В предыдущем разделе был определен класс систем, связанных с системами корней полупростых алгебр Ли.

В настоящем разделе, следуя работе [255], будет показано, что ряд результатов, полученных ранее для простейших систем типа $A_{n-1}$, может быть перенесен и на общий случай.

Более точно, мы построим представление Лакса для систем типа $B C_{n}$, которое позволит доказать их полную интегрируемость. Мы также покажем, что системы типа $B C_{n}$ представляют редукции геодезического потока на симметрических пространствах типа $A$ III, и дадим явные решения для потенциалов типа I, II, III и V. Что касается систем типа $B_{n}, C_{n}$ и $D_{n}$, они представляют специальные случаи системы $B C_{n}$ для подходящих значений констант связи.

Системы типа $E_{i}, i=6,7$ и $8 ; \quad F_{4}$ и $G_{2}$ также полностью интегрируемы, однако это требует отдельного доказательства, поскольку мы не знаем представления Лакса для них.

Один из способов доказательства полной интегрируемости гамильтоновой системы с потенциалом (3.8.2), связанным с системой корней $R$, состоит в следующем. Рассмотрим некомпактное симметрическое пространство $X^{-}$с ограниченной системой корней $R$ (такое пространство всегда существует, но, вообще говоря, не единственно, см., например, [36]). Анализируя семейство операторов Лапласа на $X^{-}$, можно показать [96], что соответствующая квантовая система, и, следовательно, также классическая система, является вполне интегрируемой. Это верно, однако, лишь для соответствующих значений констант $g_{\alpha}^{2}$ в приведенных в работе [96].

A. Представление Лакса. Пусть $G, K$ — риманова симметрическая пара, где $G$ — вещественная полупростая группа Ли, а $K$ — подгруппа в $G$, выделяемая в ней инволюцией Картана. Пусть $\mathscr{G}$ и $\mathscr{I}$ — алгебры Ли групп $G$ и $K$, и
\[
\mathscr{G}=\mathscr{X}+\mathscr{P}
\]
— соответствующее разложение Картана. Пусть $\mathcal{A}$ — подалгебра Картана в $\mathscr{P}, R$ — соответствующая ограниченная система корней и $R_{+}$- множество положительных корней. Нам удобно выбрать корневые векторы так, что $\theta E_{\alpha}=-E_{\alpha}$, где $\theta$ — автоморфизм Картана, связанный с разложением (3.9.1). Пусть $H_{1}, \ldots, H_{n}, \quad n=\operatorname{dim} \mathcal{A}$ — ортогональный базис в $\mathcal{A}$ относительно формы Киллинга. С его помощью мы можем отождествить $\mathcal{A}$ с конфигурационным пространством $R^{n}: q=\Sigma q_{j} H_{j}$. Положим $q_{\alpha}=(q, \alpha)$ и определим
\[
\begin{array}{l}
P=\Sigma p_{j} H_{j}, \quad X=\sum_{\alpha \in R_{+}} x\left(q_{\alpha}\right)\left(E_{\alpha}+E_{-\alpha}\right), \\
Y=\sum_{\alpha \in R_{+}} y\left(q_{\alpha}\right)\left(E_{\alpha}-E_{-\alpha}\right) .
\end{array}
\]

Заметим, что $P$ лежит в $\mathcal{A}, X$ в $\mathscr{P}$, а $Y$ — в $\mathscr{K}$.
Предложение 1 [256]. Пусть $x(\xi)$ — нечетная функция и $y(\xi)=x^{\prime}(\xi)$. Предположим, что существует элемент $D \in \mathscr{K}$ такой, что
\[
[D, \mathcal{A}]=0
\]

и
\[
[X, D+Y] \in \mathcal{A} .
\]

Тогда уравнение Лакса $\dot{L}=[L, M]$ с
\[
L=P+X, M=D+Y
\]

эквивалентно уравнению движения с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} p_{j}^{2}+\sum_{\alpha \in R_{+}} g_{\alpha}^{2} v\left(q_{\alpha}\right),
\]

где $v(\xi)=x^{2}(\xi)$ и $g_{\alpha}^{2}=\left(E_{\alpha}, E_{-\alpha}\right)$.
Заметим, что для пары Лакса (9.3.5) $L \in \mathscr{P}$, а $M \in \mathscr{K}$. Ясно также, что любое линейное представление алгебры Ли $\mathscr{G}$ превращает эту пару Лакса в матричнозначную пару Лакса.

