Системы, рассмотренные в предыдущем разделе, представляют гамильтоновы системы на орбитах специального вида борелевских подгрупп. В этом разделе мы исследуем другие возможности выбора орбит с целью применения теоремы 4.5.2 для построения вполне интегрируемых систем. Мы будем использовать обозначения предыдущего раздела, так чқо $\mathcal{G}$ — это вещественная простая расщепимая алгебра Ли,
$$\mathcal{G}=\mathcal{K}+\mathcal{P}$$
— ее разложение Картана, $\mathcal{A}\subset \mathcal{P}$ — ее картановская подалгебра и
$$\mathcal{G}=\mathcal{K}+\mathcal{A}+\mathcal{L}=\mathcal{K}+\mathcal{B},G=KAZ=KB$$
— разложенис Ивасавы для $\mathcal{G}$ и для соответствующсй группы $G$. Напомним, что нильпотентная подалгебра $\mathcal{L}$ натянута на корневые векторы $E_{\alpha },\alpha \in R_{+}$, где $R_{+}$- подмножество положительных корней.

Разложение $\mathcal{L}=\mathcal{K}+\mathcal{B}$ и форма Киллинга на $\mathcal{G}$ позволяют нам индентифицировать дуальное пространство ${\mathcal{P}}^{\ast }$ с $\mathcal{P}={\mathcal{K}}^1$ :
$${\mathcal{B}}^{\ast }\simeq {\mathcal{P}}^{\circ }.$$

Пусть $\mathit{y}$ означает кольцо инвариантных полиномов на $\mathcal{G}$, ограниченное на $\mathcal{P}$; это то же самое, что кольцо $K$-инвариантных полиномов на $\mathcal{P}$. В виду отождествления ${\mathcal{B}}^{\ast }\simeq \mathcal{P}$ элементы $\mathit{y}$ можно также рассматривать как полиномы на ${\mathcal{B}}^{\ast }$.

Теперь основное утверждение теоремы 4.5.2 можно сформулировать следующим образом:

функции, принадлежащие $\mathit{y}$, находятся в инволюции по отношению к скобке Ли-Пуассона на ${\mathcal{B}}^{\ast }$. Хорошо известно также, что $\mathfrak{J}$ порождается с помощью $l=\dim \mathcal{A}=\mathrm{rank}\mathcal{G}$ алгебраически независимых инвариантов (базисных инвариантов). В этом разделе мы будем интересоваться теми орбитами коприсоединенного представления в ${\mathcal{P}}^{\ast }$, на которых кольцо $\mathcal{I}$ дает полную инволютивную систему функций.
$$1.\mathcal{J}\text{-регулярные орбиты. }$$

Определение. Орбита $O$ коприсоединенного представления группы $B$ в ${\mathcal{S}}^{\ast }$ называется $\mathcal{I}$-регулярной, если базис инвариантов кольца $\mathcal{I}$ остается независимым при ограничении на $\mathcal{O}$.

Заметим, что для $\mathit{y}$-регулярной орбиты $\dim \mathcal{O}⩾2l$. Простой критерий $\mathcal{I}$-регулярности был дан в работе [182]. Пусть $\mathrm{\Pi }=\{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_l\}$ — множество простых корней в $R_{+}$. Для любого корня $\alpha \in R_{+}$обозначим через Supp ( $\alpha$ ) множество простых корней, которые входят в разложение $\alpha =n_1{\alpha }_1+\dots +n_l{\alpha }_l$ с ненулевыми коэффициентами.

Далее для любого элемента $x\in {\mathcal{F}}^{\ast }$ определим следующее подмножество простых корней:
$$\mathrm{\Phi }(x)=\underset{\{\alpha \in R_{+}:x\left(E_{\alpha }\right)eq0\}}{\cup }\mathrm{Supp}(\alpha ).$$

Теорема 4.6.1 [182]. Орбита $\mathcal{O}$ является $\mathit{Y}$-регулярной, если и только если существует $x\in \mathcal{O}$ такой, что $\mathrm{\Phi }(x)=\mathrm{\Pi }$.

