Будем называть эту систему алгебраически вполне интегрируемой, если:
1) она является вполне интегрируемой и обладает рациональными интегралами движения, которые для $z\in {\mathbb{R}}^k$ определяют вещественные

*) В ряде случаев удается показать, что данная гамильтонова система в том или ином смысле слова не является интегрируемой. Читателя, интересующегося этим вопросом, мы отсылаем к обзорной статье [21].

2) уравнения динамики для системы ( $\tilde{M},\tilde{\omega },\tilde{H})$ интегрируются в явном виде;
3) проекция $\pi$ также задается явными формулами.
Дадим абстрактную формулировку метода.
Пусть мы имеем динамическую систему на многообразии $M=\{x\}$
$$h_t:M\to M,x_t=h_t\cdot x_0.$$

Пусть существуют динамическая система на другом многообразии $\tilde{M}=$ $=\{y\}$
$${\tilde{h}}_t:\tilde{M}\to \tilde{M},y_t={\tilde{h}}_t\cdot y_0$$

и проекция $\pi :\tilde{M}\to M$ такие, что
$$x_t=\pi y_t=\pi {\tilde{h}}_t{y}_0.$$

Пусть $\rho$ — отображение $M\to \tilde{M}$ такое, что $\pi \cdot \rho =I$ ( $I$ — тождественное преобразование на $M$ ). Тогда динамику на $M$ можно найти по формуле
$$x_t=\pi {\tilde{h}}_t\rho \cdot x_0.$$

Для того, чтобы эта формула была справедлива, необходимо выполнение условия самосогласования:
$$\begin{array}{l}\text{ если }\pi y_1=\pi y_2\text{ при }t=0(y_1,y_2\in \tilde{M}),\\ \text{ то }\pi {\tilde{h}}_t{y}_1=\pi {\tilde{h}}_t{y}_2\text{ при всех }t.\end{array}$$

Это условие будет выполняться, например, если на $\tilde{M}$ действует группа Ли $G=\{g\}$, причем ее действие коммутирует с фазовым потоком ${\tilde{h}}_t$ и любое множество ${\tilde{M}}_x={\pi }^{-1}x$ является орбитой этой группы в пространстве $\tilde{M}$. Сюда относится, например, случай редукции динамических систем с симметрией, рассмотренный в разделе 1.7. Здесь $h_t$ зависит от момента $c:h_t=h_t^c,M=M_c={\mu }^{-1}c,G=G_c$ — подгруппа, оставляющая $c$ на месте.

Проиллюстрируем теперь этот метод на простейших примерах. Обобщение этих примеров дано в гл. 3 и 4.
1. Рассмотрим свободное движение частицы единичной массы на плоскости $(q_1,q_2)$. В этом случае
$$\begin{array}{l}\tilde{M}={\mathbb{R}}^4=\{(p,q):p=(p_1,p_2),q=(q_1,q_2)\},\\ \tilde{\omega }=d{p}_1\wedge d{q}_1+d{p}_2\wedge d{q}_2,\tilde{H}=\frac{1}{2}{p}^2=\frac{1}{2}(p_1^2+p_2^2).\end{array}$$

В качестве проекции $\pi$ возьмем стандартную радиальную проекцию:
$$\pi (\mathrm{p},\mathrm{q})=(p,q),q=r=\sqrt{q_1^2+q_2^2},p=p_r=\frac{\mathrm{pq}}{q}$$

Тогда после проектирования мы приходим к системе $\{M,\omega ,H\}$, где
$$\begin{array}{l}M=\{(p,q):q>0\},\omega =dp\wedge dq,\\ H=H_l=1/2(p^2+l^2/q^2).\end{array}$$

Здесь $l^2={(q_1{p}_2-q_2{p}_1)}^2-$ интеграл движения системы $(\tilde{M},\tilde{\omega },\tilde{H})$. При этом, как нетрудно проверить, условие самосогласования (1.9.4) выпол-

2) уравнения динамики для системы $(\tilde{M},\tilde{\omega },\tilde{H})$ интегрируются в явном виде;
3) проекция $\pi$ также задается явными формулами.
Дадим абстрактную формулировку метода.
Пусть мы имеем динамическую систему на многообразии $M=\{x\}$
$$h_t:M\to M,x_t=h_t\cdot x_0.$$

Пусть существуют динамическая система на другом многообразии $\tilde{M}=$ $=\{y\}$
$${\tilde{h}}_t:\tilde{M}\to \tilde{M},y_t={\tilde{h}}_t\cdot y_0$$

и проекция $\pi :\tilde{M}\to M$ такие, что
$$x_t=\pi y_t=\pi {\tilde{h}}_t{y}_0.$$

Пусть $\rho$ — отображение $M\to \tilde{M}$ такое, что $\pi \cdot \rho =I$ ( $I$ — тождественное преобразование на $M$ ). Тогда динамику на $M$ можно найти по формуле
$$x_t=\pi {\tilde{h}}_t\rho \cdot x_0.$$

Для того, чтобы эта формула была справедлива, необходимо выполнение условия самосогласования:
если $\pi y_1=\pi y_2$ при $t=0(y_1,y_2\in \tilde{M})$,
то $\pi {\tilde{h}}_t{y}_1=\pi {\tilde{h}}_t{y}_2$ при всех $t$.