Пара Лакса такого типа для случая $G=S L(n, \mathbf{c}), K=\mathrm{SU}(n)$, приводящая к системам типа $A_{n-1}$, уже была описана. Перейдем теперь к рассмо1 рению систем типа $B C_{n}$.

Соответствующая симметрическая пара — это $G=\operatorname{SU}(n+1, n), K=$ $=\mathrm{SU}(n+1) \times \mathrm{SU}(n) \times \mathrm{U}(1)$. Группа Ли $\mathrm{SU}(n+1, n)$ состоит из линейных преобразований, которые оставляют инвариантными эрмитову форму
\[
z_{1} \bar{z}_{n+2}+\ldots+z_{n} \bar{z}_{2 n+1}+z_{n+1} \bar{z}_{n+1} .
\]

Обозначим через $J$ матрицу этой формы. Тогда алгебра Ли $\mathscr{G}=$ $=\mathrm{SU}(n+1, n)$ состоит из матриц, удовлетворяющих условию
\[
X J+J X^{+}=0 \text {, }
\]

которые можно записать в блочных обозначениях как
\[
X=\left(\begin{array}{clr}
A & C_{1}^{\prime} & B_{1} \\
-\bar{C}_{2} & s & -\bar{C}_{1} \\
B_{2} & C_{2}^{\prime} & -A^{+}
\end{array}\right),
\]

где $A, B_{1}, B_{2}$ — матрицы порядка $n, B_{1}^{+}=-B_{1}, B_{2}^{+}=-B_{2}, C_{1}$ и $C_{2}$ — векторы, $s$ — число, $\operatorname{Re}(s)=0$. Инволюция Картана задается формулой $\theta x=-x^{+}$, и мы выбираем подалгебру Картана в $\mathfrak{P}$ как алгебру диагональньх матриц вида $Q=\operatorname{diag}\left(q_{1}, \ldots, q_{n}, 0,-q_{1}, \ldots,-q_{n}\right)$. При этом справедливо следующее

I редложение 2 [255]. Гамильтоновы системы $\mathrm{I}^{2} C_{n}-\mathrm{V} B C_{n}$ вполне интегрируемы при выполнении следующих условий:
(a) $g_{1}
eq 0, g_{1}^{2}+\sqrt{2} g_{2} g-2 g^{2}=0$;
(б) $g_{1}=0, g$ и $g_{2}$ — произвольны.
Матрицы $L$ и $M$ имеют следующий вид:
\[
L=P+X, M=D+Y,
\]

где
\[
\begin{array}{l}
P=\operatorname{diag}\left[p_{1}, \ldots, p_{n}, 0,-p_{1}, \ldots,-p_{n}\right], \\
D=\operatorname{diag}\left[d_{1}, \ldots, d_{n}, d_{0}, d_{1}, \ldots, d_{n}\right],
\end{array}
\]

