Системы, рассмотренные в предыдущем разделе, представляют гамильтоновы системы на орбитах специального вида борелевских подгрупп. В этом разделе мы исследуем другие возможности выбора орбит с целью применения теоремы 4.5.2 для построения вполне интегрируемых систем. Мы будем использовать обозначения предыдущего раздела, так чқо $\mathscr{G}$ – это вещественная простая расщепимая алгебра Ли,
\[
\mathscr{G}=\mathscr{K}+\mathscr{P}
\]
– ее разложение Картана, $\mathcal{A} \subset \mathscr{P}$ – ее картановская подалгебра и
\[
\mathscr{G}=\mathscr{K}+\mathscr{A}+\mathscr{L}=\mathscr{K}+\mathscr{B}, \quad G=K A Z=K B
\]
– разложенис Ивасавы для $\mathscr{G}$ и для соответствующсй группы $G$. Напомним, что нильпотентная подалгебра $\mathscr{L}$ натянута на корневые векторы $E_{\alpha}, \alpha \in R_{+}$, где $R_{+}$- подмножество положительных корней.

Разложение $\mathscr{L}=\mathscr{K}+\mathscr{B}$ и форма Киллинга на $\mathscr{G}$ позволяют нам индентифицировать дуальное пространство $\mathscr{P}^{*}$ с $\mathscr{P}=\mathscr{K}^{1}$ :
\[
\mathscr{B}^{*} \simeq \mathscr{P}^{\circ} .
\]

Пусть $\boldsymbol{y}$ означает кольцо инвариантных полиномов на $\mathscr{G}$, ограниченное на $\mathscr{P}$; это то же самое, что кольцо $K$-инвариантных полиномов на $\mathscr{P}$. В виду отождествления $\mathscr{B}^{*} \simeq \mathscr{P}$ элементы $\boldsymbol{y}$ можно также рассматривать как полиномы на $\mathscr{B}^{*}$.

Теперь основное утверждение теоремы 4.5.2 можно сформулировать следующим образом:

функции, принадлежащие $\boldsymbol{y}$, находятся в инволюции по отношению к скобке Ли-Пуассона на $\mathscr{B}^{*}$. Хорошо известно также, что $\mathfrak{J}$ порождается с помощью $l=\operatorname{dim} \mathcal{A}=\operatorname{rank} \mathscr{G}$ алгебраически независимых инвариантов (базисных инвариантов). В этом разделе мы будем интересоваться теми орбитами коприсоединенного представления в $\mathscr{P}^{*}$, на которых кольцо $\mathscr{I}$ дает полную инволютивную систему функций.
\[
1 . \mathscr{J} \text {-регулярные орбиты. }
\]

Определение. Орбита $O$ коприсоединенного представления группы $B$ в $\mathscr{S}^{*}$ называется $\mathscr{I}$-регулярной, если базис инвариантов кольца $\mathscr{I}$ остается независимым при ограничении на $\mathcal{O}$.

Заметим, что для $\boldsymbol{y}$-регулярной орбиты $\operatorname{dim} \mathcal{O} \geqslant 2 l$. Простой критерий $\mathscr{I}$-регулярности был дан в работе [182]. Пусть $\Pi=\left\{\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{l}\right\}$ – множество простых корней в $R_{+}$. Для любого корня $\alpha \in R_{+}$обозначим через Supp ( $\alpha$ ) множество простых корней, которые входят в разложение $\alpha=n_{1} \alpha_{1}+\ldots+n_{l} \alpha_{l}$ с ненулевыми коэффициентами.

Далее для любого элемента $x \in \mathscr{F}^{*}$ определим следующее подмножество простых корней:
\[
\Phi(x)=\underset{\left\{\alpha \in R_{+}: x\left(E_{\alpha}\right)
eq 0\right\}}{\cup} \operatorname{Supp}(\alpha) .
\]

Теорема 4.6.1 [182]. Орбита $\mathcal{O}$ является $\boldsymbol{Y}$-регулярной, если и только если существует $x \in \mathcal{O}$ такой, что $\Phi(x)=\Pi$.