Это условие будет выполняться, например, если на $\tilde{M}$ действует группа Ли $G=\{g\}$, причем ее действие коммутирует с фазовым потоком ${\tilde{h}}_t$ и любое множество ${\tilde{M}}_x={\pi }^{-1}x$ является орбитой этой группы в пространстве $\tilde{M}$. Сюда относится, например, случай редукции динамических систем с симметрией, рассмотренный в разделе 1.7. Здесь $h_t$ зависит от момента $c:h_t=h_t^c,M=M_c={\mu }^{-1}c,G=G_c$ — подгруппа, оставляющая $c$ на месте.

Проиллюстрируем теперь этот метод на простейших примерах. Обобщение этих примеров дано в гл. 3 и 4.
1. Рассмотрим свободное движение частицы единичной массы на плоскости $(q_1,q_2)$. В этом случае
$$\begin{array}{l}\tilde{M}={\mathbb{R}}^4=\{(p,q):p=(p_1,p_2),q=(q_1,q_2)\},\\ \tilde{\omega }=d{p}_1\wedge d{q}_1+d{p}_2\wedge d{q}_2,\tilde{H}=\frac{1}{2}{p}^2=\frac{1}{2}(p_1^2+p_2^2).\end{array}$$

В качестве проекции $\pi$ возьмем стандартную радиальную проекцию:
$$\pi (\mathbf{p},\mathbf{q})=(p,q),q=r=\sqrt{q_1^2+q_2^2},p=p_r=\frac{\mathrm{pq}}{q}.$$

Тогда после проектирования мы приходим к системе $\{M,\omega ,H\}$, где
$$\begin{array}{l}M=\{(p,q):q>0\},\omega =dp\wedge dq,\\ H=H_l=1/2(p^2+l^2/q^2).\end{array}$$

Здесь $l^2={(q_1{p}_2-q_2{p}_1)}^2-$ интеграл движения системы $(\tilde{M},\tilde{\omega },\tilde{H})\cdot$ При этом, как нетрудно проверить, условие самосогласования (1.9.4) выполняется. (Этот факт является следствием инвариантности системы ( $\tilde{M},\tilde{\omega },\tilde{H}$ ) относительно группы $G=\mathrm{SO}(2)$ — группы вращений плоскости.) В то же время уравнения движения системы $\{\tilde{M},\tilde{\omega },\tilde{H}\}$ легко интегрируются, и мы получаем
$$\mathbf{q}(t)=\mathbf{a}+\mathbf{b}t$$

причем без ограничения общности мы можем считать, что (a $\cdot \mathbf{b})=0$. Oтсюда сразу же находим решение уравнений движения для системы $\{M,\omega ,H\}$ :
$$q(t)=\sqrt{a^2+b^2{t}^2},p(t)=-\frac{b^{2}t}{\sqrt{a^2+b^2{t}^2}}.$$

Обобщение этой конструкции на случай бо́льшего числа степеней свободы дано в работе [94] (см. главу 3).
2. Рассмотрим на той же плоскости $(q_1,q_2$ ) двумерный изотропный осциллятор с частотой $u$. Тогда $\tilde{M}$ и $\tilde{\omega }$ остаются теми же, что и в предыдущем примере, а гамильтониан имеет вид
$$\tilde{H}=\frac{1}{2}(p^2+u^2{q}^2).$$

Оставляя без изменения проекцию $\pi$, приходим к системе $\{M,\omega ,H\}$ с гамильтонианом
$$H_l=1/2(p^2+l^2/q^2+u^2{q}^2).$$

Отсюда сразу же получаем
$$\mathbf{q}(t)=\mathbf{a}\cos ut+\frac{\mathbf{b}}{v}\sin vt,(\mathbf{a}\mathbf{b})=0$$

и
$$q(t)=\sqrt{a^2{\cos }^{2}ut+\frac{b^2}{u^2}{\sin }^{2}ut.}$$

Относительно обобщения см. [94] и главу 3.
3. Рассмотрим движение по геодезической на верхней плоскости двухполостного гиперболоида (метрика на гиперболоиде индуцирована метрикой объемлющего пространства)
$${\mathit{H}}^2=\{x:x^2=x_0^2-x_1^2-x_2^2=1,x_0>0\},$$

а проекцию $\pi$ определим формулой
$$\pi :\mathbf{x}\to q=\mathrm{Arch}{x}_0.$$

Тогда после проектирования приходим к системе $\{M,\omega ,H\}$ с гамильтонианом
$$H=p^2/2+g^2{\mathrm{sh}}^{-2}q.$$

