Рассмотрим движение материальной точки единичной массы в $n$-мерном пространстве в центральном поле, т.е. в потенциальном поле, зависящем лишь от расстояния $r$ от начала координат,
\[
H=\frac{1}{2} p^{2}+U(r), \quad p=|p|, \quad U(q)=U(r), \quad r=|q| .
\]

Гамильтониан такой системы инвариантен относительно преобразований группы SO $(n)$ – группы вращений $n$-мерного пространства. Как следствие этого, $\frac{n(n-1)}{2}$ величин – компоненты тензора момента количества движения
\[
l_{j k}=q_{j} p_{k}-q_{k} p_{j}, \quad j
eq k, \quad l_{j k}=-l_{k j}
\]
– являются сохраняющимися величинами. Нетрудно видеть, однако, что не все эти величины являются независимыми: среди них имеется всего $(2 n-3)$ независимых величины.

Фиксируя значения всех компонент этого, тензора, мы фиксируем тем самым двумерную плоскость, содержащую векторы $q$ и $p$. Постоянство тензора $l_{j k}$ означает, что частица во время движения находится в этой плоскости. Вводя на этой плоскости обычную декартову систему координат, приходим к задаче с двумя степенями свободы и гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right)+U(r), \quad r=\sqrt{q_{1}^{2}+q_{2}^{2}} .
\]

Переходя к полярным координатам $r$ и $\varphi$
\[
q_{1}=r \cos \varphi, \quad q_{2}=r \sin \varphi,
\]

получаем
\[
H=\frac{1}{2}\left(p_{r}^{2}+\frac{p_{\varphi}^{2}}{r^{2}}\right)+U(r) .
\]

Мы видим, что гамильтониан $H$ не зависит от $\varphi$ (или, как говорят, координата $\varphi$ является циклической). Отсюда следует, что сопряженная к ней величина $p_{\varphi}$ от времени не зависит:
\[
p_{\varphi}^{2}=l^{2}=\sum_{j<k} l_{j k}^{2}=\text { const, } p_{\varphi}=r^{2} \dot{\varphi}
\]

Таким образом, интересующая нас задача сводится к одномерной задаче с новой потенциальной энергией
\[
V_{l}(r)=U(r)+\frac{l^{2}}{2 r^{2}} .
\]

Поэтому зависимость величины $r$ от времени определяется квадратурой
\[
t=\frac{1}{\sqrt{2}} \int^{r} \frac{d \xi}{\sqrt{E-V_{I}(\xi)}} .
\]

После этого можно найти и зависимость $\varphi$ от времени
\[
\varphi(t)=l \int^{t} \frac{d t}{r^{2}(t)} .
\]

Орбита же частицы определяется уравнением
\[
\varphi=l \int^{r} \frac{d \xi}{\xi^{2} \sqrt{2\left(E-V_{l}(\xi)\right.}} .
\]

Отсюда в случае финитного движения получаем
\[
\Delta \varphi=l \int_{r_{\min }}^{r_{\max }} \frac{d r}{r^{2} \sqrt{2(E-V)}} .
\]

Поэтому такая орбита является замкнутой, если $\Delta \varphi / \pi$ является рациональным числом: $\Delta \varphi=\frac{m}{n} \pi, m$ и $n$ – целье числа. Ясно, что это может происходить лишь в исключительных случаях. Нахождению этих случаев посвящен следующий раздел.

Отметим еще, что в случае степенного потенциала $\left(U(r)=\alpha r^{k}\right.$ ) для степеней
\[
k=6,4,2,-1,-2,-3,-4,-6 ;-\frac{1}{2},-\frac{3}{2}, \frac{2}{3},-\frac{2}{3},-\frac{4}{3}
\]

интегрирование в (2.5.8) приводит к эллиптическим функциям [35].