Можно дать также более детальное описание орбит коприсоединенного представления. Для этого введем следующие обозначения. Пусть $\Pi_{1}$ – подмножество системы простых корней П. Обозначим через $R_{+}\left(\Pi_{1}\right)$ подмножество положительньх корней, натянутых на $\Pi_{1}$.
Определим
\[
\begin{array}{l}
\mathscr{L}\left(\Pi_{1}\right)=\sum_{\alpha \in R_{+}\left(\Pi_{1}\right)} \mathscr{G}_{\alpha}, \\
\mathcal{A}\left(\Pi_{1}\right)=\operatorname{span}\left\{H_{\alpha}, \alpha \in \Pi_{1}\right\},
\end{array}
\]

и
\[
\mathscr{R}\left(\Pi_{1}\right)=\mathcal{A}\left(\Pi_{1}\right)+\mathscr{L}\left(\Pi_{1}\right) .
\]

Соответствующая связная подгруппа $B\left(\Pi_{1}\right) \subset B$ является борелевской подгруппой в расщепимой полупростой группе $G\left(\Pi_{1}\right) \subset G$ с алгеброй Ли $\mathscr{G}\left(\Pi_{1}\right)=\mathscr{L}\left(\Pi_{1}\right)+\mathcal{A}\left(\Pi_{1}\right)+\mathscr{L}\left(\Pi_{1}\right)^{\prime}$.

Пусть $\left\{E_{\alpha}^{*}, \alpha \in R_{+}\right\}$- базис для $\mathscr{L}^{*}$, дуальный к $\left\{E_{\alpha}\right\}$. Мы отождествим дуальное пространство $\mathscr{L}\left(\Pi_{1}\right)^{*}$ с подпространством $\mathscr{L}^{*}$, натянутым на $E_{\alpha}^{*}, \alpha \in R_{+}\left(\Pi_{1}\right)$.

Теорема 4.6.2 [182]. Пусть $O \subset \mathscr{R}^{*}$ – орбита коприсоединенного представления группы $B$. Определим $\Pi O=\left\{\alpha \in \Pi:\left\langle E_{\alpha}, \mathcal{O}\right\rangle
eq 0\right\}$. Тогда того, орбита $\mathcal{O}$ является $\boldsymbol{I}$-регулярной, если и только если $\Pi_{\mathscr{C}}=\Pi$.
2. Орбиты типа Тоды. Определение ирбита $\mathcal{O}$ коприсоединенного представления в $\mathscr{O}^{*}$ называется орбитой типа Тоды, если $\mathcal{O}$ является $\boldsymbol{J}$-регулярной и $\operatorname{dim} \boldsymbol{O}=2 l$.

Иными словами, орбиты типа Тоды – это орбиты минимальной размерности среди $\mathscr{J}$-регулярных орбит. Такие орбиты интересны потому, что в этом случае инварианты группы $G$ дают полное и инволютивное семейство функций на любой орбите типа Тоды (т.е. функциональная размерность этого семейства равна $(1 / 2) \operatorname{dim} \mathcal{O}=l$ ).

Следствие 4.6.1. Любой гамильтониан $H \in \boldsymbol{Y}$ определяет вполне интегрируемую систему на каждой орбите типа Тоды в $\mathscr{R}^{*}$.

Из теоремы 4.6.1 мы получаем следующий критерий для орбит типа Тоды. типа Тоды, если и только если $\operatorname{dim} O=2 l$ и, кроме того, существует $x \in \mathcal{O}$ такой, что $\Phi(x)=\Pi$.
3. Примеры орбит типа Тоды. Хотя полная классификация орбит типа Тоды в настоящее время не известна, имеется достаточно большое число примеров таких орбит. Естественный способ построения орбит типа Тоды это выбрать некоторый элемент $x \in \mathscr{R}^{*}$ такой, что $\Phi(x)=\Pi$, и затем проверить, что орбита $\boldsymbol{O}_{x}$ имеет размерность $2 l$.

Конструкция 4.6.1. Возьмем любой корень $\alpha \in R_{+}$такой, что $\operatorname{Supp}(\alpha)=\Pi$, и пусть $x \in E_{\alpha}^{*}$. При подходящем минимальном $\alpha$ мы получаем орбиту типа Тоды. Такую орбиту назовем элементарной.

