Будем называть эту систему алгебраически вполне интегрируемой, если:
1) она является вполне интегрируемой и обладает рациональными интегралами движения, которые для $z \in \mathbb{R}^{k}$ определяют вещественные

*) В ряде случаев удается показать, что данная гамильтонова система в том или ином смысле слова не является интегрируемой. Читателя, интересующегося этим вопросом, мы отсылаем к обзорной статье [21].

2) уравнения динамики для системы ( $\tilde{M}, \tilde{\omega}, \tilde{H})$ интегрируются в явном виде;
3) проекция $\pi$ также задается явными формулами.
Дадим абстрактную формулировку метода.
Пусть мы имеем динамическую систему на многообразии $M=\{x\}$
\[
h_{t}: M \rightarrow M, \quad x_{t}=h_{t} \cdot x_{0} .
\]

Пусть существуют динамическая система на другом многообразии $\tilde{M}=$ $=\{y\}$
\[
\tilde{h}_{t}: \tilde{M} \rightarrow \tilde{M}, \quad y_{t}=\tilde{h}_{t} \cdot y_{0}
\]

и проекция $\pi: \tilde{M} \rightarrow M$ такие, что
\[
x_{t}=\pi y_{t}=\pi \tilde{h}_{t} y_{0} .
\]

Пусть $\rho$ – отображение $M \rightarrow \tilde{M}$ такое, что $\pi \cdot \rho=I$ ( $I$ – тождественное преобразование на $M$ ). Тогда динамику на $M$ можно найти по формуле
\[
x_{t}=\pi \tilde{h}_{t} \rho \cdot x_{0} .
\]

Для того, чтобы эта формула была справедлива, необходимо выполнение условия самосогласования:
\[
\begin{array}{l}
\text { если } \pi y_{1}=\pi y_{2} \text { при } t=0 \quad\left(y_{1}, y_{2} \in \tilde{M}\right), \\
\text { то } \pi \tilde{h}_{t} y_{1}=\pi \tilde{h}_{t} y_{2} \quad \text { при всех } t .
\end{array}
\]

Это условие будет выполняться, например, если на $\tilde{M}$ действует группа Ли $G=\{g\}$, причем ее действие коммутирует с фазовым потоком $\tilde{h}_{t}$ и любое множество $\tilde{M}_{x}=\pi^{-1} x$ является орбитой этой группы в пространстве $\tilde{M}$. Сюда относится, например, случай редукции динамических систем с симметрией, рассмотренный в разделе 1.7. Здесь $h_{t}$ зависит от момента $c: h_{t}=h_{t}^{c}, M=M_{c}=\mu^{-1} c, G=G_{c}$ – подгруппа, оставляющая $c$ на месте.

Проиллюстрируем теперь этот метод на простейших примерах. Обобщение этих примеров дано в гл. 3 и 4.
1. Рассмотрим свободное движение частицы единичной массы на плоскости $\left(q_{1}, q_{2}\right)$. В этом случае
\[
\begin{array}{l}
\tilde{M}=\mathbb{R}^{4}=\left\{(p, q): p=\left(p_{1}, p_{2}\right), q=\left(q_{1}, q_{2}\right)\right\}, \\
\tilde{\omega}=d p_{1} \wedge d q_{1}+d p_{2} \wedge d q_{2}, \tilde{H}=\frac{1}{2} p^{2}=\frac{1}{2}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right) .
\end{array}
\]

В качестве проекции $\pi$ возьмем стандартную радиальную проекцию:
\[
\pi(\mathrm{p}, \mathrm{q})=(p, q), \quad q=r=\sqrt{q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}, \quad p=p_{r}=\frac{\mathrm{pq}}{q}
\]

Тогда после проектирования мы приходим к системе $\{M, \omega, H\}$, где
\[
\begin{array}{l}
M=\{(p, q): q>0\}, \quad \omega=d p \wedge d q, \\
H=H_{l}=1 / 2\left(p^{2}+l^{2} / q^{2}\right) .
\end{array}
\]

