2}}
\end{array}
\]

получаем простой ответ *)
\[
y_{k}=\left(1-\xi_{0}\right) \eta_{k}+\eta_{0} \xi_{k} .
\]

Приведем еще формулы для обратного отображения из пространства $\mathbb{R}^{n}$ на сферу $S^{n}$ :
\[
\begin{array}{l}
\xi_{k}=\frac{2 x_{k}}{|x|^{2}+1}, \quad \xi_{0}=\frac{|x|^{2}-1}{|x|^{2}+1}, \\
\eta_{k}=\frac{|x|^{2}+1}{2} y_{k}-(x, y) x_{k}, \quad \eta_{0}=(x, y) .
\end{array}
\]

Гамильтониан же после перехода в пространство $(x, y)$ принимает вид
\[
F=\frac{\left(|x|^{2}+1\right)^{2}}{8}|y|^{2}=\frac{1}{2}|\xi|^{2}|\eta|^{2} \text {. }
\]

Поскольку уравнения Гамильтона
\[
x^{\prime}=\frac{\partial F}{\partial y}, \quad y^{\prime}=-\frac{\partial F}{\partial x}
\]

содержат лишь производные от функции $F$, то мы можем заменить функцию $F$ любой функцией $G(F)$ при условии, что $G^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=1$. Сделаем такую

*) Можно показать [250], что это единственная возможная форма $y_{k}$.

замену:
\[
G=\sqrt{2 F}-1=\frac{\left(|x|^{2}+1\right)|y|}{2}-1 .
\]

Тогда уравнения движения (2.8.35) переходят в уравнения
\[
x^{\prime}=\frac{\partial G}{\partial y}, \quad y^{\prime}=-\frac{\partial G}{\partial x},
\]

причем условие $F=1 / 2$ переходит в условие $G=0$.
Переходя от переменной $s$ к новой переменной $t$ согласно формуле
\[
t=\int|y| d s \text {, }
\]

получаем вместо (2.8.35′)
\[
\dot{x}=|y|^{-1} \frac{\partial G}{\partial y}, \quad \dot{y}=-|y|^{-1} \frac{\partial G}{\partial x},
\]

где точка означает дифференцирование по $t$.
Заметим, наконец, что при $G=0$
\[
|y|^{-1} \partial G / \partial y=\partial H / \partial y, \quad|y|^{-1} \partial G / \partial x=+\partial H / \partial x ;
\]

где
\[
H=|y|^{-1} G-\frac{1}{2}=\frac{1}{|y|}(\sqrt{2 F}-1)=\frac{1}{2}|x|^{2}-|y|^{-1},
\]

так что окончательно мы получаем систему с гамильтонианом (2.8.39), полагая в котором $p=-x, q=y$, приходим к гамильтониану задачи Кеплера
\[
H=\frac{1}{2}|p|^{2}-\frac{1}{|q|}=-\frac{1}{2} \text {. }
\]

В результате мы показали, что преобразования (2.8.28), (2.8.31) и (2.8.37) отображают расслоение единичных касательных векторов к сфере в $2 n$-мерное фазовое пространство, а большие окружности сферы $S^{n}-$ в кеплеровские эллипсы на поверхности энергии $H=E=-1 / 2$.

До сих пор мы исключали из рассмотрения северный полюс сферы $\xi=(1,0, \ldots, 0)$. Теперь мы можем рассмотреть и его. При этом геодезические, проходящие через северный полюс сферы, преобразуются в вырожденные орбиты, отвечающие попаданию частицы в начало координат.

Если мы хотим описать фазовый поток вблизи сингулярной точки $q=0$, соответствующей северному полюсу сферы, то нам следует использовать преобразование
\[
\xi_{0} \rightarrow-\xi_{0}, \quad \eta_{0} \rightarrow-\eta_{0}, \quad \xi_{k} \rightarrow \xi_{k}, \quad \eta_{k} \rightarrow \eta_{k}, \quad k=1,2, \ldots, n,
\]

переводящее северный полюс в южный. Этому преобразованию соответствует следующее преобразование в пространстве $(p, q)$ :
\[
q \rightarrow|p|^{2} q-2(p q) p, \quad p \rightarrow \frac{p}{|p|^{2}},
\]

которое, как отмечается в [250], уже использовалось в теории Зундмана. Заметим, что при этом преобразовании кеплеровские орбиты переходят в кеплеровские орбиты. Кроме того, сингулярные состояния системы ( $|p|=\infty, q=0$ ) преобразуются в состояния $p=0,|q|=2$.

Отметим также, что общий случай произвольной отрицательной энергии $E=-1 / 2 \rho^{2}$ легко сводится к рассмотренному случаю $E=-1 / 2$ заменой переменных $q \rightarrow \rho^{2} q, p \rightarrow \rho^{-1} p, t \rightarrow \rho^{3} t$.