Уравнения для геодезического движения на гиперболоиде легко интегрируются:
$$\mathbf{x}(t)=\mathbf{a}\mathrm{ch}t+\mathbf{b}\text{ sh }t$$

где
$${\mathbf{a}}^2=a_0^2-a_1^2-a_2^2=1,{\mathbf{b}}^2=-1,(\mathbf{a},\mathbf{b})=0.$$

Отсюда следует явное выражение для интересующей нас величины $q(t)$ :
$$q(t)=\mathrm{Arch}(\mathrm{ch}{q}_0\cdot \mathrm{ch}t).$$

Обобщение на случай нескольких сттепеней свободы дано в [95].
4. Пусть частица единичной массы движется по геодезической на двумерной сфере
$$S^2=\{\mathbf{x}:{\mathbf{x}}^2=x_0^2+x_1^2+x_2^2=1\}.$$

Проекцию $\pi$ зададим формулой
$$q=\pi \cdot \mathbf{x}=\arccos x_0.$$

В этом случае после проектирования приходим к системе с гамильтонианом
$$H=\frac{p^2}{2}+g^2{\sin }^{-2}q,0<q<\pi .$$

Интегрируя уравнения для геодезических на сфере, получаем
$$\mathbf{x}(t)=\mathbf{a}\cos t+\mathbf{b}\sin t,$$

где
$${\mathbf{a}}^2=a_1^2+a_2^2+a_3^2=1,{\mathbf{b}}^2=1,(\mathbf{a}\mathbf{b})=0.$$

Для интересующей нас величины $q(t)$ отсюда получаем выражение
$$q(t)=\arccos (\cos q_0\cdot \cos t).$$
(Относительно обобщения см. работу [95] .)
5. Рассмотрим движение по геодезической на однополостном гиперболоиде
$${\tilde{H}}^2=\{\mathrm{x}:{\mathrm{x}}^2=x_0^2-x_1^2-x_2^2=-1\}.$$

Проекцию $\pi$ определим формулой
$$q=\pi \cdot \mathbf{x}=\mathrm{Arsh}{x}_0.$$

Проектирование приводит нас к системе $\{M,\omega ,H\}$ с гамильтонианом
$$H=\frac{p^2}{2}-g^2{\mathrm{ch}}^{-2}q.$$

Заметим, что в отличие от предыдущих случаев на однополостном гиперболоиде есть три различных вида геодезических. В соответствии с этим мы получим три различных выражения для величины $q(t)$.
a) Начальные условия таковы, что
$$\begin{array}{l}\mathbf{x}(t)=\mathbf{a}\mathrm{ch}t+\mathbf{b}\mathrm{sh}t\\ {\mathbf{a}}^2=a_0^2-a_1^2-a_2^2=-1,{\mathbf{b}}^2=1,(\mathbf{a},\mathbf{b})=0.\end{array}$$

В этом случае
$$q(t)=\mathrm{Arsh}(\alpha \cdot \mathrm{sh}t),\alpha >1.$$
б) Пусть осуществляется случай
$$\begin{array}{l}\mathbf{x}(t)=\mathbf{a}\cos t+\mathbf{b}\sin t,\\ {\mathbf{a}}^2=-1,{\mathbf{b}}^2=-1,(\mathbf{a},\mathbf{b})=0,\end{array}$$

тогда
$$q(t)=\mathrm{Arsh}(\alpha \sin t).$$
в) Наконец, если
$$\mathbf{x}(t)=\mathbf{a}+\mathbf{b}t,{\mathbf{a}}^2=-1,{\mathbf{b}}^2=0,(\mathbf{a},\mathbf{b})=0,$$

To
$$q(t)=\mathrm{Arsh}(\alpha t).$$

Обобщение этих формул на случай нескольких степеней свободы было найдено в работе [257].
6. Как и в случае 3, рассмотрим свободное движение по верхней полости двуполостного гиперболоида, но вместо радиальной проекции (1.9.15) возьмем так называемую орисферическую проекцию:
$$q=\pi \cdot \mathbf{x}=\ln (x_0-x_1)$$

После проектирования приходим к системе с гамильтонианом
$$H=1/2p^2+g^2\exp (-2q),$$

эквивалентной так называемой цепочке Тоды для двух частиц.
Воспользовавшись формулой (1.9.17) для геодезического движения
$$\mathbf{x}(t)=\mathbf{a}\mathrm{ch}t+\mathbf{b}\mathrm{sh}t,$$

в которой нам удобно положить
$$\mathbf{a}=(a_0,a_1,0),\mathbf{b}=(0,0,1),a_0^2-a_1^2=1,$$

получаем явное выражение для величины $q(t)$ :
$$q(t)=\ln (\alpha \mathrm{ch}t),\alpha =\sqrt{2}g,E=1/2.$$

Обобщение этой формулы на случай цепочки Тоды для произвольного числа частиц, а также ряда модифицированных цепочек Тоды было дано в работах $[256,222,97]$ (см. глт. 4).