Здесь $l^{2}=\left(q_{1} p_{2}-q_{2} p_{1}\right)^{2}-$ интеграл движения системы $(\tilde{M}, \tilde{\omega}, \tilde{H})$. При этом, как нетрудно проверить, условие самосогласования (1.9.4) выпол-

2) уравнения динамики для системы $(\tilde{M}, \tilde{\omega}, \tilde{H})$ интегрируются в явном виде;
3) проекция $\pi$ также задается явными формулами.
Дадим абстрактную формулировку метода.
Пусть мы имеем динамическую систему на многообразии $M=\{x\}$
\[
h_{t}: M \rightarrow M, \quad x_{t}=h_{t} \cdot x_{0} .
\]

Пусть существуют динамическая система на другом многообразии $\tilde{M}=$ $=\{y\}$
\[
\tilde{h}_{t}: \tilde{M} \rightarrow \tilde{M}, \quad y_{t}=\tilde{h}_{t} \cdot y_{0}
\]

и проекция $\pi: \tilde{M} \rightarrow M$ такие, что
\[
x_{t}=\pi y_{t}=\pi \tilde{h}_{t} y_{0} .
\]

Пусть $\rho$ – отображение $M \rightarrow \tilde{M}$ такое, что $\pi \cdot \rho=I$ ( $I$ – тождественное преобразование на $M$ ). Тогда динамику на $M$ можно найти по формуле
\[
x_{t}=\pi \tilde{h}_{t} \rho \cdot x_{0} .
\]

Для того, чтобы эта формула была справедлива, необходимо выполнение условия самосогласования:
если $\pi y_{1}=\pi y_{2}$ при $t=0\left(y_{1}, y_{2} \in \tilde{M}\right)$,
то $\pi \tilde{h}_{t} y_{1}=\pi \tilde{h}_{t} y_{2} \quad$ при всех $t$.

Это условие будет выполняться, например, если на $\tilde{M}$ действует группа Ли $G=\{g\}$, причем ее действие коммутирует с фазовым потоком $\tilde{h}_{t}$ и любое множество $\tilde{M}_{x}=\pi^{-1} x$ является орбитой этой группы в пространстве $\tilde{M}$. Сюда относится, например, случай редукции динамических систем с симметрией, рассмотренный в разделе 1.7. Здесь $h_{t}$ зависит от момента $c: h_{t}=h_{t}^{c}, M=M_{c}=\mu^{-1} c, G=G_{c}$ – подгруппа, оставляющая $c$ на месте.

Проиллюстрируем теперь этот метод на простейших примерах. Обобщение этих примеров дано в гл. 3 и 4.
1. Рассмотрим свободное движение частицы единичной массы на плоскости $\left(q_{1}, q_{2}\right)$. В этом случае
\[
\begin{array}{l}
\tilde{M}=\mathbb{R}^{4}=\left\{(p, q): p=\left(p_{1}, p_{2}\right), q=\left(q_{1}, q_{2}\right)\right\}, \\
\tilde{\omega}=d p_{1} \wedge d q_{1}+d p_{2} \wedge d q_{2}, \tilde{H}=\frac{1}{2} p^{2}=\frac{1}{2}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right) .
\end{array}
\]

В качестве проекции $\pi$ возьмем стандартную радиальную проекцию:
\[
\pi(\mathbf{p}, \mathbf{q})=(p, q), \quad q=r=\sqrt{q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}, \quad p=p_{r}=\frac{\mathrm{pq}}{q} .
\]

Тогда после проектирования мы приходим к системе $\{M, \omega, H\}$, где
\[
\begin{array}{l}
M=\{(p, q): q>0\}, \quad \omega=d p \wedge d q, \\
H=H_{l}=1 / 2\left(p^{2}+l^{2} / q^{2}\right) .
\end{array}
\]