Можно дать также более детальное описание орбит коприсоединенного представления. Для этого введем следующие обозначения. Пусть ${\mathrm{\Pi }}_1$ — подмножество системы простых корней П. Обозначим через $R_{+}\left({\mathrm{\Pi }}_1\right)$ подмножество положительньх корней, натянутых на ${\mathrm{\Pi }}_1$.
Определим
$$\begin{array}{l}\mathcal{L}\left({\mathrm{\Pi }}_1\right)=\sum _{\alpha \in R_{+}\left({\mathrm{\Pi }}_1\right)}{\mathcal{G}}_{\alpha },\\ \mathcal{A}\left({\mathrm{\Pi }}_1\right)=\mathrm{span}\{H_{\alpha },\alpha \in {\mathrm{\Pi }}_1\},\end{array}$$

и
$$\mathcal{R}\left({\mathrm{\Pi }}_1\right)=\mathcal{A}\left({\mathrm{\Pi }}_1\right)+\mathcal{L}\left({\mathrm{\Pi }}_1\right).$$

Соответствующая связная подгруппа $B\left({\mathrm{\Pi }}_1\right)\subset B$ является борелевской подгруппой в расщепимой полупростой группе $G\left({\mathrm{\Pi }}_1\right)\subset G$ с алгеброй Ли $\mathcal{G}\left({\mathrm{\Pi }}_1\right)=\mathcal{L}\left({\mathrm{\Pi }}_1\right)+\mathcal{A}\left({\mathrm{\Pi }}_1\right)+\mathcal{L}{\left({\mathrm{\Pi }}_1\right)}^{\prime }$.

Пусть $\{E_{\alpha }^{\ast },\alpha \in R_{+}\}$- базис для ${\mathcal{L}}^{\ast }$, дуальный к $\left\{E_{\alpha }\right\}$. Мы отождествим дуальное пространство $\mathcal{L}{\left({\mathrm{\Pi }}_1\right)}^{\ast }$ с подпространством ${\mathcal{L}}^{\ast }$, натянутым на $E_{\alpha }^{\ast },\alpha \in R_{+}\left({\mathrm{\Pi }}_1\right)$.

Теорема 4.6.2 [182]. Пусть $O\subset {\mathcal{R}}^{\ast }$ — орбита коприсоединенного представления группы $B$. Определим $\mathrm{\Pi }O=\{\alpha \in \mathrm{\Pi }:⟨E_{\alpha },\mathcal{O}⟩eq0\}$. Тогда того, орбита $\mathcal{O}$ является $\mathit{I}$-регулярной, если и только если ${\mathrm{\Pi }}_{\mathcal{C}}=\mathrm{\Pi }$.
2. Орбиты типа Тоды. Определение ирбита $\mathcal{O}$ коприсоединенного представления в ${\mathcal{O}}^{\ast }$ называется орбитой типа Тоды, если $\mathcal{O}$ является $\mathit{J}$-регулярной и $\dim \mathit{O}=2l$.

Иными словами, орбиты типа Тоды — это орбиты минимальной размерности среди $\mathcal{J}$-регулярных орбит. Такие орбиты интересны потому, что в этом случае инварианты группы $G$ дают полное и инволютивное семейство функций на любой орбите типа Тоды (т.е. функциональная размерность этого семейства равна $(1/2)\dim \mathcal{O}=l$ ).

Следствие 4.6.1. Любой гамильтониан $H\in \mathit{Y}$ определяет вполне интегрируемую систему на каждой орбите типа Тоды в ${\mathcal{R}}^{\ast }$.

Из теоремы 4.6.1 мы получаем следующий критерий для орбит типа Тоды. типа Тоды, если и только если $\dim O=2l$ и, кроме того, существует $x\in \mathcal{O}$ такой, что $\mathrm{\Phi }(x)=\mathrm{\Pi }$.
3. Примеры орбит типа Тоды. Хотя полная классификация орбит типа Тоды в настоящее время не известна, имеется достаточно большое число примеров таких орбит. Естественный способ построения орбит типа Тоды это выбрать некоторый элемент $x\in {\mathcal{R}}^{\ast }$ такой, что $\mathrm{\Phi }(x)=\mathrm{\Pi }$, и затем проверить, что орбита ${\mathit{O}}_x$ имеет размерность $2l$.

Конструкция 4.6.1. Возьмем любой корень $\alpha \in R_{+}$такой, что $\mathrm{Supp}(\alpha )=\mathrm{\Pi }$, и пусть $x\in E_{\alpha }^{\ast }$. При подходящем минимальном $\alpha$ мы получаем орбиту типа Тоды. Такую орбиту назовем элементарной.