а матрищы $X$ и $Y$ даются формулами
\[
\begin{array}{l}
X=\left(\begin{array}{ccc}
A_{1} & C_{1}^{\prime} & B_{1} \\
\bar{C}_{1} & 0 & -\bar{C}_{1} \\
-B_{1} & -C_{1}^{\prime} & -A_{1}
\end{array}\right), \\
Y=\left(\begin{array}{ccc}
A_{2} & C_{2}^{\prime} & B_{2} \\
-\bar{C}_{2} & 0 & -\bar{C}_{2} \\
B_{2} & C_{2}^{\prime} & A_{2}
\end{array}\right),
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{l}
\left\{A_{1}\right\}_{k l}=i g\left(1-\delta_{k l}\right) x\left(q_{k}-q_{l}\right), \\
\left\{B_{1}\right\}_{k l}=i\left[\sqrt{2} g_{2} \delta_{k l} x\left(2 q_{k}\right)+g\left(1-\delta_{k l}\right) x\left(q_{k}+q_{l}\right)\right], \\
\left\{C_{1}\right\}_{k l}=i g_{1} x\left(q_{k}\right), \\
\left\{A_{2}\right\}_{k l}=i g\left(1-\delta_{k l}\right) y\left(q_{k}-q_{l}\right), \\
\left\{B_{2}\right\}_{k l}=i\left[\sqrt{2} g_{2} \delta_{k l} y\left(2 q_{k}\right)+g\left(1-\delta_{k l}\right) y\left(q_{k}+q_{l}\right)\right], \\
\left\{C_{2}\right\}_{k}=i g_{1}\left(q_{k}\right), \\
d_{k}=i\left(c-e_{k}\right), \quad d_{0}=i\left(c-e_{0}\right), \\
e_{k}=g \sum_{s=1}^{n}\left[z\left(q_{k}-q_{s}\right)+z\left(q_{k}+q_{s}\right)\right]+g^{-1} g_{1}^{2} z\left(q_{k}\right)+\sqrt{2} g_{2} z\left(2 q_{k}\right), \\
e_{0}=2 g \sum_{s=1}^{n} z\left(q_{s}\right), \quad c=\frac{2}{2 n+1}\left[\sum_{s=1}^{n} e_{s}+\frac{1}{2} e_{0}\right] .
\end{array}
\]

Здесь $y(\xi)=x^{\prime}(\xi)$ и $z(\xi)=x^{\prime \prime}(\xi) / 2 x(\xi)$.

Мы уже отмечали, что систему типа $B C_{n}$ (для $g^{2}=g_{1}^{2}=2 g_{2}^{2}$ ) можно рассматривать как инвариантную часть системы $A_{2 n}$ на подмногообразии $q_{k}=-q_{-k}, p_{k}=-p_{-k}, k=-n, \ldots,+n$. Неудивительно поэтому, что пара Лакса (3.9.11) для этого частного случая совпадает с парой (3.1.6) (3.1.7) .

Доказательство полной интегрируемости для систем I $B C_{n}$ — IV $B C_{n}$ аналогично доказательству для систем I $A_{n-1}$ — IV $A_{n-1}$ (см. раздел. 3.2). Интегрируемость для систем типа $\mathrm{V} B C_{n}$ получается из доказательства для систем типа $I B C_{n}$ с помощью того же приема, который был использован для систем типа $A_{n-1}$ в работе [262] .

Отметим, что, как показано в работах [238] и [208], полная интегрируемость имеет место для класса потенциалов, более широкого, чем (3.8.7), а именно для потенциалов вида
\[
U\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)=\sum_{j<k}\left[V\left(q_{j}-q_{k}\right)+V\left(q_{j}+q_{k}\right)\right]+\sum_{j=1}^{n} W\left(q_{j}\right),
\]

где пара функций ( $V(\xi), W(\xi))$ дается формулами
\[
\begin{array}{l}
V(\xi)=g^{2} \xi^{-2}, W(\xi)=g_{1}^{2} \xi^{-2}+g_{2}^{2} \xi^{2}+g_{3}^{2} \xi^{4}+g_{4}^{2} \xi^{6}, \\
V(\xi)=g^{2} a^{2} \operatorname{sh}^{-2}(a \xi), W(\xi)=g_{1}^{2} \operatorname{sh}^{-2}(a \xi)+g_{2}^{2} \operatorname{sh}^{-2}(2 a \xi)+ \\
+g_{3}^{2} \operatorname{ch}(2 a \xi)+g_{4}^{2} \operatorname{ch}(4 a \xi),
\end{array}
\]

где постоянные $g_{1}^{2}, g_{2}^{2}, g_{3}^{2}$ и $g_{4}^{2}$ произвольны;
\[
\begin{array}{l}
V(\xi)=g^{2} a^{2} \mathscr{P}(a \xi), \quad W(\xi)=g_{1}^{2} \mathscr{P}(a \xi)+g_{2}^{2} \mathscr{P}\left(a \xi+\omega_{1}\right)+ \\
+g_{3}^{2} \mathscr{P}\left(a \xi+\omega_{2}\right)+g_{4}^{2} \mathscr{P}\left(a \xi+\omega_{1}+\omega_{2}\right),
\end{array}
\]