Из найденной геометрической картины сразу получается и зависимость координат и импульсов от времени. В силу инвариантности относительно вращений вокруг оси $\xi_{0}$ мы можем считать, что движение происходит в трехмерном пространстве $\left(\xi_{0}, \xi_{1}, \xi_{2}\right): \xi_{3}=\xi_{4}=\ldots=\xi_{n}=0$. Движение совершается по большой окружности, угол между плоскостью которой и плоскостью экватора $\xi_{0}=0$ обозначим через $\alpha$. Тогда при соответствующем выборе начала отсчета величины $s$ мы получаем
\[
\xi_{0}=\sin \alpha \cos s, \xi_{1}=\sin s, \xi_{2}=-\cos \alpha \cos s, \eta_{\mu}=\xi_{\mu}^{\prime}=d \xi_{\mu} / d s .
\]

После стереографической проекции и замены $x_{j}=-p_{j}, y_{j}=q_{j}$ мы получаем
\[
\begin{array}{l}
p_{1}=-\frac{\sin s}{1-\sin \alpha \cos s}, \quad p_{2}=\frac{\cos \alpha \cos s}{1-\sin \alpha \sin s}, \\
q_{1}=\cos s-\sin \alpha, \quad q_{2}=\cos \alpha \sin s .
\end{array}
\]

Таким образом, вектор $p=\left(p_{1}, p_{2}\right)$ описывает окружность, а вектор $q=\left(q_{1}, q_{2}\right)$ описывает эллипс с эксцентриситетом
\[
\epsilon=\sin \alpha \text {, }
\]

параметризованные эксцентрической аномалией s (см. [250]). Для получения соотношения между $t$ и $s$ заметим, что
\[
|y|=|q|=1-\sin \alpha \cos s=1-\epsilon \cos s
\]

и, следовательно,
\[
t=\int^{s}|y| d s=s-\epsilon \sin s .
\]

Таким образом, данная регуляризационная процедура автоматически приводит к уравнению Кеплера.
Заметим, наконец, что при $\epsilon=1$ уравнение Кеплера принимает вид
\[
t=s-\sin s \approx \frac{1}{6} s^{3}-\ldots,
\]

откуда видно, что координаты орбиты вблизи сингулярности являются аналитическими функциями величины $t^{1 / 3}$.

Отметим две работы, имеющие огношение к рассматриваемому вопроcу. В работе [124] методом Мозера были изучены также случаи $E>0$ и $E=0$, которые сводятся к исследованию геодезических потоков на гиперболоиде и в евклидовом пространстве. В работе [227] рассмотрено соотношение между методами регуляризации работ [228] и [250] для трехмерной задачи Кеплера.

Отметим еще, что если взять все состояния задачи Кеплера (для простоты при $n=3$ ), то это пространство естественно изоморфно пространству $T_{0}^{*} S^{3}$, т.е. подпространству. в $T^{*} S^{3}$, состоящему из ненулевых касательных векторов к сфере $S^{3}$. Оказывается, что это пространство является однородным: на нем транзитивно действует групта $\mathrm{SO}(4,2)$, причем как группа симплектических диффеоморфизмов на $T_{0}^{*} S^{3}$ (т.е. эти преобразования сохраняют стандартную симплектическую структуру этого пространства). При этом $T^{*} S^{3}$ изоморфно орбите наименьшей размерности — шестимерной орбите коприсоединенного представления группы SO $(4,2)$. Этот изоморфизм используется при так называемом геометрическом квантовании задачи Кеплера (детали см. в [258]; описание действия группы $\mathrm{SO}(4,2)$ в фазовом пространстве дано в [124]).
Зам ечание (А.Б. Гивенталь, см. [2]).
Пусть плоскость $(x, y)$ — конфигурационная плоскость задачи Кеплера с гамильтонианом $H=\frac{1}{2}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}\right)-\frac{1}{r}, r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$. Рассмотрим в пространстве $(x, y, z)$ прямой круговой конус $z^{2}=\left(x^{2}+y^{2}\right)$ и семейство вписанных в него параболоидов вращения $z=\left(\left(x^{2}+y^{2}\right) / 4 \alpha\right)+\alpha(\alpha$ — параметр). Спроектируем пространство $(x, y, z)$ на плоскость $(x, y)$ вдоль оси $z$. Тогда можно показать, что:
(a) траектории задачи Кеплера — это проекции плоских сечений конуса (в частности, вершина конуса — фокус проекций его плоских сечений);
(б) траектории с одинаковым значением полной энергии — проекции сечений конуса плоскостями, касающимися одного и того же параболоида;
(в) траектории с одинаковым значением момента импульса — проекции сечений конуса плоскостями, проходящими через одну и ту же точку оси $z$.