В данном разделе, следуя [95], будет показано, что системы типа II и III являются проекциями движения по геодезическим в некоторых пространствах отрицательной и положительной кривизны соответственно.
Простейший случай одной степени свободы рассмотрен в разделе 1.9.
Напомним, что при свободном движении частицы по верхней полости двуполостного гиперболоида
\[
\mathcal{H}^{2}=\left\{x: x^{2}=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=1, \quad x_{0}>0\right\}
\]

после проектирования
\[
x \rightarrow q=\operatorname{Arch} x_{0}
\]

получаем систему с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2} p^{2}+g^{2}(\operatorname{sh} q)^{-2},
\]
т.е. систему типа II для одной степени свободы.
Аналогичное рассмотрение геодезического потока на сфере
\[
S^{2}=\left\{\dot{x}: x^{2}=\dot{x}_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1\right\}
\]

приводит к системе типа III с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2} p^{2}+g^{2} \sin ^{-2} q, \quad q=\arccos x_{0} .
\]

Перейдем к общему случаю. Остановимся сначала на системах типа II. Для этого рассмотрим пространство $X_{n}^{-}$положительно определенных эрмитовых матриц порядка $n$ с определителем, равным единице.

На этом пространстве транзитивно действует группа $G=S L(n, \mathbb{c})$ группа комплексных матриц порядка $n$ с определителем, равным единице. Это означает, что любую точку $x \in X_{n}^{-}$можно перевести в любую другую точку с помощью действия группы $G$, которое задается формулой
\[
x \rightarrow g x g^{+}, x \in X_{n}^{-}, g \in G, g^{+}=\bar{g}^{\prime} .
\]

В частности, если исходной точкой пространства является единичная матрица, то получается представление для произвольной точки $x \in X_{n}^{-}$:
\[
x=g g^{+},
\]

и тем самым вложение пространства $X^{-}$в группу $G$. Такое представление неоднозначно – если $g$ умножить справа на элемент из подгруппы $K \subset G$, $K=\mathrm{SU}(n),\left(k^{-1}=k^{+}\right)$, то точка $x$ не изменится. Это означает, что пространство $X_{n}^{-}$есть факторпространство $G / K=\mathrm{SL}(n, \mathbb{C}) / \mathrm{SU}(n)$.

На пространстве $X_{n}^{-}$существует инвариантная относительно действия группы $G$ (3.5.6) метрика
\[
d s^{2}=\operatorname{tr}\left(d x \cdot x^{-1} d x \cdot x^{-1}\right) .
\]

Относительно этой метрики пространство $X_{n}^{-}$имеет неположительную кривизну, чем и объясняется знак минус в его обозначении. Нетрудно вьвести уравнение геодезических для метрики (3.5.8):
\[
\frac{d}{d t}\left(x^{-1} \dot{x}\right)=0, \quad \text { или } \frac{d}{d t}\left(\dot{x} x^{-1}\right)=0 .
\]

Отметим, что если $x(t)$ – кривая в пространстве $X_{n}^{-}$, то матрицы $x^{-1}(t) \dot{x}(t)$ и $\dot{x}(t) x^{-1}(t)$ можно рассматривать как два векторных поля на группе $\operatorname{SL}(n, \mathbb{C})$. Эти поля не являются, вообще говоря, векторными полями на $X_{n}^{-}$. Их полусумма, однако, будет уже векторным полем на $X_{n}^{-}$. Поэтому вместо уравнения (3.5.9) мы будем рассматривать уравнение
\[
\frac{d}{d t} \frac{x^{-1} \dot{x}+\dot{x} x^{-1}}{2}=0,
\]

которому геодезическая $x(t)$ будет удовлетворять. Очевидно, что произвольная геодезическая на $X_{n}^{-}$имеет вид
\[
x(t)=b \exp \{2 a t\} b^{+},
\]

где $b \in \operatorname{SL}(n, \mathbb{C}), \quad a=a^{+}, \quad \operatorname{tr} a=0$.
На пространстве $X_{n}^{-}$существует аналог сферической системы координат. Из курса линейной алгебры известно, что всякую эрмитову матрицу можно привести к диагональному виду с помощью унитарного преобразования. Пусть $x(t)$ – произвольная кривая в $X_{n}^{-}$. Тогда
\[
x(t)=U(t) \exp \{2 \alpha Q(t)\} U^{+}(t),
\]