Здесь $l^{2}=\left(q_{1} p_{2}-q_{2} p_{1}\right)^{2}-$ интеграл движения системы $(\tilde{M}, \tilde{\omega}, \tilde{H}) \cdot$ При этом, как нетрудно проверить, условие самосогласования (1.9.4) выполняется. (Этот факт является следствием инвариантности системы ( $\tilde{M}, \tilde{\omega}, \tilde{H}$ ) относительно группы $G=\mathrm{SO}(2)$ – группы вращений плоскости.) В то же время уравнения движения системы $\{\tilde{M}, \tilde{\omega}, \tilde{H}\}$ легко интегрируются, и мы получаем
\[
\mathbf{q}(t)=\mathbf{a}+\mathbf{b} t
\]

причем без ограничения общности мы можем считать, что (a $\cdot \mathbf{b})=0$. Oтсюда сразу же находим решение уравнений движения для системы $\{M, \omega, H\}$ :
\[
q(t)=\sqrt{a^{2}+b^{2} t^{2}}, \quad p(t)=-\frac{b^{2} t}{\sqrt{a^{2}+b^{2} t^{2}}} .
\]

Обобщение этой конструкции на случай бо́льшего числа степеней свободы дано в работе [94] (см. главу 3).
2. Рассмотрим на той же плоскости $\left(q_{1}, q_{2}\right.$ ) двумерный изотропный осциллятор с частотой $
u$. Тогда $\tilde{M}$ и $\tilde{\omega}$ остаются теми же, что и в предыдущем примере, а гамильтониан имеет вид
\[
\tilde{H}=\frac{1}{2}\left(p^{2}+
u^{2} q^{2}\right) .
\]

Оставляя без изменения проекцию $\pi$, приходим к системе $\{M, \omega, H\}$ с гамильтонианом
\[
H_{l}=1 / 2\left(p^{2}+l^{2} / q^{2}+
u^{2} q^{2}\right) .
\]

Отсюда сразу же получаем
\[
\mathbf{q}(t)=\mathbf{a} \cos
u t+\frac{\mathbf{b}}{v} \sin v t, \quad(\mathbf{a b})=0
\]

и
\[
q(t)=\sqrt{a^{2} \cos ^{2}
u t+\frac{b^{2}}{
u^{2}} \sin ^{2}
u t .}
\]

Относительно обобщения см. [94] и главу 3.
3. Рассмотрим движение по геодезической на верхней плоскости двухполостного гиперболоида (метрика на гиперболоиде индуцирована метрикой объемлющего пространства)
\[
\boldsymbol{H}^{2}=\left\{x: x^{2}=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=1, x_{0}>0\right\},
\]

а проекцию $\pi$ определим формулой
\[
\pi: \mathbf{x} \rightarrow q=\operatorname{Arch} x_{0} .
\]

Тогда после проектирования приходим к системе $\{M, \omega, H\}$ с гамильтонианом
\[
H=p^{2} / 2+g^{2} \operatorname{sh}^{-2} q .
\]

Уравнения для геодезического движения на гиперболоиде легко интегрируются:
\[
\mathbf{x}(t)=\mathbf{a} \operatorname{ch} t+\mathbf{b} \text { sh } t
\]

где
\[
\mathbf{a}^{2}=a_{0}^{2}-a_{1}^{2}-a_{2}^{2}=1, \quad \mathbf{b}^{2}=-1, \quad(\mathbf{a}, \mathbf{b})=0 .
\]

Отсюда следует явное выражение для интересующей нас величины $q(t)$ :
\[
q(t)=\operatorname{Arch}\left(\operatorname{ch} q_{0} \cdot \operatorname{ch} t\right) .
\]

Обобщение на случай нескольких сттепеней свободы дано в [95].
4. Пусть частица единичной массы движется по геодезической на двумерной сфере
\[
S^{2}=\left\{\mathbf{x}: \mathbf{x}^{2}=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1\right\} .
\]

Проекцию $\pi$ зададим формулой
\[
q=\pi \cdot \mathbf{x}=\arccos x_{0} .
\]

В этом случае после проектирования приходим к системе с гамильтонианом
\[
H=\frac{p^{2}}{2}+g^{2} \sin ^{-2} q, \quad 0<q<\pi .
\]