где $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ — полупериоды функции Вейерштрасса $\mathscr{P}(\xi)$.
В формуле (3.9.11) постоянные $g_{j}$ не являются произвольными, и должны удовлетворять нелинейному уравнению
\[
\left(\sum_{j=1}^{4} g_{j}^{4}-\sum_{k
eq l}^{4} g_{k}^{2} g_{l}^{2}\right)=64 \prod_{j=1}^{4} g_{j}^{2} .
\]
Б. Интегрирование уравнений движения. Интегрирование уравнений движения для систем $B C_{n}$ I-III, V (и, следовательно, для систем $B_{n}, C_{n}$ и $D_{n}$ ) можно выполнить в явном виде аналогично тому, как это было сделано ранее для систем типа $A_{n-1}$. При этом используется проектирование движения по геодезическим на симметрических пространствах нулевой (тип I), отрицательной (тип II) и положительной (тип III) кривизны, связанных с группой $\mathrm{SU}(n+1, n)$. Вся схема параллельна схеме разделов 3.3 и 3.5 и пригодна для любой пары Лакса из предложения 3.9.1.
1. Системы типа I. Пусть $(G, K)$ — симметрическая пара Картана и пусть $X$ — соответствующее симметрическое пространство нулевой кривизны, т.е. $X^{0}=g^{0}-$ симметрическая компонента разложения Картана $\mathscr{G}=\mathscr{F}+\mathscr{P}$.
Геодезические на $X^{0}$ определяются уравнением
\[
\ddot{x}=0
\]

и являются просто прямыми линиями
\[
x(t)=a t+b, a, b \in X^{0} .
\]

Пусть $\mathcal{A}$ — подалгебра Картана в $\mathscr{P}$. Каждый элемент пространства $\mathscr{P}$ может быть переведен в $\mathcal{A}$ с помощью действия группы $K$, так что мы можем положить
\[
x(t)=u(t) Q(t) u^{-1}(t), u(t) \in K, \quad Q(t) \in \mathcal{A} .
\]

Здесь $Q(t)$ — \»радиальная часть\» элемента $x(t)$. Дифференцируя (3.9.18) по отношению к $t$, мы получим
\[
\dot{x}(t)=u(t) L(t) u^{-1}(t),
\]

где
\[
\begin{array}{l}
L=P+[M, Q], \\
M=u^{-1} \dot{u}, \quad P=\dot{Q} .
\end{array}
\]

Дифференцирование (3.9.19) дает
\[
\ddot{x}(t)=u(t)(\dot{L}+[M, L]) u^{-1}(t) .
\]

Таким образом, если пара Лакса $L, M$ удовлетворяет соотношению (3.9.20), то уравнение $\dot{L}=[L, M]$ эквивалентно уравнению для геодезических (3.9.16). Соотношение (3.9.20), очевидно, выполняется для пары Лакса из предюожения 1 с $x(\xi)=\xi^{-1}$. Точно так же, как и в разделе 3.3, мы видим, что если гамильтонова система с энергией
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} p_{j}^{2}+\sum_{\alpha \in R_{+}} g_{\alpha}^{2} v\left(q_{\alpha}\right), v(\xi)=\xi^{-2},
\]

обладает парой Лакса, описанной в предложении 1 , то траектория системы $Q(t)$ с начальными данными $Q(0), P(0)$ является радиальной частью траектории движения по прямой линии,
\[
L(0) t+Q(0) .
\]

Если при этом картановская подалгебра $\mathcal{A}$ состоит из диагональных матриц, как в случаях $\mathcal{A}_{n}$ и $B C_{n}$, рассмотренных выше, то координаты $q_{j}(t)$ — это просто собственные значения матрицы (3.9.24).