где $U(t) \in K=\mathrm{SU}(n)$ – \”угловая переменная\” и $Q(t)$ – диагональная матрица $\operatorname{diag}\left[q_{1}(t), \ldots, q_{n}(t)\right],\left(\Sigma q_{j}=0\right)$ – сферическая проекция, $\alpha$ – параметр. Для такой параметризации $x(t)$ справедливо соотношение
\[
\frac{1}{2}\left(x^{-1} \dot{x}+\dot{x} x^{-1}\right)=2 \alpha U L U^{+},
\]

где
\[
L(t)=P+i(4 \alpha)^{-1}[\exp \{-2 \alpha Q\} M \exp \{2 \alpha Q\}-\exp \{2 \alpha Q\} M \exp \{-2 \alpha Q\}],
\]
$M=-i U^{-1} \dot{U}-$ \”угловая скорость\” вращения, $P=\dot{Q}-$ \”относительная скорость\”.
Дифференцируя (3.5.13) по времени, мы находим
\[
\frac{1}{2} \frac{d}{d t}\left(x^{-1} \dot{x}+\dot{x} x^{-1}\right)=2 \alpha U(\dot{L}+i[M, L]) U^{+},
\]

так что уравнение (3.5.10) эквивалентно уравнению Лакса
\[
\dot{i L}=[M, L] \text {. }
\]

Напротив, предположим, что мы имеем пару матриц $L(t), M(t)$, связанных соотношением (3.5.14) и удовлетворяюших уравнению Лакса (3.5.16). Пусть $u(t)$ – решение уравнения $\dot{u}=i u M$ и пусть $x(t)$ определено уравнением (3.5.12). Тогда $x(t)$ удовлетворяет уравнению (3.5.10) и потому является геодезической.

Нетрудно проверить, что пара Лакса (3.1.6), (3.1.7) для систем типа II с $x(\xi)=\alpha \operatorname{cth}(\alpha \xi)$ удовлетворяет уравнению (3.5.14). Теперь мы должны определить геодезические, ассоциированные с парой Лакса. Предполагая без ограничения общности, что матрица $b$ диагональна, следовательно, $u(0)=I$, мы находим из (3.5.11) и (3.5.13)
\[
\begin{array}{l}
b=\exp \{\alpha Q(0)\}, Q(0)=\operatorname{diag}\left(q_{1}^{0}, \ldots, q_{n}^{0}\right), \\
a_{j k}=\alpha p_{j}^{0} \delta_{j k}+i \alpha^{2} g\left(1-\delta_{j k}\right) \operatorname{sh}^{-1}\left[\alpha\left(q_{j}^{0}-q_{k}^{0}\right)\right] .
\end{array}
\]

Мы приходим, таким образом, к окончательному результату: решения $q_{j}(t)$ уравнений движения дпя систем типа II являются логарифмами собственных значений матрицы $x(t)=b \exp \{2 a t\} b^{+}$, где матрицы $b$ и $a$ даются формулами (3.5.17), (3.5.18),

Специальный выбор геодезических, которые проектируются на поток для системы типа II, имеет простую механическую интерпретацию.

Сохраняющийся \”момент количества движения\” относительно действия группы SU (n) дается формулой
\[
\mu=i\left[x^{-1}, \dot{x}\right] .
\]

Для геодезической (3.5.11) мы получаем
\[
\mu=2 i\left(b^{-1} a b-b a b^{-1}\right)
\]

и для специального случая $a, b$ вида (3.5.17)-(3.5.18) $\mu$ принимает вид
\[
\mu=4 \alpha^{2} g(e \otimes e-I), \quad e=(1, \ldots, 1),
\]
(сравни с формулой (3.3.10)). Такое значение \”момента количества движения\” является весьма специальным: $(n-1)$ собственное значение матрицы $\mu$ совпадает друг с другом. Это свойство является характеристическим для геодезических, которые проектируются на траектории системы типа II. Заметим, что $\mathrm{SU}(n)$-орбита $\mathcal{O}_{\mu}$, проходящая через $\mu$, имеет минимальную (ненулевую) размерность среди всех орбит группы $\mathrm{SU}(n): \operatorname{dim} \mathcal{O}_{\mu}=2(n-1)$. Этот факт важен для обсуждения гамильтоновой редукции в разделе 3.7.