Интегрируя уравнения для геодезических на сфере, получаем
\[
\mathbf{x}(t)=\mathbf{a} \cos t+\mathbf{b} \sin t,
\]

где
\[
\mathbf{a}^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}=1, \quad \mathbf{b}^{2}=1, \quad(\mathbf{a b})=0 .
\]

Для интересующей нас величины $q(t)$ отсюда получаем выражение
\[
q(t)=\arccos \left(\cos q_{0} \cdot \cos t\right) .
\]
(Относительно обобщения см. работу [95] .)
5. Рассмотрим движение по геодезической на однополостном гиперболоиде
\[
\tilde{H}^{2}=\left\{\mathrm{x}: \mathrm{x}^{2}=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=-1\right\} .
\]

Проекцию $\pi$ определим формулой
\[
q=\pi \cdot \mathbf{x}=\operatorname{Arsh} x_{0} .
\]

Проектирование приводит нас к системе $\{M, \omega, H\}$ с гамильтонианом
\[
H=\frac{p^{2}}{2}-g^{2} \mathrm{ch}^{-2} q .
\]

Заметим, что в отличие от предыдущих случаев на однополостном гиперболоиде есть три различных вида геодезических. В соответствии с этим мы получим три различных выражения для величины $q(t)$.
a) Начальные условия таковы, что
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{x}(t)=\mathbf{a} \operatorname{ch} t+\mathbf{b} \operatorname{sh} t \\
\mathbf{a}^{2}=a_{0}^{2}-a_{1}^{2}-a_{2}^{2}=-1, \quad \mathbf{b}^{2}=1, \quad(\mathbf{a}, \mathbf{b})=0 .
\end{array}
\]

В этом случае
\[
q(t)=\operatorname{Arsh}(\alpha \cdot \operatorname{sh} t), \quad \alpha>1 .
\]
б) Пусть осуществляется случай
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{x}(t)=\mathbf{a} \cos t+\mathbf{b} \sin t, \\
\mathbf{a}^{2}=-1, \quad \mathbf{b}^{2}=-1, \quad(\mathbf{a}, \mathbf{b})=0,
\end{array}
\]

тогда
\[
q(t)=\operatorname{Arsh}(\alpha \sin t) .
\]
в) Наконец, если
\[
\mathbf{x}(t)=\mathbf{a}+\mathbf{b} t, \quad \mathbf{a}^{2}=-1, \quad \mathbf{b}^{2}=0, \quad(\mathbf{a}, \mathbf{b})=0,
\]

To
\[
q(t)=\operatorname{Arsh}(\alpha t) .
\]

Обобщение этих формул на случай нескольких степеней свободы было найдено в работе [257].
6. Как и в случае 3, рассмотрим свободное движение по верхней полости двуполостного гиперболоида, но вместо радиальной проекции (1.9.15) возьмем так называемую орисферическую проекцию:
\[
q=\pi \cdot \mathbf{x}=\ln \left(x_{0}-x_{1}\right)
\]

После проектирования приходим к системе с гамильтонианом
\[
H=1 / 2 p^{2}+g^{2} \exp (-2 q),
\]

эквивалентной так называемой цепочке Тоды для двух частиц.
Воспользовавшись формулой (1.9.17) для геодезического движения
\[
\mathbf{x}(t)=\mathbf{a} \operatorname{ch} t+\mathbf{b} \operatorname{sh} t,
\]

в которой нам удобно положить
\[
\mathbf{a}=\left(a_{0}, a_{1}, 0\right), \quad \mathbf{b}=(0,0,1), \quad a_{0}^{2}-a_{1}^{2}=1,
\]

получаем явное выражение для величины $q(t)$ :
\[
q(t)=\ln (\alpha \operatorname{ch} t), \quad \alpha=\sqrt{2} g, \quad E=1 / 2 .
\]

Обобщение этой формулы на случай цепочки Тоды для произвольного числа частиц, а также ряда модифицированных цепочек Тоды было дано в работах $[256,222,97]$ (см. глт. 4).