Простейший пример такого типа — это когда $B$ есть группа вещественных верхних треугольных матриц с определителем, равным единице, и
$$x=\left(\begin{array}{cccc}0& & & \\ 0& \ddots & 0& \\ & \ddots & \ddots & \\ 1& & 0& 0\end{array}\right).$$

Возникающая при этом гамильтонова система уже рассматривалась детально в разделе 4.5 .
Для вычисления размерности элементарной орбиты полезна следующая Лемма [182]. Пусть ${\mathit{O}}^{\alpha }$ — элементарная орбита, проходящая через $E_{\alpha }^{\ast },\alpha \in R_{+}$, тогда
$$\dim {\mathit{O}}^{\alpha }=N_{\alpha }+2,$$

где $N_{\alpha }$ — это число корней $\beta \in R_{+}$таких, что $(\alpha -\beta )\in R_{+}$. С помощью этой леммы, а также, используя явное описание системы корней, можно показать, что справедлива

Теорема 4.6.3 [182]. Следующие элементарные орбиты ${\mathcal{O}}^{\alpha }$ являются орбитами типа Тоды:
a) $\alpha ={\alpha }_1+\dots +{\alpha }_l$

для любой системы корней
б) $\alpha =2\mathrm{\Sigma }{\alpha }_i+\mathrm{\Sigma }{\alpha }_j$,

где ${\alpha }_i$ — короткий корень, ${\alpha }_j$ — длинный корень,
для систем корней типа $B_n,C_n$ и $D_n$
в) $\alpha =3{\alpha }_1+{\alpha }_2$,
${\alpha }_1$ — короткий корень, ${\alpha }_2$ — длинный корень для систем типа $G_2$.
При этом в случаях (ii) и (iii) $\alpha$ — это длинный корень.

Просмотр всех остальных случаев [216] показывает, что в случае системы корней типа $G_2$ имеется еще одна элементарная орбита типа Тоды и
$$\alpha =2{\alpha }_1+{\alpha }_2,$$
${\alpha }_1$ — короткий корень, ${\alpha }_2$ — длинный корень.
Таким образом, все элементарные орбиты типа Тоды полностью перечислены. Для явного описания этих систем необходимо ввести глобальные канонические координаты на этих орбитах. Этот вопрос детально рассмотрен в работе [216] (см. следующий раздел) .
Перейдев теперь к рассмотрению следующей конструкции.
Конструкция 4.6.2. Начнем с простейшего примера. Пусть $x_{\alpha }-$ ненулевой элемент $E_{\alpha }^{\ast }$ для любого простого корня $\alpha$, а
$$x=x_{{\alpha }_1}+\dots +x_{{\alpha }_l}.$$

Мы приходим к обобщенной цепочке Тоды. В случае $\mathcal{G}=\mathrm{sl}(n,\mathbb{R})$ элемент $x$, определяющий орбиту, имеет вид
$$x=\left(\begin{array}{ccc}0& & 0\\ b_1& 0& & \\ 0& \ddots & \ddots & \\ 0& & b_{n-1}0\end{array}\right).$$

Нетрудно видеть, что полученная ороита ${\mathit{O}}_x$ является векторной суммой двумерных орбит:
$${\mathcal{O}}_x={\mathcal{O}}_1+\dots +{\mathcal{O}}_l.$$

Перейдем к рассмотрению общего случая. Имеет место
Теорема 4.6.4 [182]: Пусть $\mathrm{\Pi }={\mathrm{\Pi }}_1\cup {\mathrm{\Pi }}_2$ и ${\mathrm{\Pi }}_1\cap {\mathrm{\Pi }}_2=\varphi ,B_1$ и $B_2-$ борелевские группы, соответствующие ${\mathrm{\Pi }}_1$ и ${\mathrm{\Pi }}_2$, а ${\mathcal{O}}_1$ и ${\mathcal{O}}_2$ — орбиты групп $B_1$ и $B_2$, соответственно. Обозначим через $\mathcal{O}={\mathcal{O}}_1+{\mathcal{O}}_2$ векторную сумму орбит ${\mathit{O}}_1$ и ${\mathit{O}}_2$. Тогда:
(a) орбита $\mathcal{O}$ является орбитой коприсоединенного представления группы $B$;
(б) ${\mathrm{\Pi }}_{\mathcal{C}}={\mathrm{\Pi }}_{{\mathcal{C}}_1}\cup {\mathrm{\Pi }}_{{\mathcal{G}}_2}$;
(в) $\dim \mathit{O}=\dim {\mathit{O}}_1+\dim {\mathit{O}}_2$.