Отметим также, что формулы для явных решений систем типа III получаются заменой параметра $\alpha$ на $i \alpha$. Однако поучительней будет указать на связь этих решений с геодезическим потоком на унитарной группе $\mathrm{SU}(n)$. Группа $\mathrm{SU}(n)$ находится в двойственном соответствии с пространством $X_{n}^{-}$. Эта двойственность для широкого класса пространств была установлена Э. Картаном. Частичным ее проявлением является связь между гиперболической и сферической геометриями; другое ее проявление связь между формулами для систем II и III. Группа SU $(n)$ является римановым пространством положительной кривизны с метрикой (3.5.8), и геодезические этой метрики вычисляются столь же просто, как и для пространства $X_{n}^{-}$. Поэтому все рассуждения в этом случае могут быть повторены и явные формулы получены независимо.

В случае одной степени свободы пространства $X_{2}^{-}$и $\mathrm{SU}(2)$ суть трехмерный гиперболоид и трехмерная сфера. В начале раздела мы реализовали системы с одной степенью свободы на двумерном гиперболоиде и двумерной сфере. На самом деле системы с одной степенью свободы можно реализовать на гиперболоидах и сферах произвольной размерности.

В заключение этого раздела, следуя работе [310], проинтегрируем явно уравнения движения систем с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} p_{j}^{2}+g^{2} \sum_{j<k} \operatorname{sh}^{-2}\left(q_{j}-q_{k}\right)+\alpha \sum_{k=1}^{n} \exp \left(4 q_{k}\right) \text {. }
\]

Прежде всего заметим, что для уравнений движения этой системы можно записать обобщенное представ.тение Лакса
\[
\dot{L}=[M, L]-4 \alpha \exp (4 Q),
\]

где
\[
\begin{aligned}
L_{j k} & =p_{k} \delta_{j k}+i g\left(1-\delta_{j k}\right) \operatorname{cth}\left(q_{j}-q_{k}\right), \\
M_{i k} & =\left(-\sum_{\substack{l=1, l
eq j}}^{n} M_{l j}\right) \delta_{j k}+g\left(1-\delta_{j k}\right) \operatorname{sh}^{-2}\left(q_{j}-q_{k}\right)
\end{aligned}
\]

и
\[
Q=\operatorname{diag}\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right) .
\]

Дифференцируя по времени матрицу $\exp (2 Q)$, получаем
\[
\frac{d}{d t}[\exp (2 Q)]=[L, \exp (2 Q)]+2(L+C) \exp (2 Q),
\]

где
\[
C_{j k}=i g\left(1-\delta_{j k}\right) .
\]

Удобно ввести матрицы
\[
L^{ \pm}=L \pm C,
\]

удовлетворяющие соотношениям
\[
L^{+} \exp (2 Q)=\exp (2 Q) L^{-}, \quad L^{+}-L^{-}=2 C
\]

и уравнениям типа Лакса
\[
\begin{array}{l}
\dot{L}^{ \pm}=\left[M, L^{ \pm}\right]-4 \alpha \exp (4 Q), \\
\frac{d}{d t}[\exp (2 Q)]=[M, \exp (2 Q)]+2 L^{+} \exp (2 Q)= \\
=[M, \exp (2 Q)]+2 \exp (2 Q) L^{-} .
\end{array}
\]

Для того чтобы упростить эти уравнения, ведем матрицы
\[
Y=U^{-1} \exp (2 Q) U, \quad Z^{ \pm}=U^{-1} L^{ \pm} U,
\]

где матрица $U$ – это матрица, являющаяся решением дифференциального уравнения
\[
\dot{U}(t)=M U(t)
\]

с начальным условием
\[
U(t=0)=I \text {. }
\]

Теперь для матриц $Y$ и $Z^{ \pm}$получаем дифференциальные уравнения
\[
\dot{Z}^{ \pm}=-4 \alpha Y^{2}, \quad \dot{Y}=2 Z^{+} Y=2 Y Z^{-}
\]

Эти уравнения можно проинтегрировать тем же способом, который был использован в работе [108] для потенциала $w(x)=\exp (2 x)$. Именно, из уравнений (3.5.35) следует, что
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{1}{2} Z^{+} Z^{-}+\alpha Y^{2}\right)=0,
\]

откуда получаем
\[
\frac{1}{2} Z^{+} Z^{-}+\alpha Y^{2}=\frac{1}{2} L_{0}^{+} L_{0}^{-}+\alpha \exp \left(4 Q_{0}\right)=W_{0} .
\]