Простейший пример такого типа – это когда $B$ есть группа вещественных верхних треугольных матриц с определителем, равным единице, и
\[
x=\left(\begin{array}{cccc}
0 & & & \\
0 & \ddots & 0 & \\
& \ddots & \ddots & \\
1 & & 0 & 0
\end{array}\right) .
\]

Возникающая при этом гамильтонова система уже рассматривалась детально в разделе 4.5 .
Для вычисления размерности элементарной орбиты полезна следующая Лемма [182]. Пусть $\boldsymbol{O}^{\alpha}$ – элементарная орбита, проходящая через $E_{\alpha}^{*}, \alpha \in R_{+}$, тогда
\[
\operatorname{dim} \boldsymbol{O}^{\alpha}=N_{\alpha}+2,
\]

где $N_{\alpha}$ – это число корней $\beta \in R_{+}$таких, что $(\alpha-\beta) \in R_{+}$. С помощью этой леммы, а также, используя явное описание системы корней, можно показать, что справедлива

Теорема 4.6.3 [182]. Следующие элементарные орбиты $\mathcal{O}^{\alpha}$ являются орбитами типа Тоды:
a) $\alpha=\alpha_{1}+\ldots+\alpha_{l}$

для любой системы корней
б) $\alpha=2 \Sigma \alpha_{i}+\Sigma \alpha_{j}$,

где $\alpha_{i}$ – короткий корень, $\alpha_{j}$ – длинный корень,
для систем корней типа $B_{n}, C_{n}$ и $D_{n}$
в) $\alpha=3 \alpha_{1}+\alpha_{2}$,
$\alpha_{1}$ – короткий корень, $\alpha_{2}$ – длинный корень для систем типа $G_{2}$.
При этом в случаях (ii) и (iii) $\alpha$ – это длинный корень.

Просмотр всех остальных случаев [216] показывает, что в случае системы корней типа $G_{2}$ имеется еще одна элементарная орбита типа Тоды и
\[
\alpha=2 \alpha_{1}+\alpha_{2},
\]
$\alpha_{1}$ – короткий корень, $\alpha_{2}$ – длинный корень.
Таким образом, все элементарные орбиты типа Тоды полностью перечислены. Для явного описания этих систем необходимо ввести глобальные канонические координаты на этих орбитах. Этот вопрос детально рассмотрен в работе [216] (см. следующий раздел) .
Перейдев теперь к рассмотрению следующей конструкции.
Конструкция 4.6.2. Начнем с простейшего примера. Пусть $x_{\alpha}-$ ненулевой элемент $E_{\alpha}^{*}$ для любого простого корня $\alpha$, а
\[
x=x_{\alpha_{1}}+\ldots+x_{\alpha_{l}} .
\]

Мы приходим к обобщенной цепочке Тоды. В случае $\mathscr{G}=\operatorname{sl}(n, \mathbb{R})$ элемент $x$, определяющий орбиту, имеет вид
\[
x=\left(\begin{array}{cccc}
0 & & 0 \\
b_{1} & 0 & & \\
0 & \ddots & \ddots & \\
0 & & b_{n-1} 0
\end{array}\right) .
\]

Нетрудно видеть, что полученная ороита $\boldsymbol{O}_{x}$ является векторной суммой двумерных орбит:
\[
\mathcal{O}_{x}=\mathcal{O}_{1}+\ldots+\mathcal{O}_{l} .
\]

Перейдем к рассмотрению общего случая. Имеет место
Теорема 4.6.4 [182]: Пусть $\Pi=\Pi_{1} \cup \Pi_{2}$ и $\Pi_{1} \cap \Pi_{2}=\phi, B_{1}$ и $B_{2}-$ борелевские группы, соответствующие $\Pi_{1}$ и $\Pi_{2}$, а $\mathcal{O}_{1}$ и $\mathcal{O}_{2}$ – орбиты групп $B_{1}$ и $B_{2}$, соответственно. Обозначим через $\mathcal{O}=\mathcal{O}_{1}+\mathcal{O}_{2}$ векторную сумму орбит $\boldsymbol{O}_{1}$ и $\boldsymbol{O}_{2}$. Тогда:
(a) орбита $\mathcal{O}$ является орбитой коприсоединенного представления группы $B$;
(б) $\Pi_{\mathscr{C}}=\Pi_{\mathscr{C}_{1}} \cup \Pi_{\mathscr{G}_{2}}$;
(в) $\operatorname{dim} \boldsymbol{O}=\operatorname{dim} \boldsymbol{O}_{1}+\operatorname{dim} \boldsymbol{O}_{2}$.