В частности, если орбиты ${\mathcal{O}}_1$ и ${\mathcal{O}}_2{J}_1$ — и $J_2$-регулярны (соответственно являются орбитами типа Тоды) относительно $B_1$ и $B_2$, тогда орбита $\mathcal{O}J$-peгулярна (соответственно является орбитой типа Тоды) относительно $B$.

Следствие щихся подмножеств системы простьх корней и предположим, что ${\mathcal{O}}_i\subset$ $\subset \mathcal{B}{\left({\mathrm{\Pi }}_i\right)}^{\ast }$ являются орбитами типа Тоды для $1⩽i⩽k$. Пусть
$$\mathcal{O}={\mathcal{O}}_1+\dots +{\mathcal{O}}_k\text{ (векторная сумма). }$$

Тогда орбита $\mathcal{O}$ является орбитой типа Тоды для группы $B$.
Подмножества ${\mathrm{\Pi }}_1$ и ${\mathrm{\Pi }}_2$ в теореме 4.6 .4 могут иметь нетривиальное пересечение, однако в этом случае на них надо наложить дополнительные условия для того, чтобы размерность орбиты $\mathcal{O}$ была равна $2l$.

Рассмотрим простейший случай [182]. Пусть, как и прежде, $\mathrm{\Pi }={\mathrm{\Pi }}_1\cup {\mathrm{\Pi }}_2$, но теперь пересечение ${\mathrm{\Pi }}_1$ и ${}^{\prime }{\mathrm{\Pi }}_2$ не пусто, а состоит из одного корня:
$${\mathrm{\Pi }}_1\cap {\mathrm{\Pi }}_2=\{\delta \}.$$

Выберем ${\beta }_j\in R_{+}\left({\mathrm{\Pi }}_j\right)$ так, что $\mathrm{Supp}\left({\beta }_j\right)={\mathrm{\Pi }}_j$ и $\dim B\left({\mathrm{\Pi }}_j\right)\cdot x_{{\beta }_j}=2N_j,j=$ $=1,2$, где $N_j$ — число корней в системе ${\mathrm{\Pi }}_j$. При таком выборе орбита группы $B_j=B\left({\mathrm{\Pi }}_j\right)$ в пространстве ${\mathcal{B}}_j^{\ast }$, проходящая через точку ${\xi }_j$, является орбитой типа Тоды. Рассмотрим теперь орбиту группы $B$ в ${\mathcal{B}}^{\ast }$, проходящую через точку $\xi ={\xi }_1+{\xi }_2$. Обозначим через ${\mathrm{\Gamma }}_j=\{\gamma \in R_{+}\left({\mathrm{\Pi }}_j\right):{\beta }_j-\gamma \in$ $\in R_{+}\left({\mathrm{\Pi }}_j\right)\}$. Тогда ${\mathrm{\Gamma }}_1\cap {\mathrm{\Gamma }}_2=\{\delta \}$ или ${\mathrm{\Gamma }}_1\cap {\mathrm{\Gamma }}_2=\varphi$. Пусть выполнено условие ${\mathrm{\Gamma }}_1\cap {\mathrm{\Gamma }}_2=\{\delta \}$. Тогда $\mathcal{O}=B\cdot \xi$ — орбита типа Тоды в ${\mathcal{R}}^{\ast }$.
4. Рассеяние на $J$-регулярных орбитах. Пусть $\mathcal{O}$ есть $J$-регулярная орбита группы $B$ в ${\mathcal{B}}^{\ast }$ и $H\in J$ — гамильтониан, определяемый формой

Киллинга на $\mathcal{P}$. Тогда в силу теоремы 4.6 .2 решение уравнений движения с начальными условиями $x(0)=x_0,x_0\in {\mathcal{B}}^{\ast }\simeq {\mathcal{P}}^{\circ }$ имеет вид *)
$$x(t)=B(\exp (-t{x}_0))\cdot x_0$$

и справедлива
Т еорема 4.6 .5 [182]. Для траектории $x(t)$ существуют пределы
$$x_{\pm }=\underset{t\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}x(t)\text{ и }{x}_{+}=wx,$$

где преобразование рассеяния $w$ — это элемент группы Вейля $W$ группы $G$ относительно подгруппы $A$. При этом для почти всех начальных условий $x_0\in \mathcal{O}$ преобразование рассеяния — это элемент’наибольшей длины в $W$.