Здесь индекс 0 означает, что значения матрицы берутся при $t=0$.
Теперь, подставляя в (3.5.37) выражение для $\alpha Y^{2}$ из (3.5.35) и используя тот факт, что $2 C=L^{+}-L^{-}$и $U^{-1} C U=C$ (что следует из $[M, C]=$ $=0$ ), получаем матричное уравнение Риккати
\[
2\left(Z^{-}\right)^{2}-\dot{Z}^{-}=4 W_{0}-4 C Z^{-}
\]

Это уравнение можно линеаризовать с помощью подстановки
\[
Z^{-}=-\frac{1}{2} \dot{P} P^{-1}
\]

где матрица $P(t)$ является обратимой матрицей порядка $n \times n$. А именно, получаем
\[
\ddot{P}=8 W_{0} P+4 C \dot{P},
\]

или, в блочных обозначениях,
\[
\dot{\widetilde{P}}=\frac{d}{d t}\left[\begin{array}{l}
P \\
\dot{P}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
0 & I \\
8 W_{0} & 4 C
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
P \\
\dot{P}
\end{array}\right]=\tilde{W}_{0} \tilde{P} .
\]

Заметим, что имеется произвол в выборе начальной матрицы $P(0)$, поскольку уравнение (3.5.38) должно удовлетворять лишь одному начальному условию $Z^{-}(0)=L_{0}^{-}$. Удобно выбрать $P(0)=I$, так что $\dot{P}(0)=$ $=-2 L_{0}^{-}$, и тогда решение уравнения (3.5.41) имеет вид
\[
\left[\begin{array}{l}
P(t) \\
\dot{P}(t)
\end{array}\right]=\exp \left[\left(\begin{array}{ll}
0 & I \\
8 W_{0} & 4 C
\end{array}\right) t\right]\left[\begin{array}{c}
I \\
-2 L_{0}^{-}
\end{array}\right] .
\]

Таким образом, величины $\exp \left(4 q_{j}(t)\right)$ можно найти как собственные значения матрицы
\[
U^{-1} \exp (4 Q) U=Y^{2}(t)=-\frac{1}{4 \alpha} \dot{Z}^{-}(t)=\frac{1}{8 \alpha} \frac{d}{d t}\left[\dot{P}(t) P^{-1}(t)\right],
\]

где матрицы $P(t)$ и $\dot{P}(t)$ находятся из уравнения (3:5.42).
Дальнейший анализ рассматриваемой системы для случая $\alpha>0$ (случай $\alpha<0$ рассматривается аналогично) аналогичен анализу работы [108] и дает следующие результаты.

Асимптотические значения импульсов $p_{k}( \pm \infty)$ частиц являются интегралами движения. При этом
\[
\lambda_{k}=p_{k}(+\infty)=-p_{k}(-\infty), \quad \lambda_{1}<\lambda_{2}<\ldots<\lambda_{n}<0,
\]

а асимптотика $q_{j}(t), p_{k}(t)$ имеет вид (при $t \rightarrow \pm \infty$ )
\[
q_{j}(t)= \pm \lambda_{j} t+\alpha_{j}^{ \pm}+\mathcal{O}\left(t^{-1}\right), \quad p_{k}(t)= \pm \lambda_{k}+\mathcal{O}\left(t^{-2}\right),
\]
т.е. асимптотически частицы ведут себя как свободные.

В рассматриваемом случае имеются две матрицы, подвергающиеся изоспектральной деформации. Это
\[
W=\frac{1}{2} L^{+} L^{-}+\alpha \exp (4 Q),
\]

для которой
\[
\dot{w}=[M, w] \text {, }
\]

и матрица
\[
\tilde{W}=\left[\begin{array}{ll}
0 & I \\
8 W & 4 C
\end{array}\right],
\]

удовлетворющая уравнению
\[
\dot{\tilde{W}}=[\tilde{M}, \tilde{W}], \quad \tilde{M}=\left[\begin{array}{cc}
M & 0 \\
0 & M
\end{array}\right] .
\]

Величины
\[
I_{k}=\frac{1}{k} \operatorname{tr}\left(W^{k}\right), \quad k=1, \ldots, n,
\]

представляют $n$ функционально независимых интегралов движения, и нетрудно показать, что все они находятся в инволюции.