Скажем еще несколько слов о процессе рассеяния. Поскольку потенциал $v(q)$ для систем типа I стремится к нулю при $|q| \rightarrow \infty$, то мы получаем
\[
Q(t) \sim p^{ \pm} t+Q^{ \pm}+O\left(t^{-1}\right) \text { при } t \rightarrow \pm \infty .
\]

Пусть $\Lambda$ — камера Вейля, содержащая $P^{-}$, и $s$ — элемент группы Вейля, который переводит $\Lambda$ в $-\Lambda: s \Lambda=-\Lambda$. Тогда
\[
P^{+}=s P^{-}, \quad Q^{+}=s Q^{-},
\]

и эти соотношения обобщают соотношения (3.3.19) и (3.3.22).
2. Системы типа II. Рассмотрим уравнения для гармонического осциллятора на $X^{0}$
\[
\ddot{x}=-\omega^{2} x \text {. }
\]

Его решения, очевидно, имеют вид
\[
x(t)=a \sin \omega t+b \cos \omega t .
\]

Переходя к радиальной части
\[
\dot{x}(t)=u(t) Q(t) u^{-1}(t),
\]

мы находим
\[
\dot{x}(t)=u(t) L(t) u^{-1}(t),
\]

где
\[
\begin{array}{l}
L=P+[M, Q], \\
M=u^{-1} \dot{u}, \quad P=\dot{Q},
\end{array}
\]

и
\[
\ddot{x}+\omega^{2} x=u\left(\dot{L}+[M, L]+\omega^{2} Q\right) u^{-1} .
\]

Таким образом, если пара Лакса ( $L, M$ ) удовлетворяет (3.9.31), то уравнение
\[
\dot{L}=[L, M]-\omega^{2} Q
\]

эквивалентно уравнению гармонического движения (3.9.27). Заметим, что пару уравнений (3.9.31), (3.9.34) можно записать в виде (3.1.18)
\[
\dot{L}^{ \pm}=\left[L^{ \pm}, M\right] \pm i \omega L^{ \pm}, \quad L^{ \pm}=L \pm i \omega Q .
\]

Для ( $L, M$ ) пары из предложения 1 с $x(\xi)=\xi^{-1}$ это эквивалснтно уравнениям движения, порожденным гамильтонианом (3.9.23) с $v(\xi)=$ $=\xi^{-2}+\omega^{2} \xi^{2}$. Мы видим, таким образом, что их решение с начальными данными $Q(0), L(0)$ является радиальной частью траектории
\[
L(0) \sin \omega t+Q(0) \cos \omega t .
\]

Заметим, что в этом случае движение является строго периодическим.
3. Системы типа II и III. Рассмотрим симметрическое пространство $X=G\left(K^{*}\right)$. Геодезические на $X$ даются формулой
\[
x(t)=b \exp (a t)(\theta b)^{-1}, \quad a \in \mathscr{P}, \quad b \in G,
\]

где $b \rightarrow \theta b$ — автоморфизм Картана в $G$ (в случае группы $S U\left(n^{+}+1, n\right.$ ), описанном выше, $\left.(\theta b)^{-1}=b^{+}\right)$. Перейдем к радиальной части $x(t)$ :
\[
x(t)=u(t) \exp (2 a Q(t)) u^{-1}(t), \quad u(t) \in K, \quad Q(t) \in A .
\]

Повторяя рассуждения раздела 3.5, мы приходим к следующему результату: если гамильтонова система (3.9.23) с потенциалом $v(\xi)=$ $=a^{2} \operatorname{sh}^{-2}(a \xi)$ описывается парой Лакса из предложения 1 с $x(\xi)=a$ cth $a \xi$, тогда решение этой системы с начальными условиями $Q(0), P(9)$ являет-

*) $X$ может иметь или отрицательную, или положительную кривизну в зависимости от вида симметрической пары $(G, K)$.

ся радиальной частью траектории
\[
\exp (a Q(0)) \exp (a t) \exp (a Q(0)),
\]

где $q$ определяется из формулы
\[
\exp (-a Q(0)) a \exp (a Q(0))+\exp (a Q(0)) a \exp (-a Q(0))=2 a L(0) .
\]