В частности, если орбиты $\mathcal{O}_{1}$ и $\mathcal{O}_{2} J_{1}$ – и $J_{2}$-регулярны (соответственно являются орбитами типа Тоды) относительно $B_{1}$ и $B_{2}$, тогда орбита $\mathcal{O} J$-peгулярна (соответственно является орбитой типа Тоды) относительно $B$.

Следствие щихся подмножеств системы простьх корней и предположим, что $\mathcal{O}_{i} \subset$ $\subset \mathscr{B}\left(\Pi_{i}\right)^{*}$ являются орбитами типа Тоды для $1 \leqslant i \leqslant k$. Пусть
\[
\mathcal{O}=\mathcal{O}_{1}+\ldots+\mathcal{O}_{k} \text { (векторная сумма). }
\]

Тогда орбита $\mathcal{O}$ является орбитой типа Тоды для группы $B$.
Подмножества $\Pi_{1}$ и $\Pi_{2}$ в теореме 4.6 .4 могут иметь нетривиальное пересечение, однако в этом случае на них надо наложить дополнительные условия для того, чтобы размерность орбиты $\mathcal{O}$ была равна $2 l$.

Рассмотрим простейший случай [182]. Пусть, как и прежде, $\Pi=\Pi_{1} \cup \Pi_{2}$, но теперь пересечение $\Pi_{1}$ и $^{\prime} \Pi_{2}$ не пусто, а состоит из одного корня:
\[
\Pi_{1} \cap \Pi_{2}=\{\delta\} .
\]

Выберем $\beta_{j} \in R_{+}\left(\Pi_{j}\right)$ так, что $\operatorname{Supp}\left(\beta_{j}\right)=\Pi_{j}$ и $\operatorname{dim} B\left(\Pi_{j}\right) \cdot x_{\beta_{j}}=2 N_{j}, j=$ $=1,2$, где $N_{j}$ – число корней в системе $\Pi_{j}$. При таком выборе орбита группы $B_{j}=B\left(\Pi_{j}\right)$ в пространстве $\mathscr{B}_{j}^{*}$, проходящая через точку $\xi_{j}$, является орбитой типа Тоды. Рассмотрим теперь орбиту группы $B$ в $\mathscr{B}^{*}$, проходящую через точку $\xi=\xi_{1}+\xi_{2}$. Обозначим через $\Gamma_{j}=\left\{\gamma \in R_{+}\left(\Pi_{j}\right): \beta_{j}-\gamma \in\right.$ $\left.\in R_{+}\left(\Pi_{j}\right)\right\}$. Тогда $\Gamma_{1} \cap \Gamma_{2}=\{\delta\}$ или $\Gamma_{1} \cap \Gamma_{2}=\phi$. Пусть выполнено условие $\Gamma_{1} \cap \Gamma_{2}=\{\delta\}$. Тогда $\mathcal{O}=B \cdot \xi$ – орбита типа Тоды в $\mathscr{R}^{*}$.
4. Рассеяние на $J$-регулярных орбитах. Пусть $\mathcal{O}$ есть $J$-регулярная орбита группы $B$ в $\mathscr{B}^{*}$ и $H \in J$ – гамильтониан, определяемый формой

Киллинга на $\mathscr{P}$. Тогда в силу теоремы 4.6 .2 решение уравнений движения с начальными условиями $x(0)=x_{0}, x_{0} \in \mathscr{B}^{*} \simeq \mathscr{P}^{\circ}$ имеет вид *)
\[
x(t)=B\left(\exp \left(-t x_{0}\right)\right) \cdot x_{0}
\]

и справедлива
Т еорема 4.6 .5 [182]. Для траектории $x(t)$ существуют пределы
\[
x_{ \pm}=\lim _{t \rightarrow \pm \infty} x(t) \text { и } x_{+}=w x,
\]

где преобразование рассеяния $w$ – это элемент группы Вейля $W$ группы $G$ относительно подгруппы $A$. При этом для почти всех начальных условий $x_{0} \in \mathcal{O}$ преобразование рассеяния – это элемент’наибольшей длины в $W$.